空间两点之间的距离.ppt
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优秀老师课件-两点间距离公式
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
两点间的距离公式》课件(北师大版必修
y1)^2+(z2z1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
空间直角坐标系空间两点间的距离公式(共44张PPT)
则中指能指向z轴正方向
A．y轴上
B．xOy平面上
[解析] 据空间点的坐标的确定方法，我们来确定M的横坐标：P、Q、M在xoy坐标平面上的射影为P1，Q1，M1，
(7)(x，－y，z)．
那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：
(3)关于y轴的对称点是P (－x，y)，
在空间确定一点的位置需要三个实数，如要确定一架飞机在空中的位置，我们不仅要指出地面上的经度、纬度，还需要指出飞机距地面的高度
[例4] 在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的 对称点的坐标如下：
(1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)， (2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)， (3)关于y轴的对称点是P (－x，y)， 那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特 殊的对称点坐标： (1)关于原点的对称点是P1________； (2)关于横轴(x轴)的对称点是P2________； (3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3________；
4．3 空间直角坐标系Βιβλιοθήκη 4．3.1 空间直角坐标系
4．3.2 空间两点间的距离公式
1．以点O为坐标原点，建立三条两两互相垂直的数轴
x 轴、 y 轴、 z 轴，这时称建立了一个空间直角坐标
系O－xyz.
教材中所用的坐标系都是 右手直角坐标系 ，其规则
是：让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，
．
[解析] 先在x轴上找到表示－2的点，过该点作y轴的平行线，在y轴上找到表示4的点，过该点作x轴的平行线，两直线相交于P点，过P点作z
轴的平行线，与z轴负方向同向的方向上截取3个单位，即得A点.
3．三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第
高中数学课件 空间两点间的距离公式
类型 一
空间两点间的距离公式
尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间
距离的步骤.
1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于
(
A. 14 B. 13 C.2 3 D. 11
)
2.设点P在x轴上，它到点P1(0， 2 ，3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
于 .
【解析】 AM | (3 0)2 (1 1) 2 (2 2) 2 13, |
所以对角线|AC1| 2 13， 设棱长为x,则3x2= (2 13)2 , 所以 x 2 39 .
3
答案：2 39
3
6.如图,在宽、长、高分别为2,4,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中, 利用空间两点间距离公式,求对角线AD1,AB1和AC1的长.
答案： 29
2 (2)因为| AB | ［ 2 (2)］ (2 1) 2 (0 m) 2 1.
所以1+m2=1,所以m=0.
答案：0
(3)过点M作x轴的垂线，垂足的坐标是(2，0，0)，
所以 d (2 2)2 (3 0) 2 (5 0) 2 34.
【拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
(2)充分利用几何图形的对称性.
【变式训练】四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1, 且SA⊥底面ABCD,问边BC上是否存在异于B,C的点P,使得∠SPD 是直角?
【解析】以A为原点,射线AB,AD,AS分别为x,y,z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0). 设P(1,x,0)(0<x<2), 所以SP2=(1-0)2+(x-0)2+(0-1)2 =x2+2, PD2=(1-0)2+(x-2)2+(0-0)2 =(x-2)2+1, SD2=(0-0)2+(0-2)2+(1-0)2=5.
1.2.5 空间中的距离 课件
距离.
解：依题意，, , 是两两互相垂直的.
以为原点，, , 的方向分别为轴、轴、
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1),
所以 = (0,1,0), = (−1,0,1), = (0,1, −1).
解：以为原点，��，, 1 的方向分别为轴、
轴、轴正方向，正方体的棱长为2个单位长度，建立如
图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0)，(2,1,2), (0,2,1), (2,0,0), (0,2,0),
所以 = (1,1,2), = (−1,2,1), = (−2,2,0).
思维导图
PAR T T W O
复习引入
PAR T T H R E E
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距
离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。
数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，
要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平
面内的“距离” ？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能
设平面的一个法向量为 = (, , )，则
∙ = + + 2 = 0
∙ = − + 2 + = 0
令 = 1，则得 = (−1, −1,1).
因为 ∙ = (−2) × (−1) + 2 × (−1) + 0 × 1 = 0,
所以 ⊥ ，又因为点显然不在平面内，所以
(−1) +(−1) +1
3
因此点到平面的距离为 ，
3
=
|(−1)×1+(−1)×0+1×0|
解：依题意，, , 是两两互相垂直的.
以为原点，, , 的方向分别为轴、轴、
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1),
所以 = (0,1,0), = (−1,0,1), = (0,1, −1).
解：以为原点，��，, 1 的方向分别为轴、
轴、轴正方向，正方体的棱长为2个单位长度，建立如
图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0)，(2,1,2), (0,2,1), (2,0,0), (0,2,0),
所以 = (1,1,2), = (−1,2,1), = (−2,2,0).
思维导图
PAR T T W O
复习引入
PAR T T H R E E
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距
离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。
数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，
要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平
面内的“距离” ？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能
设平面的一个法向量为 = (, , )，则
∙ = + + 2 = 0
∙ = − + 2 + = 0
令 = 1，则得 = (−1, −1,1).
因为 ∙ = (−2) × (−1) + 2 × (−1) + 0 × 1 = 0,
所以 ⊥ ，又因为点显然不在平面内，所以
(−1) +(−1) +1
3
因此点到平面的距离为 ，
3
=
|(−1)×1+(−1)×0+1×0|
两点间的距离说课课件
距离，即两点间的距离公式。
在实际生活中的应用
导航定位
在GPS定位中，需要计算 接收器与卫星之间的距离 ，这涉及到两点间的距离 公式。
通信网络覆盖范围
在规划通信网络覆盖范围 时，需要计算基站与用户 之间的距离，这涉及到两 点间的距离公式。
物流配送
在物流配送中，需要计算 配送车辆与目的地之间的 距离，这涉及到两点间的 距离公式。
更加直观易懂。
反馈与改进
学生反馈
通过收集学生的反馈意见，发现大部分学生对本课件的内容和形 式表示满意，认为课件有助于他们更好地理解知识点。
教师建议
教师们建议进一步完善课件，增加更多实例解析和练习题，以帮助 学生更好地掌握知识点。
改进措施
根据反馈意见和建议，对课件进行改进和完善，包括增加实例解析 和练习题、优化视觉效果等，以提高学生的学习效果。
05
教学方法与手段
教学方法
01
02
03
04
直观演示法
通过图形的直观演示，让学生 更好地理解两点间距离的概念
。
问题探究法
设置一系列问题，引导学生思 考，探究两点间距离的计算方
法。
小组讨论法
组织学生进行小组讨论，分享 各自对两点间距离的理解和计
算方法，促进相互学习。
案例分析法
通过分析实际生活中的案例， 让学生更好地理解两点间距离
两点间距离的定义
两点间距离是指连接两点的线段 的长度。在二维平面中，两点间 的距离可以通过勾股定理计算得 出。
定义的意义
理解两点间距离的定义是进一步 学习几何学的基础，有助于理解 空间关系和距离的概念。
两点间距离的计算方法
计算公式
两点间距离的计算公式为 $sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 分别为 两点的坐标。
在实际生活中的应用
导航定位
在GPS定位中，需要计算 接收器与卫星之间的距离 ，这涉及到两点间的距离 公式。
通信网络覆盖范围
在规划通信网络覆盖范围 时，需要计算基站与用户 之间的距离，这涉及到两 点间的距离公式。
物流配送
在物流配送中，需要计算 配送车辆与目的地之间的 距离，这涉及到两点间的 距离公式。
更加直观易懂。
反馈与改进
学生反馈
通过收集学生的反馈意见，发现大部分学生对本课件的内容和形 式表示满意，认为课件有助于他们更好地理解知识点。
教师建议
教师们建议进一步完善课件，增加更多实例解析和练习题，以帮助 学生更好地掌握知识点。
改进措施
根据反馈意见和建议，对课件进行改进和完善，包括增加实例解析 和练习题、优化视觉效果等，以提高学生的学习效果。
05
教学方法与手段
教学方法
01
02
03
04
直观演示法
通过图形的直观演示，让学生 更好地理解两点间距离的概念
。
问题探究法
设置一系列问题，引导学生思 考，探究两点间距离的计算方
法。
小组讨论法
组织学生进行小组讨论，分享 各自对两点间距离的理解和计
算方法，促进相互学习。
案例分析法
通过分析实际生活中的案例， 让学生更好地理解两点间距离
两点间距离的定义
两点间距离是指连接两点的线段 的长度。在二维平面中，两点间 的距离可以通过勾股定理计算得 出。
定义的意义
理解两点间距离的定义是进一步 学习几何学的基础，有助于理解 空间关系和距离的概念。
两点间距离的计算方法
计算公式
两点间距离的计算公式为 $sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 分别为 两点的坐标。
空间两点间的距离公式课件
03
通过以上三个方面的扩展，我们详细 介绍了空间两点间的距离公式在二维 空间中的应用，包括平面坐标系、极 坐标系中的公式应用以及与勾股定理 的关系。这些内容有助于学生更好地 理解空间两点间的距离公式，掌握其 在不同坐标系中的应用，并加深对勾 股定理的理解。
03
空间两点间的距离公式在三维空间中的应 用
05
空间两点间的距离公式的实践应用
地球上两点间距离的计算
地球上两点间距离的计算是空间两点 间距离公式的重要实践应用之一。通 过使用地球半径和两点间的经纬度坐 标，可以计算出两点间的最短距离。
地球上两点间距离的计算在地理学、 气象学、交通规划等领域具有广泛的 应用，例如确定两城市间的最短航线 、预测天气系统移动路径等。
该公式将极坐标转换为笛卡尔坐标进行计算，同样基于勾股 定理。
距离公式与勾股定理的关系
01
勾股定理是直角三角形中直角边的关 系，即$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$是斜边，$a$和$b$是直角边。
02
在二维空间中，两点之间的距离公式 实际上就是勾股定理的应用，通过计 算两点之间直线的距离，得到一个等 效的直角三角形，然后利用勾股定理 计算出距离。
空间两点间的距离公式课件
汇报人：文小库
2024-01-02
CONTENTS
• 空间两点间的距离公式概述 • 空间两点间的距离公式在二维
空间中的应用 • 空间两点间的距离公式在三维
空间中的应用 • 空间两点间的距离公式的扩展
与变形 • 空间两点间的距离公式的实践
01
空间两点间的距离公式概述
定义与公式
三维坐标系中的公式应用
适用范围
适用于三维空间中任意两点$P(x_1, y_1, z_1)$和$Q(x_2, y_2, z_2)$的距 离计算。
空间直角坐标系.ppt
即
0 32 y 12 0 12 0 02 y 12 0 22
解之得
y 3, 2
故所求点为
M
0,
3 2
,
0
.
例 3 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
前面三个例子中，所讨论的方程都是一次方程， 所考察的图形都是平面.可以证明空间中任意一个平 面的方程式三元一次方程
Ax By Cz D 0,
其中 A, B,C, D 均为常数，A, B,C 且不全为0.
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
（2）过 B 点的中线长为________；（3）过 C 点中 线 长为___________；
6. 已知平行四边形 ABCD的两个顶点 A( 2 ,3 ,5 ), B(1 , 3 , 2 )及它的对角线的交点 E( 4 ,1 , 7 )，则 顶点 C 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标为_____ ______；
0 32 y 12 0 12 0 02 y 12 0 22
解之得
y 3, 2
故所求点为
M
0,
3 2
,
0
.
例 3 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
前面三个例子中，所讨论的方程都是一次方程， 所考察的图形都是平面.可以证明空间中任意一个平 面的方程式三元一次方程
Ax By Cz D 0,
其中 A, B,C, D 均为常数，A, B,C 且不全为0.
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
（2）过 B 点的中线长为________；（3）过 C 点中 线 长为___________；
6. 已知平行四边形 ABCD的两个顶点 A( 2 ,3 ,5 ), B(1 , 3 , 2 )及它的对角线的交点 E( 4 ,1 , 7 )，则 顶点 C 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标为_____ ______；