1 集合(1)

第一章集合
一集合
1.1集合
[教学目的]
⒈使学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；
⒉初步了解“属于”关系的意义；
3.初步了解有限集、无限集、空集的意义.
[重点难点]
重点：集合的基本概念与表示方法.
难点：运用集合的两种常用表示方法—列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.
§1.1.1 集合的基本概念(第一课时)
教学目的
使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性.
[教学过程]
一、复习引入
集合概念及其基本理论称为集合论，它的创始人是德国数学家康托尔（Cantor1845-1918）.它是近、现代数学的一个重要的基础.一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等，都建立在集合理论的基础上；另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.
下面我们正式引入集合的概念.
二、学习、讲解新课
⒈集合与集合的元素
先考察下面几组对象：
⑴ 1，2，3，4，5；⑵与一个角的两边距离相等的所有点；
⑶所有的直角三角形；⑷ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2；
⑸某农场所有的拖拉机；⑹高一（2）班教室里的所有桌子；
⑺连云港外国语学校的所有学生.
它们分别是由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
例如⑴是由1，2，3，4，5组成的集合，其中的对象1，2，3，4，5都是这个集合的元素，而其他的对象则不是此集合的元素.
注意：①组成集合的可以是任何事物、东西等，例如⑴是一些数，⑵是一些点、⑶是一些图形、⑷是一些整式、⑸是一些物体、⑹是一些人等等；
②在集合里的对象才能叫做该集合的元素，如⑴中，不能说“元素2是这个集合的元素”，而应该说“2是这个集合的元素”，或者说“对象2是这个集合的元素”.
练习：P5 1
⒉表示集合的符号：大括号与大写的拉丁字母.
我们一般用大括号表示集合.例如上述的⑴⑺可以分别表示成{1，2，3，4，5}与{连云港外国语学校的学生}（注意不能写成{连云港外国语学校的所有学生}，因为这里大括号就表示着“所有”的意思）.
为了方便起见，还常用大写的拉丁字母表示集合，如A，B，M，E等；用小写的拉丁字母表示集合里的元素，如a,b,m,e等.
⒊常用数集及其记法
一些常用的数集我们常用下列记号：
全体非负整数的集合通常简称为非负整数集（或自然数集），记作N，
非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N*或N+ ；
全体整数的集合通常简称为整数集，记作Z；
全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q；
全体实数的集合通常简称为实数集，记作R.
练习：(1)P5 2
(2)判断下列说法是否正确
1、所有在N中的元素都在N*中( )
2、所有在N中的元素都在Z中( )
3、有在N*中的元素都在Z中( )
4、所有在Q中的元素都在R中( )
5、有既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含0（）
6、N不在中的数不能使方
程4x=8 成立（）
⒋集合元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合
A，记作a A（或a A）.例如，设D={1，2，3，4，5}，则5∈D，而3/2 D.
⒌集合元素的特性
我们知道，集合可以看成是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素具有以下的特性：
⑴确定性：集合中的元素必须是确定的,不能模棱两可.这就是说，给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.
⑵互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.
⑶无序性：集合中的元素间是无次序关系的.
⑷任意性：集合中的元素可以是任意的具体确定的事物.
求解有关集合问题时，能紧紧抓住元素的特证进行分析，将有利于问题的解决.
练习：1、回答下列问题
（1）A=所有素质好的人能否表示为集合
（2）A={2,2,4}表示是否准确
（3）A= { a,b } ，B= { b,a}是否表示同一集合
（4）把某学校的全体教师、汽车、篮球、教学楼集在一起，能否组成一个集合。

2、（1）A= {2，4} B={{1,2} , { 2,3} , {2,4} , {3,5} } A与B的关系如何
⒍集合的表示方法
集合的表示方法，通常有列举法、描述法和图示法三种.
⑴列举法：就是把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如上述⑴、⑷组成的集合可分别表示为{1，2，3，4，5}与{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}.
注意：1.用列举法表示集合时，不管元素的排列顺序如何，只要所列的元素完全相同，它们表达的就是同一个集合.
2.集合中的元素是没有重复现象的，即任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素.
练习1：用列举法表示下列集合：
（1）小于5的正奇数（2）方程x2-9=0的解的集合(3){15以内的质数}
请同学们思考如何表示一个平面上的所有直角三角形组成的集合？能否用刚才的列举法来表示？
⑵描述法：就是把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.这时往往在大括号内先写上这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线右边写上这个集合的元素的公共属性.例如，由不等式x-3>2的所有的解组成的集合（即不等式x-3>2的解集），可以表示为{x∈ R|x-3>2}；由抛物线y=x2+1上所有点的坐标组成的集合，可以表示为{（x,y）| y=x2+1}. 注：有时也可以用冒号或分号代替竖线，写成{x∈R：x-3>2}或{x∈R；x-3>2}. 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可以省去竖线及其左边的部分,例如，由所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}；由连云港外国语学校所有学生组成的集合，可以表示为{连云港外国语学校的学生}等.
练习1：用列举法或描述法表示下列集合：
①小于100的自然数；②不等式x2-x+4<0的解集；
练习2：用描述法表示下列集合
（1）抛物线x2=y上的点(2) 抛物线x2=y上的点的横坐标（3）抛物线x2=y上的点的纵坐标
⑶图示法：就是用一条封闭的曲线的内部来表示集合的方法.
例如，图1-1表示任意一个集合A；图1-2表示集合{1，2，3，4，5}.
以上讲了集合的三种表示方法，究竟用那种方法，要根据各表示法的优点及具体问题
而定.宜用描述法表示；而集合{x∈R |-1<x<2}则不能用列举法表示.
⒎集合的分类：有限集与无限集
从前面的例子我们看到，有些集合的元素有限，有些集合的元素无限，因此集合按元素有限与无限可分为有限集与无限集：
⑴有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如上节开始所例举的⑴⑷⑸⑹⑺组成的集合都是有限集.
⑵无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如上节开始所例举的⑵⑶组成的集合都是无限集.
⒏什么叫空集？
先看一个例子：由方程x2+1=0的所有实数解组成的集合，可以表示为{x∈R|x2+1=0}，由于方程x2+1=0无实数解，所以此集合是没有元素的.我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.例如，{两条平行线的公共交点}=φ，{两边之和小于第三边的三角形}=φ等.
注意：不要把数0或集合{0}与空集φ混淆，数0不是集合，{0}是含有一个元素的集合，而φ是不含任何元素的集合.
三、例题：
【例1】下面有四个命题
(1)地球周围的行星能确定一个集合；
(2)实数中不是有理数的所有数的全体能确定一个集合；
(3){1，2，3}与{1，3，2}是不同集合；
其中正确命题的个数是
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【例2】设A={x－2，2x2＋5x，12}，已知－3∈A，求x．
【例3】判断下列集合哪些是有限集，哪些是无限集．
(1){(x，y)|x＋y－1=0}是________．
(2){x∈N|4x－6＜7}是________．
(3)某只山羊身上的毛组成的集合是________．。