两点间的距离公式.ppt
合集下载
优秀老师课件-两点间距离公式
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
两点间的距离公式》课件
几何意义：两点间的距离是 两点之间的最短路径
应用实例：计算两点间的距 离，如直线、曲线、平面等
两点间的距离公式
04
在物理中的应用
质点运动学中的距离计算
质点运动学：研究质点在空间中的运动规律 距离公式：描述两个质点之间距离的公式 应用：计算质点在运动过程中的位移、速度和加速度 实例：计算自由落体运动中质点的位移、速度和加速度
两点间的距离公 式：d = sqrt((x2x1)^2 + (y2y1)^2)
公式中的参数： x1, y1, x2, y2 分别表示两个点 的横坐标和纵坐 标
公式的用途：计 算两点间的直线 距离
公式的推导：利 用勾股定理推导 得出
两点间的距离公式
03
在几何中的应用
两点间线段最短问题
两点间的距离公式： d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
两点间的距离公式
05
的扩展应用
任意两点间的距离计算
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
扩展应用：适用于 任意两点间的距离 计算
应用场景：地图导 航、GPS定位、物 流配送等
计算方法：输入两 点的坐标，利用公 式进行计算
多边形边长计算
利用两点间的距离公式，可以计算出多边形的边长 例如，已知多边形的顶点坐标，可以计算出每个边的长度 利用这些边长，可以计算出多边形的面积、周长等参数 在实际应用中，如建筑设计、地图绘制等领域，多边形边长计算具有重要意义
YOUR LOGO
20XX.XX.XXBiblioteka 两点间的距离公式,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
2.3.2 两点间的距离公式 (共25张PPT)
求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
两点间的距离公式》课件(北师大版必修
y1)^2+(z2z1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
两点间的距离公式》课件3
在平面几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及三角形、四边形等图形的周 长和面积。
在立体几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及圆柱、圆锥、球等立体图形 的体积和表面积。
在解析几何中，两点间的距离公式可以用来计算直线、曲线、曲面等图形的长度、面积和体积。
两点间的距离公式在现 实生活中的应用
圆上两点间距离问题
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
圆上两点间距离： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)-r
应用：计算圆上 任意两点间的距 离
注意事项：计算时 需考虑圆心和半径， 避免出现负数
两点间距离公式的几何意义
两点间的距离公式是几何中的一个基本概念，用于计算两点之间的直线距离。
公式应用
计算两点间的直线距离 计算两点间的曲线距离 计算两点间的最短距离 计算两点间的最长距离
公式理解
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 公式含义：计算两点之间的直线距离 公式应用：测量、导航、定位等领域 公式推导：基于欧几里得几何学和勾股定理
公式记忆
两点间的距离公
● 应用：计算两点间的距离，如A(1,2)和B(3,4)，d=sqrt((3-1)^2+(4-2)^2)=sqrt(10)
● 注意事项： a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 c. 公式中的d是两点间的距离， 不是变量 ● a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 ● b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 ● c. 公式中的d是两点间的距离，不是变量
在立体几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及圆柱、圆锥、球等立体图形 的体积和表面积。
在解析几何中，两点间的距离公式可以用来计算直线、曲线、曲面等图形的长度、面积和体积。
两点间的距离公式在现 实生活中的应用
圆上两点间距离问题
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
圆上两点间距离： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)-r
应用：计算圆上 任意两点间的距 离
注意事项：计算时 需考虑圆心和半径， 避免出现负数
两点间距离公式的几何意义
两点间的距离公式是几何中的一个基本概念，用于计算两点之间的直线距离。
公式应用
计算两点间的直线距离 计算两点间的曲线距离 计算两点间的最短距离 计算两点间的最长距离
公式理解
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 公式含义：计算两点之间的直线距离 公式应用：测量、导航、定位等领域 公式推导：基于欧几里得几何学和勾股定理
公式记忆
两点间的距离公
● 应用：计算两点间的距离，如A(1,2)和B(3,4)，d=sqrt((3-1)^2+(4-2)^2)=sqrt(10)
● 注意事项： a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 c. 公式中的d是两点间的距离， 不是变量 ● a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 ● b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 ● c. 公式中的d是两点间的距离，不是变量
两点间的距离公式(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ _____1_0____.
D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
人A数学选择性必修第一册
对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：
返回导航 上页 下页
(1)直线l′与直线l平行；
由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
人A数学选择性必修第一册
2.3.2两点间的距离公式课件(人教版)
1.求下列两点间的距离 :
(1) A(6, 0), B( 2, 0);
(2)C (0, 4), D(0, 1);
(3) P (6, 0), Q(0, 2);
(4) M (2,1), N (5, 1).
(1) AB ( 2 6) (0 0) 8;
2
2
(2) CD (0 0)2 ( 1 4) 2 3;
段的长度？
追问2 如何求向量1 2 的模长？
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
, ， , 两点间的距离公式
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
特别地，原点O(0，0)与任一点 , 间的距离
=
2 + 2.
上式利用向量法证明！
(3) PQ (0 6) ( 2 0) 2 10;
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(4) MN (5 2) ( 1 1) 13.
2
2
2.已知点A(a, 5)与B(0,10)间的距离是17, 求a的值.
解： AB (0 a ) (10 5) 17,
2
解得a 8.
=
=
+
−
+ −
+ −
+ + ，
=
=
− + .
由 = ，得
+ + = − + .
解得 =1.
所以,所求点为P(1，0)，且
=
+
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：(1)因为点P在y轴上，所以，以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1
易求得，点P（0，-11 2 13）
3
(2)|PA|+|PB|=|AB1|= 2 13
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-1,-1）点B（2,3），点M是x轴 上的一个动点，求点M在何处时，|MB|-|MA|最大，说明 理由，并求其最大值。
M
• 归纳：
• （1）当两定点位于直线的异侧时，可求得 动点到定点的距离之和的最小值。
• （2）当定点对于直线的同侧时，可求得动 点到两定点的距离之差的最大值。
• （3）若不满足（1）（2）时，可利用对称 性将两定点变换到同（异）侧，再进行求 解。
• 例5. 直线2x-y-4=0上有一点p，求它与两定点 A（4,-1），B（3,4）的距离之差的最大值是多少？
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
于是有 P1Q M1M 2 x2 x1 ,
QP2 N1N2 y2 y1
所以 P1P2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 所以两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) 间的距离为
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
若 y1 y2
y
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
x1 o
x2 x
P1P2 x2 x1
若 x1 x2
y
y2
• P2 (x1, y2 )
o
x
y1
• P1(x1, y1)
P1P2 y2 y1
若 x1 x2, y1 y2
在平面直角坐标系中，从点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
分别向y轴和x轴作垂线 P1N1与P2M2 ，垂足分别为
N1 0，y1，M2 x2，0 直线 P1N1与P2M2 相交于点Q。
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
如图 RtP1P2Q 中， P1P2 2 P1Q 2 QP2 2
为了计算其长度，过点 P1 向x轴作垂线，垂足为 M1 x1，0 过点 P2 向y轴作垂线，垂足为 N2 0，y2 ,
3.3.2两点间的距离公式及其应用
两点间的距离公式：
探究：
（1）如果A、B是 x 轴上两点，C、D是 y 轴上两点，
它们坐标分别是（xA，0）、（xB，0）、（0，yC）、（0，yD），
那么|AABB| x、A x|B C, CDD|怎yC 样yD 求？
(2)已知 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，试求两点间的距离。
思路：以x轴为对称轴，做A的 对称点A1，连接AB1与x轴交 与点M,M就是所求点。此时， MB-MA=MB-MA1=BA1;
取M以外任意一点M’，此时，A1、 B、M’构成了三角形 A1BM’ ，显 然M’B-M’A=M’B+A’A1<BA1 。
问：M在何处时， |MB|-|MA|值 最小，最小值等于多少？
思路：以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交 与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1;
p’
取P以外任意一点P’，此时， P’A+P’B=P’A+P’B1>AB1 。
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
1.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线
3x+y-1=0 平行的直线l的方程．
2.设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M
3坐.已知标两直是线l1：（（32 m，）x 14y）5，3m，求线段AB的长度.
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例4 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后 用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标 原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴， 建立直角坐标系.
(2)C(0, 4), D(0, 1) (4)M (2,1), N (5, 1)
答案： (1)8 (3)2 10
(2)3 (4) 13
练习（2）：已知点A（a,-5）与B（0,10）间的 距离是17，求a的值。
答案： a 8
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
y (b,c) D
(a+b,c) C
则A(0，0)。设B(ａ，0)，
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 (0,0) A (a,0)B
x
C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
因为 AB 2 a2 CD 2 , AD 2 BC 2 b2 c2
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (a b)2 c2
OP x2 y2
例3 已知点 A(1, 2), B(2, 7), 在 x 轴上求一点 P ，
使 | PA || PB | ，并求 | PA | 的值。
解：设所求点为P（x,0），于是
由
PA 2 PB 2 得
x 12 0 22
x 22 0
2
7
即 x2 2x 5 x2 4x 11
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 )
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和。
练习(1):求下列两点间的距离
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3)P(6, 0),Q(0, 2)
距离的最值问题的变式
例6. 求f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4的最小值。
解：f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4 = (x 1)2 （0-1）2 (x 3)2 +（0-2）2 即将函数式转化为求动点P(x, 0)到两定点 A（1,1）、B(3,2)的距离之和的最小值。
易求得，点P（0，-11 2 13）
3
(2)|PA|+|PB|=|AB1|= 2 13
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-1,-1）点B（2,3），点M是x轴 上的一个动点，求点M在何处时，|MB|-|MA|最大，说明 理由，并求其最大值。
M
• 归纳：
• （1）当两定点位于直线的异侧时，可求得 动点到定点的距离之和的最小值。
• （2）当定点对于直线的同侧时，可求得动 点到两定点的距离之差的最大值。
• （3）若不满足（1）（2）时，可利用对称 性将两定点变换到同（异）侧，再进行求 解。
• 例5. 直线2x-y-4=0上有一点p，求它与两定点 A（4,-1），B（3,4）的距离之差的最大值是多少？
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
于是有 P1Q M1M 2 x2 x1 ,
QP2 N1N2 y2 y1
所以 P1P2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 所以两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) 间的距离为
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
若 y1 y2
y
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
x1 o
x2 x
P1P2 x2 x1
若 x1 x2
y
y2
• P2 (x1, y2 )
o
x
y1
• P1(x1, y1)
P1P2 y2 y1
若 x1 x2, y1 y2
在平面直角坐标系中，从点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
分别向y轴和x轴作垂线 P1N1与P2M2 ，垂足分别为
N1 0，y1，M2 x2，0 直线 P1N1与P2M2 相交于点Q。
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
如图 RtP1P2Q 中， P1P2 2 P1Q 2 QP2 2
为了计算其长度，过点 P1 向x轴作垂线，垂足为 M1 x1，0 过点 P2 向y轴作垂线，垂足为 N2 0，y2 ,
3.3.2两点间的距离公式及其应用
两点间的距离公式：
探究：
（1）如果A、B是 x 轴上两点，C、D是 y 轴上两点，
它们坐标分别是（xA，0）、（xB，0）、（0，yC）、（0，yD），
那么|AABB| x、A x|B C, CDD|怎yC 样yD 求？
(2)已知 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，试求两点间的距离。
思路：以x轴为对称轴，做A的 对称点A1，连接AB1与x轴交 与点M,M就是所求点。此时， MB-MA=MB-MA1=BA1;
取M以外任意一点M’，此时，A1、 B、M’构成了三角形 A1BM’ ，显 然M’B-M’A=M’B+A’A1<BA1 。
问：M在何处时， |MB|-|MA|值 最小，最小值等于多少？
思路：以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交 与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1;
p’
取P以外任意一点P’，此时， P’A+P’B=P’A+P’B1>AB1 。
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
1.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线
3x+y-1=0 平行的直线l的方程．
2.设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M
3坐.已知标两直是线l1：（（32 m，）x 14y）5，3m，求线段AB的长度.
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例4 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后 用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标 原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴， 建立直角坐标系.
(2)C(0, 4), D(0, 1) (4)M (2,1), N (5, 1)
答案： (1)8 (3)2 10
(2)3 (4) 13
练习（2）：已知点A（a,-5）与B（0,10）间的 距离是17，求a的值。
答案： a 8
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
y (b,c) D
(a+b,c) C
则A(0，0)。设B(ａ，0)，
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 (0,0) A (a,0)B
x
C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
因为 AB 2 a2 CD 2 , AD 2 BC 2 b2 c2
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (a b)2 c2
OP x2 y2
例3 已知点 A(1, 2), B(2, 7), 在 x 轴上求一点 P ，
使 | PA || PB | ，并求 | PA | 的值。
解：设所求点为P（x,0），于是
由
PA 2 PB 2 得
x 12 0 22
x 22 0
2
7
即 x2 2x 5 x2 4x 11
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 )
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和。
练习(1):求下列两点间的距离
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3)P(6, 0),Q(0, 2)
距离的最值问题的变式
例6. 求f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4的最小值。
解：f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4 = (x 1)2 （0-1）2 (x 3)2 +（0-2）2 即将函数式转化为求动点P(x, 0)到两定点 A（1,1）、B(3,2)的距离之和的最小值。