1.3.1-函数的单调性与导数 -求参问题
高中数学 1.3.1利用导数判断函数的单调性教材分析 新人教B版选修22
2015高中数学 1.3.1利用导数判断函数的单调性教材分析新人教B版选修2-2教材分析:导数与函数的单调性是人教B版《数学》选修2-2第一章的内容。
在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。
函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。
以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。
同时，在本章第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。
因此，学习本节内容具有承上启下的作用。
结合高考大纲的要求和考虑到学生基础的实际，从简单入手，探索函数的单调性与导数的关系，并求函数的单调区间，去除比较难的部分利用导数信息绘制函数的大致图像。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：【教学目标】1、知识与能力：理解单调性的导数定义,并会利用导数解决函数的单调性.2、过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3、情感态度与价值观：（1）通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。
（2）通过导数研究单调性的基本步骤（即算法）的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点】利用求导的方法判定函数的单调性。
【教学难点】为什么会将导数与函数的单调性联系起来【教学方法】启发式教学【课时安排】 1 课时【课程类型】新授课。
函数的单调性与导数[二]
![函数的单调性与导数[二]](https://img.taocdn.com/s3/m/62688709453610661ed9f477.png)
2°用“导数法” 求单调区间的步骤
注：单调区间不可以并起来。
一．应用导数求函数的单调区间
1．确定下列函数的单调区间：
1( fx ) 2 x 3 x 1 21 x )
3 2
(2) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
x 3) f (x) sinx 2
尝试高考
函 数 y x c o s x s i n x 在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 ( B) p 3 p 3 p 5 p A .( , ) B . (, pp 2 )C .( , ) D .( 2 pp , 3 ) 22 22
b x 6 . 讨 论 函 数 f() x2 (1 x1 ， b 0 ) 的 单 x 1 调 性 ；
(B)–1<a<1 (D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (B)(C)部份单调增，部分单调减 (C)(D) 单调性不能确定
3 2 4 .函 数 f(x )x a x b xc ,其 中 abc ,,为 常 数 ，
当 a 3 b0 时 ， f(x ) 在上 R ( A)
2
(A ) 增 函 数 (B ) 减 函 数 (C ) 常 数 (D ) 既 不 是 增 函 数 也 不 是 减 函 数
1 3 2 5 . 求 fx a x x 1 a 0 的 ) ) 3 单 调 区 间 和 单 调 性 ；
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解： f ( x ) 的大致形状如右图：
变化,切线平行x轴
y f ( x)
1.3.1函数的单调性与导数( 二)
§1.3.1函数的单调性与导数（二） 学习目标1.会利用函数单调性与导数的关系，求参数的范围；2.会利用函数单调性与导数的关系，证明简单的不等式.3.会求复合函数的单调区间.学习过程1.复习：导数求函数单调区间的步骤2..例题展示：【例1】求下列函数的单调区间：（1）)1ln()(-=x x f ; (2)x x x f ln )(-=. (3));2ln()(2--=x x x f (4)2)(-=x e x f x【例2】试利用函数单调性证明下面不等式：（1）);,0(,sin π∈<x x x（2）);1,0(,02∈>-x x x （3）;0,1≠+>x x e x（4）.0,ln ><<x e x x x练习：已知,1>x 求证：).1ln(+>x x【例3】►已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．小结：函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)即可．【例4】已知函数).0(2)1ln()(2≥+-+=k x k x x x f （1）当,2=k 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）求)(x f 的单调区间.巩固练习：1.函数x x y cos +=在),(+∞-∞内是（ ）A 增函数B 减函数C 有增有减D 不能确定2.函数c ax y +=2在区间),0(+∞内单调递增，则c a ,应满足（ ）A.0c =<且0a . B .是任意实数且c 0>a . C .0c 0,a ≠<且. D.是任意实数且c 0<a 3.对于Ｒ上的可导的任意函数，若满足,0)()1(≥'-x f x 则必有（ ） Ａ．)1(2)2()0(f f f <+ Ｂ．)1(2)2()0(f f f >+ Ｃ．)1(2)2()0(f f f ≥+ Ｄ．)1(2)2()0(f f f ≤+4.函数),1()(<<-=b a ex x f x 则（ ） A ．)()(b f a f =.B.)()(b f a f <.C.)()(b f a f >.D.)(),(b f a f 大小不确定 5.“0>a ”是“函数ax x x f +=3)(在区间),0(+∞上是增函数”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且,0)2(=f 当0>x 时有,0)()(2<-'xx f x f x 则不等式0)(2>x f x 的解集是（ ） A.),2()0,2(+∞- B.)2,0()2,( --∞ C.)2,0()0,2( - D.),2()2,2(+∞-7．函数[],2,0,sin 21)(π∈-=x x x x f 则其单调增区间为 . 8.若函数2)(p x p x x f +-=在),1(+∞上是增函数，则实数p 的取值范围是 .9.已知x e x x x f 211)(+-=,求)(x f 的单调区间.10.已知下列函数①);0()(>+=a x ax x f ②)0(13)(23≥+-=k x kx x f ；③).(ln )(R a x a x x f ∈-=试分别讨论它们的单调区间.11.已知函数).(21)()(2R b x b bx x x f ∈-++=若其在区间)31,0(上单调递增，求b 的取值范围.。
新湘教版高中数学选择性必修第二册1.3.1函数的单调性与导数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
要点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0❶
单调递_增___
f′(x)<0❷
单调递__减__
批注❶ f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲 线呈上升趋势．
方法归纳
利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3 已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
解析： 由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
题型探究·课堂解透
题型1 单调性与导数的关系 例1 设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的 图象可能是( ) 答案：B
解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时， f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时， f(x)先减，后增，最后减，所以f′(x)先负 后正，最后为负．
基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 都 有 f′(x)<0 ， 则 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 单 调 递 减．( × ) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( × ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值 越大．( √ )
1.3.1 函数的单调性与导数
2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零 的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．
3．注意在某一区间内 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数 f(x)在该 区间上为增(或减)函数的充分条件．如 f(x)＝x3 是 R 上的可导函 数，也是 R 上的单调递增函数，但当 x＝0 时，f′(x)＝0.
第10页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
(3)由 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0<x<2π，
知 f′(x)＝cosx＋sinx＋1.
π 于是 f′(x)＝1＋ 2sin(x＋ 4 )．
令
f′(x)＝0，从而
π sin(x＋ 4 )＝－
22，
3π 得 x＝π，x＝ 2 .
第11页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
题型三 根据函数单调性求参数范围 互动 1 函数 f(x)在(a，b)内 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数在 区间(a，b)内为增(或减)函数的充要条件吗？
第25页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
【解析】 函数 f(x)在区间(a，b)内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函 数 f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如 果出现个别点使 f′(x)＝0，不会影响函数 f(x)在包含该点的某个 区间内的单调性．例如函数 f(x)＝x3 在定义域(－∞，＋∞)上是增 函数，但由 f′(x)＝3x2 知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任 意一点处都满足 f′(x)>0.
1－x2
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
函数的单调性与导数
练习 试画出导函数图像的大致形状。y Nhomakorabeay
y=f(x)
Oa
O a bc
x
y
y fx
bc
x
小结
1.函数单调性与导数符号的关系是:
单调递增
导数 f (x) > 0
单调递减
导数 f (x) < 0
2.求函数单调性的步骤：
①确定函数y=f(x)的定义域;
②求出函数的导数f (x);
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
(4) f (x)=__6_x_2+__6_x_-2_4_____
当 f (x)>0, 即x 1 17 或x 1 17 时，f(x)单调递增
2
2
当 f (x)<0, 即 1 17x1 17时，f(x )单调递减
2
2
所以函数的单调递增区间为 （- ，-1- 17 ）、（ -1+ 17 ，+）
f (x)>0 (x≠0)
f (x)↗ f (x)=3x2
f (x) <0 f (x) ↘
f (x)<0 f (x)↘
1
f (x)= x 2
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
f (x1)<0
y
f (x)在x1附近↘
f (x0)>0 f (x)在x0附近↗
(x1, f(x1)) O
练习 （课本P26练习1）
判断下列函数的单调性,并求出单调区间
1 fx x 2 2 x 4 3 fx 3 x x 3
2 fx ex x 4 fx x 3 x 2 x
初中数学：1.3.1函数的单调性与导数
练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
可知 在此区
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象
O1
4
的大致形状如右图所示.
x
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解: (1) 因为
, 所以
因此, 函数 (2) 因为
在
上单调递增.
, 所以
当
, 即 时, 函数
当
, 即 时, 函数
单调递增; 单调递减.
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：
本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题 求证：方程
只有一个根。
作业：
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。
解:
在
内是减函数.
由 的递减区间是 函数.
, 解得 , 即函数
, 所以函数
在
内是减
一、求参数的取值范围
1.3.1函数的单调性与导数
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，
∴a<0且△=36+12a≤0，
∴a ≤-3
玉林市一中高二数学组
练习2 已知函数f (x )= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0, 若f (x )在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
'(x)>0(或<0) 但由f（xf ）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，
本题用到一个重要的转化： 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
玉林市一中高二数学组
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： 取值→作差→变形→定号→下结论 3. 判断函数单调性有哪些方法？ 定义法
图象法
玉林市一中高二数学组
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然
分析：
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数
f ( x ) 图象的大致形状。
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
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3a 3a 上为减函数， ， 3 3 3a 3a ， ， 3 3
∴f(x)的单调递减区间为 －
3a ∴ 3 ＝1，即 a＝3.
已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围．
2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的范围．
1.3.1函数的单 调性与导数
高二数学 选修2-2
第一章
导数及其应用
在某个区间(a, b)内,
f '( x ) 0
f ( x)在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0
注意：
f ( x)在(a, b)内单调递减
如果恒有 f ' ( x) 0 ，则 f ( x) 是常数。
注意：如果只有个 别点使得f(x0 ) 0,则个别点不影响函数 f(x) 的单调性。
(1) a 0 b 由 f ( x) 0, 得 x , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( ,); 相应地, 函数的递减区间是 (, ) 2a 2a (2) a 0 b 由 f ( x) 0, 得 x , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( , ) ; 相应地, 函数的递减区间是 ( ,) 2a 2a
只有一个根。
1 f ( x ) x - sin x,x ( , ) 2 1 f '( x ) 1 cos x 0 2 f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（ f x )=0 1 方程x sin x 0有唯一的根x 0. 2
1、函数的单调性是函数的局部性概念； 2、应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义 域内的某个区间。
1.讨论二次函数 f ( x) ax 2
解:
bx c(a 0) 的单调区间. 2 f ( x) ax bx c(a 0) f ( x) 2ax b.
增，求a的取值范围。
解：f ( x ) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增, f '( x ) 3ax2 - 2x 1 0在(-,+)上恒成立。
a 0 4 12a 0 1 a 3
已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围．
[ 跟踪训练] 2．设f(x)＝e －ax－2，求f(x)的单调区间.
[ 解] f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若 a≤0，则 f′(x)＞0， 所以 f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增． 若 a＞0，则当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当 a≤0 时，函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a＞0 时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
函数f ( x ) x ax bx c , 其中a , b, c为常数，
3 2
当a 3b 0时，f ( x )在R上(
2
A )
( A)增函数 (C )常数
( B )减函数 ( D )既不是增函数也不是减函数
题型二：已知单调性，求参数；
例1：若函数f (x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增，
x
【导学
例 5、 已知函数f ( x) a ln x ax 3(a R)，
求f ( x)的单调区间。
a a (1 x) f ( x) a ( x 0) x x
/
f / ( x) 0 f ( x)在(0, )上不具单调性； (1)当a 0时，
(2)当a 0时，由f / ( x) 0
[ 思路探究] fx单调递增 ―→ f′x≥0恒成立 ―→ 分离参数求a的范围
[ 解]
由已知得 f′(x)＝3x2－a，
因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立，因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0， f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数，所以 a≤0.
[ 解] ∵f(x)＝x3－ax－1， ∴f′(x)＝3x2－a， 由 f′(x)＝0， 3a 得 x＝± 3 (a≥0)， ∵f(x)在区间(－1,1)上不单调， 3a ∴0＜ 3 ＜1，即 0＜a＜3. 故 a 的取值范围为(0,3)．
3
三、方程根的问题 例3：求证：方程
1 x sin x 0 2
四、不等式证明问题
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
பைடு நூலகம்
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x) max m f (x)恒成立 m f (x) min
已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围．
母题探究：1.(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的 取值范围．
[ 解] 由 f′(x)＝3x2－a，
①当 a≤0 时，f′(x)≥0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
3a ②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝± 3 ， 3a 3a 当－ 3 ＜x＜ 3 时，f′(x)＜0.
0 x 1；
由f / ( x) 0 x 1
(3)当a 0时，由f / ( x) 0 x 1；由f / ( x) 0 0 x 1。
综合上述
3 2 f(x) ax 3 x x 1在R上是 1.（全国卷Ⅰ）已知函数 减函数，求a的取值范围.
由题意可知 f′(x)＝3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立，
3－a≤0 ，即 3－a≤0
[ 解]
f′－1≤0 ∴ f′1≤0
，∴a≥3.
即 a 的取值范围是[3，＋∞)．
已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围．
3．(变条件)若函数f(x)＝x －ax－1在(－1,1)上不单调，求a的范围．
a的取值范围是（-∞，-3]
4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a的取值范围是 ( A．[1，＋∞) C．(－∞，1] B．a＝1 D．(0,1) ) 【导学号：31062040】
A
[∵f′(x)＝3x2－2ax－1，
且 f(x)在(0,1)内单调递减， ∴不等式 3x2－2ax－1≤0 在(0,1)内恒成立， ∴f′(0)≤0，且 f′(1)≤0，∴a≥1.]