2020高考数学最后突破抢分：第5讲指数与指数函数

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【高考数学总复习】(第5讲)指数及指数函数(33页)

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2．定义域为[1,1]，由单调性可知
( 1 )1 ≤ ( 1 ) 1x2 ≤ ( 1 )0，即 1 ≤ y ≤ 1.
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3．（1）函数的定义域为 R.函数的值域为（0, 1 ]. 256
（2）函数 y ( 1 )x26 x17在[3, )上是减函数. 2
同理可知 y ( 1 )x26 x17在(, 3]上是增函数. 2
(2)由图象指出其单调区间.
解 (2)由图象知函数 y (1)|x1|在 , 1上是增
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函数,在 1, 上是减函数.
数形结合思想
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回顾反思
（1）思想方法：指数型函数的作图一般从最基本的（2）指知数能函提数升入：手带,有通绝过对平值移的,伸函缩数,图对象称，变一换般得有到两. 种方法，一是去掉绝对值作图，二是不去绝对值, 如 y f ( x )可依据函数是偶函数，先作出函数 f ( x)( x ≥ 0)的图象； x 0时的图象只需将函数 f ( x)( x ≥ 0)的图象关于 y 轴对称即可；又如函数 y f ( x) 的图象，可先作出函数 y f ( x)的图象，然后保留 x 轴上方图象，将下方图象关于 x 轴对称即可得函数 y f ( x) 的图象.
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解原式 [(2 3)2 ]2 - (33 )6 (24 )4 - 2 (23 )3 25 25
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决战2020年高考数学(理)函数与导数专题：指数与指数函数(解析版)

函数与导数函数指数与指数函数一、具体目标：指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.二、知识概述：根式和分数指数幂 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质(注意逆用) (1),(,,0)rsr sa a a r s Q a +⋅=∈>(2),(,,0)r s r s a a a r s Q a -÷=∈>【考点讲解】(3)(),(,,0)r s rs a a r s Q a =∈>．(4)(),(,0,0)s s sab a b s Q a b =∈>> 2.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数3. 指数型函数有如下的性质：形如. ()(0,1)f x y a a a >≠＝一类函数，有如下结论：（1）()(0,1)f x y aa a >≠＝的定义域、奇偶性与()f x 的定义域、奇偶性相同；（2）先确定()f x 的值域，再利用指数函数的单调性，确定()(0,1)f x y a a a >≠＝的值域；（3）()(0,1)f x y aa a >≠＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),u u f x y a ==的单调性相同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是增函数，(),u u f x y a ==的单调性不同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是减函数.【真题分析】1.【2019优选题】若4a 2－4a ＋1＝3（1－2a ）3，则实数a 的取值范围是________．【解析】左边＝（2a －1）2＝||2a －1，右边＝1－2a, 即||2a －1＝1－2a, ∴2a －1≤0，解得a ≤12.【答案】⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a ≤122.【2019优选题】计算14030.75333264()(2)162---⎡⎤--++⎣⎦= . 【解析】化简:4164164331==-，1612])2[(4343==--，81161161161643434375.0====--，原式=11191416816-++=-.【答案】916-3.【2019优选题】若x ,x-1122为方程x 2－3x ＋a ＝0的两根，则-33222232x x x x -+-=+-________．【解析】因为-1122x ,x 为方程x 2－3x ＋a ＝0的两根，所以-11223x x ,+=所以3322x x-+=()111221x x x x --⎛⎫+⋅+- ⎪⎝⎭2111122223x x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝3×(32－3)＝18，x 2＋x -2＝()212x x-+-x x -⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22112222＝(32－2)2－2＝47，所以33222232x x x x --+-=+-18314723-=-.【答案】134.【2018优选题】函数y ＝(a 2－5a ＋5)a x 是指数函数，则a 的值为________．【解析】∵函数y ＝(a 2－5a ＋5)a x 是指数函数，∴a 2－5a ＋5＝1，解得a ＝1或a ＝4.又∵指数函数y ＝a x 的底数a 需满足a >0且a ≠1，∴a ＝4. 【答案】45.【2018优选题】函数y ＝a x +2－2(a ＞0，且a ≠1)的图像恒过点(m ，n )，则2m n a -=_______．【解析】令x ＋2＝0，则x ＝－2, y ＝a x +2－2＝a 0－2＝－1，∴函数y ＝a x +2－2的图像恒过点(－2，－1)，即m ＝－2，n ＝－1，∴m-n-a a a +===22201.【答案】16. 【2015山东，5分】已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1) 的定义域和值域都是[]－1，0，则a ＋b ＝________．【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在定义域上是增函数，∴f (0)为函数最大值，f (－1)为函数最小值，∴1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩,,无解，不符合题意，舍去；当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在定义域上是减函数，∴f (－1)为函数最大值，f (0)为函数最小值，∴1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩,,解得b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.【答案】－327.【2019优选题】若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)【解析】∵2x (x －a )<1，∴x －a <12x .∵存在正数x 使2x (x －a )<1成立，即存在正数x 使x －a <12x 成立，即存在正数x 使函数y ＝x －a 的图像在函数y ＝12x 的图像的下方．在坐标系中画出图像，如下图：由图像可知当－a <1，即a >－1时，存在正数x 使2x (x －a )<1成立．【答案】D8. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．【答案】B9.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.故选C ．【答案】C10.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【答案】D11.【2019优选题】比较大小：(Ⅰ)a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1434-⎛⎫⎪⎝⎭，则它们的大小关系是________．(Ⅱ)a ＝(－3)3，b ＝-125，c ＝.π03，则它们的大小关系是________．(Ⅲ) 53532a ,b ,c ===，则它们的大小关系为________．【解析】：(Ⅰ) 113433,55a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ，函数y ＝⎝⎛⎭⎫35x为减函数,11433355--⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭315⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴a >b >1.14110441434555154434b c ---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭===>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∵， ∴b >c ，∴a >b >c .(Ⅱ)∵a ＝(－3)3<0，0π0＝1，∴a c 6，∴b >c .综上，a <c b >c (Ⅱ)a >≠≠. 设12,2a b ==.（1）求方程()2f x =的根；（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

2020年名师讲解高考数学提分宝典必做题之指数与指数函数

第5讲指数与指数函数一、填空题 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋×42－＝________.解析原式＝＝2.答案 22．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案 m >n3．(2017·衡水中学模拟改编)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ，b ＝x 2，c ＝x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是________(从小到大)．解析当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝x <0，所以c <a 1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.其中判断正确的结论有________(填序号)．解析由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.答案 ④5．(2017·南京、盐城一模)已知c ＝则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 b <c <a6．(2017·南京调研)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝________. 解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 17．(2017·南通调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．答案 [2，＋∞)8．(2017·安徽江南十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 二、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12(a x －1)>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )< －f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 11．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．解析因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1.答案 (－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论：①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.其中一定成立的是________(填序号)．解析作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示， ∵a f (c )>f (b )，结合图象知a <0,0<c <1， ∴0<2a <1,1<2c <2， ∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， ∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2. 答案 ④13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析依题意，f (1)＝12，∴a ＝12， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0.∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x .答案－2x (x <0)14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立， ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

2020年高考数学一轮复习《指数与指数函数》

2020年高考数学一轮复习《指数与指数函数》考纲解读1. 了解指数函数模型的实际背景.2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质.3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲一、指数的运算性质当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R)；(2)mm n n a a a -=( m ,n ∈R)(3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R)；(4)(ab )m=a m b m (m ∈R)；(5)pp a a-=1(p ∈Q)(6)mn a m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数yx题型归纳及思路提示题型23 指数运算及指数方程、指数不等式思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4的值；(2)若x x-+=11223，x x x x --+-+-33222232的值；(3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求)n a 的值.分析：利用指数运算性质解题.-=--1==.当a =2，b =4，原式===12. (2)先对所给条件作等价变形：()x x x x --+=+-=-=11122222327， ()()x xx x x x ---+=++-=⨯=33111222213618，x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故x x x x --+--==+--3322223183124723. (3)因为nna --=11201420142，所以()nna -++=11222014201412，nnnnna ---+-=-=111112014201420142014201422.所以)n a -=12014. 变式1 设2a =5b =m ，且a b+=112，则m =( ).A.B. 10C. 20D. 100解析解法一： 2111111,55,22m m m m m m m m ba b a b b a a ==∙=⇒==⇒=+10),0(10522=>=⇒⨯=m m m 。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.5 指数及指数函数(原卷版)

第五讲指数及指数函数一．根式1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝x n，那么x叫做a的n次实数方根n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数na0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．二．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝a s＋t(a>0，t，s∈Q)；②(a s)t＝a st(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q)．【套路秘籍】---千里之行始于足下三．指数函数的图象与性质（1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质y ＝a x a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数考向一指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】 1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.2．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 3．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为．5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为．7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为．考向二指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．23．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（）【套路总结】指数函数xy a =形如，指数函数的需要同时满足①01a a >≠且②系数为1③次数为1【套路总结】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）A ．2B ．1C ．3D ．2或−1考向三指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．考向四指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为。

2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第二章第5讲指数与指数函数

－32 －32
＝85.
指数函数的图象及应用 (1)函数 f(x)＝21－x 的大致图象为( )
(2)函数 f(x)＝|ax＋b|(a>0，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则 a ＋b 的取值范围是________．
(3)若方程|3x－1|＝k 有一解，则 k 的取值范围为________．
【解析】 (1)函数 f(x)＝21－x＝2×12x，单调递减且过点(0， 2)，选项 A 中的图象符合要求． (2)因为根据图象得 a>1，f(12)＝0，b<0. 所以 a＋b＝0，所以 a＋b＝a－ a>1－ 1＝0.
(3) 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示．
当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】 (1)A (2)(0，＋∞) (3){0}∪[1，＋∞)
作出直线 x＝1，分别与四个图象自上而下交于点 A(1，a)，B(1， b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c ＞d＞0.根据 y 轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高” 来记忆．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n an＝(n a)n＝a.( × )
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． [提醒] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

2020高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数分层演练文-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx 最新高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数分层演练文一、选择题1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a·b－÷的结果为( ) ．－A 8a b ．－BC ．－D ．－6ab 23－－b －a 原式＝C.解析：选＝－6ab －1＝－，故选C.3．已知实数a ，b 满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．4．若函数f(x)＝a|2x －4|(a>0，a ≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选B.由f(1)＝得a2＝，所以a ＝或a ＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．设a ＝1.90.9，b ＝0.91.9，c ＝0.99.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b 解析：选A.因为函数y ＝0.9x 在R 上是减函数，所以0.91.9＞0.99.1，且0.91.9＜0.90＝1.即c ＜b ＜1.又函数y＝1.9x在R上是增函数．所以1.90.9＞1.90＝1即a＞1.所以a＞b＞c.故选A. 6．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( ) B．(－1，0)A．(－∞，－1)C．(0，1) D．(1，＋∞)解析：选C.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，所以a＝1，所以f(x)>3即为>3，当x>0时，2x－1>0，所以2x＋1>3·2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，所以2x＋1<3·2x－3，无解．所以x的取值范围为(0，1)．二、填空题7．函数y＝的值域是________．解析：因为4x>0，所以16－4x<16，所以0≤16－4x<16，即0≤y<4.答案：[0，4) 8．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，则a2－1＝2，所以a＝±，又因为a>1，所以a＝.当0<a<1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为减函数，又因为f(0)＝0≠2，所以0<a<1不成立．综上可知，a＝.答案：3 9．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．解析：因为f(x)＝2|x－a|，所以f(x)的图象关于x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1.答案：110.已知函数y ＝ax ＋b(a>0，且a ≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，如图所示，则＋的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝ax ＋b(a>0且a≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，得a ＋b ＝3，所以＋＝1，又a>1，则＋＝(＋)＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时取等号，所以＋的最小值为.23，答案：三、解答题11．已知函数f(x)＝b ·ax(其中a ，b 为常量，且a>0，a ≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．若不等式＋－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，⎩⎨⎧6＝ab ，24＝b·a3，得 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.，解得≠1a ，且a>0结合所以f(x)＝3·2x.要使＋≥m 在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝＋在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝＋在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝＋有最小值.所以只需m≤即可．即m 的取值范围为.12．已知函数f(x)＝.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x ＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝在R 上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x ＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a ＝1，即当f(x)有最大值3时，a 的值为1.。

高考数学2020届一轮复习专题速递《指数与指数函数》

)
3 a·
a2
1
5
7
3
A.a2
B.a6
C.a6
D.a2
解析由题意得答案 C
a2
11 7
＝ a2－2－3＝ a6.
32 a· a
x
5.(2017 北·京卷 )已知函数
f(x)＝ 3x－
1 3
，则 f(x)(
)
A.是偶函数，且在 R 上是增函数 B.是奇函数，且在 R 上是增函数 C.是偶函数，且在 R 上是减函数 D.是奇函数，且在 R 上是减函数
a b.
ab2a－3b3
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利
用法则计算，但应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺
序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 .
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 .
第 5 节指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理指数幂的含义，了解实数
指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函 11
数图像通过的特殊点，会画底数为 2，3，10， 2， 3的指数函数的图像； 4.体会指数函数是一类重要的函数模型 .
解析函数 f(x)的定义域为 R，
f(－x)＝3－x－
1 3
－x
＝
1 3
x
－3x＝－ f(x)，
∴函数 f(x)是奇函数 .
x
又 y＝ 3x 在 R 上是增函数，函数
1 y＝ 3
在 R 上是减函数，
∴函数
f(x)＝3x－

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1
第5讲指数与指数函数
一、知识梳理
1．根式
(1)根式的概念
①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N ＋..n
a 叫做根式，这里n
叫做根指数，a 叫做被开方数．
②a 的n 次方根的表示：
x n ＝a ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N ＋.，n >1时，
x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N ＋
.时.
(2)根式的性质
2
①(
n
a )n ＝a (n ∈N ＋.，且n >1)；
②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，
－a ，a <0，
n 为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a m
n ＝
n
a m (a >0，m ，n ∈N ＋.，且n >1)；
②负分数指数幂：a －m
n ＝
1
a m n
＝
1
n
a m
(a >0，m ，n ∈N ＋.，且n >1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；
②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；
③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．
3．指数函数的图象与性质
y ＝a x (a >0且a ≠1) a >1 0<a <1
图象
定义域R
值域(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x>0时，y>1；当x<0时，
0<y<1
当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1
在R上是增函数在R上是减函数
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－1，
1
a.
2.
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与
3
1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．
二、教材衍化
1．化简4
16x8y4
(x<0，y<0)＝________．
解析：因为x<0，y<0，所以416x8y4＝(16x8·y4)
1
4＝(16)
1
4·(x8)
1
4·(y4)
1
4＝2x2|y|＝－2x2y. 答案：－2x2y
2．函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．
解析：作出y＝2x与y＝2－x＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
x
的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．
答案：y轴
3．已知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________．解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．
答案：(2，3)
一、思考辨析
4
旗开得胜
5
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)
n
a n ＝(
n
a )n ＝a .( )
(2)(－1)24＝(－1)1
2＝－1.( )
(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( )
(4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)．( )
(5)函数y ＝2x －1是指数函数．( )
(6)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
常见误区|
Ｋ(1)忽略n 的范围导致式子
n
a n (a ∈R )化简出错；
(2)不能正确理解指数函数的概念致错；
(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；
(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．
1．计算
3
（1＋2）3＋
4
（1－2）4＝________．。