2015-2016年北京市101中学高一(上)期中数学试卷及参考答案
北京市海淀101中学2016-2017学年高一数学下学期期中试题(含解析)
北京101中学2016-2017学年下学期高一年级期中考试数学试卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在ABC △中，4a =，60A =︒，45B =︒，则边b 的值为（）．A ．364 B ．2+ C ． D ．1【答案】A【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =，可得4sin60sin 45b=︒︒，∴4sin 45sin 60b ︒==︒， ∴A 项正确．2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（）．A ．9B ．3C ．3-D ．6-【答案】D【解析】∵1a ，3a ，4a 成等比数列，所以有214ba a a =⋅， 21(2)a d ⇒+，11(3)a a d =+， 1a d ⇒⋅，24d =-，又∵2d =，∴18a =-， ∴2826a =-+=-， 故选D ．3．下列结论正确的是（）．A ．若ac bc <，则a b <B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，0c <，则ac bc <D ，则a b >【答案】C【解析】对于A ，若0c <，不成立，对于B ，若a ，b 均小于0或0b <，不成立，对于D ，其中0a ≥，0b >，平方后有a b <，不成立，故选C ．4．已知13a -≤≤，24b ≤≤，则2a b -的取值范围是（）．A ．[]6,4-B ．[]0,10C ．[]4,2-D ．[]5,1-【答案】A【解析】∵[1,3]a ∈-，∴2[2,6]a ∈-， ∵[2,4]b ∈，∴[4,2]b -∈--， 则2[6,4]a b -∈-， 故选A ．5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b a c =，且2c a =，则cos B =（）．A ．41B ．43C ．42 D ．32 【答案】B【解析】将2c a =代入得：222b ac a ==，即b =，∴2222222423cos 244a c b a a a B ac a +-+-===， 故选B ．6．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：1si c )s (n o f x x x =+，2()f x x =3()sin f x x =，则（）．A ．1()f x ，2()f x ，3()f x 为“同形”函数B ．1()f x ，2()f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数C ．1()f x ，3()f x 为“同形”函数，且它们与2()f x 不为“同形”函数D ．2()f x ，3()f x 为“同形”函数，且它们与1()f x 不为“同形”函数 【答案】B【解析】∵1()sin cos f x x x =+， π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2()f x x =+3()sin f x x =，则1()f x ，2()f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数， 选B ．7．已知函数21()(2cos 1)sin2cos42f x x x x =-+，若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=α的值是（）．A ．5π8B ．11π16C ．9π16D ．7π8【答案】C【解析】1()cos2sin 2cos42f x x x x =+，11sin 4cos422x x =+， 1(sin 4cos4)2x x =+，π44x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π9174π,π444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，若()f αππ42π()42x k k +=+∈Z ，ππ162kα=+，当1k =时， 9π16α=， 故选C ．8．已知(1,1)1f =，(,)(,)f m n m n ∈∈N N **，且对任意m ，n ∈N *都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=．以下三个结论：①(1,5)9f =；②(5,1)16f =；③(5,6)26f =． 其中正确的个数为（）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】∵(,1)(,)2f m n f m n +=+，(1,1)1f =，∴{}(,)f m n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴(1,)21f n n =-． 又∵(1,1)2(,1)f m f m +=，∴{}(,1)f m 是以1为首项2为公比的等比数列， ∴(,1)21f n n =-， ∴(,1)2?12f m n m n +=-+． 由(1,5)2519f =⨯-=，故（1）正确． 由(5,1)2416f ==，故（2）正确． 由(5,6)242626f =+⨯=，故（3）正确． 故答案为3．二、填空题共6小题．9．在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则前9项之和9S =__________． 【答案】99【解析】在等差数列中，14739a a a ++=， 36927a a a ++=，∴413a =，69a =，∴4622a a +=，又4619a a a a +=+， ∴数列{}n a 的前9项之和199()92a a S +⨯=， 2292⨯=， 99=．10．已知1x >，函数41y x x =+-的最小值是__________． 【答案】5 【解析】∵1x >， ∴41y x x =+-， 411151x x =+-+=-≥， 当且仅当3x =时，“=”成立，故最小值为5．11．计算：1111133557(21)(21)n n ++++=⨯⨯⨯-+__________．【答案】21nn + 【解析】原式111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 21nn =+．12．在等比数列{}n a 中，12a =-，454a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________． 【答案】13n -【解析】∵14254a a =-⎧⎨=-⎩，∴327q =+，即3q =+， ∴12(3)n n a -=⨯+， ∵1(1)1n n a q S q-=-，2(13)13n --=-，13n =-．13．在ABC △中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，则ABC △的形状为__________． 【答案】等边三角形【解析】∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， 得lgsin lgsin 2lgsin A C B +=，即2sin sin sin B A B =①， 又三内角A 、B 、C 也成等差数列， ∴60B =︒， 代入①得3sin sin 4A B =②， 设60A α=︒-，60B α=︒+， 代入②得3sin(60)sin(60)4αα︒+︒-=，22313cos sin 444αα⇒-=， 即2cos 1α=， ∴0α=︒， ∴60A B C ===︒， ∴为等边三角形．14．给出下列命题：①若0a b <<，则11a b <；②若0a >，0b >，则2a b ab a b++；③若0a b <<，则22a ab b >>；④lg9lg111⋅<；⑤若a b >，11a b>，则0a >，0b <；⑥正数x ，y 满足111x y+=，则2x y +的最小值为6．其中正确命题的序号是__________． 【答案】②③④⑤【解析】①令2a =-，1b =-，112a =-，11b=-， 11a b>，不符合． ②若0a >，0b >，则2a bab +（当且仅当a b =时，取等号），11ab ab a b =-+⎭，00=>≥，ab a b+，综上，2a b aba b ++． ③若0a b <<，则20a ab >>，20ab b >>， 因此，22a ab b >>，故③正确． ④2lg9lg11lg9lg112+⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，22lg99lg100122⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故④正确． ⑤若a b >，111100b a a b a b ab->⇔->⇔>， ∴0a bab-<，则0ab <， ∴0a >，0b <，⑤正确．⑥正数x ，y 满足111x y +=，则112(2)x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，2123y xx y=++++≥ ⑥错，∴②③④⑤正确．三、解答题（共5小题，分值分别为8分、8分、10分、12分、12分，共50分）15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且c =105A =︒，30C =︒．求： （1）b 的值． （2）ABC △的面积． 【答案】（1）2（2【解析】（1）∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒，又C =1sin 2C =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 221sin 2C Bb C===．（2）2b =，c =sin sin105A =︒， sin(6045)=︒+︒，sin60cos45cos60sin45=︒︒+︒︒，=∴1sin 2ABC S bc A =△，122=⨯，16．某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的关系可近似地表示成230400010xx y +=-，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．【答案】年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元． 【解析】设每吨的平均成本W （万元/t ），则400030301010y x W x x ==+-=≥， 当且仅当400010x x=，200x =（t ）的每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．17．已知函数ππ()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（a ∈R ，a 为常数）．（1）求函数的最小正周期． （2）求函数的单调递减区间．（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2-，求a 的值．【答案】见解析【解析】（1）ππ()2sin 2cos cos 23sin 2cos 22sin 266f x x x a x x a x a ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）单调递减区间为2ππ,π()63k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π7π266x +=即π2x =时，()f x 取得最小值．所以ππ2sin 2226a ⎛⎫⋅++=- ⎪⎝⎭，所以1a =-．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n S n =，数列{}n b 为等比数列，且11a b =，2211()b a a b -=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． （2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）42n a n =-，1124n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）565499n n n T -=+ 【解析】19．已知点(,)()n n a n ∈N *在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项． （1）求数列{}n b 的通项公式．（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，()n n l d c n d +∈=N *．求数列{}n d 的前n 项和n D ．（3）在（2）的条件下，设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数1x ，2x ，恒有121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）依题意得22n a n =--，故14a =-． 又268n n T S n =+，即34n n T S n =+，所以，当2n ≥时，113()43462n n n n n n b T T S S a n --=-=-+=+=--． 又111134348b T S a ==+=+=-也适合上式， 故62n b n =--．（2）因为83628321n n c b n n n n =++=--++=+， 121n n d n d c d +==+，因此112(1)(*)n n d d n ++=+∈N ．由于113d c ==，所以{}1n d +是首项为114d +=，公比为2的等比数列． 所以111422n n n d -++=⨯=，所以121n n d +=-．所以23124(21)2222421n n n n D n n n ++-=++⋯+-=-=---（）． （3）方法一：111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 则111111111(2)2(2)2(2)(2)221224241n n n n n n n n n n n d d g g g g g a g a d d ----++-++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===+=+++．所以111122114n n n n d d g g a d d --++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=++． 因为已知a 为常数，则数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是等差数列．方法二：因为121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =， 所以111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 1221222(2)22(2)2(2)22(2)2(2)n n n n n g g g g g -----⎡⎤=++=⨯+⎣⎦， 123313322(2)22(2)2(2)32(2)2(2)n n n n n g g g g g -----⎡⎤⎣⎦=⨯++=⨯+，1111(1)2(2)2(2)2(2)2n n n n n g g n g an ----==-⨯+=⋅=⋅，所以11122124n n n n d g an a n d -++⎛⎫⎪⋅⎝⎭==+． 所以数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是等差数列．。
北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共3套)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2016北京海淀区北京一零一中学高一(上)期中数学
2016北京二十中高一（上）期中数学一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，5，6}，则集合∁U（A∪B）是（）A．{2，4，6} B．{1，3，4} C．{1，2，3，5，6} D．{4}2．（5分）下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）A．B．f（x）=C．f（x）=（x﹣1）3D．f（x）=2x3．（5分）下列函数中与函数y=x﹣1表示的是同一函数的是（）A．y=B．y=x﹣x0C．y=D．y=x+log34．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．（5分）直线y=ax+b的图象如图所示，则函数h（x）=（ab）x在R上（）A．为增函数 B．为减函数 C．为常数函数D．单调性不确定6．（5分）设f（x）=，则f[f（2）]=（）A．2 B．3 C．9 D．187．（5分）若a是函数f（x）=3x﹣log x的零点，且f（b）＜0，则（）A．0＜b＜a B．0＜a＜b C．a=b D．a≤b8．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= ．10．（5分）对于实数a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x﹣1）+3的图象恒过定点P，则定点P的坐标是．11．（5分）已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x）（x∈R），且该函数的图象与y轴交于点（0，3），在x轴上截得的线段长为2，则该二次函数的解析式为．12．（5分）若函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是．13．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x ＜3时．f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）= ．14．（5分）设f（x）是（0，+∞）上的增函数，当n∈N+时，f（n）∈N+，且f[f（n）]=2n+1，则f（1）= ，f （2）= ．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）计算下列各式的值：（1）8+（0.01）+（）；（2）21g5+lg8+lg5•lg20+（lg2）2．16．（13分）记函数f（x）=lg（x2﹣1）的定义域为A，g（x）=（其中a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．17．（13分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义证明函数在区间（0，+∞）上是增函数．18．（13分）设二次函数f（x）=﹣x2+2ax+b，集合A={x|x2+x=0}，集合B={x|f（x）=5}，已知A∩B={0}．（1）求b的值；（2）求此二次函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）是否存在实数a，使f（x）的定义域和值域是[1，a]，若存在，求出a，若不存在，说明理由；（2）若f（x）在x∈[0，1]上有零点，求实数a的取值范围；（3）对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x）|≤4，求实数a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）满足：①∀s，t∈R有f（s+t）=f（s）+f（t）+st；②f（3）=6；③∀x＞0，有f （x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）证明；函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）求满足f（2x）+f（2x+1）＜4的x的取值范围．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【解答】∵A={1，3，5}，B={2，5，6}，∴A∪B={1，2，3，4，5，6}又U={1，2，3，4，5，6}，∴C U（A∪B）={4}，故选D2．【解答】对于A，定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数对于B，定义域为{x|x≠1}不对称，从而是非奇非偶函数对于C，f（﹣x）=﹣（x+1）3≠﹣f（x）=﹣（x﹣1）3，故不是奇函数对于D，f（﹣x）=2﹣x≠﹣f（x）=﹣2x，故不是奇函数故选A．3．【解答】选项A：定义域为{x|x≠﹣1}，故不同；选项B：定义域为{x|x≠0}，故不同；选项C：y=|x﹣1|，故不同；选项D：相同；故选D．4．【解答】∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，∴a＞b＞c．故选A．5．【解答】由图可知x=﹣1时，y=b﹣a=0．∴a=b，当x=0时，y=b，0＜b＜1，∴0＜a，b＜1，根据指数函数的性质，∴h（x）=（ab）x，为减函数．故选B．6．【解答】∵f（x）=，∴f（2）=，f[f（2）]=f（1）=2e1﹣1=2．故选：A．7．【解答】∵y=3x为增函数，y=log x为减函数，故f（x）=3x﹣log x在其定义域（0，+∞）上为增函数，∵a是函数f（x）=3x﹣log x的零点，∴f（a）=0，又∵f（b）＜0，∴0＜b＜a，故选：A．8．【解答】∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【解答】由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．10．【解答】由对数的性质y=log a x，恒过（1，0），即log a1=0，∴令x﹣1=1可得x=2，∴f（2）=log a（2﹣1）+3=3，∴函数图象恒过定点（2，3），故答案为：（2，3）．11．【解答】∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的对称轴为x=2，设f（x）=0的两个零点分别为x1，x2，x1＜x2，则x1+x2=4，又f（x）图象在x轴上截得的线段长为2，∴x2﹣x1=2，解方程组，得x1=1，x2=3，设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），∵f（x）图象与y轴交于点（0，3），∴f（0）=3a=3，∴a=1．∴f（x）=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．故答案为：f（x）=x2﹣4x+3．12．【解答】∵函数f（x）=是R上的增函数，∴，求得2＜a≤4，故答案为：（2，4]．13．【解答】∵f（x+6）=f（x），∴T=6，∵当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时．f（x）=x，∴f（1）=1，f（2）=2f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1；f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=335×1+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=336故答案为：336．14．【解答】由f[f（n）]=2n+1，令n=1，2得：f[f（1）]=3，f[f（2）]=5．∵当n∈N*时，f（n）∈N*，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，①若f（1）=1，则由f[f（1）]=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立；②若f（1）=2，则f（2）=3，故答案为：2；3．三、解答题（共6小题，满分80分）15．【解答】（1）8+（0.01）+（）=4+10+3=17（2）21g5+lg8+lg5•lg20+（lg2）2=21g5+2lg2+lg5（1+lg2）+（lg2）2=2+lg5+lg2（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=316．【解答】（1）∵函数f（x）=lg（x2﹣1），∴x2﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞1；∴f（x）的定义域为A={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）∵g（x）=（其中a＜1），∴（x﹣a﹣1）（2a﹣x）≥0，即（x﹣a﹣1）（x﹣2a）≤0，解得2a≤x≤a+1，∴g（x）的定义域为B={x|2a≤x≤a+1}；又B⊆A，当2a≥a+1时，即a≥1，不合题意，舍去；当a＜1时，有a+1＜﹣1或2a＞1，解得a＜﹣2或a＞，所以实数a的取值范围是{a|a＜﹣2或＜a＜1}．17．【解答】（1）∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（1）+f（﹣1）=0，即2（1+a）+0=0，∴a=﹣1．（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），使得△x=x2﹣x1＞0，则△y=f（x2）﹣f（x1）=﹣==，∵x2﹣x1＞0，x1x2+1＞0，x1x2＞0，∴△y＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增．18．【解答】（1）∵A={0，﹣1}，A∩B={0}，∴0∈B，∴f（0）=b=5由f（﹣1）≠5，得a≠﹣；（2）由（1）可得f（x）=﹣x2+2ax+5，对称轴为x=a．①a≤﹣2，f（x）在[﹣2，4]上为减函数，∴x=﹣2时，f（x）max=﹣4a+1；①﹣2＜a＜4且a≠﹣，x=a时，f（x）max=a2+5；③a≥4时，f（x）在[﹣2，4]上为增函数，∴x=4时，f（x）max=8a﹣11，综上所述，f（x）max=．19．【解答】（1）函数f（x）=x2﹣2ax+5的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，其中a＞1，当x∈[1，a]时，函数为减函数，当x=1时，函数取最大值6﹣2a，当x=a时，函数取最小值5﹣a2，若存在实数a，使f（x）的定义域和值域是[1，a]，则5﹣a2=1，且6﹣2a=a，解得：a=2；（2）①当a∉[0，1]时，若f（x）在x∈[0，1]上有零点，则f（0）f（1）=5（6﹣2a）≤0，解得：a≥3；②当a∈[0，1]时，△=4a2﹣20＜0，f（x）在x∈[0，1]上没有零点，综上所述：a≥3；（3）若对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x）|≤4，只须﹣4≤f（x）max≤4，且﹣4≤f（x）min≤4，①当a∉[1，a+1]，即0＜a＜1时，f（x）max=f（a+1）=6﹣a2，f（x）min=f（1）=6﹣2a，此时不等式组无解，即此时不存在满足条件的a值；②当a∈[1，a+1]，即a≥1时，f（x）max=f（a+1）=6﹣a2，或f（x）max=f（1）=6﹣2a，f（x）min=f（a）=5﹣a2，1° 若1≤a≤2，则f（x）max=f（a+1）=6﹣a2，解得：a∈[，2]，2° 若a＞2，则f（x）max=f（1）=6﹣2a，解得：a∈（2，3]，综上所述：a∈[，3]20．【解答】（1）由于∀s，t∈R有f（s+t）=f（s）+f（t）+st，则f （2）=f （1+1）=f （1）+f （1）+1=2f （1）+1，f （3）=f （1+2）=f （1）+f （2）+2=3f （1）+3，由于f （3）=6，则f （1）=1；（2）证明：令0＜m ＜n ，则n ﹣m ＞0，∀x ＞0，有f （x ）＞0，则有f （n ﹣m ）＞0，即有f （n ）=f （n ﹣m+m ）=f （n ﹣m ）+f （m ）+（n ﹣m ）m ＞f （m ），则有函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（3）解：令2x=a ＞0，则不等式f （2x ）+f （2x+1）＜4即为f （a ）+f （2a ）＜4，即有f （3a ）﹣2a 2＜4，由于当a=1时，f （3）=2+4=6，且f （x ）在（0，+∞）上单调递增，则有3a ＜3，即有a ＜1，则x ＜0，故解集为：（﹣∞，0）．2016北京海淀清华附中实验班高一（上）期中数 学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B （ ）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅ 2．计算238=-（ ）．A ． 4-B ． 14-C ． 4D ． 143．函数1()93xf x =-的定义域为（ ）． A ．(,2]-∞B ． (,2)-∞C ．(0,2]D ． (0,2) 4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =的集合A 共有（ ）． A ．6个 B ．7个 C ．8个D ．10个 5．函数1()24x f x x =+的零点在区间（ ）． A ．(3,2)-- B ． (2,1)--C ．(1,0)-D ． (0,1) 6．函数2()21f x x ax =-+，且有 (1)(2)(3)f f f <<，则实数a （ ）． A ．32a < B ． 32a ≤ C ．1a < D ． 1a ≤7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（ ）．A ．2p q +B ． (1)(1)12p q ++-C ． pqD ． (1)(1)1p q ++-8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x A f x x A∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（ ）． A ．若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________． 【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________．11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________．12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+（1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________．14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题：①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____． 三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>． （Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B ð． （Ⅱ）若()U A B =∅ð，求实数a 的取值范围．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<． （Ⅰ）当3a =时，求A B ．（Ⅱ）若A B 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠． （Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值． （Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ， 22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足： （1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-． （3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->． （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数．（Ⅲ）若2112222f m fm ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=，称X Y =．（2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值． （Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值．数学试题答案一、选择题（每小题5分，共40分） 1． 【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =， 故选：A ． 2． 【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===． 故选：D ． 3． 【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞． 故选：B ． 4． 【答案】C 【解析】解：∵{}{},,,,,,Aa b c a b c d e =，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ． 5． 【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ． 6． 【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-， 解得32a <． 故选：A ． 7． 【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+， 解得：(1)(1)1x p q =++-． 故选：D ． 8． 【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =，()1A f x =，()1B f x =， 所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ， 所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分） 9．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-． 10．【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥， 则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥， 解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．11．【答案】(,10)[0,1]-∞-【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：x11故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-． 12．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-，当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-， 当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．【答案】（1）13；（2）2013 【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =． 故m 的最大值为2013． 14．【答案】见解析 【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误． 对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题 15．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-， 若()U A B =∅ð，则1a -<，即：1a >-．故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B 中存在一个元素为自然数，则3A ∈． 当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意， 当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞． 17． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12， 当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=，当12a =时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=． （Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++，又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项． 故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：625k <--或625k >-+，∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--．故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数，∵2112222f m fm ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2111222m m +->-， 即：2430m m -+>， 解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ． 20．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)，(1,0,0,00)，(0,1,00)，(0,0,10)(0,0,01)共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +． （Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---，显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素， 故B 中最多有12n -个元素．2016北京海淀区北京一零一中学高一（上）期中数 学选择1. 已知集合A= {x |x< 1}，则下列关系正确的是（ ）． A. 0 ⊆ A B. {0} ∈ A C. ∅ ∈ A D. {0} ⊆ A2. 三个数a = 0.32，b = 0.30，c = 1.20.3之间的大小关系是（ ）． A. a < c < b B. b < c < a C. b < a < c D. a < b < c3. 下列函数中，在区间(0, +∞)上存在最小值的是（ ）． A. y = (x − 1) 2B. y =xC. y = 2xD. y =x14. 函数f (x) = 2x+ 3x 的零点所在的一个区间是（ ）． A. (−2, −1) B. (−1, 0) C. (0, 1) D. (1, 2)5. 集合A= {a, b}，B = {−1, 0, 1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a) + f (b) = 0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是（ ）．A. 2B. 3C. 5D. 86. 函数f (x) = (x − a) (x − b)（其中a> b ）的图象如右图所示，则函数g(x) = a x+ b 的大致图象为（ ）．A. B. C. D.7. 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤--=012012)(x x x f xx ，若g(x) = f (x) − a 有两个零点，则a 的取值范围是（ ）． A. (0, +∞) B.(0, 1) C. (0, 1] D. (−1, +∞)8. 设定义在(−∞, +∞)上的偶函数f (x)满足f (x + 1) = − f (x)，且f (x)在[−1, 0]上是增函数，下面四个关于f (x)的命题：①f (x)图像关于x = 1对称；②f (x)在[0, 1]上是增函数；③f (x)在[1, 2]上是减函数；④f (2) = f (0)．正确的命题个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 4 填空9.求值：=++231-211-064.0）（）（）（ 10. 设函数f (x) = 2x + 3，g (x + 2) = f (x)，则g (x)的解析式是 ．11. 已知二次函数y= x 2−2ax +1在区间(2, 3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 12. 已知函数f (2x − 1)的定义域为(1, 2] ，则函数f (2x + 1)的定义域为 ．13. 若函数 f (x)为定义在R 上的奇函数，当x> 0时候，f (x) = 2x− 3，则不等式 f (x) > 1的解集为 ．14. 已知x ∈R ，定义：A (x)表示不小于x 的最小整数，如A (3)=2，A (−1.2) = −1．若A (2x+ 1) =3，则x 的取值范围是 ；若x > 0，且A (2x ⋅ A (x)) = 5，则x 的取值范围是 ．解答 15. 计算 e ln 1log 1001lg772log 7+-+．16. 已知全集U= R ，集合A= {x |(x + 2) (x − 3) ⩽ 0}，B= {x |1 ⩽ x ⩽ 5}，C= {x |5 − a < x < a} ． （1） 求A ，(∁U A) ∩B ．（2） 若C ⊆ (A ∪B) ，求a 的取值范围．17. 已知x ，y ∈R ，有f (x + y) = f (x) + f (y)． （1） 判断f (x)的奇偶性．（2） 若x> 0时，f (x) > 0，证明：f (x)在R 上为增函数．（3） 在条件（Ⅱ）下，若f (1) = 3，解不等式f (x 2− 1) − f (5x + 3) <6．18. 已知函数f (x) = x 2+ (2a − 1) x − 3．（1） 当a=2，x ∈ [−2, 3]时，求函数f (x)的值域．（2） 若函数f (x)在闭区间[−1, 3]上的最小值为−7，求实数a 的值．19. 已知函数f (x) = x 2 − ax + 1，g (x) = 4x − 4 ⋅ 2x−a ，其中a ∈ R ． （1） 当a=0时，求函数g (x)的值域．（2） 若对任意x ∈ [0, 2] ，均有|f (x)| ⩽2，求 a 的取值范围． （3） 当a<0时，设⎩⎨⎧≤=ax x g a x x f x h )())( （，若h (x)的最小值为27-，求实数a 的值．数学试题答案1.D2.D3.A4.B5.B6.A7.B8.B填空9.41510.2x −1 11.(−∞, 2] ∪ [3, +∞) 12.(−∞, 1]13.(−1, 0) ∪ (2, +∞) 14.①( 1 , 1] ②]45,1(解答 15. 2116.（1）{}32≤≤-=x x A ;{}53)(≤=x x B A C U（2）5≤a17.（1）f (x) 是奇函数 （2）证明略 （3）−1 < x < 618.（1）[421-, 15] （2） a 的值为3 或 23-19.（1）[−4, +∞) （2）[23,32] （3）a = −1。
北京市101中学2018-2019学年高一(上)期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}，则M∪N=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对集合M和N取并集即可得到答案.【详解】∵M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}；∴M∪N={x|x≤1}．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算.2.下列函数中，在（-1，+∞）上为减函数的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y=3x，为指数函数，在R上为增函数，不符合题意；对于B，y=x2-2x+3=（x-1）2+2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；对于C，y=x，为正比例函数，在R上为增函数，不符合题意；对于D，y=-x2-4x+3=-（x+2）2+7，在（-2，+∞）上为减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查指数函数和二次函数的单调性，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．3.计算log416+等于（ ）A. B. 5 C. D. 7【答案】B【解析】【分析】利用指数与对数运算性质即可得出．【详解】log416+=2+3=5．【点睛】本题考查指数与对数运算性质，属于基础题．4.函数＝＋的定义域为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由题，故选考点：函数的定义域。
5.函数y=的单调增区间是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数的单调性进行求解即可.【详解】令t=-x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，内层二次函数在[2，+∞）上为减函数，而外层函数y=为减函数，∴函数y=的单调增区是[2，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题．6.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则满足f（2x-1）＞f（）的x的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数为偶函数得f（|2x-1|）＞f（）,由函数的单调性可得|2x-1|＜，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．7.若函数f（x）=a|x+1|（a＞0．a≠1）的值域为[1，+∞），则f（-4）与f（0）的关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由函数f（x）的值域可得a＞1，然后利用单调性即可得到答案.【详解】∵|x+1|≥0，且f（x）的值域为[1，+∞）；∴a＞1；又f（-4）=a3，f（0）=a；∴f（-4）＞f（0）．故选：A．【点睛】本题考查指数函数的单调性，并且会根据单调性比较函数值的大小．8.对于实数a和b定义运算“*”：a•b=，设f（x）=（2x-1）•（x-2），如果关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范是（ ）【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，由题知y=f（x）与y=m恰有3个交点，观察图像即可得到答案．【详解】由已知a•b=得f（x）=（2x-1）•（x-2）= ，其图象如下：因为f（x）=m恰有三个互不相等实根，则y=m与y=f(x)图像恰有三个不同的交点，所以0＜m＜，故选：C．【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知全集U=R，集合A={x|x2-4x+3＞0}，则∁U A=___．【答案】{x|1≤x≤3}【解析】【分析】求出集合A,然后取补集即可得到答案.【详解】A={x|x＜1或x＞3}；∴∁U A={x|1≤x≤3}．故答案为：{x|1≤x≤3}．【点睛】本题考查集合的补集的运算，属基础题.10.若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过第___象限．【答案】一【解析】利用指数函数的单调性和恒过定点，再结合图像的平移变换即可得到答案.【详解】函数y=a x（0＜a＜1）是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数y=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故答案为:一．【点睛】本题考查指数函数的图象和性质，考查图象的平移变换．11.已知log25=a，log56=b，则用a，b表示1g6=______．【答案】【解析】【分析】先由lg2+lg5=1结合log25=a，解出lg5,然后利用换底公式log56=进行计算整理即可得到答案.【详解】∵log25=a=，解得lg5=．log56=b=，∴lg6=blg5=．故答案为：．【点睛】本题考查了对数运算性质，重点考查对数换底公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．12.函数y=（x≤0）的值域是______．【答案】（-∞，2]∪（3，+∞）【解析】【分析】先对函数进行分离常数,然后利用函数单调性即可求出值域．【详解】y=∴该函数在（-2，0]，（-∞，-2）上单调递增；∴x∈（-2，0]时，y≤2；x∈（-∞，-2）时，y＞3；∴原函数的值域为（-∞，2]∪（3，+∞）．故答案为：（-∞，2]∪（3，+∞）．【点睛】考查函数值域的概念及求法，分离常数法的运用，反比例函数值域的求法，属基础题．13.已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意不相等的实数x1，x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，成立，则实数a的取值范围______．【答案】（2，3]【解析】【分析】根据已知条件（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0得到函数f(x)的单调性，然后利用分段函数的单调性列不等式组即可得到答案.【详解】对任意实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，可得f（x）在R上为单调递增，则即解得a的取值范围为：2＜a≤3．故答案为：（2，3]．【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：(1)若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 14.设函数f（x）=a x+b x-c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号）①对任意的x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；②存在x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．【答案】①②③【解析】【分析】在①中，利用不等式的性质分析即可，在②中，举例a=2，b=3，c=4进行说明,在③中，利用零点存在性定理分析即可.【详解】在①中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=a x+b x-c x=c x[（）x+（）x-1]＞c x（+-1）=c x•＞0，故①正确；在②中，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16不能构成三角形，故②正确；在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC顶角为120°的等腰三角形，∴a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，根据函数零点存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数单调性、零点存在性定理和不等式性质的运用．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）15.已知函数f（x）=a x-1（x≥0）．其中a＞0，a≠1．（1）若f（x）的图象经过点（，2），求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【答案】（1）4 ；（2）见解析.【解析】【分析】(1)将点（，2）代入函数解析式，即可得到a值；（2）按指数函数的单调性分a>1和0<a<1两种情况，分类讨论，求得f（x）的值域．【详解】（1）∵函数f（x）=a x-1（x≥0）的图象经过点（，2），∴=2，∴a=4．（2）对于函数y=f（x）=a x-1，当a＞1时，单调递增，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≥a-1=，故函数的值域为[，+∞）．对于函数y=f（x）=a x-1，当0＜a＜1时，单调递减，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≤a-1=，又f（x）＞0，故函数的值域为．综上:当a＞1时，值域为[，+∞）．当0＜a＜1时，值域为．【点睛】本题考查指数函数图像和性质的应用，主要考查函数的单调性和函数值域问题．16.设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+（a-1）x+a2-5=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】（1）a=-3或a=1；（2）{a|a≤-3或a＞或a=-2或a=-}.【解析】【分析】（1）根据A∩B={2}，可知B中有元素2，带入求解a即可；（2）根据A∪B=A得B⊆A，然后分B=∅和B≠∅两种情况进行分析可得实数a的取值范围．【详解】（1）集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∩B={2}，则x=2是方程x2+（a-1）x+a2-5=0的实数根，可得：a2+2a-3=0，解得a=-3或a=1；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，当B=∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0无实数根，即（a-1）2-4（a2-5）＜0解得：a＜-3或a＞；当B≠∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0有实数根，若只有一个实数根，x=1或x=2，则△=（a-1）2-4（a2-5）=0解得：a=-3或a=，∴a=-3．若只有两个实数根，x=1、x=2，△＞0，则-3＜a＜；则（a-1）=-3，可得a=-2，a2-5=2，可得a=综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a＞或a=-2或a=-}【点睛】本题考查并，交集及其运算，考查数学分类讨论思想.17.函数f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1．（1）求a，b的值；（2）判断并用定义证明f（x）在（+∞）的单调性．【答案】（1）a=5，b=0；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可利用f（1）=1和f（-1）=-1，解方程组可得a、b值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明．【详解】（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，则f（-1）=-f（1）=-1，则有，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.（2）由（1）的结论，f（x）=，设＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=，又由＜x1＜x2，则（1-4x1x2）＜0，（x1-x2）＜0，则f（x1）-f（x2）＞0，则函数f（x）在（，+∞）上单调递减．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．18.已知二次函数满足，．求函数的解析式；若关于x的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围；若函数在区间内至少有一个零点，求实数m的取值范围【答案】（1）f（x）=2x2-6x+2；（2）t＞10；（3）m＜-10或m≥-2.【解析】【分析】（1）用待定系数法设二次函数表达式，再代入已知函数方程化简即可得答案；（2）分离参数后求f(x)的最大值即可；（3）先求无零点时m的范围，再求补集．【详解】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+2，（a≠0）∴a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=4x-4∴2ax+a+b=4x-4，∴a=2，b=-6∴f（x）=2x2-6x+2；（2）依题意t＞f（x）=2x2-6x+2在x∈[-1，2]上恒成立，而2x2-6x+2的对称轴为x=∈[-1，2]，所以x=-1时，取最大值10，t＞10；（3）∵g（x）=f（x）-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-（6+m）x+2在区间（-1，2）内至少有一个零点，当g（x）在（-1，2）内无零点时，△=（6+m）2-16＜0或或，解得：-10≤m＜-2，因此g（x）在（-1，2）内至少有一个零点时，m＜-10或m≥-2．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，考查恒成立问题的解法以及二次函数的零点问题，属于基础题.19.设a为实数，函数f（x）=+a+a．（1）设t=，求t的取值范图；（2）把f（x）表示为t的函数h（t）；（3）设f （x）的最大值为M（a），最小值为m（a），记g（a）=M（a）-m（a）求g（a）的表达式．【答案】（1）[，2]；（2）h（t）=at+，≤t≤2；（3）g（a）=．.【解析】【分析】（1）将t=两边平方，结合二次函数的性质可得t的范围；（2）由（1）可得=，可得h（t）的解析式；（3）求得h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，讨论对称轴与区间[，2]的关系，结合单调性可得h（t）的最值，即可得到所求g（a）的解析式．【详解】（1）t=，可得t2=2+2，由0≤1-x2≤1，可得2≤t2≤4，又t≥0可得≤t≤2，即t的取值范围是[，2]；（2）由（1）可得=，即有h（t）=at+，≤t≤2；（3）由h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，当-a≥2即a≤-2时，h（t）在[，2]递减，可得最大值M（a）=h（）=a；最小值m（a）=h（2）=1+2a，则g（a）=（-2）a-1；当-a≤即a≥-时，h（t）在[，2]递增，可得最大值M（a）=h（2）=1+2a；最小值m（a）=h（）=a，则g（a）=（2-）a+1；当＜-a＜2即-2＜a＜-时，h（t）的最小值为m（a）=h（-a）=-1-a2，若-1-≤a＜-，则h（2）≥h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（2）=1+2a，可得g（a）=2+2a+a2；若-2＜a＜-1-，则h（2）＜h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（）=a，可得g（a）=a+1+a2；综上可得g（a）=．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力，属于中档题．。
北京市101中学2015届高三上学期期中模拟考试数学试题 Word版含答案
北京101中学2014—2015学年度高三第一学期期中模拟试卷数 学 试 题一、填空题（将答案写在答卷纸上相应的位置） 1．计算=︒-)330sin( 。
2．已知=⋂∈==∈==B A R x x y y B R x x y y A 则},,|{},,sin |{2。
3．椭圆124322=+y x 的 离心率为 。
4．若i b i i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a 。
5．右图是某算法的流程图，则执行该算法输出的结果是=S 。
6．函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a 。
7．“0<c ”是“实系数一元二次方程02=++c x x 有两异号实根”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”） 8．函数],0[,sin cos )(π∈+=x x x x f 的最大值是 。
9．直线250154322=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为 。
10．在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是 。
11．已知向量a 和b 的夹角是60°，=-⊥==m b ma b b a 则实数且),(,2,1 。
12．函数)2sin 2lg(cos)(22xx x f -=的定义域是 。
13．在ABC ∆中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则 。
14．设函数0)(),()(3=+-=x f b bx x x f 若方程为常数的根都在区间[-2，2]内，且函数)(x f 在区间（0，1）上单调递增，则b 的取值范围是 。
二、解答题（将解答过程写在答卷纸上相应的位置）15．（本小题满发14分）已知.02cos 22sin =-xx （I ）求x tan 的值；（II ）求xx xsin )4cos(22cos +π的值16．（本小题满分14分）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。
(全优试卷)版北京市高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
北京市第二中学2016-2017学年第一学期期中试卷高一数学2016年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 一、选择题1．已知集合{1,3,5,7,9}U =，{1,5,7}A =，则U A =ð（ ）． A ． {1,3}B ．{3,9}C ．{3,5,9}D ．{3,7,9}2．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[(2)]f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ．23．为了得到函数133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数，则（ ）． A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x = B ．()1f x x -= C ．()12f x x = D ．()3f x x =6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）． A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞ B ．(3,)+∞ C ．(1,2) D ．(2,3) 8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称；（3）643log [log (log 81)]1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()8f =__________．10．函数()f x __________．11．已知函数()31x f x a -=+（0a >，且1a ≠）．恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x ，满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可）14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t （年）．的函数图像（如图）．以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：t (年)①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 三、解答题 15．计算： （1）)2103227161-+-．（2）7log 2222632log 3loglog 778-+-．16．已知函数()f x =的定义域为集合A ，{|}B x x a =< （1）若全集{4}U x x =≤，求U A ð． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．17． 已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式． 18．已知函数22()log (4)f x x =- （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值．19．设函数()y f x =（x ∈R 且0x ≠），对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=． （1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．高一数学期中考试答案一、选择题910．2,13⎛⎤⎥⎝⎦11．(3,2) 12．113．指数函数或值为1或0的常函数 14．②④ 三、解答题 15．334；1 16．U A =ð{2x x -≤或3<4}x ≤；3a > 17．（1）2(5)3f =-（2）证明略 （3）0x >时，1()1xf x x-=+ 18．（1）(2,2)-（2）当0x =时，()f x 的最大值是2 19．（1）证略 （2）证略（3x <且0x ≠且12x ≠。
【精编】北京101中学-年下学期高一年级期中考试数学试卷及答案
北京101中学2012－2013学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题单选，共8小题，每小题5分，共40分.1. 在ABC ∆中，4,60,45a A B ==︒=︒，则边b 的值为（ ）A.364B. 222+C. 62D.132+2. 已知等差数列}{n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（ ） A. 9 B. 3 C. －3 D. －63. 下列结论正确的是（ ）A. 若bc ac <，则b a < B . 若22a b <，则b a < C. 若0,<>c b a ，则bc ac <D. 若b a <，则b a >4. 若不等式022>-+bx ax 的解集为}21|{<<x x ，则实数b a ,的值为（ ） A. 3,1==b a B. 3,1=-=b a C. 3,1-=-=b aD. 3,1-==b a5. 在ABC ∆中，2,2,cos b ac c a B ==的值为 （ ）A. 14B. 34C. 4D. 3 6. 点)1,(a 在直线042=+-y x 的右下方，则a 的取值范围是（ ） A. ),2(+∞- B. )2,(--∞ C. ),1(+∞ D. )1,(-∞7. 为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赴钓鱼岛海域执法巡航，当我船航行到A 处时测得钓鱼岛在我船北偏东45o方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B 处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15o方向上，则此时B 处到钓鱼岛的距离为（ ） A. 10海里 B. 20海里海里海里8. 已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+.给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f . 其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在等差数列{}n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项之和9S ＝ .10. 已知1x >，函数41y x x =+-的最小值是 . 11. 111133557+++⨯⨯⨯1(21)(21)n n +=-+ .12.变量,x y 满足约束条件1y xx y x a ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =-的最大值为5，则a 的值是 .13. 把形如nM m =*(,)m n N ∈的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m 项和，称作“对M 的m 项分划”. 例如，把9表示成293135==++，称作“对9的3项分划”，把64表示成364413151719==+++，称作“对64的4项分划”. 据此，对324的18项分划中最大的数是_________________；若3M m =的m 项分划中第5项是281，则m 的值是_________________.14.给出下列命题：①ba b a 11,0<<<则若；②已知0,0a b >>，则2a b aba b +≥≥+； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④lg9lg111⋅<；⑤11,a b a b>>若，则0,0a b ><；⑥正数,x y 满足111x y+=，则2x y +的最小值为6; 其中正确的命题序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共50分.15. （本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，141.5,96,a a =-=求,n q S . 16. （本小题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且105,30c A C ==︒=︒，求：（1）b 的值；（2）ABC ∆的面积.17. （本小题满分8分）已知函数21()(1)(1)2f x a x a x =-+--（1）若54a =，求使()0f x <成立的x 的取值范围；（2）若函数()0f x <对任意x R ∈恒成立，求a 的取值范围.18. （本小题满分8分）某公司计划用不超过50万元的资金投资B A ,两个项目，根据市场调查与项目论证，B A ,项目的最大利润分别为投资额的80%和40%，而最大的亏损额为投资额的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，问投资者对B A ,两个项目的投资各为多少万元，才能使利润最大？最大利润为多少？19. （本小题满分8分）设数列{}n a 的前n 项和为22,n S S n n =，数列{}n b 为等比数列，且11,a b =()2211b a a b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20. （本小题满分10分）已知点(,)n n a ()n N *∈在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，1n n d d c +=(*)n ∈N . 求数列{}n d 的前n 项和n D ；（3）在（2）的基础上，又设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数12,x x ，恒有12()g x x 1221()()x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列1()21n n d g d +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由.【试题答案】1. A2. D3. C4. B5. B6. A7. C8. D9. 99 10. 5 11.21nn + 12. 2 13. 35，17 14. ②③④⑤15. 4q =-，3(1(4))10nn S =--- 16. 2=b ，231+=S .17.（1）{|21}x x -<<（2）当1a =时，显然()0f x <成立，当1a <时，由1a <⎧⎨∆<⎩得{|11}a a -<<，综上，{|11}a a -<≤18. 解：设投资者对A 、B 两个项目的投资分别为y x ,万元。
精校解析Word版---北京市一零一中学高一上学期期中考试数学试卷
北京一零一中高一第一学期期中考试数学试题一、选择题1.设全集=R，M={0，1，2，3}，N={-1，0，1}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. {1}B. {-1}C. {0}D. {0，1}【答案】B【解析】由图可知阴影部分中的元素属于，但不属于，故图中阴影部分所表示的集合为，由，，得，故选B.2.下列函数中与具有相同图象的一个函数是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于B，与函数的对应关系不同，值域不同，所以函数图象不同；对于C，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于D，与函数的定义域相同，对应关系也相同，所以函数图象相同，故选D.点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.3.已知为奇函数，当时，，则在上是（）A. 增函数，最小值为B. 增函数，最大值为C. 减函数，最小值为D. 减函数，最大值为【答案】C【解析】试题分析：,图像为开口向下对称轴为的抛物线,所以时在上单调递减．因为位奇函数图像关于原点对称,所以函数在也单调递减．所以在上,．故C正确．考点：1函数的奇偶性；2二次函数的单调性．4.已知函数，则的值等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将代入函数第二段表达式，得到，再代入第二段表达式后得到，此时代入第一段就可以求得函数值.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查分段函数求值.第一次代入后，还是无法求得函数值，要继续再代入两次才可以.属于基础题.5.若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，则函数g（x）=bx2-ax的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵一次函数有一个零点2，∴，即；则，令可得和，即函数图象与轴交点的横坐标为0，，故对应的图象可能为C，故选C.6.已知函数y=（），则其单调增区间是（）A. （-，0]B. （-，-1]C. [-1，+）D. [-2，+）【答案】B【解析】函数可以看作是由和两者复合而成，为减函数，的减区间为，根据“同增异减”的法则可得函数的单调增区间为，故选B.点睛：本题主要考查了复合函数的单调性，属于基础题；寻找函数是由哪两个初等函数复合而成是基础，充分理解“同增异减”的意义是关键，同时需注意当和类似于对数函数等相结合时，要保证单调区间一定在定义域内.7.已知函数，则函数的零点个数为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数图像，通过观察与图像的交点个数，得到函数的零点个数.【详解】画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有两个零点.所以选A.【点睛】本小题主要考查分段函数图像的画法，考查函数的零点问题，将函数零点的问题转化为两个函数图像的交点来解决. 8.定义在上的函数满足，，，且当时，，则等于（ ）．A.B.C.D.【答案】B 【解析】 ∵，，令得：，又，∴当时，；令，由得：；同理可求：；；①，再令，由，可求得，∴，解得，令，同理反复利用，可得；；…②，由①②可得：有，∵时，而，所以有，；故，故选B.点睛：本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用，，两次赋值后都反复应用，分别得到关系式两个关系式，结合时，从而使问题解决，实际上是两边夹定理的应用，属于难题.二、填空题9.计算：__________．【答案】【解析】原式，故答案为.10.已知集合，，则__________．【答案】【解析】由，得，，则，故答案为.11.已知函数的定义域是，则的定义域是__________．【答案】【解析】∵函数的定义域为，∴，解得，即函数的定义域为，故答案为.点睛：本题主要考查了抽象函数的定义域，属于基础题；已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域.12.函数的值域为，则实数a的取值范围是______．【答案】.【解析】∵函数的值域为，∴，解得或，则实数a的取值范围是，故答案为.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值.【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.14.某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是．【答案】①④【解析】试题分析：∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣，∴，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x 增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，故正确的结论的序号为：①④，故答案为：①④．考点：命题的真假判断与应用．三、解答题15.已知集合，，且，，求实数，，的值及集合，．【答案】【解析】试题分析：由，所以，，代入方程可得和集合A，再由，可得集合B，运用韦达定理即可得到所求，的值.试题解析：因为，且，所以，解得；又，所以，又，，所以，解得，，所以.16.已知是定义在上的奇函数．（）若，求，的值．（）若是函数的一个零点，求函数在区间上的值域．【答案】（1）1；（2）【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义可得，即可解出的值，将代入解析式即可得到的值；（2）将代入可得的值，化简可得函数，由和的单调性可得函数的单调性，故而可得函数的值域.试题解析：（1）由题意，，所以，所以，因为，所以=3，所以。
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2015-2016学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．（5分）下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0}C．{a=0}D．{0}2．（5分）函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5]B．[2，10] C．[1，9]D．[1，3]3．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．（5分）如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1） B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．（5分）函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤167．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．（5分）定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f （x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．（5分）若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）=．10．（5分）求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=．11．（5分）设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）=．12．（5分）函数f（x）=3x的值域是．13．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是．14．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．16．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．17．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．18．（14分）已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．（5分）下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0}C．{a=0}D．{0}【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．（5分）函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5]B．[2，10] C．[1，9]D．[1，3]【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0} C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选：D．4．（5分）如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由y﹣0=（x﹣9），可得y=f（x）=9﹣x，故f（f（2））=f （4）=9﹣4=5，故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1） B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．（5分）函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤16【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选：A．8．（5分）定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f （x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．（5分）若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）=13．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．（5分）求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣3．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．（5分）设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）=﹣1．【解答】解：∵x∈（0，2）时，f（x）=2x，∴f（0.5）=1．∵函数y=f（x+2）是奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∴f（3.5）=﹣f（﹣1.5+2）=﹣f（0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．（5分）函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．【解答】解：f（x）=3x=，∵x2≥0，∴，则函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．13．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（0，1）．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（1）得，f（|2x﹣1|）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜1；解得0＜x＜1；∴x的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是②③．（写出所有正确的编号）【解答】解：在①中，函数f（x）=x2（x∈R），由f（﹣1）=f（1），但﹣1≠1，得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，故①错误；在②中，“x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）”的逆否命题是“若x1，x2∈A 且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f（x）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}在数轴上表示可得：故A∪B={x|2＜x＜10}，C R A={x|x＜3，或x≥7}（C R A）∩B={2＜x＜3，或7≤x ＜10}；（2）依题意可知①当C=∅时，有5﹣a≥a，得；②当C≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a的取值范围为（﹣∞，3]．16．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．（14分）已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，解得b=1，（1分）∴，∴∴a•2x+1=a+2x，即a（2x﹣1）=2x﹣1对一切实数x都成立，∴a=1，故a=b=1．（3分）（2）∵a=b=1，∴，f（x）在R上是减函数．（4分）证明：设x1，x2∈R且x1＜x2则=﹣，∵x1＜x2，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数，（8分）（3）∵不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，∴f（t﹣2t2）＞﹣f（﹣k），∴f（t﹣2t2）＞f（k），∵f （x ）是R 上的减函数， ∴t ﹣2t 2＜k （10分） ∴对t ∈R 恒成立， ∴．（12分）。