浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷
浙教版九年级上册数学期中考试试卷带答案
浙教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列事件为必然事件的是（）A ．购买二张彩票，一定中奖B ．打开电视，正在播放极限挑战C ．抛掷一枚硬币，正面向上D ．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球2．△ABC 的外心在三角形的内部，则△ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断3．若将函数22y x =的图象向右平行移动1个单位,再向上平移5个单位,可得到的抛物线是A ．22(1)5y x =--B ．22(1)5y x =-+C ．22(1)5y x =+-D ．22(1)5y x =++4．抛物线y ＝a （x ＋1）（x －3）（a≠0）的对称轴是直线（）A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝－3D ．x ＝35．如图：点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若∠AOB ＝72°，则∠ACB 的度数是（）A ．18°B ．30°C ．36°D ．72°6．A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线22(1)y x k =-++上三点，y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 3＞y 2B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 3＞y 2＞y 17．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，连接OB 、CB ，已知⊙O 的半径为2，AB=,则∠BCD 的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．15°8．下列命题正确的是（）A．三点确定一个圆B．直径所对的圆周角为直角C．平分弦的直径必垂直于这条弦D．相等的弦所对的圆心角相等9．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)移动时，点P()A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分 BD D．随点C的移动而移动11．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O 的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（）A．214B．334C．D．D3二、填空题13．从﹣1、0、0．3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为_____．14．若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=______度．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为_____．17．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为______．18．如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为____________．19．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD ，则①∠DAC ＝∠DBA ；②AD 2﹣BC 2＝AC 2﹣BD 2；③AP ＝FP ；④DF ＝BF ，这些结论中正确的是______．（请写序号）20．如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ ．则线段OQ 的最大值是______．三、解答题21．从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为23．(1)求该班级男女生数各多少？(2)若该班转入女生6人，那么选得女生为班长的概率？22．如图，在7×7的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点．(1)在正方形网格中直接标出这条圆弧所在圆的圆心O ；(2)求弧AC 的长．23．某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B 的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y ＝﹣212123x x ++c ．(1)求c 的值；(2)计算铅球距离地面的最大高度．24．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点,E G 是弧AC 上一点，连接AD AG GD 、、．（1）求证ADC AGD ∠=∠；（2）若2,6BE CD ==，求O 的半径．25．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y （袋）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．销售单价x（元） 3.5 5.5y（袋）280120销售量（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．参考答案1．D【解析】【分析】由题意根据必然事件、随机事件，不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．【详解】解：A．购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；B．打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；C．抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；D．一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的意义是正确判断的前提．2．A【解析】【详解】试题解析：△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．3．B【解析】【分析】根据图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（1，5）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入可得：y=2（x-1）2+5．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．4．A【解析】【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴.【详解】∵-1，3是方程a（x+1）（x-3）=0的两根，∴抛物线y=a（x+1）（x-3）与x轴交点横坐标是-1，3.∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是13x12-+==.故选A．5．C【解析】【分析】根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得结果．【详解】∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB均对着 AB∴11723622ACB AOB∠=∠=⨯︒=︒故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是解题的关键．6．C【解析】【详解】试题解析：∵抛物线y=-2（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=-1，而A（-2，y1）离直线x=-1的距离最近，C（2，y3）点离直线x=-1最远，∴y1＞y2＞y3．故选C．7．A【详解】解：∵直径CD 垂直弦AB 于点E ，AB=EB=12O 的半径为2，∴sin ∠EOB=EB OBEOB=60°，∴∠BCD=30°．故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理及特殊角的三角函数值，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．8．B 【解析】【分析】利用确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A.不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；B.直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意；C.平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；D.同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故原命题错误，不符合题意，故选：B ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．9．B 【解析】【详解】由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴一次函数y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=cx的图象在第二、四象限，故选B ．10．B【详解】连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点，即点P的位置不变，故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．11．C【解析】【详解】当P与O重合时，∠APB的度数为90度；P向C运动过程中，∠APB的度数逐渐减小；当P运动到C时，利用圆周角定理得到∠APB的度数为45度；当P在弧CD上运动时，∠APB的度数不变，都为45度；当P从D运动到O时，∠APB的度数逐渐增大，作出函数y与t的大致图象，如图所示：故选C.12．B【解析】【分析】先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），∴y＝a（x+2）2+2，∵与y轴交于点A（0，3），∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝1 4∴原抛物线的解析式为：y＝14（x+2）2+2，∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），∴平移后的抛物线为y＝14（x﹣1）2﹣1，∴当x＝0时，y＝3 4-，∴A′的坐标为（0，34-），∴AA′的长度为：3﹣（34-）＝334．故选：B．【点睛】本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．13．1 3【解析】【详解】试题分析：由从﹣1、00.3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解：∵从﹣1、00.3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，即：、π；∴抽取到无理数的概率为：21 63=．故答案为1 3．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．2(1)2y x=-+【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．【点睛】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．15．36【解析】【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB BC CD DE EA=====72°，∴∠ADB=12×72°=36°．故答案为36．考点：1．圆周角定理；2．正多边形和圆．16．10【分析】连接OC，根据垂径定理求出CP，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．【详解】解：连接OC，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，∴CP＝DP＝4，设⊙O的半径为R，∵AP＝8，∴OP＝8﹣R，在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，即（8﹣R）2+42＝R2，解得：R＝5，∴⊙O的直径为2×5＝10，故答案为：10．17．1或7【解析】根据题意画出符合的两种图形，先根据垂径定理求出CE和AF长，再根据勾股定理求出OE 和OF长，再求出EF即可．【详解】解：有两种情况：①如图1，圆心O在弦AB和弦CD之间，过O作OE⊥CD于E，直线OE交AB于F，连接OC、OA，∥，∵AB CD∴OF⊥AB，∵OE ⊥CD ，OE 过圆心O ，CD ＝6，∴CE ＝DE ＝3，同理AF ＝BF ＝4，由勾股定理得：OE 4=，OF 3==，∴EF ＝OE+OF ＝4+3＝7；②如图2所示，此时EF ＝OE ﹣OF ＝4﹣3＝1，即弦AB 与CD 的距离是1或7，故答案为：1或7．18．y=x 2-4x+3【解析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式．【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ，∵C （2），∴，∵半径为2，∴1，∵A（1，0），B（3，0），∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，故答案为：y=x2-4x+3．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．19．①②③【解析】【分析】①正确．根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CBD，以及∠CBD＝∠DBA得出答案即可；②正确．利用勾股定理证明即可；③正确．首先得出∠ADB＝90°，再根据∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB ＝90°，得出∠PDF＝∠PFD，从而得出PA＝PF；④错误．用反例说明问题即可．【详解】解：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA，故①正确，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝PA，∵∠DFA+∠DAC ＝∠ADE+∠PDF ＝90°，且∠ADB ＝90°，∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF ，∴PA ＝PF ，故③正确，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∴AD 2+BD 2＝AC 2+BC 2＝AB 2，∴AD 2﹣BC 2＝AC 2﹣BD 2，故②正确，如图1中，当△ABC 是等腰直角三角形时，显然DF≠BF ，故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，注意数形结合思想运用．20．3.5【解析】【分析】连接PB ，当B 、C 、P 三点共线，且点C 在PB 之间时，PB 最大，而OQ 是△ABP 的中位线，即可求解．【详解】令21404y x =-=，则x ＝±4，故点B （4，0），∴OB=4设圆的半径为r ，则r ＝2，连接PB ，如图，∵点Q、O分别为AP、AB的中点，∴OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，∵C（0，3）∴OC=3在Rt△OBC中，由勾股定理得：5BC===则111()(52) 3.5 222OQ BP BC r+⨯+=＝＝=，故答案为3.5．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．21．(1)该班级男女生数各有24人，12人；(2)选得女生为班长的概率为3 7【解析】【分析】（1）根据男生概率公式可求得男生人数，让学生总数减去男生人数即为女生人数；（2）根据概率公式即可得到答案．(1)设有男生x人，∵男生的概率为23，即2363x=，解得x＝24（人）；∴女生36﹣24＝12（人），答：该班级男女生数各有24人，12人；(2)女生12+6＝18（人），全班36+6＝42（人），选得女生为班长的概率为183 427=．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．22．(1)见解析；(2) AC【解析】【分析】（1）线段AB、线段BC的垂直平分线的交点即为圆心O；（2）根据勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，然后根据弧长公式即可得到结论．(1)如图，连接AB，BC作线段AB、线段BC的垂直平分线，两线的交于点O，则点O即为所示；(2)连接AC，AO，OC，∵AC2＝62+22＝40，OA2=22+42=4+16=20，OC2=42+22=16+4=20，∴OA2+OC2＝42+22+42+22＝40，∴AC 2＝OA 2+OC 2，∴∠AOC ＝90°，在Rt △AOC 中，∵OA ＝OC ＝∴ AC =，【点睛】本题考查尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长，掌握尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长是解题关键．23．(1)53c =；(2)铅球距离地面的最大高度为3m【解析】【分析】（1）把（10，0）代入函数解析式212123y x x c =-++中，即可求得c 的值；（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．(1)把（10，0）代入函数解析式212123y x x c =-++中得：12100100123c -⨯+⨯+=解得：53c =(2)当x ＝﹣42b a =时，y 最大＝12516431233-⨯+⨯+=所以铅球距离地面的最大高度为3m ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．24．（1）见解析；（2）O 的半径为134．【解析】【分析】（1）由题意易得 AC AD=，进而问题可证；（2）连接OC ，设OC r =，则有3,2CE OE r ==-，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）证明：AB CD ⊥ ，AC AD∴=，ADC AGD ∴∠=∠；（2）解：连接OC ，设OC r =，如图所示：2,6BE CD == ，3,2CE OE r ∴==-，在Rt OEC ∆中，()22232r r +-=，解得134r =，O ∴ 的半径为134．【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．25．（1）y 与x 之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【解析】【分析】（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120分别代入求出k 、b 的值即可得；（2）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出方程进行求解即可得；（3）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出函数关系式，然后利用二次函数的性质进行解答即可得．【详解】解：（1）设y=kx+b ，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，得3.52805.5120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得80560k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）由题意，得（x ﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160，整理，得x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6，∵3.5≤x≤5.5，∴x=4，答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）由题意得：w=（x ﹣3）（﹣80x+560）﹣80=﹣80x 2+800x ﹣1760=﹣80（x ﹣5）2+240，∵3.5≤x≤5.5，∴当x=5时，w 有最大值为240，故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等，读懂题意，找准数量关系列出函数关系式、找准等量关系列出方程是解题的关键．26．(1)234y x x =--+，C （1，0）；(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；(3)Q的坐标为（﹣2﹣，﹣2﹣）【解析】【分析】（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．(1)解：如图1，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴16404b cc--+=⎧⎨=⎩，解得34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，解得x＝﹣4或x＝1，∴C（1，0）；(2)解：如图2，设D（t，0），∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；△ABP的形状为直角三角形，证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，∴BA2+BP2＝AP2，∴△ABP的形状为直角三角形；(3)解：如图，过P作AB的平行线l，设直线l的解析式为：y＝x+m，代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，∴直线l'：y＝x，令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，解得：x＝﹣或﹣2﹣，∴Q的坐标为（﹣）或（﹣2﹣2﹣．【点睛】此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．。
杭州市九年级上期中数学试卷含答案解析
浙江省杭州市九年级上学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若，则=（）A．B．C．D．2．抛物线y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）3．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．4．下列命题正确的个数有（）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．A．2 B．3 C．4 D．55．一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（）A．20° B．120°C．100°D．40°6．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）A．6 B．8 C．10 D．128．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（）A．B．1 C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定10．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A．B．C．或D．或二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式是．12．圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是．13．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，D是AB延长线上一点，连接CD，若∠DCB=∠A，BD：DC=1：2，则△ABC的面积为．16．如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2﹣y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是．三、解答题（共7小题，满分66分）17．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．18．小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；（2）小亮和小芳打说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．19．如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．（1）作△ABC的外接圆O（尺规作图）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆O半径的长．20．已知二次函数，当x=1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？23．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．浙江省杭州市九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若，则=（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】设a=2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可．【解答】解：设a=2k，则b=9k．==，故选A．【点评】考查比例性质的计算；得到用k表示的a，b的值是解决本题的突破点．2．抛物线y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．【解答】解：x=﹣=﹣1，把x=﹣1代入得：y=﹣2+4﹣5=﹣3．则顶点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选D．【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．3．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；分式的定义．【专题】应用题；压轴题．【分析】列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解答】解：分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率==．故选B．【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．4．下列命题正确的个数有（）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】命题与定理．【分析】根据圆周角，圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件即可求解．【解答】解：①同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，故错误；②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误；③圆中两条平行弦所夹的弧相等，正确；④不在同一直线上的三点确定一个圆，故错；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，正确，故选A．【点评】本题主要考查了圆周角的性质定理，以及确定圆的条件等圆的基本知识．解题的关键是要注意命题的细节，逐一做出准确的判断．5．一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（）A．20° B．120°C．100°D．40°【考点】扇形面积的计算．【分析】先设出半径，再根据圆的面积公式和扇形的面积公式计算．【解答】解：设圆的半径为r，则扇形的半径为3r，根据两者面积相等得：πr2=，解得n=40°．故选D．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．熟记扇形的面积公式是解题的关键．6．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．7．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】先由AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，根据平行线分线段成比例定理得到DF：FA=1：2，再根据平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似得到△CDE∽△CAB，根据三角形相似的性质得S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，则CD：CA=1：4，通过代换得到CD：CF=1：2，再次根据三角形相似的性质得到S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，即可计算出△CFG的面积．【解答】解：∵AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，∴DF：FA=1：2，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，∴CD：CA=1：4，设CD=a，则CA=4a，∴DA=3a，∴DF=a，∴CF=2a，∴CD：CF=1：2，而DE∥FG，∴S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，而△CDE的面积为2，∴△CFG的面积S=4×2=8．故选B．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（）A．B．1 C．D．【考点】正多边形和圆；轴对称图形．【分析】由题意知：三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为2x，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比．【解答】解：如图，设圆的圆心为O，由题意知：三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点O．过A作AD⊥BC于D，则AD必过点O，且AO=2OD；设△ABC的边长为2x，则BD=x，AD=x，OD=x；∴正方形的边长为：x，面积为x2，三个正方形的面积和为2x2；易求得△ABC的面积为：×2x×x=x2，∴等边三角形与三个正方形的面积和的比值为，故选A．【点评】此题考查的知识点有：轴对称图形、等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质以及图形面积的求法，找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答此题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据图象特征，首先判断出M中的各代数式的符号，然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下，故a＜0；当x=﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+c＞0；当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0，又a＜0，则b＜0，故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1，则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b，因为2a﹣b＜0，a＜0，∴3a﹣b＜0，即M＜0，故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．10．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A．B．C．或D．或【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】计算题；探究型；数形结合．【分析】分两种情况：点A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点与点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点，利用等腰三角形的性质与相似三角形对应边的比相等的性质进行分析求解即可．【解答】解：如图1，当A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点时，设BD=DC=a，AB=AC=b，则BE=b﹣2，CF=b﹣4，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF，∴点B与点C、点E与点D，点D与点F为对应点，即△BED∽△CDF，∴BE：CD=ED：DF=BD：CF，即（b﹣2）：a=3：2=a：（b﹣4），解得a=，∴BC=2a=；如图2，当点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点时，设BA=AC=a，BD=CD=b，则BE=b ﹣3，CF=b﹣2，∵BD=CD，∴∠B=∠C，∴点B与点C为对应点，若点E与点F、点A与点C为对应点，由△BEA∽△CFA，可得BE：CF=EA：FA=BA：CA，即（b﹣3）：（b﹣2）=2：4=a：a，无解；若点E与点A，点A与点F为对应点，由△BEA∽△CAF，可得BE：CA=EA：AF=BA：CF，即（b﹣3）：a=2：4=a：b﹣2，解得a=，b=，此时BA=，BE=b﹣3=，BE、BA、EA不能构成三角形，故此种情况不成立；综上所述，这个等腰三角形底边长为．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，解答本题的关键是正确画出图形，并熟知相似三角形对应边的比相等的性质，同时注意分类讨论思想与方程思想的运用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式是y=﹣x2+4x﹣3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式为﹣y=x2﹣4x+3，∴所求解析式为：y=﹣x2+4x﹣3．故答案为：y=﹣x2+4x﹣3【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．12．圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是120°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】设三个内角为3x，4x，6x，根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程求出x，计算出各角的度数，比较得到答案．【解答】解：设三个内角为3x，4x，6x，根据圆内接四边形的对角互补，得3x+6x=180°，∴x=20°则这三个内角为60°、80°、120°，所以第四个内角是180°﹣4x=100°，所以该四边形内角中最大度数是120°，故答案为：120°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．13．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于．【考点】概率公式；三角形三边关系．【专题】压轴题．【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要把三边代入，看是否满足即可．把满足的个数除以4即可得出概率．【解答】解：长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条共有：2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，能构成三角形的为：3、5、7，只有1组，因此概率为．【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为5．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】作OF⊥PQ于F，连接OP，根据已知和图形证明四边形MEOF为正方形，设半径为x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根据勾股定理列出方程求出x的值，得到答案．【解答】解：作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF=PQ=12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE=OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF=OE=18﹣x，在直角△OPF中，x2=122+（18﹣x）2，解得x=13，则MF=OF=OE=5，∴OM=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，D是AB延长线上一点，连接CD，若∠DCB=∠A，BD：DC=1：2，则△ABC的面积为5．【考点】相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-直接开平方法；勾股定理．【分析】由题可知△CBD∽△ACD，则可根据相似比和勾股定理求解．【解答】解：∵∠DCB=∠A，∠D=∠D∴△CBD∽△ACD∴BD：CD=CB：AC∵BD：DC=1：2∴CB：AC=1：2设CB为x，则AC=2x，AB=5根据勾股定理可知：x2+4x2=25，解得x=，即CB=，AC=2∴△ABC的面积为×÷2=5．【点评】本题的关键是先判定三角形相似，然后利用相似比和勾股定理求得BC、AC的值，从而求出三角形的面积．16．如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2﹣y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是①⑤．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】①根据图象可以判断出图象都在x轴的上方，据此即可得知，无论x取何值，y2的值总是正数；②将点A（1，3）代入得a=即可判断；③将x=0分别代入和，求出y1与y2的值，再相减即可得到y2﹣y1的值；④令y2=y1，求出两个函数的交点坐标，再根据图象判断x的取值范围；⑤令=3，=3，分别解方程，求出A、B、C点的横坐标，再计算出AB、AC的长，即可做出正确判断．【解答】解：①由图可知，y2的图象在x轴的上方，可见，无论x取何值，y2的值总是正数，故本选项正确；②将点A（1，3）代入抛物线，得a（1+2）2﹣3=3，解得a=，故本选项错误；③当x=0时，y1==﹣，=，y2﹣y1=+=，故本选项错误；④令y2=y1，则有=，解得x1=1，x2=﹣35．几何图象可知，y2＞y1，﹣35＜x＜1，故本选项错误；⑤令=3，解得，x1=1或x2=﹣5；AB=5+1=6；=3，解得，x3=5，x4=1；AB=5﹣1=4；则2AB=3AC．故本选项正确．故答案答案为①⑤．【点评】本题考查了二次函数的性质，数形结合是本题的核心，要善于利用图形进行解答．三、解答题（共7小题，满分66分）17．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】连接OF，可得出∠BOF=∠EOF，根据同圆中圆心角相等，可得出弦相等，从而得出AB=BF．【解答】解：连接OF，∵AE，DB是⊙O的直径，∠AOB=60°，∴∠BOE=120°，∵F是的中点，∴∠BOF=∠EOF=60°，∴AB=BF．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在等圆或同圆中圆心角相等，所对的弦相等是解题的关键．18．小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；（2）小亮和小芳打说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；（2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否，修改规则即可．【解答】解：（1）列表如下：1 2 3 4甲乙1 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有4种结果，则P（甲、乙在同一层楼梯）=；（2）由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）=，P（小芳胜）=1﹣，∵＞，∴游戏不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．19．如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．（1）作△ABC的外接圆O（尺规作图）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆O半径的长．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．【专题】作图题．【分析】（1）分别作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；（2）作直径AE，连结BE，如图，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，∠C=∠E，则可证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后利用相似比计算出AE即可得到△ABC的外接圆O半径的长．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）作直径AE，连结BE，如图，∵AE为直径，∴∠ABE=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=∠E，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴=，即=，∴AE=，∴OA=AE=，即△ABC的外接圆O半径的长为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决（2）小题的关键是构建Rt△ABE与△ADC相似．20．已知二次函数，当x=1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．【考点】二次函数的最值；勾股定理的逆定理．【分析】根据顶点横坐标公式，得b+c=2a①，由x=1，y=，得c=b②，①与②联立，得出用含b的代数式分别表示a、c的式子，从而根据三边关系判断△ABC的形状；再根据锐角三角函数的定义求出∠A的余弦值．【解答】解：（1）∵当x=1时有最小值，∴，解得，，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形．（2）∵在△ABC中，∠B=90°，∴cosA==．【点评】本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式，勾股定理的逆定理及余弦函数的定义．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可得y=500﹣10（x﹣50）．（2）用配方法化简1的解析式，可得y=﹣10（x﹣70）2+9000．当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大．（3）令y=8000，求出x的实际取值．【解答】解：（1）由题意得：y=500﹣10（x﹣50）=1000﹣10x（50≤x≤100）（2）S=（x﹣40）（1000﹣10x）=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000当50≤x＜70时，利润随着单价的增大而增大．（3）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000=800010x2﹣1400x+48000=0x2﹣140x+4800=0即（x﹣60）（x﹣80）=0x1=60，x2=80当x=60时，成本=40×[500﹣10（60﹣50）]=16000＞10000不符合要求，舍去．当x=80时，成本=40×[500﹣10（80﹣50）]=8000＜10000符合要求．∴销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，用配方法求出最大值．23．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，∴直线A′B的解析式是y=，∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴=n2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（，），B1（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2（，），B2（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，∴△P1OD∽△N2OB2，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法三：∵直线OB：y=x是一三象限平分线，∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3），∴得：x1=4（舍），x2=﹣，∴N（﹣，），∵D（2，﹣2），∴l OD：y=﹣x，∵l OD：y=x，∴OD⊥OB，∵△POD∽△NOB，∴N（﹣，）旋转90°后N1（，）或N关于x轴对称点N2（﹣，﹣），∵OB=4，OD=2，∴，∵P为ON1或ON2中点，∴P1（，），P2（，）．【点评】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．。
浙江省杭州市2024-2025学年上学期九年级数学期中模拟训练试卷
浙江省杭州市2024-2025学年上学期九年级数学期中模拟训练试卷一、单选题 1．若32b a =，则a b a +的值等于（ ）A ．12B ．52C ．53D ．542．如图，点A 在O e 上，25OBC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ． 55︒B ．65︒C ．75︒D ．130︒3．已知点()11,y -，()22,y -，()34,y -在二次函数228y x x m =--+的图象上，则（ ） A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<4．如图，在三角形纸片ABC 中，9AB =，6AC =，12BC =，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥交于点E ．若2AE =，则O e 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，正方形MNPQ 内接于ABC V ，点M N 、在BC 上，点P Q 、分别在AC 和AB 边上，且BC 上的高6AD =，12BC =，则正方形MNPQ 的边长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．37．某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容．一班推荐李明与张颖参加手抄报评比，他们两人选取同一个主题的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．188．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）3.2m ，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m ，则此桥拱的半径是（ ）A ．1.62mB ．1.64mC ．1.14mD ．3.56m9．如图，在ABC V 中，BD 平分ABC ∠，按如下步骤作图：分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径在BD 两侧作弧，分别交于两点M ，N ；作直线MN 分别与AB ，AC 交于点E ，F ，交BD 于点O ，连按DE ，DF ．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）A ．ED 是ABC V 的中位线B ．点O 为ABC V 的重心 C ．DE CF =D ．DFC AED V V ∽10．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0abc >；②24b ac <；③<0a b c -+；④()()1a b m am b m +>+≠；⑤若方程21ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．②⑤二、填空题11．一只蜘蛛爬到到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是 ．12．若正多边形的一个外角为60︒，则这个正多边形的边数是．13．如图，有长为24m 的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD 的面积最大为 2m ．14．如图所示，在矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm AD =，两只小虫P 和Q 同时分别从A ，B 出发沿AB 、BC 向终点B ，C 方向前进，小虫P 每秒走1cm ，小虫Q 每秒走2cm ，它们同时出发t 秒时，以P 、B 、Q 为顶点的三角形与以A 、C 、D 为顶点的三角形相似，则=t 秒．15．如图，一张扇形纸片的圆心角为90︒，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A 与点О恰好重合，折痕为CD ，则阴影部分的面积为．16．在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是BC 的中点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ．（1）线段DF 的长为；（2）连接AC ，若AC 交DF 于点M ，则CMAM=．三、解答题17．已知如图，D ，E 分别是ABC V 的边AB ，AC 上的点，AED B ∠=∠，3AD =，8AB =，4AE =．求AC 的长度．18．“唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌．南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A ．《龙的传人》、B ．《祖国有我》、C ．《东方红》、D ．《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等．(1)选中《龙的传人》是_________事件，选中《唱支山歌给党听》是___________事件（填“不可能”、“必然”或“随机”）；(2)请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方红》”的概率．19．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，ABC V 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)以点C 为位似中心，作出ABC V 的位似图形11A B C V ，使△11A B C 和ABC V 位似比为2:1，并写出点1A 的坐标；(2)作出ABC V 绕点C 逆时针旋转90︒后的图形22A B C V ；则点B 所经过的路径长为． 20．如图，在ABC V 中，AB AC =，以AC 为直径的O e 交AB 于点D ，交BC 于点E ．(1)求证：»»DECE =； (2)若23BD BE ==，，求AD 的长．21．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设直线l 与y 轴交于点D ，抛物线交y 轴于点E ，则△DBE 的面积是多少？22．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x 元时，书店一天可获利润y 元． (1)求出y 与x 的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 23．【问题发现】（1）如图1，在等腰直角ABC V 中，点D 是斜边BC 上任意一点，在AD 的右侧作等腰直角ADE V ，使=90DAE ∠︒，AD AE =，连接CE ，则ABC ∠和ACE ∠的数量关系为 ；【拓展延伸】（2）如图2，在等腰ABC V 中，AB BC =，点D 是BC 边上任意一点（不与点B ，C 重合），在AD 的右侧作等腰ADE V ，使.AD DE =，ABC ADE ∠=∠，连接CE ，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；【归纳应用】（3）在（2）的条件下，若6AB BC ==，4AC =，点D 是射线BC 上任意一点，请直接写出当3CD =时CE 的长．24．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，点P 在劣弧BC 上（不与点B ，C 重合）． （1）如图1，若P A 是⊙O 的直径，则P A ______PB +PC （请填“＞”，“=”或“＜”） （2）如图2，若P A 不是⊙O 的直径，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请说明理由：如果成立，请给出证明．（3）如图3，若四边形ACPB 的面积是16 3． ①求P A 的长；②设y =S △PCB +14S △PCA ，求当PC 为何值时，y 的值最大？并直接写出此时⊙O 的半径．。
杭州市九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知，则下列比例式成立的是3x =7y(y ≠0)( )A. B. C. D. x 3=y7x 7=y3x y =37x 3=7y2.掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是( )A. 大于4的点数B. 小于4的点数C. 大于5的点数D. 小于5的点数3.把二次函数化为的形式，正确的是y =13x 2−2x y =a(x +b )2+c ( )A. B. y =13(x +3)2−3y =13(x−3)2−3C. D. y =(x +3)2−9y =(x +3)2−94.下列有关圆的一些结论，其中正确的是( )A. 圆内接四边形对角互补B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D. 任意三点可以确定一个圆5.抛物线可以由抛物线先向___平移2个单位再向___平移个单y =x 2y =(x−2)2+1212位得到( )A. 右，下B. 右，上C. 左，下D. ，左，上...6.若的半径为5，圆心A 的坐标为，点P 的坐标是，则点P 与QA 的⊙A (3,4)(5,8)位置关系是( )A. P 在上B. P 在内C. P 在外D. 不确定⊙A ⊙A ⊙A 7.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足y(m)x(m)函数关系如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，y =ax 2+bx +c(a ≠0).根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A. 10mB. 15mC. 20mD. 22.5m8.如图，的顶点A 、B 、C 均在上，若△ABC ⊙O ，则的大小是∠ABC +∠AOC =75°∠OAC ( )A. 25°B. 50°C. 65°D. 75°9.设的图象与x 轴有m 个交点，的图象与x y =(x +a)(x +b)y =(ax +1)(bx +1)轴n 个交点，则所有可能的数对有对．(m,n)( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 610.如图坐标系中，，，，将沿直线CD 折叠，使点AO(0,0)A(6,63)B(12,0)△OAB 恰好落在线段OB 上的点E 处，若，则AC ：AD 的值是OE =125( )A. 1：2B. 2：3C. 6：7D. 7：8二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知圆心角为的扇形面积为，那么扇形的弧长为______．120°12π12.一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要______位．199913.如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD 的宽度为2米，F是线段CD 的中点，EF 经过圆心O 交与点E ，米，⊙O EF =3则直径的长是______米．⊙O 14.已知抛物线过点，且抛物线上任意不同两点，y =ax 2+bx +c A(0,3)M(x 1,y 1)N(x 2都满足：当时，；当时，,y 2)x 1<x 2<0(x 1−x 2)(y 1−y 2)>00<x 1<x 2(x 1−x 2)(y 1−以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在y 2)<0.C 的左侧，有一个内角为，则抛物线的解析式为______．△ABC 60°15.如图，已知矩形ABCD ，AB ：：2，P 为线段AB 上的一点，以BP 为边作矩BC =1形EFBP ，使点F 在线段CB 的延长线上，矩形ABCD ∽矩形EFBP ，设，EF =a ，当EP 平分时，则______．AB =b ∠AEC ab =16.在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点分别为，，，点P 在x 轴上，(−4,0)(−4,4)(0,4)点D 在直线AB 上，若，，垂足为P ，则点P 的坐标为______．DA =1CP ⊥DP 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为，(−3,2)画出平面直角坐标系．(1)仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧(2)的圆心，并直接写出圆心的坐标．18.为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C(1)小明将垃圾分装在三个袋中，任意投放，用画树状图或列表的方法求把三个袋子都放错位置的概率是多少？(2)某学习小组为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃()圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如表单位：吨：A B Ca401010b3243c22610%调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生200吨生活垃圾假设该城市每天处理投放正确的垃圾，每天大概可回收多少吨塑料类垃圾的二级原料？△ABC⊙O19.已知：如图，D是外接圆上一点，且满足DB=DC△ABC∠EAC，连接AD，求证：AD是的外角的平分线．20.汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”刹车距离y(m)x(km/ℎ)与刹车时的车速的部分关系如表：刹车时的车速050100200刹车距离0 5.546.582(1)求出y与x之间的函数关系式．(2)120km/ℎ一辆车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离40.6m为，问：该车在发生事故时是否超速行驶？⊙O△ABC⊙O21.如图，是的外接圆，BC是的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E．AC(1)AD2=DE⋅DB求证：．(2)BC=5CD=5若，，求DE的长．22.如图，平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+4x+m−4(m)M(3,0)为常数与y轴的交点为C，N(0,−2)与分别是x轴、y轴上的点(1)m=1当时，求抛物线顶点坐标．(2)3≤x≤3+m y=−x2+4x+m−4若时，函数有最小值，求m 的值．−7若抛物线与线段MN 有公共点，直接写出m 的取值范围是______．(3)23.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们称这个三角形是比例三角形．已知是比例三角形，，，求AC 的长．(1)△ABC AB =1BC =2如图1，在四边形ABCD 中，，对角线BD 平分，(2)AB =AD ∠ABC ∠BAC =∠ADC 求证：是比例三角形①△ABC 若，如图2，求的值．②AB//DC BDAC答案和解析1.【答案】B【解析】解：A 、，可以化成：，故此选项不合题意；x3=y73y =7x B 、，可以化成：，故此选项符合题意；x7=y33x =7y C 、，可以化成：，故此选项不合题意；xy =377x =3y D 、，可以化成：，故此选项不合题意．x3=7y xy =21故选：B ．直接利用比例的性质得出x ，y 之间关系，进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质：内项之积等于外项之积是解题关键．2.【答案】D【解析】解：A 、；P 1=26=13B 、；P 2=36=12C 、；P 3=16D 、．P 4=46=23骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点．故选：D ．求出各个选项概率即可判断本题考查可能性的大小，解题的关键是理解题意，掌握概率公式．3.【答案】B【解析】解：y =13x 2−2x=13(x 2−6x)=13[(x−3)2−9]．=13(x−3)2−3故选：B ．直接利用配方法将原式变形得出答案．此题主要考查了二次函数的三种形式，正确将原式变形是解题关键．4.【答案】A【解析】解：A 、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意；B 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；C 、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；()D 、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；故选：A ．根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：抛物的顶点坐标为，y =(x−2)2+12(2,12)抛物线的顶点坐标为，y =x 2(0,0)所以，抛物线可以由抛物线先向左平移2个单位，再向下平移个y =x 2y =(x−2)2+1212单位得到．故选：C ．分别确定出两个抛物线的顶点坐标，再根据左减右加，上加下减确定平移方向即可得解．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的平移规律左减右加，上加下减解答是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：的坐标为，点P 的坐标是，∵A (3,4)(5,8)，∴AP =(5−3)2+(8−4)2=25的半径为5，∵⊙A 点P 在的内部∴⊙A 故选：B ．首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A 的半径求得点与圆的位置关系．本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离．7.【答案】B【解析】解：根据题意知，抛物线经过点、、y =ax 2+bx +c(a ≠0)(0,54.0)(40,46.2)，(20,57.9)则{c =54.01600a +40b +c =46.2400a +20b +c =57.9解得，{a =−0.0195b =0.585c =54.0所以．x =−b 2a =0.5852×(−0.0195)=15(m)故选：B ．将点、、分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物(0,54.0)(40,46.2)(20,57.9)线的对称轴公式可以得到答案．考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8.【答案】C【解析】解：根据圆周角定理得：，∵∠AOC =2∠ABC ，∵∠ABC +∠AOC =75°，∴∠AOC =23×75°=50°，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =12(180°−∠AOC)=65°故选：C ．根据圆周角定理得出，求出，再根据等腰三角形的性质和∠AOC =2∠ABC ∠AOC =50°进行内角和定理求出即可．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出是解此题的关键．∠AOC =2∠ABC 9.【答案】A【解析】解：的图象与x 轴有2个交点或1个交点，y =(x +a)(x +b)，，或当时，有1个交点；(−a,0)(−b,0)a =b 的图象与x 轴2个交点或1个交点，y =(ax +1)(bx +1)，或当时，有1个交点．(−1a ,0)(−1b ,0)−1a =−1b 所以所有可能的数对有2对．只有．(1,1)(2,2)故选：A ．根据二次函数的交点式：b ，c 是常数，，可直接得到抛物y =a(x−x 1)(x−x 2)(a,a ≠0)线与x 轴的交点坐标，即可求解．(x 1,0)(x 2,0)本题考查了二次函数与x 轴的交点，解决本题的关键是熟练运用二次函数的交点式．10.【答案】B【解析】解：过A 作于F ，如图所示：AF ⊥OB ，，∵A(6,63)B(12,0)，，，∴AF =63OF =6OB =12，∴BF =6，∴OF =BF ，∴AO =AB，∵tan ∠AOB =AFOF =3，∴∠AOB =60°是等边三角形，∴△AOB ，∴∠AOB =∠ABO =60°将沿直线线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处，∵△OAB ，∴∠CED =∠OAB =60°，∴∠OCE =∠DEB ∽，∴△CEO △DBE ，∴OEBD =CEED =COBE ，∵OE =125，∴BE =OB−OE =12−125=485设，则，，，则，，CE =a CA =a CO =12−a ED =b AD =b DB =12−b 则，，12512−b=a b 12−a 485=ab ，，∴12b =60a−5ab ①48a =60b−5ab ②得：，②−①48a−12b =60b−60a ，∴ab =23即AC ：：3．AD =2故选：B ．过A 作于F ，根据已知条件得到是等边三角形，推出∽，AF ⊥OB △AOB △CEO △DBE 根据相似三角形的性质得到，求出，设，OEBD =CEED =COBE BE =OB−OE =12−125=485CE =a 则，，，则，，于是得到CA =a CO =12−a ED =b AD =b OB =12−b ，，两式相减得到，即可得到结12b =60a−5ab 48a =60b−5ab 48a−12b =60b−60a 论．本题考查了翻折变换折叠问题，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，−证得是等边三角形是解题的关键．△AOB 11.【答案】4π【解析】解：设扇形的半径为R ，根据题意得，12π=120⋅π⋅R 2360解得，R =6所以扇形的弧长．=120⋅π⋅6180=4π故答案为．4π设扇形的半径为R ，先根据扇形的面积公式得到，解得，然后根据12π=120⋅π⋅R 2360R =6扇形的弧长公式求解．本题考查了弧长公式：弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为也考查了扇形l =nπR 180(R).的面积公式．12.【答案】3【解析】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为，110取两位数时一次就拨对密码的概率为，1100取三位数时一次就拨对密码的概率为，11000故密码的位数至少需要3位．故答案为：3．分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据小于1999所在的范围解答即可．本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率．P(A)=m n 13.【答案】103【解析】解：如图，连接OC ，是弦CD 的中点，EF 过圆心O ，∵F ．∴EF ⊥CD ．∴CF =FD ，∵CD =2，∴CF =1设，则，OC =x OF =3−x 在中，根据勾股定理，得Rt △COF ．12+(3−x )2=x 2解得 ，x =53的直径为．∴⊙O 103故答案为：．103根据垂径定理得出，则，在中，有，EF ⊥CD CF =DF =1Rt △COF OC 2=CF 2+OF 2进而可求得半径OC ．此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．14.【答案】y =−23x 2+3【解析】解：抛物线过点，∵A(0,3)，∴c =3当时，，由，得到，x 1<x 2<0x 1−x 2<0(x 1−x 2)(y 1−y 2)>0y 1−y 2<0当时，y 随x 的增大而增大，∴x <0同理当时，y 随x 的增大而减小，x >0抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即，∴b =0以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，∵如图所示，为等腰三角形，∴△ABC 中有一个角为，∵△ABC 60°为等边三角形，且，∴△ABC OC =OA =3设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有，且BD =CD ，∠OBD =30°，，∴BD =OB ⋅cos30°=332OD =OB ⋅sin30°=32在C 的左侧，∵B 的坐标为，∴B (−332,−32)点在抛物线上，且，，∵B c =3b =0，∴3a +2=−32解得：，a =−23则抛物线解析式为，y =−23x 2+3故答案为．由A 的坐标确定出c 的值，根据已知不等式判断出，可得出抛物线的增减性，y 1−y 2<0确定出抛物线对称轴为y 轴，且开口向下，求出b 的值，如图1所示，可得三角形ABC 为等边三角形，确定出B 的坐标，代入抛物线解析式即可．此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．15.【答案】22【解析】解：平分，，∵EP ∠AEC EP ⊥AG ，∴AP =PG =a−b BG =a−(2a−2b)=2b−a，∵PE//CF ，即，∴PE BC =PG GB a b =b−a 2a−b 解得，；a =22b 作于H ，GH ⊥AC ，∵∠CAB =45°，又，∴HG =2AG =2×(2a−2a)=(2−2)a BG =2a−b =(2−2)a ，，，∴GH =GB GH ⊥AC GB ⊥BC ，∴∠HCG =∠BCG ，∵PE//CF ，∴∠PEG =∠BCG ．∴∠AEC =∠ACB =45°：：2．∴a b =2故答案是：．22根据，得到，代入a 、b 的值计算求出a ：b 的值．PE//CF PE BC =PG GB 考查了矩形的性质，角平分线的性质以及相似多边形的性质．16.【答案】或或(2,0)(2−22,0)(2+22,0)【解析】解：，B 两点的坐标分别为，∵A (4,0)(4,4)轴∴AB//y 点D 在直线AB 上，∵DA =1，∴D 1(4,1)D 2(4,−1)如图：当点D 在处时，要使，即使D 1CP ⊥DP △CO P 1～△P 1A D 1即解得：∴CO P 1A =OP 1AD 144−OP =OP 1O P 1=2∴P 1(2,0)当点D 在处时，D 2，∵C(0,4)D 2(4,−1)的中点∴C D 2E(2,32)∵CP ⊥DP点P 为以E 为圆心，CE 长为半径的圆与x 轴的交点∴设，则P(x,0)PE =CE 即，(2−x )2+(32−0)2=22+(32−4)2解得：，x =2±22，∴P 2(2−22,0)P 3(2+22,0)综上所述：点P 的坐标为或或，(2,0)(2−22,0)(2+22,0)个答案为或或．(2,0)(2−22,0)(2+22,0)先由已知得出，，然后分类讨论D 点的位置从而依次求出每种情况下D 1(4,1)D 2(4,−1)点P 的坐标．本题考查了动点型问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的相关知识，本题比较复杂，难度较大．17.【答案】解：直角坐标系如图；(1)画法如图：(2)结论：点P 就是所求圆心．圆心坐标为．(−2,−1)【解析】根据点A 的坐标为即可确定平面直角坐标系；(1)(−3,2)利用网格即可画出线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而即可(2)写出圆心坐标．本题考查了应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格画线段的垂直平分线．18.【答案】解：画树状图如下：(1)由树状图知，共有6种等可能结果，其中把三个袋子都放错位置的有2种结果，所以把三个袋子都放错位置的概率是；26=13吨，(2)2000×310×0.1×0.7×2430=33.6()答：每天大概可回收吨塑料类垃圾的二级原料．33.6【解析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到把三个袋子都放错位置的结果数，(1)再根据概率公式计算可得；首先求得可回收垃圾量，然后求得按样本与按规范回收二级原料的吨数，从而得出(2)答案．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．=19.【答案】证明：，∵DB =DC ，∴∠DBC =∠DCB 是圆内接四边形ABCD 的外角，∵∠DAE ，∴∠DAE =∠DCB ，∴∠DAE =∠DBC ，∵∠DBC =∠DAC ，∴∠DAE =∠DAC 是的外角的平分线∴AD △ABC ∠EAC 【解析】根据圆的内接四边形的性质得，再根据弦相等得圆周角相等、∠EAD =∠DCB 等弧所对圆周角相等即可得证．本题考查了圆内接四边形、圆周角，解决本题的关键是找相等的角，等量代换后得证．20.【答案】解：根据表中数据设函数解析式为：，代入后得(1)y =ax 2+bx +c 解得{c =0502a +50b +c =5.51002a +100b +c =46.5{a =0.002b =0.01c =0∴y =0.002x 2+0.01x将及代入，经检验等式成立，{x =150y =46.5{x =200y =82说明此函数为二次函数．答：y 与x 之间的函数关系式为．y =0.002x 2+0.01x 当时，，(2)x =120y =0.002×1202+0.01×120=30即在该速度下的最大刹车距离为30m ．．∵30<40.6该车超速．∴答：该车在发生事故时是超速行驶【解析】根据表格中的数据先设解析式为二次函数一般式，然后代入其它点的坐标(1)进行验证即可，也可以根据表格数据画函数图象后再设函数解析式也可以；根据中所得函数关系式代入值即可求解．(2)(1)本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．21.【答案】证明：由D 是劣弧的中点，得，(1)AC AD =DC ，∴∠ABD =∠DAC 又，∵∠ADB =∠EDA ∽，∴△ABD △EAD，∴AD DE =DB AD ；∴AD 2=DE ⋅DB 解：由D 是劣弧的中点，得，则(2)AC AD =DC DC 2=DE ⋅DB是直径，∵CB 是直角三角形．∴△BCD ，由得，，∴BD =BC 2−CD 2=25−5=25DC 2=DE ⋅DB (5)2=25DE 解得．DE =52【解析】欲证，D 是劣弧的中点，有，又公共，(1)AD 2=DE ⋅DB AC ∠DAC =∠ABD ∠ADB 证明∽得出相似比；△ABD △AED 欲求DE 的长，由知，需求出AD 、DB 的长，是直径，则(2)AD 2=DE ⋅DB (CB △BCD 是直角三角形，勾股定理求出BD 的长，．AD =CD)乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出；(1)考查了直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．(2)22.【答案】−79≤m ≤2【解析】解：当时，，(1)m =1y =−x 2+4x−3=−(x−2)2+1顶点坐标为；∴(2,1)由抛物线为常数可知：开口向上，函数的对称轴为直线(2)y =−x 2+4x +m−4(m )，x =2当时，y 随x 的增大而减小，∴3≤x ≤3+m 当时，y 有最小值，∴x =m +3−7，∴−(m +3)2+4(m +3)+m−4=−7解得，舍去，m 1=2m 2=−3()；∴m =2，，(3)∵M(3,0)N(0,−2)直线MN 的解析式为，∴y =23x−2抛物线与线段MN 有公共点，则方程，即∵−x 2+4x +m−4=23x−2x 2−103x−m +2=0中，且，△≥0m−4≤−2，∴(−103)2−4(−m +2)≥0解得，−79≤m ≤2故答案为．−79≤m ≤2利用配方法求顶点的坐标；(1)根据二次函数的性质得到当时，y 有最小值，即可得到(2)x =m +3−7−(m +3)2，解得即可；+4(m +3)+m−4=−7求得直线MN 的解析式，然后根据题意得到且，解(3)(−103)2−4(−m +2)≥0m−4≤−2得即可．本题考查了二次函数的图象和系数的互相、二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：配方法；求得对称轴；得到关于m 的一元一次不等式组．(1)(2)(3)23.【答案】解：设．(1)AC =m 由题意或或，m 2=1×212=2m 22=m ，不合题意舍去不合题意舍去，∴m =2m =12()m =4()故AC ；=2，(2)①∵AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB 平分，∵BD ∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∴∠ADB =∠DBC ，∴AD//BC ，∴∠ACB =∠DAC ，∵∠BAC =∠ADC ∽，∴△ADC △CAB ，∴AD AC =AC BC ，∴AD ⋅BC =AC 2，∵AD//BC ，∴∠CBD =∠ADB 平分，∵BD ∠ABC ，∴∠ABD =∠ADB ，∴AB =AD ，∴AB ⋅BC =AC 2是比例三角形．∴△ABC ，，②∵AD//BC AB//CD 四边形ABCD 是平行四边形，∴，∵AB =AD 四边形ABCD 是菱形，∴，且，∵∠BAC =∠ADC ∠BAC =∠BCA ，∴∠ADC =∠BCA ，∴∠ABC =∠BCA =∠BAC 是等边三角形，∴△ABC ，，∴BO =3AO DO =3OC ，∴BO +DO =3(OA +OC)，∴BD =3AC ．∴BDAC =3【解析】根据比例三角形的定义分、、三(1)AB 2=BC ⋅AC BC 2=AB ⋅AC AC 2=AB ⋅BC 种情况分别代入计算可得；先证∽得，再由知即可(2)△ABC △DCA CA 2=BC ⋅AD ∠ADB =∠CBD =∠ABD AB =AD 得；作，由知，再证∽得，(3)AH ⊥BD AB =AD BH =12BD △ABH △DBC AB ⋅BC =BH ⋅DB 即，结合知，据此可得答案．AB ⋅BC =12BD 2AB ⋅BC =AC 212BD 2=AC 2本题属于相似三角形的综合问题，考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解比例三角形的定义，正确寻找相似三角形解决问题，。
浙教版九年级上册数学期中考试试题含答案
浙教版九年级上册数学期中考试试卷一、单选题1．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（）A．（﹣3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．83．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（）A．面朝上的点数是3B．面朝上的点数是奇数C．面朝上的点数小于2D．面朝上的点数不小于34．（2011?黑河）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0②a＞0③b＞0④c＞0⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C 的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（）A．70°B．65°C．55°D．35°6．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，△DEF的面积等于2，则此正方形ABCD 的面积等于（）A．6B．12C．16D．207．如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为．AB-1C．D8．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM：EN的值的变化情况是（）A．变大B．变小C．先变大再变小D．保持不变9．如图，已知⊙O中，半径OA⊥OB，则圆周角∠ACB是（）A．45ºB．90ºC．60ºD．30º10．如图所示，在抛物线y=－x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2；在y轴上有一动点C ，则AC +BC 最短距离为（）A ．5B ．C ．D ．二、填空题11．将抛物线y ＝4x 2先向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是_____．12．风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为___．13．一个正多边形的每个内角等于144°，则它的边数是_________．14．如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=5，P 为CD 边上的动点，当△ADP 与△BCP 相似时，DP=__．15．如图，点A 是抛物线24y x x =-对称轴上的一点，连接OA ，以A 为旋转中心将AO 逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A 的坐标为______________．16．如图，△ABC 中，AB ＝4，∠ACB ＝75°，∠ABC ＝45°，D 是线段BC 上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为_____．三、解答题17．已知a：b＝3：2，求：（1）a bb+；（2）274a bb-的值．18．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．（1）求△ABC的面积；（2）在格点图中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，面积比为2：1．19．现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________；（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）20．小明同学在用描点法画二次函数y1＝ax2+bx+c的图象时，由于粗心，他算错了一个y 值，列出了下面表格：x…﹣10123…y＝ax2+bx+c…1252514…（1）请求出这个二次函数解析式；（2）请指出这个错误的y 值，并说明理由；（3）若直线y 2＝mx+n 经过（0，5）和（3，14）两点，则当y 1＜y 2时，请直接写出x 的取值范围．21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．以BC 为直径画圆O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）当△ABC 中，∠B ＝70°且BC ＝12时，求 DE 的长．22．某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为()21566y x =--+．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，10m OE =， 1.8m,EF EF OD =⊥．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．23．已知函数y ＝x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象经过(﹣2，4)．（1）求b ，c 满足的关系式；（2）设该图象的顶点坐标是(m ，n)，当b 的值变化时，①求n 关于m 的函数关系式；②若函数y ＝x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象与x 轴无交点，求n 的取值范围．24．AB 为O 的直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．（1）如果O 的半径为4，CD =，求BAC ∠的度数；（2）若点E 为 ADB 的中点，连结OE ，CE ．求证：CE 平分OCD ∠；（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC 距离为3的点有多少个？并说明理由．参考答案1．D【解析】【分析】根据二次函数的解析式可直接得到顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣2（x ﹣3）2+1是顶点式，∴顶点坐标为（3，1）．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题，解题的关键是掌握()2y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ．2．C【解析】【分析】根据垂径定理得出BC=12AB，再根据勾股定理求出OC的长：【详解】∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=12AB=8．在Rt△BOC中，OB=10，BC=8，∴OC6===．故选C．3．D【解析】【分析】分别求出各选项的事件的概率，再比较各个概率的大小，就可得出可能性较大的事件的概率．【详解】A．掷一枚骰子面朝上的点数是3的概率为1 6；B．掷一枚骰子面朝上的点数是奇数有1，3，5三个数，此事件的概率为：31 62 =；C．掷一枚骰子面朝上的点数小于2的只有1，此事件的概率为：1 6；D．掷一枚骰子面朝上的点数不小于3数有3、4、5、6，此事件的概率为：42 63 =；∴1112 6623 =<<．故选：D．【点睛】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n．4．B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b2-4ac＞0；故①正确；②根据图示知，该函数图象的开口向上，∴a＞0；故②正确；③又对称轴x=-b2a=1，∴b2a＜0，∴b＜0；故本选项错误；④该函数图象交于y轴的负半轴，∴c＜0；故本选项错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确．所以①②⑤三项正确．故选B．5．A【解析】【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝55°，∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°，CB＝CB′，∴∠CBB′＝∠B′＝55°，∴∠α＝70°，故选A.【点睛】本题考查旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．6．B【解析】【分析】首先根据正方形的性质推出△AFD∽△EFB，即可得到ADBE=DFBF，再结合题意推出DF：BF=2：1，则进一步推出S△BEF和S△DEC，最终求出正方形面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFD∽△EFB，∴ADBE=DFBF，∵E是BC的中点，∴AD：BE=2：1，∴DF：BF=2：1，∵S△DEF=2，∴S△BEF=1，∴S△DEC=S△DBE=S△DEF+S△BEF=3，∴S正方形ABCD=4S△DEC=12，故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的面积计算等，掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．7．B【解析】【分析】从图中可看出阴影部分的面积=扇形面积-正方形的面积．然后依面积公式计算即可．【详解】连接OD，则2=OA根据题意可知，阴影部分的面积=长方形ACDF的面积．∴S阴影=S ACDF=AC•CD=（OA-OC）2故选B.【点睛】本题考查弧长的计算，解题的突破口是连接OD.8．D【解析】【分析】根据题意连接OD，OE，OC，MN．证明点M在线段OD上，点N在OE上，进而推出△ODE 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，连接OD，OE，OC．∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠ADC＝90°，DA＝DC，∵OA＝OC，∴OD垂直平分线段AC，∴点M在线段OD上，∴∠ODC＝45°，同法点N在OE上，∠OED＝45°，∴∠DOE＝90°，∵∠ODE＝∠OED，∴OD＝OE，∵OM＝ON，∴DM＝EN，∴DM：EN的值不变．故选：D．【点睛】本题考查圆的综合应用以及中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识．9．A【解析】【详解】试题分析：根据图像可知∠ACB和∠AOB为同弧所对的圆周角和圆心角．所以半径OA⊥OB 时∠AOB=90°=2∠ACB.所以∠ACB=45°.选A.考点：圆周角定理.10．B【解析】【详解】因为在抛物线y=－x2上A，B两点，其横坐标分别为1，2；所以纵坐标是-1，-4，所以A（1，-1）B（2，-4），取点A关于y轴的对称点为'A，则点'A的坐标是（-1，-1），则AC+BC最短距离='A B==．故选：B．考点：1．二次函数；2．轴对称；3．勾股定理．11．y＝4（x﹣1）2+3【解析】【分析】由题意直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行分析解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝4x2向右平移一个单位所得直线的解析式为：y ＝4（x﹣1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝4（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝4（x﹣1）2+3．故平移后的抛物线的函数关系式是：y＝4（x﹣1）2+3．故答案为：y＝4（x﹣1）2+3．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是解题的关键．12．4 7【解析】【详解】447=713．10##十【解析】【分析】设这个正多边形的边数为n，根据n边形的内角和为（n-2）×180°得到（n-2）×180°=144°×n，然后解方程即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∴（n-2）×180°=144°×n，∴n=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n-2）×180°；n边形的外角和为360°．14．1或4或2.5【解析】【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．【详解】设DP=x，则CP=5-x，分两种情况情况进行讨论，①当△PAD∽△PBC时，ADBC=DPCP∴225xx =-，解得：x=2.5，②当△APD∽△PBC时，ADCP=DPBC，即25x-=2x，解得：x=1或x=4，综上所述：DP=1或4或2.5【点晴】本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案．在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位．15．（2，2）或（2，-1）【解析】【详解】∵抛物线y=x2-4x对称轴为直线x=-42 2-=∴设点A坐标为（2，m）如图所示，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2∴∠APO=∠AQO′=90°∴∠QAO′+∠AO′Q=90°∵∠QAO′+∠OAQ=90°∴∠AO′Q=∠OAQ又∠OAQ=∠AOP∴∠AO′Q=∠AOP在△AOP 和△AO′Q 中APO AQO AOP AO Q AO AO ∠∠'⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝∴△AOP ≌△AO′Q （AAS ）∴AP=AQ=2，PO=QO′=m则点O′坐标为（2+m ，m-2）代入y=x2-4x 得：m-2=（2+m ）2-4（2+m ）解得：m=-1或m=2∴点A 坐标为（2，-1）或（2，2）故答案是：（2，-1）或（2，2）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O′的坐标是解题的关键．166【解析】【分析】连接OE 、OF ，过O 点作OM ⊥EF ，如图，利用垂径定理得到EM ＝FM ，再计算出∠BAC ＝60°，根据圆周角定理得到∠EOF ＝120°，易得∠OEF ＝∠OFE ＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到EF，所以当OE 的值最小时，EF 的值最小，根据垂线段最短，当AD 垂直BC 时，AD 的值最小，过A 点作AH ⊥BC 于H ，则AH ＝2AB ＝从而得到AD 的最小值为，于是得到EF 的最小值．【详解】解：连接OE 、OF ，过O 点作OM ⊥EF ，如图，则EM ＝FM ，∵∠ACB ＝75°，∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝60°，∴∠EOF ＝2∠EAF ＝120°，∵OE ＝OF ，∴∠OEF ＝∠OFE ＝30°，∴OM ＝12OE ，∴EM =，∴2EF EM ==，当OE 的值最小时，EF 的值最小，∵D 是线段BC 上的一个动点，AD 为直径，∴当AD 垂直BC 时，AD 的值最小，即OE 的值最小，过A 点作AH ⊥BC 于H ，∴∠ABH=90°，∵∠ABH ＝45°，∴∠BAH=∠ABH=45°，∴AH=BH ，∵222AH BH AB +=，∴222=16AH AB =，∴AH AD 的最小值为∴OE ，∴EF ．．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够根据题意把求EF的最小值转化成求AD的最小值．17．（1）52；（2）-1【解析】【分析】根据已知条件设a：b＝3：2＝k（k≠0），得出a＝3k，b＝2k，（1）代入a bb+进行计算即可得出答案．（2）代入274a bb-进行计算即可得出答案．【详解】解：∵a：b＝3：2，∴设a＝3k，b＝2k，（1）a bb+＝322k kk+＝52；（2）274a bb-＝237242k kk⨯-⨯⨯＝614888k k kk k--==﹣1．【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，较简单．18．（1）72；（2）见解析【解析】【分析】（1）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出相似比为2【详解】解：（1）由图形可知，△ABC的面积为1117 331223132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（2）根据相似三角形的性质可得，△A1B1C1与△ABC11A B===11B C===11A C===作出相应的线段，如图所示，△A1B1C1即为所求，【点睛】此题考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的性质．19．（1）14；（2）13【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，可得抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，根据概率公式计算即可．【详解】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率为1 4；故答案为：1 4（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果为4种，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=41 123=【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率，解答中注意利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．20．（1）y1＝3x2﹣6x+5；（2）y错误的值是12，理由见解析；（3）0＜x＜3【解析】【分析】（1）根据表中数据确定函数的对称轴，再用待定系数法求函数解析式；（2）根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案；（3）根据两函数的交点以及图象判断即可．【详解】解：（1）由函数图象关于对称轴对称，得（0，5），（1，2），（2，5）在函数图象上，把（0，5），（1，2），（2，5）代入函数解析式y1＝ax2+bx+c中，则52 425ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：365abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数解析式y1＝3x2﹣6x+5；（2）当x＝﹣1时，y1＝3+6+5＝14，∴表中y错误的值是12；（3）∵直线y2＝mx+n经过（0，5）和（3，14）两点，由函数的图象和性质得：当0＜x＜3时，y1＜y2．∴当y1＜y2时，0＜x＜3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，求函数值，图像法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．21．（1）见解析；（2）103π【解析】【分析】（1）由题意连接CD 和BE ，由圆周角定理知∠BDC=∠CEB=90°，由AB=AC 即可得到∠ABC=∠ACB ，进而得到∠BCD=∠CBE ，然后根据圆周角定理得证；（2）根据题意先求得弧所对的圆周角的度数，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）证明：如图1，连接CD 和BE ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠BCD ＝∠CBE ，∴ BDCE =，∴BD ＝CE ．（2）解：如图2，连接OD 、OE ，∵AB ＝AC ，∠B ＝70°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∴∠DOC ＝140°，∵OE ＝OC ，∴∠OEC ＝∠OCE ＝70°，∴∠COE ＝40°，∴∠DOE ＝100°，∵BC ＝12，∴⊙O 的半径为6，∴ DE 的长＝1006180π⨯＝103π．【点睛】本题考查了圆周角定理以及弧长的计算，熟练掌握圆周角定理并求得弧所对的圆心角的度数是解题的关键．22．（1）11m 6；（2）22米；（3）不会【解析】【分析】（1）求雕塑高OA ,直接令0x =，代入()21566y x =--+求解可得；（2）可先求出OD 的距离，再根据对称性求CD 的长；（3）利用()21566y x =--+，计算出10x =的函数值y ，再与EF 的长进行比较可得结论．【详解】解：（1）由题意得，A 点在图象上．当0x =时，21(05 )66y =--+2511666=-+=11(m)6OA ∴=．（2）由题意得，D 点在图象上．令0y =，得21(5)606x --+=．解得：1211,1x x ==-（不合题意，舍去）．11OD ∴=222(m)CD OD ∴==（3）当10x =时，21(105)66y =--+，25116 1.866=-+=>，∴不会碰到水柱．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于y 轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．23．（1）c ＝2b ；（2）①n=﹣m 2﹣4m ；②n ＞0时，抛物线与x 轴无交点【解析】【分析】（1）将（﹣2，4）代入函数解析式求解．（2）①由顶点坐标公式可得m ＝﹣2b ，n ＝244c b -，将c ＝2b 代入求解．②根据图象开口方向和顶点纵坐标为n 求解．【详解】解：（1）把（﹣2，4）代入y ＝x 2+bx+c得4＝4﹣2b+c ，∴c ＝2b ．（2）①∵y ＝x 2+bx+c 图象顶点坐标为（m ，n ），∴m ＝﹣2b ，n ＝244c b -，∵c ＝2b ，∴n＝244c b-＝284b b-，b＝﹣2m，∴n＝21644m m--＝﹣m2﹣4m．②∵抛物线y＝x2+bx+c开口向上，顶点坐标为（m，n），∴n＞0时，抛物线与x轴无交点．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数顶点公式，掌握二次函数与方程的关系．24．（1）30°；（2）见解析；（3）2个，理由见解析【解析】【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB∴CH＝CD＝2在Rt△COH中，sin∠COH==∴∠COH=60°∴∠BAC=∠COH=30°（2）∵点E是ADB的中点∴OE⊥AB∴OE∥CD∴∠ECD=∠OEC又∵∠OEC=∠OCE∴∠OCE=∠DCE∴CE平分∠OCD（3）圆周上到直线AC的距离为3的点有2个因为劣弧 AC上的点到直线AC的最大距离为2，ADC上的点到直线AC的最大距离为6，236<<，根据圆的轴对称性，ADC到直线AC距离为3的点有2个。
浙教版九年级上册数学期中考试试卷附答案
浙教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列各式中y 是x 的二次函数的是（）A ．2y ax bx c=++B ．2(1)y x x =++C ．22(2)y x x =-+D ．22y x =2．下列命题中，正确的是（）A ．圆心角相等，所对的弦相等B ．三点确定一个圆C ．长度相等的弧是等弧D ．弦的垂直平分线必经过圆心3．在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黑球的个数可能有（）A ．18B ．27C ．36D ．304．如图，O 是ABC 的外接圆，已知40ABO ∠=︒，则ACB ∠等于（）A ．30°B ．45︒C ．50︒D ．60︒5．用配方法将二次函数y=x 2﹣8x ﹣9化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为（）A ．y=（x ﹣4）2+7B ．y=（x+4）2+7C ．y=（x ﹣4）2﹣25D ．y=（x+4）2﹣256．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AB =．将ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60︒得A B C ''V ，则点B 转过的路径长为（）A ．3πB ．3C ．23πD ．π7．已知二次函数22y x mx =-+，以下点可能成为函数顶点的是（）A ．()3,9-B ．()2,3C ．()1,1--D ．()2,4--8．如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．6πB ．C ．D ．2π9．如图所示，在⊙O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长度为（）A ．B ．8C ．D ．10．已知二次函数图象的对称轴为1x =，且过点()3,0A 与30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（）①当01x ≤≤时，函数有最大值2；②当01x ≤≤时，函数有最小值2-；③点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，则PAB △面积的最大值为32；④对于非零实数m ，当11x m>+时，y 都随着x 的增大而减小．A ．④B ．①②C ．③④D ．①②③二、填空题11．一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是______．12．已知点A(11,x y )、B(22,x y )在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则y 1______y 2．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则 BD的度数为____________．14．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，从A 到B 只有路弧AB ，一部分市民走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB ，通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了_______步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考1.7≈，π取3）15．已知实数m ，n 满足21m n -=，则代数式22242m n m ++-的最小值等于___________．16．在O 中，弦AB 和弦AC 构成的48BAC ∠=︒，M ，N 分别是AB 和AC 的中点，则MON ∠的度数为_______．三、解答题17．将抛物线245y x x =--向右平移1个单位，再向上平移3个单位，求得到的新抛物线解析式．18．操作题：如图，⊙O 是 ABC 的外接圆，AB=AC ，P 是⊙O 上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P 的平分线；（2）结合图①，说明你这样画的理由．19．如图某野生动物园分A 、B 两个园区．如图是该动物园的通路示意图，小明进入入口后，任选一条通道．(1)他进A 园区或B 园区的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；(2)求小明从中间通道进入A 园区的概率．20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB ＝xm ，花园的面积为S ．（1）求S 与x 之间的函数表达式；（2）若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．21．如图，点C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径8AB =，连接AD ，AC ，作DE AB ⊥，垂足为E ，DE 交AC 于点F ．（1）求证：AF DF =．（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）22．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式()21y ax a x =++，其中0a ≠．（1）若此函数图象过点()1,3-，求这个二次函数的表达式；（2）函数()21(0)y ax a x a =++≠，若()1122(),,,x y x y 为此二次函数图象上的两个不同点，①若124x x +=，则12y y =，试求a 的值；②当123x x >≥-，对任意的1x ，2x 都有12y y >，试求a 的取值范围．23．已知P 是O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B （不与P ，Q 重合），连接AP 、BP ．若APQ BPQ ∠=∠．（1）如图1，当45APQ ∠=︒，1AP =，22BP =时，求C 的半径；（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ 的面积（3）如图2，连接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上（不与P 、M 重合），连接ON 、OP ，若290NOP OPN ∠+∠=︒，探究直线AB 与ON 的位置关系，并说明理由．参考答案1．B 【解析】【分析】若函数解析式化简后是关于自变量的二次多项式，则称此函数为二次函数，其一般形式为2(0)y ax bx c a =++≠，且a 、b 、c 是常数，根据二次函数的定义即可作出判断．【详解】A 、当a≠0时是二次函数，否则不是二次函数；B 、化简后为22y x x =++，是二次函数；C 、224(2)4y x x x =-=+--，是一次函数，不是二次函数；D 、函数解析式不是整式，不是二次函数；故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的概念，理解二次函数的概念是关键．2．D 【解析】【分析】根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案．【详解】解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；C.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；D.弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．3．D 【解析】【分析】设黑球的个数为x 个，根据频率可列出方程，解方程即可求得x ，从而得到答案．【详解】设黑球的个数为x 个，由题意得：0.445xx=+解得：x=30经检验x=30是原方程的解则袋中黑球的个数为30个故选：D 【点睛】本题考查了用频率估计概率，解方程，根据概率列出方程是关键．4．C 【解析】【分析】由,40,OA OB ABO =∠=︒证明40,BAO ABO ∠=∠=︒再利用三角形的内角和定理求解,AOB ∠再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：,40,OA OB ABO =∠=︒ 40,BAO ABO ∴∠=∠=︒180240100,AOB ∴∠=︒-⨯︒=︒150,2ACB AOB ∴∠=∠=︒故选C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，掌握“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.5．C 【解析】【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y=x 2-8x-9=x 2-8x+16-25=（x-4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．6．B 【解析】【分析】先在ABC ∆中利用ABC ∠的余弦计算出2cos30BC =︒=，再根据旋转的性质得60BCB ∠'=︒，然后根据弧长公式计算点B 转过的路径长．【详解】解：在ABC ∆中，90ACB ∠=︒ ，30ABC ∠=︒，cos BCABC AB∴∠=，2cos 302BC ∴=︒=，ABC ∆ 绕直角顶点C 逆时针旋转60︒得△A B C '''，60BCB ∴∠'=︒，∴弧BB '的长．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．7．A 【解析】【分析】配方后，根据顶点坐标的特点即可判断．【详解】∵2222()y x mx x m m =-+=--+∴顶点坐标为2()m m ，即顶点的纵坐标是顶点横坐标的平方，且纵坐标非负所以满足上述特点的只有A选项故选：A【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，根据顶点式确定顶点坐标，关键得到顶点坐标后，抓住两个坐标的特点．8．A【解析】【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴AB=OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC∥AB，∴S△AOB=S△ABC，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB =60366360ππ⋅⨯=故选A．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．9．D【解析】【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，CD＝1，根据垂径定理可求得AC＝BC＝4，然后设OA＝x，利用勾股定理可得方程：42+（x-2）2＝x2，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B＝90°，继而求得答案．【详解】连接BE∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8∴AC＝BC＝4设OA＝x∵CD＝2∴OC＝x-2在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2∴42+（x-2）2＝x2解得：x＝5∴OA＝OE＝5，OC＝3∴BE＝2OC＝6∵AE是直径∴∠B＝90°∴CE=故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、三角形中位线、圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、三角形中位线、圆周角、一元一次方程的性质，从而完成求解．10．B【解析】【分析】设二次函数解析式为y ＝a （x−1）2＋b ，然后将点A 、B 的坐标代入求出a 、b ，从而得到抛物线解析式，再根据二次函数的性质求出最大值和最小值，判断出①②正确；利用待定系数法求出直线AB 的解析式，过点P 作PQ ∥y 轴交AB 于Q ，设出P 点坐标，表示出PQ ，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题求解；根据二次函数的增减性分m 是正数和负数两种情况讨论求解．【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为x ＝1，设二次函数的解析式为y ＝a （x−1）2＋b ，∴把点A （3，0）与30,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入y ＝a （x−1）2＋b ，得：4032a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为y ＝12-（x−1）2＋2，∴在01x ≤≤的范围内，当x ＝1时，函数有最大值2，故①正确；当x＝1时，函数有最小值，最小值＝12-（1−1）2＋2＝−2，故②正确；如图，设直线AB 的解析式为y ＝kx+b （k≠0），把点A （3，0）与30,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得：3032k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB 的解析式为y ＝12-x ＋32，过点P 作PQ ∥y 轴交AB 于Q ，设P （x ，12-（x−1）2＋2），则Q （x ，12-x ＋32），∴PQ ＝12-（x−1）2＋2−（12-x ＋32）＝21322x x -+，∴△PAB 的面积＝22113332732224216x x x 骣骣琪琪´-+´=--+琪琪桫桫，∴当x ＝32时，△PAB 的面积有最大值2716，故③错误；当m ＜0时，11m +＜1，在11x m+<<1的范围内，y 随x 的增大而增大；当m ＞0时，11m +＞1，在11xm>+的范围内，y随x的增大而减小，故④错误，综上所述，说法正确的是①②．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质及应用，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值问题等，难点在于③表示出△PAB的面积．11．1 2【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，∴两次摸到的球是一白一红的概率为21 42 =，故答案为：1 2．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．【解析】【详解】由二次函数2(1)1y x =-+的图象知，抛物线开口向上，对称轴为x=1∵121x x >>∴y 随x 的增大而增大∴1y >2y 13．50°【解析】【分析】连接CD ，如图，先根据三角形内角和计算出∠B ＝65°，再根据等腰三角形的性质由CB ＝CD 得到∠B ＝∠BDC ＝65°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD ＝50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．【详解】解：连接CD ，如图，∵∠C ＝90°，∠A ＝25°，∴∠B ＝90°−25°＝65°，∵CB ＝CD ，∴∠B ＝∠BDC ＝65°，∴∠BCD ＝180°−65°−65°＝50°，∴ BD的度数为50°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．【解析】【分析】取AB 的中点C ，连接OC ，则有OC ⊥AB ，由三角函数知识可求得AC 从而求得AB 的长，由弧长公式可求得弧AB 的长，比较即可得结果．【详解】取AB 的中点C ，连接OC ，如图∵OA=OB∴OC ⊥AB ，∠OAC=1(180)302AOB ︒-∠=︒∴cos3020AC OA =⨯︒=⨯∴234AB AC ==≈(米)∵ 1202040401803AB l ππ⨯==≈(米)∵40346-=(米)，60.512÷=(步)故答案为：12【点睛】本题考查了求弧长及解三角形，作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是关键．15．-13【解析】【分析】由21m n -=可得21,n m =-再代入22242m n m ++-，再利用配方法配方，从而可得答案.【详解】解： 21m n -=，21,n m \=-()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m =+-()231313,m =+-≥-所以22242m n m ++-的最小值是13-故答案为：-13【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键.16．132︒或48︒##48°或132°【解析】【分析】连接OM ，ON ，利用垂径定理得OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，再分类讨论，当AB ，AC 在圆心异侧时（如图1），利用四边形内角和得结果；当AB ，AC 在圆心同侧时（如图2），利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】解：连接OM ，ON ，∵M 、N 分别是AB 和AC 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，当AB ，AC 在圆心异侧时（如图1），∵∠BAC=48°，在四边形AMON 中，∴∠MON=360°-90°-90°-48°=132°；当AB ，AC 在圆心同侧时（如图2），∵∠ADM=∠ODN ，∠AMD=∠OND ，∴∠MON=∠BAC=48°．故答案为：132°或48°．【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理，三角形的内角和定理，垂径定理的应用，分类讨论，数形结合是解答本题的关键．17．263y x x =-+【解析】【分析】把245y x x =--化为顶点式，得()229,y x =--再按照抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案.【详解】解： ()224529,y x x x =--=--∴把()229y x =--向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得：()22193,y x =---+即抛物线为：()2236=6 3.y x x x =---+【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解本题的关键.18．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用圆心角、弧、弦的关系，得出作法即可；（2）由AB=AC 得到 AB AC =，再利用圆周角定理可得．【详解】解：（1）如图①，连接AP ，即为所求角平分线；如图②，连接AO 并延长，与⊙O 交于点D ，连接PD ，即为所求角平分线．（2）∵AB=AC ，∴ AB AC ，∴∠APB=∠APC ．【点睛】此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出是解题关键．19．(1)见解析;(2)16.【解析】【分析】（1）此题可以采用树状图法求解．一共有6种情况，其中进入A 园区的有2种可能，进入B 园区的有4种可能，所以进入B 园区的可能性较大；（2）根据（1）中的树形图即可求出小明从中间通道进入A 园区的概率．【详解】解：（1）画出树状图得：∴由表可知，小明进入园区后一共有6种不同的可能路线，因为小明是任选一条道路，所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A 园区的有2种可能，进入B 园区的有4种可能，所以进入B 园区的可能性较大；（2）由（1）可知小明进入A 园区的通道分别是中入口和右入口，因此从中间通道进入A 园区的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．20．（1）S ＝﹣x 2+28x （0＜x ＜28）；（2）195m 2．【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式可得S 关于x 的函数解析式；（2）由树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m 求出x 的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．【详解】解：（1）∵AB ＝xm ，∴BC ＝（28﹣x ）m ．则S ＝AB•BC ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2+28x ．即S ＝﹣x 2+28x （0＜x ＜28）．（2）由题意可知，62815x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得6≤x≤13．由（1）知，S ＝﹣x 2+28x ＝﹣（x ﹣14）2+196．∵当6≤x≤13时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S 最大值＝195，即花园面积的最大值为195m 2．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S 与x 的函数关系式是解题关键．21．（1）见解析；（2）83π-【解析】【分析】（1）连接OD ，OC ，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAD=∠ADE=30°，于是得到结论；（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD 是等边三角形，OA=4，得到DE=扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD ，OC ，∵C 、D 是半圆O 上的三等分点，∴ AD CD BC ==，度数都是60°，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠DAC=30°，∠CAB=30°，∵DE ⊥AB ，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=180°-90°-30°-30°=30°，∴∠DAC=∠ADE=30°，∴AF=DF ；（2）解：由（1）知，∠AOD=60°，∵OA=OD ，AB=8，∴△AOD 是等边三角形，OA=4，∵DE ⊥AO ，OA=4，∠ADE=30°，∴AE=2，=∴S 阴影=S 扇形AOD-S △AOD=260418436023ππ⋅⨯-⨯⨯-．【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（1）y ＝﹣2x 2﹣x ；（2）①15a =-；②0＜a≤15【解析】【分析】（1）直接将点（1，﹣3）代入即可；（2）①利用题意，121222x x a a ++-==，求解a ；②由已知当x 1＞x 2≥﹣3，对任意的x 1，x 2都有y 1＞y 2，则在x 1＞x 2≥﹣3时，二次函数是递增的，再分两种情况结合图象即可求解．【详解】解：（1）∵函数图象过点（1，﹣3），∴将点代入y ＝ax 2+（a+1）x ，13,a a ∴++=-解得a ＝﹣2，∴二次函数的解析式为y ＝﹣2x 2﹣x ；（2）①函数y ＝ax 2+（a+1）x 的对称轴是直线12a x a+=-，∵（x 1，y 1），（x 2，y 2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x 1+x 2＝4，则y 1＝y 2，∴1212,22x x a a ++-==∴15a =-；②函数y ＝ax 2+（a+1）x 的对称轴是直线12a x a +=-，∵123x x >≥-，对任意的x 1，x 2都有y 1＞y 2，当a ＞0，132a a +-≤-时，符合题意，解得：0＜a≤15；∴0＜a≤15；当a ＜0时，不符合题意舍去；∴0＜a≤15．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．23．（1）32；（294；（3）//AB ON ；见解析【解析】【分析】（1）连接AB ，由已知得到∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB 是⊙O 的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；（2）证明ABQ △是等腰直角三角形，得出2AQ BQ ==，根据ABP ABQ APBQ S S S ∆∆=+四边形可得结论；（3）连接OA 、OB 、OQ ，由∠APQ=∠BPQ 证得»»AQ BQ =，即可证得OQ ⊥AB ，然后根据三角形内角和定理证得∠NOQ=90°，即NO ⊥OQ ，即可证得AB ∥ON ．【详解】（1）连接AB ，如图1，∵45APQ BPQ ∠=∠=︒，∴90APB APQ BPQ ∠=∠+∠=︒，∴AB 是O 的直径，∴3AB ===，∴O 的半径为32；（2）连接AQ ，BQ ，如图2，∵90APB ∠=︒∴18090AQB APB ∠=︒-∠=︒∵45APQ BPQ ∠=∠=︒∴45ABQ BAQ ∠=∠=︒∴ABQ △是等腰直角三角形∵3AB =，∴3222AQ BQ AB ===⨯=∴119122224ABP ABQ APBQ S S S ∆∆=+=⨯⨯⨯⨯四边形（3）//AB ON ，理由如下：连接OQ ，如图3，∵APQ BPQ ∠=∠，∴»»AQ BQ =，∴OQ AB⊥∵OP OQ =，∴OPN OQP ∠=∠，∵180OPN OQP PON NOQ ∠+∠+∠+∠=︒，∴2180OPN PON NOQ ∠+∠+∠=︒，∵290NOP OPN ∠+∠=︒，∴90NOQ ∠=︒，∴NO OQ⊥∴//AB ON【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．。
浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷
浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）下列四条线段为成比例线段的是（）A . a=10，b=5，c=4，d=7B . a=1，b=， c=， d=C . a=8，b=5，c=4，d=3D . a=9，b=， c=3，d=2. （2分）下列生活中的现象，属于相似变换的是（）A . 抽屉的拉开B . 汽车刮雨器的运动C . 坐在秋千上人的运动D . 投影片的文字经投影变换到屏幕3. （2分） (2018九上·福州期中) 若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（）A . 4：9B . 2：3C . 3：2D . ：4. （2分） (2016九上·平南期中) 抛物线y=3x2 ， y=﹣3x2 ， y=﹣3x2+3共有的性质是（）A . 开口向上B . 对称轴是y轴C . 都有最高点D . y随x值的增大而增大5. （2分）(2017·永修模拟) 如图抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中B点坐标为（4，0），直线DE是抛物线的对称轴，且与x轴交于点E，CD⊥DE于D，现有下列结论：①a＜0，②b＜0，③b2﹣4ac＞0，④AE+CD=4下列选项中选出的结论完全正确的是（）A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ①②6. （2分）如图，若果∠1=∠2，那么添加下列任何一个条件：（1） = ，（2） = ，（3）∠B=∠D，（4）∠C=∠AED，其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1 ，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2 ，作正方形A2B2C2C1 ，…，按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018九上·新乡期末) 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0）下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若(- ，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1<y2；⑤ >m(am+b)其中(m≠ )其中说法正确的是（）A . ①②④⑤B . ③④C . ①③D . ①②⑤二、填空题 (共9题；共10分)9. （1分）△ABC的三边长分别为2，，，△A1B1C1的两边长分别为1和，当△A1B1C1的第三边长为________时，△ABC∽△A1B1C1.10. （1分）如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙高度CD=________ 米．11. （2分）(2018·秀洲模拟) 如图，直线，，…，是一组等距离的平行线，过直线上的点A 作两条射线，分别与直线，相交于点B，E，C，F。
浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷
浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）方程9x2=16的解是（）A .B .C . ±D . ±2. （2分）(2017·平塘模拟) 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020九上·新昌期末) 二次函数图象的顶点坐标是（）A .B .C .D .4. （2分）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形．任意旋转这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A . 10B . 8C . 6D . 56. （2分）(2019·祥云模拟) 若关于x的方程x2- x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（）.A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°7. （2分）(2020·邵阳) 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019九上·天台月考) 喜迎国庆佳节，某商品原价400元，连续两次降价a％后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（）A . 400（1＋a％）2＝225B . 400（1－2a％）＝225C . 400（1－a2％）＝225D . 400（1－a％）2＝2259. （2分） (2020八上·覃塘期末) 如图，在中，AC=BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C=50°，∠E=25°，则∠BFD的度数为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020九上·昌平期末) 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A . a>0,b>0,c>0B . a>0,b>0,c=0C . a>0,b<0,c=0D . a>0,b<0,c<0二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2016九上·武清期中) 已知x=1是方程x2+mx+3=0的一个实数根，则m的值是________．12. （1分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是________个．13. （1分） (2020·北京模拟) 已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：________．14. （1分） (2019八上·中山期中) 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝6，E是AC边上的中点，M是AD边上的动点，则EM+CM的最小值是________.三、解答题 (共11题；共80分)15. （5分） (2019九上·和平期中)（1）；（2） .16. （5分）(2019·福田模拟) 某商场在促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两个抽奖方案：方案一：转动转盘A一次，转出红色可领取一份奖品；方案二：转动转盘B两次，两次都转出红色可领取一份奖品．（两个转盘都被平均分成3份）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪个方案？请用相关的数学知识说明理由．17. （5分）(2020·赤峰) 小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力.爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等.（1）请你在图1中画出一种分法(无需尺规作图)；（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线，(不写作法，保留作图痕迹)18. （5分）(2017·绍兴模拟) 计算.（1）计算：+ －－．（2）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2 ，其中a=﹣1，b= ．19. （5分） (2015九上·宁海月考) 如图, △ABC内接于⊙O, AD⊥BC于D, AE是⊙O的直径. 若AB=6, AC=8, AE=11, 求AD的长.20. （5分） (2020八下·无锡期中) 如图，已知△ABC的三个顶点坐标A(－1，0)、B(－2，－2)、C(－4，－1).（1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A1B1C1 ，并写出△A1B1C1的面积▲.（2）请直接写出：所有满足以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标________.21. （5分） (2019九上·丹东期末) 我市某旅行社为吸引我市市民组团去长白山风景区旅游，推出了如下的收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为800元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于650元，某单位组织员工去长白山风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用21000元，请问该单位这次共有多少员工去长白山风景区旅游？22. （10分）(2017·潍坊模拟) 目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对），并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计1万名中学生家长中有多少名家长持反对态度；（4）在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．23. （10分） (2017九下·沂源开学考) 旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？24. （10分） (2018八上·钦州期末) 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．（1）求证：DB=DE；（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF=3，求△ABC的周长．25. （15分） (2018七下·盘龙期末) 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB.（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD；（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD= S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；（3）点P是直线BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），直接写出∠BAP、∠DOP、∠APO之间满足的数量关系.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、解答题 (共11题；共80分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、答案：22-4、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、答案：25-3、考点：解析：。
九年级数学试题卷 浙江省杭州市九年级数学第一学期期中试卷[含答案]
2022年元月元日2021年第一学期九年级期中检测2021、11 考生需要知：1．本卷分试题卷和答题两局部，满分是120分，时间是100分钟。
2．必须在答题卷的对应答题位置答题。
3．在答题之前，应先在答题卷上填写上班级、姓名、学号。
数学试题卷一、仔细选一选〔此题有10小题，每一小题3分，一共30分〕下面每一小题给出的四个选项里面，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答卷中相应的格子内。
注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1．⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的间隔为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O 内B．点A在⊙O 上C．点A在⊙O 外D．不能确定2．假设一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2022年元月元日3．点P 1(1x ，1y )和P 2(2x ，2y )都在反比例函数xy 2=的图象上，假设021<<x x ，那么A ．012<<y yB ．021<<y yC ．012>>y yD ．021>>y y4．抛物线2x y -=向右平移1个单位，再向上平移2次函数表达式是A ．2)1(2++-=x y B．2)1(2---=x yC ．2)1(2-+-=x yD ．2)1(2+--=x y5．如图，圆心角∠BOC ＝78º，那么圆周角∠BAC 的度数是 A ．156º B ．78º C ．39ºD ．12º6．如图，⊙O 的半径为5mm ，弦AB ＝8mm ，那么圆心O 到AB 的间隔 是A ．1mm B ．2mm C ．3mmD ．4mm7．圆锥体模具的母线长和底面圆的直径均是10，那么这个圆锥的 侧面积是〔第5题图〕〔第6题图〕2022年元月元日A ．150πB ．100πC ．75πD ．50π九年级数学试题卷—1〔一共4页〕8．如图，一块含有30º角的直角三角形ABC ，在程度桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到△A /B /C 〔B 、C 、A /在同一直线上〕的位置。
+浙江省杭州市上城区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在（ ）A．圆内B．圆上C．圆外D．不确定2．（3分）已知线段a＝1，c＝5，线段b是线段a、c的比例中项（ ）A．2.5B．C．±2.5D．±3．（3分）下列事件中属于必然事件的是（ ）A．等腰三角形的三条边都相等B．两个偶数的和为偶数C．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上D．立定跳远运动员的成绩是9m4．（3分）已知点A，B，且AB＜6，画经过A（ ）A．0个B．1个C．2个D．无数个5．（3分）对于抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列结论：①抛物线的开口向下：②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，3），其中正确结论的个数为（ ）A．1B．2C．3D．46．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转32°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠DOB的度数是（ ）A．32°B．36°C．38°D．40°7．（3分）已知三点（2，a），（﹣1，b），（3，c）在抛物线y＝x2+x+2上，则a，b，c的大小关系是（ ）A．c＞a＞b B．b＞a＞cC．a＞b＞c D．无法比较大小8．（3分）正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°9．（3分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，∠E＝22.5°，AB＝4（ ）A．B．2C．2D．310．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），且CO＝AO，分别以BC，正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知，则的值为 ．12．（4分）半径为5的圆中，60°的圆周角所对的弧长为 ．13．（4分）在一个箱子里放有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．某数学兴趣小组一共做了4000次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，搅匀），摸到白球的次数为1000次 个．14．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，则∠B °．15．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a＝0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 ．16．（4分）如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2，点F是的中点，AD平分∠CAB 交BF于点D，则∠ADB＝ 度；当DB＝DF时，BC的长为 ．三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）17．（6分）一只不透明的袋子中装有4个球，其中2个白球和2个黑球，它们除颜色外都相同．（1）求摸出一个球是白球的概率．（2）摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球（要求画树状图或列表）．18．（6分）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中P，在AB 的延长线上取点F，使PF以AF为边作正方形AMEF（1）AM，DM的长分别为 ， ．（2）M是AD的黄金分割点吗？请说明理由．19．（6分）如图，在10×10正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），△ABC 的三个顶点都在格点上（1）请在图中标出△ABC的外接圆的圆心P的位置，并填写圆心P的坐标： ．（2）尺规作图：画出⊙P，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形．20．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，AB＝30，其中15＜x＜30．过点D作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，DF交BC于点G．（1）用含x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S关于x的函数表达式．（3）当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，OC⊥CE，连接AC．（1）求证：AC平分∠EAD；（2）若∠EAD＝60°，，求AD、AC与弧CD围成阴影面积部分的面积．22．（10分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣2a（a＞0）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为2，求该二次函数的表达式；（3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，求t的取值范围．23．（10分）根据背景素材，探索解决问题．测算石拱桥拱圈的半径素材1某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．素材2通过观察发现A ，B ，C 三个点都在拱圈上，A 是拱圈的最高点，B ，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．素材3如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．问题解决任务1获取数据通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．任务2分析计算通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．注：测量、计算时，都以“肘”为单位．24．（12分）如图1，四边形ABDE内接于⊙O，AB＝AE，AC⊥BD于点F．（1）连接BE，求证：∠ABE＝∠ACB．（2）设∠CBF为x度，∠BAE为y度，写出y关于x的函数表达式．（3）如图2，作OG⊥AC于点G，连接AO并延长交⊙O于点H．①∠BAE＝120°，OG＝4，，求BD的长．②若DE＝12，求OG的长．2023-2024学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在（ ）A．圆内B．圆上C．圆外D．不确定【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴8＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r ＜d时，点P在⊙O外．2．（3分）已知线段a＝1，c＝5，线段b是线段a、c的比例中项（ ）A．2.5B．C．±2.5D．±【分析】根据比例中项的定义得到b2＝ac，然后把a＝1，c＝5代入后求算术平方根即可．【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，∴b2＝ac，即b2＝8×5，解得b＝﹣，∴线段b的值为．故选：B．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．（3分）下列事件中属于必然事件的是（ ）A．等腰三角形的三条边都相等B．两个偶数的和为偶数C．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上D．立定跳远运动员的成绩是9m【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、等腰三角形的三条边都相等，不符合题意；B、两个偶数的和为偶数，符合题意；C、任意抛一枚均匀的硬币，是随机事件；D、立定跳远运动员的成绩是9m，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）已知点A，B，且AB＜6，画经过A（ ）A．0个B．1个C．2个D．无数个【分析】根据确定圆的条件以及圆的概念解答即可．【解答】解：作线段AB的垂直平分线，以点A为圆心，于AB的垂直平分线交于两点，以这两点为圆心，可以画出经过A所以经过A，B两点且半径为3的圆有有两个，故选：C．【点评】本题考查的是确定圆的条件，正确确定圆心的位置是解题的关键．5．（3分）对于抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列结论：①抛物线的开口向下：②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，3），其中正确结论的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3中a＝﹣2＜2，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，﹣3），∴x＝﹣5时，函数的最大值为3，∴①正确，②③④错误，∴正确结论的个数为1个．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的最值．6．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转32°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠DOB的度数是（ ）A．32°B．36°C．38°D．40°【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．【解答】解：由题意得，∠AOD＝32°，又∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°﹣32°﹣32°＝36°．故选：B．【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键．7．（3分）已知三点（2，a），（﹣1，b），（3，c）在抛物线y＝x2+x+2上，则a，b，c的大小关系是（ ）A．c＞a＞b B．b＞a＞cC．a＞b＞c D．无法比较大小【分析】根据抛物线，将点坐标代入计算出各值，进行比较即可．【解答】解：抛物线y＝x2+x+2，若点（6，（﹣1，（3，∴a＝52+2+3＝8，b＝（﹣1）2﹣1+2＝2，则b＝22+4+2＝14，∴c＞a＞b，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．8．（3分）正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．【解答】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角＝360°÷6＝60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×＝30°或180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，属于基础题，要注意分两种情况讨论．9．（3分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，∠E＝22.5°，AB＝4（ ）A．B．2C．2D．3【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴＝，∴∠E＝∠BOC＝22.4°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴DB＝OD＝2，则半径OB等于：＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），且CO＝AO，分别以BC，正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】先确定C（0，3）得到OC＝OA＝3，利用正方形的性质，由S1+S2＝6S3得到OC2+OB2+OC2+OA2＝6××3×（OB+3），求出OB得到B（﹣9，0），于是可设交点式y＝a（x+9）（x﹣3），然后把C（0，3）代入求出a即可得到b的值．【解答】解：当x＝0时，y＝ax2+bx+7＝3，则C（0，∴OC＝OA＝6，∴A（3，0），∵S6+S2＝6S2，∴OC2+OB2+OC8+OA2＝6××3×（OB+8），整理得OB2﹣9OB＝7，解得OB＝9，∴B（﹣9，4），设抛物线解析式为y＝a（x+9）（x﹣3），把C（7，3）代入得a×9×（﹣8）＝3，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+5）（x﹣3），即y＝﹣x2﹣x+3，∴b＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和正方形的性质．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知，则的值为 4 ．【分析】根据等式的性质，可得a＝b，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：两边都乘以b，得，a＝b，＝﹣＝﹣，故答案为：4．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出a＝b是解题关键．12．（4分）半径为5的圆中，60°的圆周角所对的弧长为 π ．【分析】首先根据圆周角定理求得弧所对的圆心角的度数，再进一步根据弧长的公式计算即可．【解答】解：根据圆周角定理，得弧所对的圆心角是120°，根据弧长的公式l＝＝π．故答案为：π．【点评】此题综合考查了了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是熟记定理和弧长公式．13．（4分）在一个箱子里放有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．某数学兴趣小组一共做了4000次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，搅匀），摸到白球的次数为1000次 18 个．【分析】由摸到白球的次数为1000次，计算摸到白球的概率，进而求出球的总个数，再用总个数减去白球的个数，得出红球的个数即可．【解答】解：∵数学兴趣小组一共做了4000次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，摸到白球的次数为1000次，∴摸到白球的概率＝，∴球的总个数＝（个），∴红球的个数＝24﹣3＝18（个）．故答案为：18．【点评】本题主要考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．14．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，则∠B ＝50 °．【分析】根据CD是⊙O的直径，则∠DAC＝90°，从而有∠D+∠ACD＝90°，从而求得∠D，再根据圆周角定理即可求解．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC＝90°，∴∠D+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠D＝50°，∴∠B＝∠D＝50°．故答案为：＝50．【点评】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．15．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a＝0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 ③④ ．【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x＝﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为直线x＝1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c＝0，求出a﹣2b+4c＜0，即可判断出③的正误；利用当x＝4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，得出8a+c＞0，即可判断出④的正误．【解答】解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0，则c＜0，对称轴：x＝﹣＞0，①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，4），0），∴对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b+2a＝8，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜5，∴abc＞0，故②错误；③∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a，∴a﹣7b+4c＝a﹣2b+3（b﹣a）＝2b﹣3a，又由①得b＝﹣6a，∴a﹣2b+4c＝﹣5a＜0，故③正确；④根据图示知，当x＝4时，∴16a+3b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，∴7a+c＞0；故④正确；综上所述，正确的结论是：③④，故答案为：③④【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．16．（4分）如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2，点F是的中点，AD平分∠CAB 交BF于点D，则∠ADB＝ 135 度；当DB＝DF时，BC的长为 ．【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”得出∠ACB＝90°，从而得到∠ABC+∠CBA＝90°，再由“点F是的中点”、“AD平分∠CAB”分别得出∠ABF＝∠ABC、∠BAD＝∠CAB，从而有∠ABF+∠BAD＝45°，再由“三角形内角和定理”得出∠ADB的度数；连接AF、OF，OF交AC于点M，由圆的有关性质得到∠AFB＝90°、OF⊥AC，从而得出AF＝DF，再由“DB＝DF”得BF＝2AF，从而由勾股定理求出AF的长、OM的长，然后解直角三角形求解即可．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，AB＝2，∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝，∴∠ABC+∠CBA＝90°，∵点F是的中点，∴＝，∴∠ABF＝∠CBF＝ABC，∵AD平分∠CAB，∴∠BAD＝∠CAB，∴∠ABF+∠BAD＝（∠ABC+∠CAB）＝45°，∴∠ADB＝180°﹣（∠ABF+∠BAD）＝135°，∴∠ADF＝180°﹣∠ADB＝45°，连接AF、OF，如图，则OF＝OA＝，∠AFB＝90°，∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝45°＝∠ADF，∴AF＝DF，当DB＝DF时，BF＝2DF＝2AF，在Rt△ABF中，AF5+BF2＝AB2，即AF3+（2AF）2＝，∴AF4＝4，∵AF＞0，∴AF＝5，∵点F是的中点，∴OF⊥AC，∴∠AMO＝∠AMF＝90°，设OM＝x，则FM＝OF﹣OM＝，在Rt△AOM中，AM2＝OA2﹣OM2＝﹣x2，在Rt△AFM中，AM2＝AF8﹣FM2＝25﹣，∴﹣x2＝72﹣，∴x＝，∴OM＝，∵sin∠BAC＝＝，∴BC＝＝＝，故答案为：135；．【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、角平分线定义、三角形外角性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理、三角形外角性质、勾股定理、解直角三角形等知识并作出合理的辅助线是解题的关键．三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）17．（6分）一只不透明的袋子中装有4个球，其中2个白球和2个黑球，它们除颜色外都相同．（1）求摸出一个球是白球的概率．（2）摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球（要求画树状图或列表）．【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；（2）画出树形图得到所有等可能的结果数，即可求出两次摸出的球恰好颜色相同的概率．【解答】解：（1）∵一个不透明的布袋里装有4个球，其中2个白球和3个黑球，∴摸出1个球是白球的概率是：＝；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色相同有4种情况，∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（6分）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中P，在AB 的延长线上取点F，使PF以AF为边作正方形AMEF（1）AM，DM的长分别为 ﹣1 ， 3﹣ ．（2）M是AD的黄金分割点吗？请说明理由．【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF＝PF﹣AP，PF＝PD＝＝，则AM＝AF＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣；（2）根据（1）中的数据得：＝，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【解答】解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝7﹣．故AM的长为﹣3；故答案为：﹣6；（2）结论：点M是AD的黄金分割点．由于＝，∴点M是AD的黄金分割点．【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．19．（6分）如图，在10×10正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），△ABC 的三个顶点都在格点上（1）请在图中标出△ABC的外接圆的圆心P的位置，并填写圆心P的坐标： （5，3） ．（2）尺规作图：画出⊙P，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形．【分析】（1）分别作AB与BC的垂直平分线相交于点P，则点P即为所求，根据图形得出点P的坐标；（2）利用半径把圆6等分即可作出等边三角形AEF．【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求，3），故答案为：（5，2）；（2）如图，△AEF即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，AB＝30，其中15＜x＜30．过点D作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，DF交BC于点G．（1）用含x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S关于x的函数表达式．（3）当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．【分析】（1）根据等式BF＝AF﹣AB＝2AE﹣AB＝2DE﹣AB＝2BC﹣AB，用含x的代数式表示BF的长；（2）根据等量关系“S＝S△DEF﹣S△GBF”列出S与x的函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和x的取值范围求S的最大值．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEF＝∠ABC＝90°，∵AB∥DC，∴∠DEF＝∠ABC＝90°＝∠EDC，∴四边形DEBC是矩形，∴DE＝CB＝x，∵∠A＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，由翻折可知：AE＝EF，∴EF＝AE＝DE＝BC＝x，∵AB＝30，∴BF＝AF﹣AB＝2AE﹣AB＝2x﹣30；（2）∵∠F＝∠A＝45°，∠CBF＝∠ABC＝90°，∴∠BGF＝∠F＝45°．∴BG＝BF＝8x﹣30，∴S＝S△DEF﹣S△GBF＝DE3﹣BF5＝x7（3x﹣30）2＝﹣x2+60x﹣450（15＜x＜30）；（3）S＝﹣x2+60x﹣450＝﹣（x﹣20）2+150，∵a＝﹣＜0，∴当x＝20时，S有最大值．【点评】本题是四边形的综合题，考查矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，函数关系式的求法，二次函数的最大值，翻折变换（折叠问题），解决本题的关键是掌握翻折的性质．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，OC⊥CE，连接AC．（1）求证：AC平分∠EAD；（2）若∠EAD＝60°，，求AD、AC与弧CD围成阴影面积部分的面积．【分析】（1）先判断出OC∥AB，，再利用平行线的性质得出∠BAC＝∠ACO，，根据等边对等角得出∠CAD＝∠OCA，即可得出结论；（2）求出∠COD＝60°和AD＝4，再利用三角形和扇形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，OC⊥CE∴OC∥AB，∴∠BAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠OCA，∴∠BAC＝∠CAD，∴AC平分∠EAD；（2）解：由（1）可知AC平分∠EAD，∵∠EAD＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵AC＝2，∴AD＝＝2，∴OA＝OD＝2，∵OC∥AB，∴∠COD＝∠EAD＝60°，∴AD、AC与弧CD围成阴影面积部分的面积：S△AOC+S扇形COD＝+＝+．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、圆周角定理、扇形的面积公式，判断出OC ∥AB是解本题的关键．22．（10分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣2a（a＞0）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为2，求该二次函数的表达式；（3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，求t的取值范围．【分析】（1）利用二次函数的性质解答即可；（2）利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；（3）结合二次函数的图象，利用二次函数的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：（1）∵x＝﹣＝﹣2，∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1；（2）y＝ax2+2ax﹣2a＝a（x+1）2﹣3a，∵a＞0，∴当x＝﹣5时，二次函数有最小值为﹣3a，当﹣2≤x≤5时，x＝1时函数有最大值a，∵当﹣2≤x≤8时，y的最大值与最小值的差为2，∴a﹣（﹣3a）＝6，∴a＝．∴该二次函数的表达式为y ＝x 2+x ﹣8；（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝﹣1，∴当x ＝3与x ＝﹣7时的函数值相等，∵a ＞0，∴抛物线的开口方向向上，∵当t ﹣1≤x 6≤t +1，x 2≥2时，均满足y 1≤y 2，∴，解得：﹣4≤t ≤2．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．（10分）根据背景素材，探索解决问题．测算石拱桥拱圈的半径素材1某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．素材2通过观察发现A ，B ，C 三个点都在拱圈上，A 是拱圈的最高点，B ，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．素材3如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．问题解决任务1获取数据通过观察、计算B ，C 两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．任务2分析计算通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．注：测量、计算时，都以“肘”为单位．【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出B ，C 两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可；任务2：作过点C 的水平线，过点A 作该水平线的垂线，垂足为E ，作BD ⊥AE 于D ，记圆心为O ，连接CO 、BO ．观察图形，得出观察图形，CE 、DB 、DE 的长，设OE ＝a ，则DO ＝DE +OE ＝5+a ，根据勾股定理OB 2＝DB 2+OD 2，OC 2＝OE 2+EC 2，半径OB ＝OC ，得到方程（5+a ）2+82＝a 2+132，求解方程得出a ＝8，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径．【解答】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为6肘，根据素材1、素材2，B ，C 两点之间的水平距离有3.5块花岗岩的长，B ，C 两点之间的铅垂距离（高度差）有5块花岗岩的宽，答：B ，C 两点之间的水平距离为8肘；任务2：如图，作过点C 的水平线，垂足为E ，记圆心为O 、BO ，观察图形，CE＝6.4×2＝13（肘），DE＝5（肘），∴设OE＝a，则DO＝DE+OE＝5+a，∵OB2＝DB2+OD3，OC2＝OE2+EC6，OB＝OC，∴（5+a）2+42＝a2+134，解得：a＝8，∴，∴石拱桥拱圈的半径为肘．答：石拱桥拱圈的半径为肘．【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键．24．（12分）如图1，四边形ABDE内接于⊙O，AB＝AE，AC⊥BD于点F．（1）连接BE，求证：∠ABE＝∠ACB．（2）设∠CBF为x度，∠BAE为y度，写出y关于x的函数表达式．（3）如图2，作OG⊥AC于点G，连接AO并延长交⊙O于点H．①∠BAE＝120°，OG＝4，，求BD的长．②若DE＝12，求OG的长．【分析】（1）根据AB＝AE，得出＝，∠ABE＝∠AEB，根据圆周角定理得出∠ACB ＝∠AEB，即可证明结论；（2）根据∠CBF为x度，得出∠BCF＝90°﹣x，根据解析（1）可知，∠ABE＝∠AEB＝∠ACB＝90°﹣x，根据三角形内角和得出∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB；（3）①连接OB、OE，CD，证明△ABO为等边三角形，得出AB＝OA＝OB，设FG＝x，则，根据勾股定理得出，求出，（舍去），得出，证明△ABF ∽△DCF，得出，求出DF＝11，得出BD＝BF+DF＝3+11＝14；②连接AD，CD，CH，根据AG＝CG，AO＝OH，得出OG∥CH，CH＝2OG，证明∠CAH ＝∠EAD，求出CH＝DE＝12，即可求出结果．【解答】（1）证明：∵AB＝AE，∴＝，∠ABE＝∠AEB，∴∠ACB＝∠AEB，∴∠ABE＝∠ACB；（2）解：∵AC⊥BD，∴∠BFC＝90°，∵设∠CBF为x度，∴∠BCF＝90°﹣x，根据解析（1）可知，∠ABE＝∠AEB＝∠ACB＝90°﹣x，∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，即y＝6x；（3）解：①连接OB、OE，如图2.1所示：∵∠BAE＝120°，＝，AH是直径，∴＝，∴，∵AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，∴AB＝OA＝OB，根据解析（2）可知，∠BAE＝2∠CBF，∴，∵AC⊥BD，∴∠BFC＝∠AFB＝∠CFD＝90°，∴∠BCF＝90°﹣∠CBF＝30°，∴，设FG＝x，则，∵OG⊥AC，∴，根据勾股定理得：，，∵OA6＝AB2，∴，解得：，（舍去），∴，∵＝，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠AFB＝∠CFD＝90°，∴△ABF∽△DCF，∴，即，解得：DF＝11，∴BD＝BF+DF＝3+11＝14；②连接AD，CD，如图7.2，∵AG＝CG，AO＝OH，∴OG∥CH，CH＝2OG，∴∠ACH＝∠AGO＝90°，∴∠ACH＝∠AFD＝90°，∴BD∥CH，∴∠BDC＝∠DCH，∵＝，＝，∴∠DCH＝∠DAH，∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠DAH，∵＝，∴∠BAO＝∠EAO，∴∠CAH＝∠EAD，∴CH＝DE＝12，∴．【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练相关的判定和性质．。
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浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018九上·徐闻期中) 在等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A . 等边三角形B . 平行四边形C . 矩形D . 正五边形2. （2分） (2016九上·徐闻期中) 抛物线y=2（x+1）2﹣3的对称轴是（）A . 直线x=1B . 直线x=3C . 直线x=﹣1D . 直线x=﹣33. （2分） (2019九上·高邮期末) 若⊙O的直径为12，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A . 4B . 5C . 6D . 74. （2分）把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A . y=-（x-1）2-3B . y=-（x+1）2-3C . y=-（x-1）2+3D . y=-（x+1）2+35. （2分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=5，截面圆圆心O到水面的距离OC是3，则水面宽AB是（）A . 8B . 5C . 4D . 36. （2分） (2019九上·江阴期中) 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC ＝20°，则∠AOB的度数是（）A . 40°B . 50°C . 70°D . 80°7. （2分） (2015七下·无锡期中) 如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A . 10B . 9C . 8D . 78. （2分）若α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，则α2+3α+β的值（）A . 2007B . 2005C . ﹣2007D . 4010二、填空题 (共8题；共8分)9. （1分） (2015八下·绍兴期中) 点A（﹣4，1）关于y轴的对称点坐标为________，关于原点对称的点的坐标为________10. （1分）(2018·成都模拟) 已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________。
11. （1分） (2017九下·宜宾期中) 已知：如图，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC与点D，AD 的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①CD2=CE·CB；②4EF 2=ED ·EA；③∠OCB=∠EAB；④ ．其中正确的只有________．（填序号）12. （1分） (2016九上·南浔期末) 已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣101234…y…1052125…若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数的图象上，当m=________时，y1=y2 ．13. （1分） (2019九上·凤山期中) 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则BC′＝________.14. （1分） (2017八下·东莞期中) 如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．则阴影部分的面积=________．15. （1分）(2017·淄川模拟) 如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1 ，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=________．16. （1分）(2017·东明模拟) 如图：△ABC中，AB=AC，内切圆⊙O与边BC、AB分别切于点D、E、F，若∠C=30°，CE=2 ，则AC=________．三、解答题 (共12题；共98分)17. （5分） (2016九上·南充开学考) 已知二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3），求函数的关系式．18. （5分） (2016九上·岑溪期中) 如图，△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD、CE．求证：BD=CE．19. （10分） (2016九上·江津期中) 如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．20. （5分）(2017·滨海模拟) 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连接BC．（Ⅰ）如图①，若∠P=20°，求∠BCO的度数；（Ⅱ）如图②，过A作弦AD⊥OP于E，连接DC，若OE= CD，求∠P的度数．21. （6分）(2019·滨州) 如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转90°，所得直线与轴交于点．（1）求直线的函数解析式；（2）如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点①当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离；②当点到直线的距离为时，求的值．22. （10分）(2017·埇桥模拟) 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的矩形CEFD拼在一起，构成一个大的矩形ABEF，现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转，得到矩形CE′F′D′，旋转角为α．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小矩形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．23. （10分）(2018·福田模拟) 如图,在 ,O是AC上的一点,圆与BC,AB分别切于点C,D,与AC相交于点E,连接BO.（1）求证:CE2=2DE BO;（2）若BC=CE=6,则AE=________,AD=________.24. （5分） (2016九上·北京期中) 密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．25. （11分） (2019九上·海淀期中) 探究函数的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是x与y的几组对应值．x…023…y…0m n3…请直接写出：m=________，n=________；（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程有三个不同的解，记为x1,x2,x3，且x1<x2<x3. 请直接写出x1+ x2+x3的取值范围.26. （10分）(2018·姜堰模拟) 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数的与y轴交于A点，且顶点B在一次函数的图像上．（1）求n(用含m的代数式表示)；（2）若 2,求；（3）若一次函数的图像与x轴、y轴分别交于C、D两点，若，试说明：．27. （15分）(2018·井研模拟)（1）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．（2）【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________．（用含a，h的代数式表示）（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．28. （6分） (2018八上·伍家岗期末) 如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（b，-2a）.且+|b-l|=0.CD AB，AD BC（1）直接写出B、C、D各点的坐标：B________、C________、D________；（2）如图1，P（3，10），点E，M在四边形ABCD的边上，且E在第二象限.若△PEM是以PE为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标，并对其中一种情况计算说明；（3）如图2，F为y轴正半轴上一动点，过F的直线j x轴，BH平分∠FBA交直线j于点H.G为BF上的点，且∠HGF=∠FAB，F在运动中FG的长度是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出定值.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共8题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共12题；共98分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、21-1、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、26-3、27-1、27-2、27-3、。