高一第5讲 指数与指数函数(J教师版)

1 4
3 2
1 4
3 2

1 2
1 2
题型二
例3
指数函数的图象及应用
1 a, a a (1)若 a<0，则 2 ，( ) 0.2 的大小顺序是________． 2
x
2 1 ， ， 3，π}，则图 2 2 象 C1、C2、C3、C4 对应的函数的底数依次是______、________、________、________. （2）下图的曲线 C1、C2、C3、C4 是指数函数 y＝a 的图象，而 a∈{


2
例2
已知 10 3 1

1 2

1 3
3 2 - 4
=
1 3
4 4 （ 10 ）（ 10 ） =（2 2 ）（ 16 3） = 解：原式= 2
1 4
课堂小结：指数幂的化简与求值的原则及结果要求 1．化简原则：(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序． 2．结果要求：(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的 形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既
a 1 a 答：∵f(x) 是 R 上的单调递增函数，∴ 4 0 ,解得 4 a 8 ，选 C. 2 a 4 2 a 2 2 x2 2 x （2）函数 y ( ) 的单调减区间为 5 答: 2, 1 .
课堂练习 5：若函数 f(x)＝ 2 围。 答： -， 4 ． 例 7（奇偶性） 已知函数 f(x)＝
x x
课堂练习 4： （ 2011 湖 南 高 考 题 ） 已 知 函 数 f ( x) e 1, g ( x) x 4x 3, 若 有
x 2
f (a) g (b), 则 b 的取值范围为
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高一数学上第 5 讲
A．
[2 2, 2 2]
B．
(2 2, 2 2)
x
1 a a a 当 a<0 时，有 0.2 >( ) >2 . 2 1 a a 2 1 a 答案 0.2 >( ) >2 （2） ： ， ，π， 3。 2 2 2 x (3)函数 y＝a ＋b－1 的图象经过第二、 三、 四象限， 大致图象如图． 所以函数必为减函数． 故 0 0<a<1.又当 x＝0 时，y<0，即 a ＋b－1<0，∴b<0.
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高一数学上第 5 讲
第 5 讲 指数与指数函数（教师版）
一．学习目标：
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的 C 的衰减，药物在人体内残留量的 变化等） ，了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象， 探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
3 x
1( a 0且a 1 )过定点
x
2 例 5（有界性）(1)求函数 y＝ x 的定义域和值域. 2 ＋1 2 1 解：因为 2 ＋1>0 恒成立，所以定义域为 R，又 y＝ x ＝1－ x ， 2 ＋1 2 ＋1 1 1 x 而 2 >0，所以 0< x <1，则－1<－ x <0，得 0<y<1，即值域为(0,1)． 2 ＋1 2 ＋1 －|x＋1| －|x＋1| *(2)若关于 x 的方程 25 －4·5 －m＝0 有实根，则实数 m 的取值范围是________． －|x＋1| 2 2 2 解析：令 t＝5 知 t －4t＝m，则有 m＝t －4t＝(t－2) －4.∵t∈(0,1]， ∴m∈[－3,0)．
C．
[1,3]
D．
(1,3)
答：B
a x ( x 1) 例 6(单调性)（1）若 f ( x) 是 R 上的单调递增函数，则 a 的取值范围 a (4 ) x 2( x 1) 2 为 (A) (1, ) (B) (4,8) (C) [4,8) (D) (1,8)
n
*
a(a 0) 。 a ( a 0 )
0
n个 3） a
p

1 ( p Q，4） a n n a m (a 0, m 、 n N* 且 n 1) 。 p a
r s r s r s r s ；2） (a ) a (a 0, r 、 s Q） ； (a 0, r 、 s Q）
(3)若函数 y＝a ＋b－1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则 a、b 的取值范围是 __________． x (4)方程 2 ＝2－x 的解的个数是________． 1 x 解析 （1） 分别作出函数 y＝2 ， y＝( )x 和 y＝0.2x 的图象， 如图所示， 从图象可以看出， 2
n 次方根。即若 x n a ，则 x 称 a 的 n 次方根 n 1且n N ) ，
1）当 n 为奇数时， a的n 次方根记作 n a ；2）当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正 数 a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作 n a (a 0) 。 ②性质：1） (n a ) n a ；2）当 n 为奇数时， n a n a ； 3）当 n 为偶数时， n a | a | （2） ．幂的有关概念 ①规定：1） a a a a(n N ；2） a 1(a 0) ；
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高一数学上第 5 讲
有分母又有负指数幂. 3 3 3 4 4 2 课堂练习 1： （1）下列等式 6a ＝2a； －2＝ 6 (2) ；－3 2＝ 4 ( 3) 2 中一定成立 的有( )A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3 3 3 3 3 6 2 3 2 解析： 6a ＝ 6a≠2a； －2＝－ 2<0， 6 (2) ＝ 2 ＝ 2>0， 3 4 4 4 4 2 ∴ －2≠ 6 (2) .，－3 2<0， 4 ( 3) 2 >0，∴－3 2≠ 4 ( 3) 2 .答：A （2）若 x>0，则 (2 x 3 )(2 x 3 ) 4 x ( x x ) ＝_____.答：23
37 0 －3π ＋ . 48
a b a b a b
1 6 5 6
1 3
＝a
1 1 1 3 2 6
·b
1 1 5 2 3 6
1 ＝ .
a
2 1 64 3 －3＋37＝5＋100＋ 9 －3＋37＝100. (2)原式＝ ＋ ＋ 0.1 27 48 3 16 48 9 1 25 2
1-x
1 2
答： （-1,0）
题型三
指数函数的性质及应用
x＋1
例 4（定点性）已知不论 a 为何正实数，y＝a －2 的图象恒过定点，则这个定点的坐标是 ________． x x＋1 解析 因为指数函数 y＝a (a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，而函数 y＝a －2 的图象可 x 由 y＝a (a>0，a≠1)的图象向左平移 1 个单位后，再向下平移 2 个单位而得到，于是，定点 x＋1 (0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数 y＝a －2 的图象恒过定点(－1，－1)． 答案 (－1，－1) 课堂练习 3：函数 f(x)= 2a 答： （3,3）
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二．重点难点：
重点：①指数幂的运算法则．②指数函数的概念、图象与性质． 难点：①根式与分数指数幂的运算．②a>1 与 0<a<1 时，指数函数图象、性质的区别． ③指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不等式的求解．
三．知识梳理：
（一）根式的概念：①定义：若一个数的 n 次方等于 a(n 1, 且n N ) ，则这个数称 a 的
1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 0 a 1 时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1 时，图 象向右无限接近 x 轴） ； 3）对于相同的 a(a 0, 且a 1) ，函数 y a x 与y a x 的图象关于 y 轴对称。
四．典例剖析
题型一
(a b ) a b
6 2 3 1 1 2 1 2 1 3
指数式的计算
例 1，化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1) ；
2 3
ab5
10 70.5 －2 (2)2 ＋0.1 ＋ 2 9 27
解：(1)原式＝
1 3 1 2 1 2
xax
x a ，x>0 xax 解：函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且 y＝ ＝ x |x| －a ，x<0
.当 x>0 时，函数是一个指数
函数，因为 0<a<1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当 x<0 时，函数图象与指数函数 y x ＝a (x<0,0<a<1)的图象关于 x 轴对称，函数在(－∞，0)上是增函数，故填④. （2）若函数 y ( ） m 的图象与 x 轴有公共点，求 m 的取值范围。
2x-m
（m 为常数）在区间 2， + 上是增函数，求 m 的取值范
x 1 ＋1·x3(a＞0 且 a≠1)． a －1 2
(1)求函数 f(x)的定义域；(2)讨论函数 f(x)的奇偶性； ．(3)若 f(x)＞0 在定义域上恒成 立．求 a 的取值范围。 x x 解 (1)由于 a －1≠0，且 a ≠1，所以 x≠0.∴函数 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}． x 1 1 a x＋1(－x)3 3 (2)对于定义域内任意 x，有 f(－x)＝ －x ＋ (－x) ＝ a －1 2 1－a 2 1 1 1 3 1 3 ＝－1－ x ＋ (－x) ＝ x ＋ x ＝f(x)，∴f(x)是偶函数． a －1 2 a －1 2 1 1 x x (3)当 a＞1 时，对 x＞0，由指数函数的性质知 a ＞1，∴a －1＞0， x ＋ ＞0. a －1 2 1 1 3 3 又 x＞0 时，x ＞0，∴x x ＋ ＞0，即当 x＞0 时，f(x)＞0.又由(2)知 f(x)为偶函数， a －1 2 即 f(－x)＝f(x)，则当 x＜0 时，－x＞0，有 f(－x)＝f(x)＞0 成立． 综上可知，当 a＞1 时，f(x)＞0 在定义域上恒成立． －x e a *练习 6：设 f(x)＝ ＋ －x是定义在 R 上的函数．:(1)f(x)可能是奇函数吗？ a e (2)若 f(x)是偶函数，求 a 的值并讨论其在(0，＋∞)的单调性． －x x a e a e 解 (1)假设 f(x)是奇函数， 由于定义域为 R， ∴f(－x)＝－f(x)， 即 ＋ x＝－ ＋ －x， a e a e 1 1 x －x 2 整理得a＋ (e ＋e )＝0，即 a＋ ＝0，即 a ＋1＝0 显然无解．∴f(x)不可能是奇函数．