高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教材基础素材北师大版选修2_2
北京师范大学第一附属中学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)2．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-3．等差数列{a n }中的a 2、a 4030是函数321()4613f x x x x =-+- 的两个极值点，则log 2（a 2016）=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．设()f x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数，()11f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，设()()x f x F x e=则不等式()21F x e <的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞6．设12x <<，则ln x x ，2ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22ln x x 的大小关系是（ ） A ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．222ln ln ln x x x x x x⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．已知可导函数()()f x x R ∈满足()()f x f x '>，则当0a >时，()f a 和(0)a e f 的大小关系为（ ） A ．()(0)a f a e f > B ．()(0)a f a e f <C ．()(0)a f a e f =D ．()(0)a f a e f ≤9．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知f （x ）=-x 3-ax 在（-∞，-1]上递减，且g （x ）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-B ．3a -≤C ．32a -≤<-D ．32a --≤≤11．若121x x >>，则（ ） A ．1221x xx e x e > B ．1221x xx e x e < C ．2112ln ln x x x x >D ．2112ln ln x x x x <12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___． 14．已知||()cos x f x e x =+，则不等式(21)(1)f x f x -≥-的解集为__________. 15．函数()()2ln 23f x x x =++在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为____________.16．若函数()sin 2xxf x e ex -=-+，则不等式()()2210f x f x -+>的解集为________.17．记函数(),,2ln ,0,xx s eH x x x s x⎧≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩若对任意的实数k ，总存在实数m ，使得()=H m k成立，则实数s 的取值集合______.18．若函数的()1,2ln ,x m x e f x x x x e⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域是[)1,e -+∞，其中e 是自然对数的底数，则实数m 的最小值是______.19．已知a R ∈，设函数()2,1,1x x ax a x f x ae x x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为______. 20．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 三、解答题21．已知函数)(21ln 2f x x ax x =-+有两个极值点)(1212,x x x x <． （1）求a 的取值范围； （2）求证：21>x 且)(2132f x x <-． 22．已知函数()()ln 0af x x a a x=-+>． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值； （2）求函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数；（3）若1x ∀、()21,x e ∈，()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，试写出a 的取值范围.（只需写出结论）23．设函数()cos2sin f x x m x =+，()0,x π∈. （1）若函数()f x 在2x π=处的切线方程为1y =，求m 的值；（2）若()0,x π∀∈，()0f x >恒成立，求m 的取值范围. 24．已知函数()ln f x x ax =-，()2g x x =，a R ∈.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 25．已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+.（1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈. 26．已知函数()xf x ax e =-(a R ∈，e 为自然对数的底数). （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥-，()232f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，利用导数可知()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，将不等式()0f x >化为1x >且()(2021)g x g >，再利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，则1()ln ()()()()ln f x x xf x g x f x f x x x x'+''=+=， 因为1≥x ，()ln ()0f x x xf x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，当1x =时，由()ln ()0f x x xf x '+<可知(1)0f <，不满足()0f x >； 当1x >时，ln 0x >，所以()0f x >可化为()ln 0f x x >(2021)ln 2021f =，即()(2021)g x g >，因为()g x 在(1,)+∞上为单调递减函数，所以12021x <<， 所以不等式()0f x >的解集为(1,2021). 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知不等式构造函数()ln ()g x xf x =，利用导数判断其单调性是本题解题关键.2．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.3．A解析：A 【解析】2240302016220162()86084,log log 42f x x x a a a a =-+=∴+=⇒='== ，选A.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，注意利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.4．B解析：B 【详解】试题分析：函数的递减区间对应的()0f x '<，函数的递增区间对应()0f x '>，可知B 选项符合题意.考点：函数的单调性与导数的关系.5．B解析：B 【解析】 ∵()()xf x F x e=∴2()()()()()x x x xf x e f x e f x f x F x e e''--'== ∵对任意实数都有()()0f x f x -'> ∴()0F x '<，即()F x 在R 上为单调减函数 又∵()11f e= ∴21(1)F e =∴不等式()21F x e <等价于()(1)F x F < ∴不等式()21F x e <的解集为(1,)+∞ 故选B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<，构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等.6．A解析：A 【解析】 试题分析：令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以222ln ln ln ()x x x x x x<<，故应选.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.7．C解析：C 【解析】 函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=- ，22222210cos 22a cb b ac ac B ac +-=--+≤⇒=≥()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3π．故答案为C ．8．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()()x f x g x e=，求导可知()g x 单调递增，比较(),(0)g a g 的大小，可得()f a 和(0)a e f 的大小关系.【详解】解：令()()x f x g x e =，则'''2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e--==，因为()()f x f x '>，所以'()0g x >，所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增；因为0a >，所以()(0)g a g >，即0()(0)af a f e e>，即()(0)a f a e f >. 故选：A. 【点睛】本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.9．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C10．C解析：C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立，求出a 的范围，再由()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点，求出a 的范围，综合两种情况可得结果. 【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立，得23,3x a a -≤∴≥-， 又因为()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值， 所以，可知()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点， 也就是极值点，即有解220ax x+=，在(]1,2上解得32a x =-， 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-，故选C. 【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 11．A解析：A 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在1,上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故A 正确．B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'xg x x-=，令()0g x =，则x e =， 当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增， 在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xxf x x x e e =-+-的定义域为R ， 又由3322()42e (42)()e x xx xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．a≥﹣1【分析】将函数f （x ）在（0）上单调递减转化在（0）上恒成立即在（0）上恒成立再求最大值即可【详解】因为函数f （x ）在（0）上单调递减所以在（0）上恒成立即在（0）上恒成立因为所以所以所以故解析：a ≥﹣1．【分析】 将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x--'=≤在（0，2π）上恒成立 ， 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ， 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥- 【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．【分析】首先根据题意得到为偶函数利用导数求出的单调区间再根据单调区间解不等式即可【详解】又因为所以为偶函数当时因为所以故在为增函数又因为为偶函数所以在为减函数因为所以解得或故答案为：【点睛】本题主要解析：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 为偶函数，利用导数求出()f x 的单调区间，再根据单调区间解不等式即可. 【详解】又因为x ∈R ，()()()||||cos cos x x f x e x e x f x --=+-=+=，所以()f x 为偶函数.当0x >时，()cos x f x e x =+，()sin x f x e x '=-， 因为0x >，e 1x >，所以()sin 0x f x e x '=->， 故()f x 在()0,∞+为增函数.又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0-∞为减函数. 因为(21)(1)f x f x -≥-，所以211x x -≥-，解得23x ≥或0x ≤. 故答案为：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题.15．【分析】利用导数求得函数的单调性进而求得极值和区间端点处的函数值值找出函数的最大值和最小值即可【详解】解：由题得的定义域为由得或因为所以时单调递增；时单调递减；所以为极小值点且又因为又所以所以所以故 解析：5ln 716+【分析】利用导数求得函数的单调性，进而求得极值和区间端点处的函数值值，找出函数的最大值和最小值即可. 【详解】解：由题得()f x 的定义域为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， ()22(1)(21)22323x x f x x x x ++'=+=++ 由()0f x '=得，1x =-或12x =-,因为31,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以11,24⎛⎤- ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增；31,42x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以12x =-为极小值点，且11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，又因为339ln 4216f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，171ln 4216f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又13711ln ln 2044322f f ⎛⎫⎛⎫--=->->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以max 171()ln 4216f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以()min 11ln 224f x f ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭. 所以max min 7115()()ln ln 2ln 7216416f x f x +=+++=+. 故答案为：5ln 716+. 【点睛】本题主要考查用导数求函数的最值，属于中档题.16．【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；利用导数可得到的单调性；将不等式转化为利用单调性可得自变量的大小关系解不等式可求得结果【详解】由题意得：为上的奇函数且不恒等于零在上单调递增等价于解得：故答解析：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数；利用导数可得到()f x 的单调性；将不等式转化为()()221f x f x ->-，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.【详解】由题意得：()()2sin2xx f x ee xf x --=--=- ()f x ∴为R 上的奇函数()2cos2x x f x e e x -'=++,2x x e e -+≥，2cos 22x ≤，()0f x '∴≥且不恒等于零 ()f x ∴在R 上单调递增()()2210f x f x -+>等价于()()()221f x f x f x ->-=-221x x ∴->-，解得：()1,1,2x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系.17．【分析】由题意得的值域为R 求出在单调递增其值域为然后求导求出函数的值域通过求解和的值域并分析是否满足题意可推出实数s 的取值集合【详解】因为对任意的实数总存在实数使得成立所以的值域为R 函数在单调递增其解析：【分析】由题意得()H x 的值域为R ，求出2x y e=在[,)s +∞单调递增，其值域为[,)2se +∞，然后求导，求出函数ln xy x=的值域，通过求解s e >和0s e <≤的值域，并分析是否满足题意，可推出实数s 的取值集合. 【详解】因为对任意的实数k ，总存在实数m ，使得()=H m k 成立， 所以()H x 的值域为R . 函数2x y e=在[,)s +∞单调递增，其值域为[,)2se +∞，函数ln x y x =，'21ln x y x -=， 当(0,)x e ∈时，'0y >，所以ln xy x=在(0,)e 单调递增； 当[,)x e ∈+∞时，'0y <，所以ln xy x=在(,)e +∞单调递减， ①当s e >时，函数ln x y x =在(0,)e 单调递增，(,)e s 单调递减，其值域为1(,]e-∞，又12s e e>，不符合题意； ②当0s e <≤时，函数ln xy x =在(0,)s 单调递增，其值域为ln (,]s s-∞，由题意得ln 2s se s≤，即22ln 0s e s -≤； 令22'222()2ln ,()2e s e u s s e s u s s s s-=-=-=，当s >'()0u s >，()u s 在)e 上单调递增；当0s <<'()0u s <，()u s 在上单调递减，所以当s =()u s 有最小值0u =，从而()0u s ≥恒成立，所以，()0u s =，所以s =故答案为：.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于根据题意分析出()H x 的值域为R ，并由此求出2x y e=和ln x y x =的值域，进行分析，考查分类讨论的思想，属难题.18．【分析】利用导数可求得当时函数的值域是；当时函数的值域是从而可得进而可得结果【详解】当时此时函数在上递增值域是当时是减函数其值域是因为函数的值域是所以于是解得即实数的最小值是故答案为：【点睛】本题主解析：312e-【分析】利用导数可求得当x e ≥时，函数()f x 的值域是[)1,e -+∞；当x e <时，函数的值域是,2e m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，从而可得,2e m ⎛⎫-++∞⊆ ⎪⎝⎭[)1,e -+∞，进而可得结果. 【详解】当x e ≥时，'1(ln )10,x x x-=->此时函数()f x 在[),e +∞上递增，值域是[)1,e -+∞. 当x e <时，12x m -+是减函数，其值域是,2e m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()1,2,x m x ef x x lnx x e⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域是[)1,e -+∞，所以,2e m ⎛⎫-++∞⊆ ⎪⎝⎭[)1,e -+∞. 于是1,2e m e -+≥-解得312e m ≥-，即实数m 的最小值是312e-. 故答案为：312e-. 【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，以及利用导数求函数的最值，考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.19．【分析】考虑和两种情况分别计算得到利用均值不等式得到；证明单调递增得到得到答案【详解】当时即对恒成立当时符合题意；当时参变分离得：因为当时等号成立故上式恒成立时；当时即对恒成立参变分离得：令故单调递解析：14a e≤≤【分析】考虑1x ≥和1x <两种情况，分别计算得到211211x a x x x ≤=-++--，利用均值不等式得到4a ≤；x x a e ≥，证明()xx p x e =单调递增，得到1a e ≥，得到答案. 【详解】当1x ≥时，()0f x ≥，即20x ax a -+≥对1x ≥恒成立， 当1x =时，符合题意；当1x >时，参变分离得：211211x a x x x ≤=-++--，因为11241x x -++≥-，当2x =时等号成立，故上式恒成立时4a ≤； 当1x <时，()0f x ≥，即0x ae x -≥对1x <恒成立， 参变分离得：x x a e ≥，令()x x p x e =，()10xxp x e-'=>，故()p x 单调递增， ∴()()11x x p x p e e=<= 要使0x ae x -≥对1x <恒成立，则1a e≥. 综上所述：a 的取值范围为14a e≤≤. 故答案为：14a e≤≤. 【点睛】本题考查了恒成立问题，参数分离转化为函数的最值问题是解题的关键.20．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值 解析：01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1x a x+=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域，即可得答案； 【详解】()1ln2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f x lnx ax '=+-．∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根，令ln 1()x g x x+=， 令()1g x lnx ax =+-，'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==-当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，y a =与()y g x =要有两个交点，∴01a <<故答案为：01a <<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.三、解答题21．（1）2a >；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用题中的条件函数有两个极值点，相当于导数等于零有两个解，对函数求导，对函数加以分析，最后求得结果；（2）构造相应的函数，研究函数的图像，找出其对应的最值，最后求得结果. 【详解】解：（1）)(211x ax f x x a x x='-+=-+，即方程210x ax -+=有两相异正根，即方程1a x x =+有两相异正根，由1y x x=+图象可知2a >． （2）要证)(2132f x x <-，只要证2222113ln 22x ax x x -+<-， 1x 、2x 为方程210x ax -+=的两根，121=x x ，2221ax x =+．只要证)(2222221311ln 22x x x x -++<-；只要证3222213ln 22x x x x --+<-； 2x 为方程210x ax -+=的较大根，212ax >>． 令)()(32222221ln 12g x x x x x x =--+>． )()(222223ln 12g x x x x '=-+>，)()(222221301g x x x x =-+<'>'；)(22223ln 2g x x x +'=-在)(1,+∞上单调减，所以)(()210g x g ''<<恒成立；)(2g x 在)(1,+∞上单调减，)(()2312g x g <=-．【点睛】：思路点睛：该题属于导数的综合题，在做题的过程中，紧紧抓住导数与函数性质的关系，导数大于零单调增，导数小于零，函数单调减，借用二阶导来进一步研究函数的性质，对于不等式的证明问题，注意转化为最值来处理. 22．（1）1a =；（2）答案见解析；（3）(][)0,1,e +∞.【分析】（1）由题意可得()10f '=，由此可解得实数a 的值； （2）求得()2x af x x-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间()1,e 上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）根据（2）中的讨论可写出实数a 的取值范围. 【详解】（1）()221a x a f x x x x'-=-=， 因为()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，且()10f =， 所以()110f a '=-=，解得1a =. 经检验1a =符合题意； （2）由（1）知()2x af x x-'=，令()0f x '=，得x a =. （i ）当01a <≤时，()1,x e ∈，()0f x '>，函数()f x 在区间()1,e 上单调递增， 所以()()10f x f >=， 所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（ii ）当1a e <<时，若1x a <<，则()0f x '<，若a x e <<，则()0f x '>. 函数()f x 在区间()1,a 上单调递减，在区间(),a e 上单调递增， 且()10f =，()1ea f e a =-+. 当()10af e a e=-+>，即11e a e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点；当()10af e a e=-+≤时，即当e e e 1a <-≤时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点； （iii ）当a e ≥时，()1,x e ∈，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,e 上单调递减， 所以()()10f x f <=， 所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点.综上：当01a <≤或ee 1a ≥-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 当11ea e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点. （3）01a <≤或a e ≥. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题. 23．（1）2；（2）()1,+∞. 【分析】（1）利用已知条件求出切点坐标，代入到原函数即可得到m 的值；（2）利用已知条件得到cos 2sin x m x >-，令()cos 212sin sin sin x g x x x x=-=-，sin x t =，(]0,1t ∈，得到()12g t t t=-，求导分析函数()g t 的单调性即可得到m 的取值范围.【详解】（1）由题意，函数()cos2sin f x x m x =+，()0,x π∈， 且函数()f x 在2x π=处的切线方程为1y =，所以该函数过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭，故cos 2sin 112222f m m m πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-+=⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以m 的值为2；（2）对()0,x π∀∈，()0f x >恒成立， 即cos 2sin 0x m x +>， 所以cos 2sin x m x >-，① 又因为()0,x π∈，所以sin 0x >， 故①可化简为cos 2sin xm x>-，② 令()2cos 212sin 12sin sin sin sin x x g x x x x x-=-=-=-，再令sin x t =，则(]0,1t ∈， 所以()12g t t t=-，()2120g t t '=+>， 所以()g t 在(]0,1上单调递增， 故()()max 1211g t g ==-=，又由②式可得，当(]0,1t ∈时，()m g t >恒成立， 所以()max 1m g t >=，综上所述：m 的取值范围是：()1,+∞. 【点睛】结论点睛：利用导数研究不等式恒成立问题.（1）()f x a ≥恒成立()min f x a ⇔≥；()f x a ≥成立()max f x a ⇔≥； （2）()f x b ≤恒成立()max f x b ⇔≤；()f x b ≤成立()min f x b ⇔≤； （3）()()f x g x >恒成立，令()()()F x f x g x =-，则()min 0F x >. 24．（1）答案见解析；（2）[)1,-+∞. 【分析】（1）对实数a 分情况讨论，求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()()ln 0xh x x x x=->，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果. 【详解】（1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-. 当0a ≤时，()10f x a x'=->，所以()y f x =在()0,∞+上单调递增，无极值点； 当0a >时，解()10f x a x '=->得10x a <<；解()10f x a x '=-<得1x a>. 所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()y f x =有极大值点是1a，无极小值点； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()()ln 0x h x x x x =->，则()221ln x x h x x--'=，令()()21ln 0k x x x x =-->， 则当0x >时，()120k x x x'=--<，所以()y k x =在()0,∞+上为减函数. 又(1)0k =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞上，()0h x '<. 所以()y h x =在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. 所以()()max 11h x h ==-，所以1a ≥-. 因此，实数a 的取值范围是[)1,-+∞. 【点睛】对于函数不等式恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.25．（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析. 【分析】（1）求导数可得2244(1)(2)ax a y ax x +-'=++，当1a 时函数在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时易得函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减； （2）由（1）知当1a 时，不等式()()1f x g x +在[0x ∈，)+∞时恒成立，当01a <<时，不等式00()()1f x g x +不成立，综合可得a 的范围； （3）由（2）的单调性易得11[(1)]122ln k lnk k <+-+，进而可得11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+，将上述式子相加可得结论． 【详解】解：（1）求导数可得2224441(2)(1)(2)a ax a y ax x ax x +-'=-=++++， 当1a 时，0y '，∴函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由0y '>可得x >∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减； （2）由（1）知当1a 时，函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增， ()()(0)(0)1f x g x f g ∴--=，即不等式()()1f x g x +在[)0x ∈+∞，时恒成立，当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得00()()(0)(0)1f x g x f g -<-=， 即不等式00()()1f x g x +不成立，综上可知实数a 的取值范围为[1，)+∞；（3）由（2）得当1a 时，不等式()()1f x g x >+在(0,)x ∈+∞时恒成立， 即2(1)2x ln x x +>+，12(1)12ln k k ∴+>+，*()k N ∈． 即11[(1)]122ln k lnk k <+-+， ∴11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+， 将上述式子相加可得11111111(1)(1)()357212222lnn ln lnn ln n f n n +++⋯+<-=<+=+ 原不等式得证．【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的单调性和恒成立以及不等式的证明，属于中档题． 26．（1）见解析；（2）1.【分析】（1）按照0a ≤、0a >分类，结合导函数的正负即可得解；（2）转化条件为2231ex x ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223,1x x ax a g x x e++-=≥-，按照4a ≥、4a <分类，结合导数确定函数()g x 的最大值即可得解.【详解】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()xf x a e '=-， 故当ln x a <时，有()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递增；当ln x a >时，有()0f x '<，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递减；所以当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减；（2）因为当1x ≥-时，()232f x a x ≤--恒成立， 所以2231ex x ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223,1x x ax a g x x e++-=≥-， 则()()()()22313e ex x x a x a x x a g x ⎡⎤-+-+--++-⎣⎦'==， ①当31a -≤-即4a ≥时，()0g x '≤，()g x 在[)1,-+∞单调递减， 则要使()()121g a e -=-≤，解得12a e ≤+(不合题意)； ②当31a ->-即4a <时，则当()1,3x a ∈--时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当()3,x a ∈-+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；则要使()()()()233max 3323631a a a a a a a g x g a e e---+-+--=-==≤ 令31t a =->-，3a t =-，设()3,1t t h t t e +=>-，则要使()1h t ≤， 因为()20et t h t --'=<，所以()h t 在()1,-+∞单调递减， 而()11h >，()21h <，所以整数t 的最小值为2，故整数a 的最大值为1.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及解决不等式恒成立问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.。
北师大版高中数学选修22第三章导数应用导数在实际问题中的应用一课件41416
解： R q 收 p q 2 入 5 1 q 2q 5 1 q 2
8
8
利 润 LRC25q1q2(1004q)
8
1q2 8
21q10(00q20)0
L'
1 4
q
21
令 L' 0， 即 1q21 0 求得唯一的极值点
q 84
4
因为L只有一个极值点,所以它是最大值.
答:产量为84时,利润L最大.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
回顾总结：
1．利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学 模型
优化问题的答案
作答
用函数表示的数学问题 解决数学模型
用导数解决数学问题
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导 数应用》导数在实际问题中的应用 (一)课件41416
一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。2、过程与方法：通过 分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的 思想方法 二、教学重点：函数建模过程
V(40)为极大值，且为最。 大值
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
导数及其应用课件PPT
3
A. 6
B.0
解析 ∵f′(x)＝( x)′＝21 x，
1 C.2 x
∴f′(3)＝2 1 3＝
3 6.
12345
3 D. 2
解析答案
12345
3.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的
倾斜角的范围是( A ) A.[0，π4]∪[34π，π)
B.[0，π)
C.[π4，34π]
即 y＝－12x＋ 23＋1π2.
解析答案
(2)求曲线 y＝sinπ2－x在点 A－π3，12处的切线方程. 解 ∵sinπ2－x＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
∴曲线在点
A－π3，12处的切线的斜率为
k＝－sin－π3＝
3 2.
∴切线方程为 y－12＝ 23x＋π3，
即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1).
所以点
P
到直线
y＝x
|0－1| 的最小距离为 2 ＝
2 2.
解后反思
解析答案
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当堂检测
1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( C )
A.0
B.2x
C.6
D.9
解析 ∵f(x)＝x2，
∴f′(x)＝2x，
∴f′(3)＝6.
12345
解析答案
2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( A )
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 几个常用函数的导数 原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x
f(x(x)＝_1_ f′(x)＝_2_x f′(x)＝－x12 f′(x)＝21 x
高三《导数的应用》说课稿
高三《导数的应用》说课稿以下是作者为大家准备的高三《导数的应用》说课稿（共含4篇），希望对大家有帮助。
篇1：高三《导数的应用》说课稿高三《导数的应用专题》说课稿导数是新课程教材中重要内容，是进一步刻画、研究函数的重要工具，为运用函数思想简捷地解决实际问题提供了广阔的前景。
纵观这几年的高考，考察的力度逐年加大，因此在高三复习中必须引起足够的重视。
在中学数学的新课程中，导数单元作为初等数学和高等数学重要的衔接点，显得格外引人瞩目。
导数的思想及其内涵丰富了对函数等问题的研究方法，已经成为近几年高考数学的一大热点。
另外，导数又具有很强的知识交汇功能，以其为载体的问题情景很多，给师生在复习内容和方法上的选择带来困惑。
从这个意义上说，高三师生采取什么样的策略复习，复习的重点落在何处？显得至关重要。
1、教材分析与考点分析在教材中，导数处于一种特殊的地位。
一方面它是沟通初、高等数学知识的重要衔接点，渗透和加强了对学生由有限到无限的辩证思想的教育，突破了许多初等数学在思想和方法上的障碍，拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧；另一方面它具有很强的知识交汇功能，可以联系多个章节内容，如常与函数、数列、三角、向量、不等式、解析几何等内容交叉渗透，并成为解决相关问题的重要工具。
从高考关于导数单元的考查情况来看，以下两个特点非常明显：（1）循序渐进：从总体上看，高考考查导数的有关知识是循序渐进的过程。
导数的内容刚进入高考数学新课程卷时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，分析近几年的高考试题，可以看出高考对导数考查的思路已基本成熟。
考查的基本原则是重点考查导数的概念与应用。
这部分内容的考查一般分为三个层次：第一层次：主要考查导数的概念、求导公式、求导法则和与实际背景有关的问题（如瞬时速度，边际成本，加速度、切线的斜率）第二层次：主要考查导数的.简单应用，包括求函数的极值、最值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
2013-8-20
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结 为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化 为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函 数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
2013-8-20
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-8-20
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
高中数学 课程标准素材 北师大版
一般高中数学课程标准〔实验〕第一局部前言数学是争辩空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
数学科学是自然科学、技术科学等科学的根底，并在经济科学、社会科学、人文科学的进展中发挥越来越大的作用。
数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在很多方面直接为社会制造价值，推动着社会生产力的进展。
数学在形成人类理性思维和促进个人智力进展的过程中发挥着独特的、不行替代的作用。
数学是人类文化的重要组成局部，数学素养是公民所必需具备的一种根本素养。
数学教育作为教育的组成局部，在进展和完善人的教育活动中、在形成人们生疏世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和进展的进程中起着重要的作用。
在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的根底，是终身进展的需要。
数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使同学把握数学的根底学问、根本技能、根本思想，使同学表达清楚、思考有条理，使同学具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使同学学会用数学的思考方式解决问题、生疏世界。
一、课程性质高中数学课程是义务教育后一般高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最根本的内容，是培育公民素养的根底课程。
高中数学课程对于生疏数学与自然界、数学与人类社会的关系，生疏数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的力气，形成理性思维，进展智力和创新意识具有根底性的作用。
高中数学课程有助于同同学疏数学的应用价值，增加应用意识，形成解决简洁实际问题的力气。
高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的根底。
同时，它为同学的终身进展，形成科学的世界观、价值观奠定根底，对提高全民族素养具有重要意义。
二、课程的根本理念1. 构建共同根底，供应进展平台高中教育属于根底教育。
高中数学课程应具有根底性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为同学适应现代生活和将来进展供应更高水平的数学根底，使他们获得更高的数学素养；其次，为同学进一步学习供应必要的数学预备。
高中数学 第三章 变化率与导数 3_3 计算导数 复合函数的求导法则素材 北师大版选修1-11
复合函数的求导法则（一）基本初等函数的导数公式表推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）(三)复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦（四）典例分析例1求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数。
根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=2''()(23)4812u x u x +==+。
（2）函数0.051x y e -+=可以看作函数u y e =和0.051u x =-+的复合函数。
根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=''0.051()(0.051)0.0050.005u u x e x e e -+-+=-=-。
（3）函数sin()y x πϕ=+可以看作函数sin y u =和u x πϕ=+的复合函数。
根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=''(sin )()s s()u x co u co x πϕπππϕ+==+。
新课程北师大版高中数学高考必考+选考内容教材目录
必考内容（必修+选修系列1，2）《数学1》(必修)全书共分四章：第一章集合；第二章函数；第三章指数函数和对数函数；第四章函数的应用全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题《数学2》(必修)本书是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的，包括两部分内容：第一部分是立体几何初步，第二部分是解析几何初步。
全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题《数学3》（必修）本书是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的。
共分三章：第一章统计，第二章算法初步，第三章概率。
全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率π的值《数学4》（必修）全书共三章：第一章三角函数；第二章平面向量；第三章三角恒等变形。
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§2 导数在实际问题中的应用
导数概念具有很强的实际背景,而我们在实际问题当中总是能够遇到大量的需要应用导数知识来解决的问题,可以说,导数的知识构成一种思路.
在生产建设和科学技术中,要求“用料最省”“体积最大”“效率最高”等问题时,往往可以归纳为求函数的最大值和最小值的问题.这就是导数知识应用的一个方面. 高手支招1细品教材
一、实际问题中导数的意义
1.导数在实际生活中的应用
(1)与几何有关的最值问题;
(2)与物理学有关的最值问题;
(3)与利润及其成本有关的最值问题;
(4)效率最值问题.
2.解决问题的思路
(1)审题:理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;
(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;
(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.
状元笔记
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问
【示例】在某种工业品的生产过程中,每日次品数y 是每日产量x 的函数:y=x
x -101,x≤100,该工厂售出一件正品可获利A 元,但生产一题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去. 件次品就损失3
A 元,为了获得最大利润,日产量应为多少? 思路分析:最大利润等于正品获利减去次品损失,根据已知条件列出利润关于日产量的函数关系式,利用导数求出最值.
解:在每天生产的x 件产品中,x-y(x)是正品数,y(x)是次品数,每日获利总数为T(x)=A(x-y)- 31Ay,要使T(x)取最大值,则T′(x)=A(1-34y′).令T′(x )=0,得y′=43,又y=x x -101,x≤100,由y′=2)101(101x -=4
3⇒x≈89.4,因此产品个数应是89或90件.又由于T(89)≈79.11A,T(90)≈79.09A,所以每日生产89件将获得最大利润.
二、函数最大、最小值问题
状元笔记
极大、极小值与最大、最小值的区别：函数极大值和极小值是比较极值点附近的函数值
得出的,函数最大值、最小值是比较整个定义区间上的函数值得到的.
1.在闭区间［a,b ］上可导的函数f(x),在［a,b ］上必有最大值和最小值;但在开区间(a,b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值.
【示例】下列结论正确的是（ ）
A.在区间［a,b ］上,函数的极大值就是最大值
B.在区间［a,b ］上,函数的极小值就是最大值
C.在区间［a,b ］上,函数的最大值、最小值在x=a 和x=b 时达到
D.一般地,在［a,b ］上可导的函数f(x)在［a,b ］上必有最大值和最小值
思路分析:利用函数极值与最值的定义可直接判断.
答案:D
2.设f(x)在其定义域［a,b ］上可导,求f(x)的最值步骤如下:
(1)求函数f(x)在(a,b)内的极值;
(2)求出f(x)在区间端点的值f(a),f(b);
(3)将f(x)的极值与端点处函数值f(a),f(b)进行对比,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
【示例】 求下列函数的最值:
(1)f(x)=3x-x 3(-3≤x≤3); (2)f(x)=6-12x+x 3,x∈［3
1-,1］. 思路分析:函数f(x)在给定区间上可导,必有最大值和最小值,因此,在求闭区间［a,b ］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后与端点处函数值比较即可.
解:(1)f′(x)=3-3x 2,令f′(x)=0,得x=±1,∴f(1)=2,f(-1)=-2.
又f(-3)=0,f(3)=-18,∴［f(x)］max =2,［f(x)］min =-18.
(2)f′(x)=-12+3x 2=0,∴x=±2.
∵当x∈(-2,2)时,f′(x)＜0,f(x)为减函数.
∴当x∈［3
1-
,1］时,f(x)为减函数. ∴f(x)min =f(1)=-5,f(x)max =f(31-)=27269. 高手支招2基础整理
函数的“最值”是个整体概念,是整个定义域上的最大值和最小值,具有绝对性、唯一性,多项式函数在某一闭区间上一定存在最值.。