整式
整式的基本概念与运算
括号前面是加 号或乘号时， 去掉括号，括 号内的各项不
变
括号前面是减 号时，去掉括 号，括号内各
项都变号
括号前面是除 号时，去掉括 号，把括号内 各项乘以除数
的倒数
括号在乘方运 算中，先进行 乘方运算，再
去括号
确定未知数： 明确需要解 决的问题， 并确定未知 数。
列出方程： 根据问题描 述，列出整 式方程。
XX,a click to unlimited possibilities
01 整 式 的 定 义 与 分 类 02 整 式 的 加 减 运 算 03 整 式 的 乘 法 运 算 04 整 式 的 除 法 运 算 05 整 式 的 幂 运 算 06 整 式 的 混 合 运 算
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等运算符号和括号组成的代数式
除法运算的注意事项：注意结果的符号，以及余数的次数不能高于除数的次数
除法运算的应用：在代数、几何等领域有广泛的应用
幂的定义：一个数的n次方表示该数与自身相乘n次 幂的性质：a的0次方等于1，a的负数次方等于a的倒数的正数次方，幂的乘法满足结合律和分配律
幂的乘法：同底 数幂相乘时，指 数相加
幂的除法：同底 数幂相除时，指 数相减
添加标题
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举例：2x^3y与3xy^2相乘得到 6x^4y^3。
运算性质：单项式乘以单项式的 运算是整式运算中的基本运算之 一，掌握其运算法则对于后续学 习多项式乘法、除法等具有重要 意义。
定义：将单项式中 的每一个字母因数 与多项式中的每一 项相乘，得到新的 多项式
举例：如(a+b+c) 乘以x得到 ax+bx+cx
注意事项：注意 符号的运算，负 负得正
整式的概念。-概述说明以及解释
整式的概念。
-概述说明以及解释1.引言1.1 概述整式是代数学中的重要概念之一，它在数学运算中具有广泛的应用。
在我们日常的数学学习和解决实际问题时，经常需要对各种数学式进行化简、运算和因式分解等操作。
而这些式子往往可以被统一地称为整式。
整式由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。
常数可以是整数、有理数或者无理数，而变量则代表某个未知数。
整式具有形式简单、易于计算的特点，在代数学的研究和实际应用中有着广泛的使用。
在整式的定义中，值得注意的是整式中的变量可以是一元的，即只有一个未知数，也可以是多元的，即包含多个未知数。
整式在具体的问题中可以表示各种关系和规律，如数学模型、物理方程、经济公式等，可以帮助我们分析和解决实际问题。
整式的基本运算包括加法、减法、乘法和乘方等。
通过对整式的加减运算，可以将相同次幂项的系数相加，从而得到一个新的整式。
在乘法运算中，可以对整式中的每一项进行乘法运算，并将结果相加，得到一个新的整式。
整式的乘方运算是将整式自身乘以自身若干次，得到一个新的整式。
整式的化简与因式分解是整式运算的重要内容。
化简就是将一个复杂的整式通过合并同类项、提取公因子等运算，简化为一个更简单的整式的过程。
而因式分解则是将一个整式分解为乘积的形式，使得每个因子都是最简单的整式。
化简和因式分解的过程常常需要运用代数运算中的基本法则和公式，通过合适的变换和操作，将整式变得更加简洁和易于处理。
总结而言，整式是代数学中的重要概念，它由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。
整式的定义和基本运算为我们解决各种数学问题提供了有效的工具和方法。
通过整式的化简与因式分解，我们可以将复杂的整式简化为更加简洁的形式，从而更好地理解和应用数学。
整式在代数学的研究以及各个领域的实际应用中具有重要的地位和作用。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述整式的概念：1. 引言：在这一部分，将对整式的概念进行简要的概述，引入整式的基本概念和重要性。
整式的概念，整式的运算法则是什么
整式的概念，整式的运算法则是什么
单项式和多项式统称整式，注意整式中可以出现分数和未知数，但如果未知数出现在分母当中，那么这个式子就不是整式而是分式了。
扩展资料
概念
单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也是单项式。
单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的.性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。
一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，其中常数项的单项式次数为0。
多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中，不含字母的项叫做常数项。
一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
整式的运算法则
整式的加减运算：整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式。
整式的乘除运算：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘，这个单项式与括号内各项都要相乘。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
初中数学 什么是整式
初中数学什么是整式整式是指由常数、字母和它们的乘积以及它们的和、差构成的代数表达式。
在初中数学中，整式是一个基础而重要的概念，它是代数运算的基本单位，也是解决各种数学问题的重要工具。
下面将详细介绍整式的定义、性质和应用。
一、整式的定义整式是由常数、字母和它们的乘积以及它们的和、差构成的代数表达式。
整式可以包含一个或多个项，每个项由系数、字母和指数构成，且同一字母的指数必须是非负整数。
二、整式的性质1. 项的性质：整式中的每一项都是由常数、字母和它们的乘积构成，其中常数称为该项的系数，字母称为该项的字母部分，字母的指数表示该字母的幂次。
2. 同类项的性质：整式中的同类项是指具有相同字母部分和相同指数的项。
同类项可以进行合并，合并时保留它们的共同字母部分和指数，系数相加。
3. 整式的加减性质：整式的加法和减法运算遵循交换律和结合律，可以通过合并同类项来简化整式。
4. 常数项的性质：只含有常数项的整式称为常数整式，常数整式的运算结果仍为常数。
三、整式的应用整式在数学中有着广泛的应用，特别是在代数运算、方程求解和数学建模等方面。
1. 代数运算：整式的加减法运算是代数运算的基础，通过整式的加减法运算，可以简化复杂的代数表达式，从而进行进一步的运算和求解。
2. 方程求解：在方程求解中，整式被广泛应用。
将一个方程转化为整式的形式，可以利用整式的性质和运算规则，解决方程的求解问题。
3. 函数的表示：在函数的表示中，整式可以用来表示函数的表达式。
通过整式表示函数，可以进行函数的运算、分析和研究，从而深入理解函数的性质和特点。
4. 数学建模：在数学建模中，整式可以用来描述和分析实际问题，将问题转化为数学模型。
通过将问题中的信息转化为整式，可以进行整式的加减法运算，最终得到问题的解答。
总之，整式是由常数、字母和它们的乘积以及它们的和、差构成的代数表达式。
整式具有一系列的性质和运算规则，并在代数运算、方程求解和数学建模等方面有着广泛的应用。
整式
第三讲：整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：：由数与字母的积组成的代数式1、整式：多项式：。
单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。
【提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。
】二、整式的运算：1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )③整式加减的步骤是先，再。
【提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。
】2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。
③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。
【提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
】3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。
即（am+bm）÷m= 。
三、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：不变相加，即：a m a n＝（a＞0，m、n为整数）2、幂的乘方：不变相乘，即：(a m) n ＝（a＞0，m、n为整数）3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。
什么叫整式
什么叫整式什么叫整式？整式是在代数学中，用常数和变量之间的四则运算（加、减、乘、除）以及乘方运算构成的表达式。
它是代数学中的基本概念，对于学习代数学的人来说，理解整式的定义和特性是非常重要的。
整式由常数项、一次项、二次项和更高次项组成。
常数项是指没有变量的项，如3、-5等；一次项是指有一个变量的项，如2x、-3y 等；二次项是指有两个变量的项，如2xy、-3x²等；更高次项是指有三个或更多变量的项，如2xyz、-3x³等。
整式的每一项都可以进行加减乘除运算，从而形成整式。
整式的核心思想在于将代数表达式转化成形式简单、易于计算和分析的形式。
使用整式可以简化数学计算过程，使得问题更易于解决。
此外，整式也是代数学中其他概念的基础，如多项式、因式分解和多项式方程等。
对于整式的运算，加法和减法是基本的运算操作。
当两个整式进行加法运算时，相同次数的项进行相加，不同次数的项直接写在一起。
例如，对于整式2x² - 3x + 4 和3x² + 5x - 1，将相同次数的项进行相加，得到整式5x² + 2x + 3。
同样地，减法运算也是类似的方式进行操作。
在整式的乘法运算中，将每一项与其他整式的每一项进行相乘，然后将结果进行合并和整理。
例如，对于整式2x + 3 和3x - 4的乘法运算，将2x乘以3x和-4，得到6x² - 8x，然后将3乘以3x和-4，得到9x - 12。
最后将结果合并并整理，得到整式6x² + x - 12。
整式的除法运算相对复杂，需要使用长除法的方法进行操作。
首先，确定除法的被除式和除数，并按照长除法的步骤进行计算。
将被除式中的最高次项除以除数的最高次项，得到商的最高次项，并将其乘以除数。
然后将乘积与被除式相减，并重复上述步骤，直到无法继续减。
这样最后得到的结果就是整式的商和余数。
在代数学中，整式存在着许多重要的性质和规律。
整式的基本概念
整式的基本概念
整式是指由一组单项式按照加减法组成的式子，其中单项式的系数和指数均为实数。
整式的基本概念包括：同类项、次数、最高次项和系数。
1. 同类项：整式中具有相同变量的单项式称为同类项，它们的系数可以不同。
例如，4x²、-3x²和2x²都是同类项，可以合并为3x²。
2. 次数：整式中单项式中变量的指数之和称为单项式的次数，整式中次数最高的单项式的次数称为整式的次数。
例如，3x²- 4x + 2 的次数为2，最高次项为3x²。
3. 最高次项：整式中次数最高的单项式称为最高次项，它的系数称为整式的首项系数。
例如，5x³+ 2x²- 3x的最高次项为5x³。
4. 系数：整式中单项式中变量的系数称为系数，整式的首项系数为最高次项的系数。
例如，2x²- 3x + 1中，2、-3和1为系数，2为首项系数。
整式的概念整式的概念
整式的概念整式的概念整式（Polynomial）是指只涉及加法、减法和乘法运算的代数表达式。
它包含有限个单项式的和，其中每个单项式称为整式的项。
整式是代数学中的基本概念，它在数学中有着广泛的应用。
整式可以包含常数、变量和指数，其中常数是整数、有理数或实数。
变量可以是任意字母，用来表示未知数或变量。
指数是常数，表示变量的次数。
整式的项由变量的幂次和系数相乘得到，各项之间通过加法和减法运算得到整个整式。
整式的一般形式为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_n 是系数，x 是变量，n 是次数，n \in \mathbb{N}，n \geq 0，a_n \neq 0。
整式的次数为最高次项的指数。
整式可以简单地分为单项式和多项式两类。
单项式仅包含一个项，形如ax^n，其中a 是非零常数，x 是变量，n 是非负整数。
多项式由多个单项式相加得到，形如P(x) = a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_m, a_{m-1}, \ldots, a_1, a_0 是系数。
整式的加法运算满足交换律和结合律。
对于两个多项式P(x) = a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 和Q(x) = b_mx^m +b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_1x + b_0，它们的和S(x) = (a_n +b_m)x^{\max(n, m)} + (a_{n-1} + b_{m-1})x^{\max(n-1, m-1)} + \ldots +(a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)。
整式的减法可以通过加上相反数实现。
整式的乘法运算也满足交换律和结合律。
对于两个多项式P(x) = a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 和Q(x) = b_mx^m +b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_1x + b_0，它们的乘积P(x) \cdot Q(x) =c_{n+m}x^{n+m} + c_{n+m-1}x^{n+m-1} + \ldots + c_1x + c_0，其中c_k 是系数。
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D．3，2
[解析] 依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母
的指数相同列方程，得
第3课时┃ 浙考探究
(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二 相同字母的指数相同，两者缺一不可．
(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程 (组)是解此类题的一般方法．
问题苑2
先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+ （x﹣2）2，其 中x=﹣ 解：原式=4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4 =x2﹣5．当x=﹣ 时，原式=（﹣ ）2﹣5=3﹣5=﹣2．
类别 整式 的加
减 幂
的
运
算
法则
整式的加减实质就是_合__并__同__类_项____．一般地，几个整 式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项
同底数 幂相乘
幂的乘 方
底数不变，指数相加.即：am·an＝_a_m_＋_n____(m，n都
是整数)
底数不变，指数相乘即：(am)n＝__a_m_n____(m，n都是
三都中学 肖希洲
考点聚焦
考点1 整式的概念
定 数与字母的_乘__积_____的代数式叫做单项式，单独的一个 义 ___数_____或一个__字__母____也是单项式
单 次 一个单项式中，所有字母的_指_数__的__和__叫做这个单项式的次数 数
项系 数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数
式防 错 提 醒
多项式相 再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb
乘
类别
整式 的除
法
单项式 除以单 项式
多项式 除以单 项式
法则 把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只 在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因 式
先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后 把所得的商相加
例5 [2012·宁波] 用同样大小的黑色棋子按 如图3－1所示的规律摆放：
图3－1 (1)第5个图形有多少颗黑色棋子？ (2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
答： (1)第5个图形有18颗黑色棋子．
(2)设第n个图形有2013颗黑色棋子， 根据(1)得3(n＋1)＝2013， 解得n＝670，
．
4.（2012山西）如图，是由形状相同的正六边形和
正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图 案中阴影小三角形的个数是4n﹣2（或2+4（n﹣1）．）
3．（2012浙江义乌3分）下列计算正确的是
【C 】 A．a3a2=a6
B．a2+a4=2a2
C．（a3）2=a6 D．（3a）2=a6
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘 方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断：
(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；
注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.
(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方 式及其特点．
(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．
► 类型之四 整式运算与因式分解的应用
命题角度： 1. 整式的有关规律性问题； 2. 利用整式验证公式或等式； 3. 新定义运算； 4. 利用因式分解进行化简与计算； 5. 利用几何图形验证因式分解公式．
解决有关整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作 用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程， 从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规 律，并用代数式进行描述．
变脸台
1. 计算﹣2a2+a2的结果为（ D ）
A．﹣3a
B．﹣a
C．﹣3a2
2D．．（﹣20a122•益阳）下列计算正确的是（ D ）
A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6
D．（﹣1）0=1
解：A、不是同类项，不能合并．故错误； B、（x+2）2=x2+4x+4．故错误； C、（ab3）2=a2b6．故错误； D、（﹣1）0=1．故正确．
3．某服装原价为a元，降价10%后的价格为 ▲ 元．
【分析】降价10%后的价格为a（1-10%）=0.9a。 4．（2012宜宾）分解因式：3m2－ 6解m：n+33mn2=－6mn+3n2=．3（m2－2mn+n2）=3（m－n）2．
．
类别
法则
单项式与 单项式相
乘
把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单 项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
整式 单项式与
的乘 多项式相 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
法
乘 即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc
多项式与 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，
乘法 公式
平方差 公式
完全平 方公式
常用恒 等变换
(a＋b)(a－b)＝__a_2_－__b2__
(a±b)2＝a_2_±__2a_b_＋__b2 (1)a2＋b2＝(_a_＋__b_)_2－__2_a_b__＝(_a_－__b_)_2＋__2_a_b__ (2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
考点3 整式的运算
运用 平方差 公式 公式
法
a2－b2＝(_a_＋__b_)(_a_－_ b)
完全平 方公式
a2＋2ab＋b2＝_(_a＋__b_)_2__a2－2ab＋b2＝_(a_－__b_)_2__
因式 分解 的一 般步
骤
一提(提取公因式)； 二套(套公式法)； 一直分解到不能分解为止
► 类型之三 因式分解
只有同类项才能合并，如
x2与x3不能合并
► 类型之一 同类项
命题角度： 1. 同类项的概念； 2. 由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数中字母 的值．
例 1 [2012·雅安] 如果单项式－12xay2 与13x3yb 是．2，2 B．－3，2
C．2，3
定义
一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项 式各项的公因式
定义
一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个 公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，
即ma＋mb＋mc＝_m_(_a_＋_b_＋__c_)_
提取 公因 式法
应用 注意
(1)提公因式时，其公因式应满足：① 系数是各项系 数的最大公约数；②字母取各项相同字母的最低次幂； (2)公因式可以是数字、字母或多项式； (3)提取公因式 时，若有一项全部提出，括号内的项应是“1”， 而不是0
命题角度： 1．因式分解的概念； 2．提取公因式法因式分解； 3．运用公式法因式分解：(1)平方差公式；
(2)完全平方公式．
例4 [2012·无锡] 分解因式(x－1)2 －2(x－1)＋1的
结果是( D )
A．(x－1)(x－2)
B. x2
C．(x＋1)2
D. (x－2)2
第3课时┃ 浙考探究
(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应 用公式法或其他方法继续分解．
(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点 ，分析是否符合乘法公式的条件．
问题苑4 （2012临沂）分解因式：
解：原式=a（1﹣6b+9b2）， =a（1﹣3b）2． 故答案为：a（1﹣3b）2．
2.（2012•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差 公式分解因式的多项式：x2﹣3． A3．．﹣（x2+3（分﹣）2）下2=（列x﹣各2因）（式x+分2）解；正B．确x2+的2x﹣是1=（（xD﹣1））2
考点4 因式分解的概念
因
定义
式
分
解
防错提醒
把一个多项式化为几个整__式__的__积__的形式， 像这样的式子变形，叫做多项式的因式分解
(1)因式分解专指多项式的恒等变形；(2) 因式分解的结果必须是几个整式的积的形式 ；(3)因式分解与整式乘法互为逆变形
考点5 因式分解的相关概念及基本方法
公因 式
点评：此类题目关键是弄清楚谁是“基准”，把“基准” 看作“单位1”，在此基础上增加还是减少，就可以用 这个基准量表示出来了.
7.化简：2[（m﹣1）m+m（m+1）][（m﹣1）m﹣m （m+1）]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你 发现原式表示一个什么数？ 解：2[（m﹣1）m+m（m+1）][（m﹣1）m﹣m （m+1）]， =2（m2﹣m+m2+m）（m2﹣m﹣m2﹣m）， =﹣8m3， 原式=（﹣2m）3，表示3个﹣2m相乘．
2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]．
若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表
示一个什么数？
解：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]
＝2（m－1）2m2－m2（m＋1）2
＝－8m3.
原式＝(－2m)3，表示 3 个－2m 相乘．
(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解 其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和 分类等数学思想．
5．（2012铜仁）照如图所示的操作步骤，若输入x的值
为5，则输出的值为
．
解：（5+5）2﹣3=100﹣3=97， 6. （2012安徽，5，4分）某企业今年3月份产值为 万元，4月份比3月份减少了10％，5月份比4月份增加
了15％，则5月份的产值是（ A ）
解析：根据4月份比3月份减少10﹪，可得4月份产值 是（1－10﹪）a, 5月份比4月份增加15﹪，可得5月 份产值是（1－10﹪）（1+15﹪）a