高考数学二轮复习 小题综合限时练(三

2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（三）
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4i
D.1－4i
解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A
2.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C
的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)
D.(2，＋∞)
解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a
＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D
3.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2
x ＋a
的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋
f (－4)＝1，则a 等于( )
A.－1
B.1
C.2
D.4
解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2
x ＋a
，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，
a ＝2.
答案 C
4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝1
3，则△ABC
面积的最大值为( ) A.2 B. 2 C.12
D. 3
解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2
－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，
所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×22
3＝ 2.故选B.
答案 B
5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
43π＋833
B.
43π
3
＋8 3 C.43π＋83
3
D.43π＋8 3
解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：
V ＝13Sh ＝
2π＋43×23＝43π＋83
3
. 答案 A
6.设函数f (x )＝e x
＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.22 B. 2 C.32
2
D.2 2
解析 f (x )＝e x
＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x 使其分别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x
＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D
7.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，
A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为
B ，若FA →＝(2－1)AB →
，则此双曲线
的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2
D. 5
解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b a
x ②，联立①②， 解得交点B ⎝
⎛⎭
⎪
⎫ac c －a ，bc c －a ，
由FA →＝(2－1)AB →
，得c ＝(2－1)ac c －a
，c ＝2a ，e ＝ 2.
答案 A
8.已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧1－|x |， （x ≤1），
x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是
( ) A.[－2，2] B.[－2，2]∪[4，＋∞) C.[－2，2＋2]
D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)
解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.
由x 2
－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.
再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)
9.已知x ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5
展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.
解析 T r ＋1＝C r
5x ·x 5－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x r ＝a r C r
5x 6－32r .
由⎩⎪⎨⎪⎧6－32r ＝0，a r C r 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，a 4＝4，因为a ＞0，所以a ＝ 2.
答案 2
10.已知双曲线x 25－y 2
4＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝________；离心率e ＝________.
解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝25，离心率e ＝c
a
＝
1＋b 2a 2＝355
. 答案 2 5
35
5
11.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x
－1，x ≤1，
f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________.
解析 依题意，f (2)＝f (1)＝2，f [f (2)]＝f (2)＝2；因为f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )具有周期性，故函数f (x )的值域为(－1，2]. 答案 2 (－1，2]
12.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则φ＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐
标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________.
解析 依题意，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故φ＝π12.将y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的
横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的图象. 答案
π12 y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6
13.已知⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋
1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2015＋1a 2016＝________.
解析 由题意可得
f （1）
1
＝2，
f （2）
2
＝3，又⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫f （n ）n 是等差数列，则公差为1，所以
f （n ）n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，f (n )＝n (n ＋1)＝n 2
＋n ；a n ＋1＝f (a n )＝a n (a n ＋1)，则
1
a n ＋1
＝
1
a n （a n ＋1）
＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，S 2015＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2－1a 3
＋…＋⎝
⎛⎭⎪⎫1a 2015－1a 2016＝1a 1－1a 2016
，所以S 2015
＋1a 2016＝1a 1＝1.
答案 n 2
＋n 1
14.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为1
2，其中t ∈R ，则θ＝________.
解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2
＝t 2
＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2
＋1－cos 2
θ≥1－cos 2
θ＝14.得cos θ＝±32⇒θ＝π6或5π6.
答案
π6或5π
6
15.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足
x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2，则x n ＝________.
解析 设xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2＝k ，则a n ＝log x n k ⇒1a n ＝log k x n ，同理1a n ＋1＝log k x n ＋1，
1
a n ＋2
＝log k x n ＋2，因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2
n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1
＝3n
.
答案 3
n。