人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质教案
人教A版高中数学必修4《一章 三角函数 1.4 三角函数的图像与性质 探究与发现 》优质课教案_19
§1.3.3函数)sin(y ϕω+=x A 的图象(1)一、教学目标:用五点法画函数)sin(ϕω+=x A y 的图象.二、重点难点:重点是用五点法列表画函数画图;难点是五点的确定.三、教学过程:【创设情境】在物理学中，物体做简谐运动时，位移s 和时间t 的关系为)0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A s这里Ａ是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间 ωπ2=T称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数πω21==T f 称为振动的频率；ϕω+x 称为相位，t=0时的相位ϕ称为初相．在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如)sin(ϕω+=t A s )0,0(>>ωA 的函数,今天我们来探究函数)sin(ϕω+=t A s 的图象与函数x y sin =的图象关系.【自主学习 探索研究】1.作函数)6sin(π+=x y 和x y sin =的图象 (学生用五点法列表画图)描点画图,思考上述两函数的图象五点差异.(函数)6sin(π+=x y 的五点横坐标可以看作函数x y sin =的图象上五点横坐标减去6π而得.纵坐标不变) 2.作函数x y sin 3=的图象(学生五点法列表画图)回答函数x y sin 3=的图象与函数x y sin =五点差异思考：函数x y sin 31=的图象与函数x y sin =的图象有什么关系？ 3.作函数x y 2sin =和x y sin =的图象(学生五点法列表画图)回答上述两函数的图象关系? 图象上的五点与函数x y sin =五点差异.4.函数)62sin(π+=x y 的图象并与函数x y 2sin =的图象比较之间的关系？5.思考函数)sin(ϕω+=x A y 的五点如何确定?6.课堂练习(1) 用五点法画函数)621sin(21π-=x y 的图象 (2) 课本p.42.练习5【提炼总结】1. 用五点法画三角函数图象时,要先确定周期,再将周期四等份,找出五个关键点:1,4T , 2T ,43T ,,然后再列表画图; 2.作图时,要注意坐标轴刻度,x 轴是实数轴,角一律用弧度制.四、布置作业1.修改并保留本节课列表画图所得图象;2.P.46. 1.3习题 7 9 10§1.3.3函数)sin(y ϕω+=x A 的图象(2)一、教学目标:正确理解函数x y sin =与函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关系二、重点难点:重点是理解由函数x y sin =到函数)sin(ϕω+=x A y 图象的变换过程难点是函数)sin(1111ϕω+=x A y 与)sin(2222ϕω+=x A y 的图象关系 三、教学过程:【创设情境】1. 回顾函数中的各种图像变换;（平移变换，对称变换）2. 观察上节课所画的几组图象，由学生口述每组图像中两个函数图像间的变换关系.【自主学习 探索研究】1.函数)6sin(π+=x y 和x y sin =的图象有何关系? 函数)6sin(π+=x y 的图象可以看作由函数x y sin =的图象上所有点向左平移6π个单位而得到.一般地,函数)sin(ϕ+=x y 的图象与函数x y sin =的图象有何关系?2． 函数x y sin 3=和x y sin =的图象关系?一般地, 函数x A y sin =的图象与函数x y sin =的图象的关系?3.函数x y 2sin =和x y sin =的图象有何关系?一般地,函数x y ωsin =的图象与函数x y sin =的图象有何关系?4.函数)62sin(π+=x y 和x y 2sin =的图象有何关系? 一般地,函数)sin(ϕω+=x y 的图象与函数x y ωsin =的图象有何关系?上述函数间的关系都可以看成函数x y sin =实施的平移、振幅、周期(伸缩)变换.5.学生自学课本P36至P38.6.举例例1 若函数)32sin(3π-=x y 表示一个振动量:(1)求这个振动的振幅周期初相;(2)不用计算机和图形计算器,画出该函数的简图.分析:方法一:用五点法列表画图方法二: 周期变换→平移变换→振幅变换方法三: 平移变换→周期变换→振幅变换7.学生完成练习课本P42 第1、2、3、4、6题8.课堂练习评析【提炼总结】1.上述三角函数间的实施的平移、振幅、周期(伸缩)变换是函数变换的特例,是变换思想在三角中的体现；2.注意周期变换、平移变换次序互换地不同.四、布置作业课本习题P46 第8、11题。
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质学案新人教A版必修4
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标:1.掌握y ＝sin x ,y ＝cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值．( 重点、难点 )2.掌握y ＝sin x ,y ＝cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小．( 重点 )3.会求函数y ＝A sin( ωx ＋φ )及y ＝A cos( ωx ＋φ )的单调区间．( 重点、易混点 )[自 主 预 习·探 新 知]详细解析式y ＝sin x y ＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调 性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，π2＋2k π,k ∈Z 上递增,在⎣⎢⎡π2＋2k π，3π2＋2k π,k ∈Z 上递减在[－π＋2k π,2k π],k ∈Z 上递增,在[2k π,π＋2k π],k ∈Z 上递减最值x ＝π2＋2k π,k ∈Z 时,y max ＝1;x ＝－π2＋2k π,k ∈Z 时,y min ＝－1x ＝2k π,k ∈Z 时,y max ＝1;x ＝π＋2k π,k ∈Z 时,y min ＝－1确定m 、n 的值吗？[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2,n ＝π.[基础自测]1．思考辨析( 1 )y ＝sin x 在( 0,π )上是增函数．( ) ( 2 )cos 1＞cos 2＞cos 3.( )( 3 )函数y ＝－12sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为0.( )[详细解析] ( 1 )错误．y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．( 2 )正确．y ＝cos x 在( 0,π )上是减函数,且0＜1＜2＜3＜π,所以cos 1＞cos 2＞cos 3.( 3 )正确．函数y ＝－12sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数,故当x ＝0时,取最大值0.[正确答案] ( 1 )× ( 2 )√ ( 3 )√2．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时,y max ＝2－( －1 )＝3,此时x ＝2k π－π2,k ∈Z .]3．若cos x ＝m －1有意义,则m 的取值范围是________． [0,2] [因为－1≤cos x ≤1, 要使cos x ＝m －1有意义, 须有－1≤m －1≤1,所以0≤m ≤2.][合 作 探 究·攻 重 难]正弦函数、余弦函数的单调性( 1 )函数y ＝cos x 在区间[－π,a ]上为增函数,则a 的取值范围是________．( 2 )已知函数f ( x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,求函数f ( x )的单调递增区间．[思路探究] 1.确定a 的范围→y ＝cos x 在区间[－π,a ]上为增函数→y ＝cos x 在区间[－π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a 的范围．2．确定增区间→令u ＝π4＋2x →y ＝2sin u 的单调递增区间．( 1 )( －π,0] [( 1 )因为y ＝cos x 在[－π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有－π＜a ≤0时满足条件,故a ∈( －π,0]．]( 2 )令u ＝π4＋2x ,函数y ＝2sin u 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π,k ∈Z ,由－π2＋2k π≤π4＋2x ≤π2＋2k π,k ∈Z得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π,k ∈Z .所以函数f ( x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π,k ∈Z .[规律方法] 1.求形如y ＝A sin( ωx ＋φ )＋b 或形如y ＝A cos( ωx ＋φ )＋b ( 其中A ≠0,ω>0,b 为常数 )的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点:①要把ωx ＋φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x 的系数化为正;②在A >0,ω>0时,将“ωx ＋φ”代入正弦( 或余弦 )函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A <0,ω>0时同样方法可以求得与正弦( 余弦 )函数单调性相反的单调区间．提醒:复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律． [跟踪训练]1．( 1 )函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． ( 2 )已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ,则它的单调减区间为________． ( 1 )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3( 2 )⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3( k ∈Z ) [( 1 )由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π( k ∈Z ), 得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3( k ∈Z )． 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3, 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6, x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.( 2 )y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2k π≤2x －π3≤2k π＋π,k ∈Z ,得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3,k ∈Z ,∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3( k ∈Z )．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小．( 1 )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10;( 2 )sin 196°与cos 156°;( 3 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 【2095】[思路探究] 用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小[详细解析] ( 1 )∵－π2＜－π10＜－π18＜π2,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.( 2 )sin 196°＝sin( 180°＋16° )＝－sin 16°, cos 156°＝cos( 180°－24° )＝－cos 24°＝－si n 66°, ∵0°＜16°＜66°＜90°, ∴sin 16°＜sin 66°, 从而－sin 16°＞－sin 66°, 即sin 196°＞cos 156°. ( 3 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π,且y ＝cos x 在[0,π]上是减函数,∴cos 35π＜cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. [规律方法] 三角函数值大小比较的策略 1利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[－π,0]或[0,π]内.2不同名的函数化为同名的函数.3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.[跟踪训练]2．( 1 )已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( )A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin βC ．cos α＜cos βD ．cos α ＞cos β( 2 )比较下列各组数的大小: ①cos 15π8,cos 14π9;②cos 1,sin 1.( 1 )B [( 1 )α,β为锐角三角形的两个内角,α＋β＞π2,α＞π2－β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.]( 2 )①cos 15π8＝cos π8,cos 14π9＝cos 4π9,因为0＜π8＜4π9＜π,而y ＝cos x 在[0,π]上单调递减,所以cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1,而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1,即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题[探究问题]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0,π]上最小值是多少？提示:因为x ∈[0,π],所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 2．函数y ＝A sin x ＋b ,x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示:不是．因为A >0时最大值为A ＋b ,若A <0时最大值应为－A ＋b .( 1 )函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为________．( 2 )已知函数f ( x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ( a ＞0 )．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f ( x )的最大值为3,最小值是－2,求a 和b 的值. 【2096】[思路探究] ( 1 )先用平方关系转化,即cos 2x ＝1－sin 2x ,再将sin x 看作整体,转化为二次函数的值域问题．( 2 )先由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围,再求sin2x⎭⎪⎫－π3的取值范围,最后求f ( x )min ,f ( x )max ,列方程组求解．( 1 )[－4,0] [( 1 )y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－( sin x －1 )2. 因为－1≤sin x ≤1,所以－4≤y ≤0,所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为[－4,0]．] ( 2 )∵0≤x ≤π2,∴－π3≤2x －π3≤2π3,∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,∴f ( x )max ＝a ＋b ＝3,f ( x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.母题探究:1.求本例( 1 )中函数取得最小值时x 的取值集合．[详细解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－( sin x －1 )2, 所以当sin x ＝－1时,y min ＝－4,此时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z. 2．将本例( 1 )中函数改为y ＝cos 2x ＋sin x ,x ∈R 结果又如何？ [详细解析] y ＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.因为－1≤sin x ≤1,所以－1≤y ≤54,所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ,x ∈R 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.[规律方法] 三角函数最值问题的常见类型及求解方法:( 1 )y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ( a ≠0 ),利用换元思想设t ＝sin x ,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定．( 2 )y ＝A sin( ωx ＋φ )＋b ,可先由定义域求得ωx ＋φ的范围,然后求得sin( ωx ＋φ )的范围,最后得最值．[当 堂 达 标·固 双 基]1．y ＝2cos x 2的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．RA [因为x ∈R ,所以x 2≥0, 所以y ＝2cos x 2∈[－2,2]．]2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增函数D ．先增后减函数C [因为y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先增后减,所以y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先减后增．]3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6,所以12≤sin x ≤1,即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]4．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8( 填“＞”或“＜” ). ＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8,因为0＜π8＜2π7＜π2,y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,所以sin π8＜sin 2π7,即sin 2π7＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8.]5．函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[详细解析] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间,转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间,由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π,k ∈Z ,得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π,k ∈Z ,即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π( k ∈Z )．。
新人教A版高中数学(必修4)1.4《三角函数的图象与性质》教案2课时
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学目的：1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3、正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系。
教学重点、难点重点：会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象教学过程：一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，OM r x ==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆；（2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。
2、五点法作图 描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五 点起决定作用，它们是 描出这五点后，其图象的形状 基本上就确定了。
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。
注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。
（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。
（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。
（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。
人教A版高中数学必修4《一章 三角函数 1.4 三角函数的图像与性质 探究与发现》优质课教案_18
1.4.2正弦、余弦函数的性质学习目的：1、要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；2、掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
学习重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；学习难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用授课类型：新授课学习模式：启发、诱导发现学习．教 具：多媒体、实物投影仪学习过程：一、讲解新课：1．奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如： f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x)． 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
例如：函数f(x)=x 2+1, f(x)=x 4-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y=x1 都是奇函数。
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。
人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质教案(3)
根据终边相同的同名三角函数值相等， 把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续 地平行移动，每次移动的距离为 2π，就得到 y=sinx ， x∈ R的图象 .
把角 x ( x R) 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x
1 0 10 1 0 y
1–
10
5
2
O
正弦函数 f ( x) sin x 性质2如下： 2
x
2
5
（观察图象） 1 正弦函数的图1–象是有规律不断重复出现的； 2 规律是：每隔 2 重复出现一次（或者说每隔 2k ,k
现） 3 这个规律由诱导公式 sin(2k +x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。
即： f (x+ )=f (x)
∴T=
3 令 z= x + 则： f (x)=3sinz=3sin(z+2
25
)=3sin( x + +2 )
25
=3sin( x 4
)=f (x+4 )
25
∴T=4
思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量
有关？
说明：（ 1）一般结论：函数 y Asin( x ) 及函数 y Acos( x ) ， x R（其
从图象上可以看出 y sin x ，x R；y cosx ，x R 的最小正周期为 2 ；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ 正周期） 3、例题讲解
例 1 求 下 列 三 角 函 数 的 周 期 ： ① y 3cos x
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质(第3课时)教学设计 新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质（第3课时）教学设计新人教A版必修4年级：姓名：1.4 三角函数的图象与性质（第3课时）1.4.3正切函数的性质与图象教学目标1．知识与技能：（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象； （2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2．过程与方法：（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，培养学生数形结合的思想方法。
（3）培养学生类比，归纳的数学思想方法 3．情态与价值： 培养认真学习的精神。
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象 教学难点：正切函数的性质 教学过程 一、复习引入问题：1．正弦曲线是怎样画的？ 2．练习：画出下列各角的正切线：下面我们来作正切函数的图象．二、讲解新课1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ2．正切函数是不是周期函数？()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且，∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。
（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：π-Oπ23-π2π-2ππ23yx（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ；（2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
人教版高中数学必修4-1.4《三角函数的图象与性质(第1课时)》教学设计
1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的图像与性质(一)（赵中玲）一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，能够很好的掌握正弦函数、余弦函数的周期性和单调性，在直观想象、数学抽象、逻辑推理过程中用这些性质能够对相关函数作出准确的分析进而解答相关问题.（二）学习目标1.通过研究sin y x =（cos y x =）“周而复始”的特征，得出周期性的准确定义.2.理解周期性的定义，并能够运用该定义求周期函数的周期.3.能结合图象得出sin y x =（cos y x =）的单调性和单调区间，以及会运用单调性求最值和比较大小.4.在渗透数形结合的数学思想过程中，同时培养学生类比和转化的思维习惯.（三）学习重点正弦函数、余弦函数的周期性，周期性的定义及其运用.（四）学习难点正弦函数、余弦函数的周期性.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材34——36页，填空：正弦函数sin y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 2л .余弦函数cos y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 π2 .周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数就叫周期函数，周期为非零常数T2.预习自测（1）sin y x =（cos y x =）的最小正周期为【答案】2π（2）sin（)3y x π=-的最小正周期为【答案】2π （3）cos 2y x =的最小正周期为【答案】π(二)课堂设计1.知识回顾回顾sin y x =（cos y x =）的图象.2.问题探究探究一 正弦函数、余弦函数的周期性，周期性定义★●活动①根据sin y x =的图象得出周期性的概念由正弦函数的图象我们发现：它具有“周而复始”的变化规律.其实在由正切线向正弦函数转变的探究过程中也有感受到，而从式子上面也有准确的体现——正弦的诱导公式：sin （2)sin ()x k x k Z π+=∈，即当自变量x 增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上我们称这种规律为周期性，下面得出周期性的准确定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 ()()f x T f x +=，则称函数()f x 为周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做()f x 的最小正周期.【设计意图】通过数形结合得出周期性的准确定义，从而使三角函数的这种特征由感官的转变为数式的准确描述.●活动② 利用周期性的定义判断cos y x =是否为周期函数，并确定其周期和最小正周期. 引导学生先根据cos y x =的图象直观的得出其周期性和周期以及最小正周期，再引导学生类比sin y x =发现cos （2)cos ()x k x k Z π+=∈，由k 取不同的整数得cos y x =的周期可以为2π、4π、6π……及2π-、4π-、6π-……，其中最小的一个正数为2π，因此最小正周期为2π.如果有时间教师可以对最小正周期为2π进行严格证明，证明如下：。
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质教学案新人教A版必修4
第 1 课时 正弦函数、余弦函数的图象
[ 核心必知 ]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材 P30～ P33 的内容，回答下列问题．
(1) 观察教材 P31 图 1.4 － 3，你认为正弦曲线是如何画出来的？
提示：利用单位圆中的正弦线可以作出
y＝ sin_ x， x∈ [0 ， 2π ] 的图象，将 y＝ sin_ x 在 [0 ， 2π ] 内的
5．不等式 cos x＜ 0， x∈[0 ， 2π ] 的解集为 (
)
π 3π
π 3π
π
π
A. 2 ， 2 B. 2 ， 2 C. 0， 2 D. 2 ，2π
解析：选 A 由 y＝ cos x 的图象知，
π 3π 在 [0 ，2π ] 内使 cos x＜ 0 的 x 的范围是 2 ， 2 .
6．函数 y＝ 2cos x － 2的定义域是 ________．
( k∈ Z) ．
题组 3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题
3
8． y＝1＋ sin x， x∈ [0 ，2π ] 的图象与直线 y＝ 2交点的个数是 (
)
A． 0 B ． 1 C ．2 D ． 3
3 解析：选 C 画出 y＝ 2与 y＝ 1＋ sin x， x∈[0 ， 2π ] 的图象，由图象可得有 2 个交点．
sin x 0 1 0 － 1 0
sin x －1 0 －1 －2 －1
－1
描点、连线，如图．
(2) 列表： 描点、连线，如图．
π
3π
x
0 2 π 2 2π
cos x 1 0 － 1 0 1
2＋ cos 32 1 2 3
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三角函数的图象与性质一、知识网络二、高考考点（一）三角函数的性质1、三角函数的定义域，值域或最值问题；2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.（二）三角函数的图象1、基本三角函数图象的变换；2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；4、利用函数图象解决应用问题.（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.三、知识要点（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx.（2）型三角函数的奇偶性（ⅰ）g（x）＝（x∈R）g（x）为偶函数由此得；同理，为奇函数 .（ⅱ）为偶函数；为奇函数.3、周期性（1）基本公式（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 .（ⅱ）型三角函数的周期的周期为；的周期为 .（2）认知（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为 .（ⅱ）的周期的周期为；的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”．（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.（3）特殊情形研究（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；（ⅱ）的最小正周期为；（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y＝型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为①换元、分解：令u＝，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝；②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；③还原、结论：将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.（二）三角函数的图象1、对称轴与对称中心（1）基本三角函数图象的对称性（ⅰ）正弦曲线y＝sinx的对称轴为；正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0） .（ⅱ）余弦曲线y＝cosx的对称轴为；余弦曲线y＝cosx的对称中心（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为；正切曲线y＝tanx无对称轴.认知：①两弦函数的共性：x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）对称中心＝0.②正切函数的个性：（，0）为正切函数f（x）的对称中心＝0或不存在.（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）（ⅰ）对于g（x）＝或g（x）＝的图象x＝为g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数g（x）对称中心＝0.（ⅱ）对于g（x）＝的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心＝0或不存在.2、基本变换（1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移3、y＝的图象（1）五点作图法（2）对于A，T，，的认知与寻求：①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.②：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.：由T＝得出. ③：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.四、经典例题例1、求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：（1）∵∴，即所求函数的值域为 .（2）由∴∴注意到这里x∈R，，∴∴所求函数的值域为[－1，1].（3）这里令sinx＋cosx＝t则有且由于是有∵∴因此，所求函数的值域为 .（4）注意到这里y>0，且∵∴即所求函数的值域为 .（5）注意到所给函数为偶函数，又当∴此时同理，当亦有 . ∴所求函数的值域为 .（6）令则易见f（x）为偶函数，且∴是f（x）的一个正周期. ①只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.当x∈[0， ]时，又注意到，∴x＝为f（x）图象的一条对称轴②∴只需求出f（x）在[0， ]上的最大值.而在[0， ]上，递增. ③亦递增④∴由③④得f（x）在[0， ]上单调递增.∴即⑤于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 .点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx 与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.例2、求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：（1）＝＝∴所求最小正周期 .（2）＝＝＝∴所求周期 .（3）＝＝＝ .注意到的最小正周期为，故所求函数的周期为 .（4）注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥０（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2 . ∴所求函数的周期为2 .（5）注意到sin2x的最小正周期，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期，这里的最小公倍数为 . ∴所求函数的周期 .点评：对于（5），令则由知，是f（x）的一个正周期.①又∴不是f（x）的最小正周期. ②于是由①②知，f（x）的最小正周期为 .在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.请大家研究的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.例3、已知函数的部分图象，（1）求的值；（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.解：（1）令，则由题意得f（0）＝1∵∴注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为，故逆用“五点作图法”得：由此解得∴所求， .（2）由（1）得令，解得，∴函数f（x）图象的对称轴方程为；令解得，∴函数f（x）图象的对称中心坐标为 .点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：例4、（1）函数的单调递增区间为。
（2）若函数上为单调函数，则a的最大值为。
（3）函数的图象的对称中心是。
函数的图象中相邻两条对称轴的距离为。
（4）把函数的图象向左平移m（m>0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为。
（5）对于函数，给出四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（ ,0）对称；③它的周期为；④它在区间〔－，0〕上单调递增.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是。
分析：（1）这里的递增区间的正号递减区间递增且∴应填（2）由f（x）递增得易见，由f（x）递减得当k＝0时，注意到而不会属于其它减区间，故知这里a的最大值为 .（3）（ⅰ）令∴所给函数图象的对称中心为（，0）；（ⅱ）①解法一（直接寻求）在①中令则有②又在②中令k＝0得，令k＝1得∴所求距离为－解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为T＝，故所求距离为 .（4）这里将这一函数图象向左平移m（m>0）个单位，所得图象的函数解析式为令则由题设知f（x）为偶函数 f（－x）＝f（x）∴所求m的最小值为 .（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察①、③②、④与②、③①、④这两种情形.（ⅰ）考察①、③②、④是否成立.由③得，故；又由①得注意到 . ∴在①、③之下，，易知此时②、④成立.（ⅱ）考察②、③①、④是否成立. 由③得，故；又由②得注意到.∴在②、③之下，，易知此时①、④成立.于是综合（ⅰ）（ⅱ）得正确的命题为①、③②、④与②、③①、④.点评：对于（4）利用了如下认知：；.对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.例5、已知的最小正周期为2，当时，f（x）取得最大值 2.（1）求f（x）的表达式；（2）在闭区间上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.分析：出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f （x）化为＋k的形式，这是此类问题的解题的基础.解：（1）去令，，即则有①由题意得②又由①知，注意到这里A>0且B>0，取辅助角，则由②得③（2）在③中令解得x＝k＋解不等式④注意到，故由④得k＝5.于是可知，在闭区间上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 .点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为＋k的形式，解题便胜券在握.例6、已知点的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0.求当g[f（x）]<0且x∈[0， ]时，实数a的取值范围.分析：由点A、B都在函数的图象上得：，∴b＝a，c＝1－a.∴∴此时，由g[f（x）]<0且x∈[0， ]解出a的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性.解：由分析得∵定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0，①∴g（x）在（－∞，0）上是增函数，且g（－2）＝0②∴由①②知，当x<-2或0<x<2时，g（x）<0③又设 .则 h（t）＝at＋（1－a）， .∴g[f（x）]<0且x∈[0， ] g[h(t)]<0，且 . ∴由③得，当时，h（t）<－2或0<h(t)<2④注意到h（t）＝at＋（1－a）∴由h（t）<－2得h（1）<－2(a<0)或h( )<-2(a>0), 由0<h(t)<2得，解得 .于是综上可知，所求a的取值范围为 .点评：在这里，由③到④的转化，是由“抽象”向“具体”的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0<h(t)<2亦可通过分类讨论来完成.对于h（t）＝at＋（1－a），0<h(t)<2 h（t）>0且h（t）<2（1）h(t)>0，⑤当a>0时，h(t)在上递增，∴由⑤得，h(1)>0，显然成立；当a<0时，h(t)在上递减∴由⑤得，h( )>0（－1）a＋1>0 ；当a＝0时，h（t）显然满足1<h(t)<2. 因此由h(t)>0，得－－1<a≤０⑥（2）h(t)<2，⑦当a>0时，h(t)在上递增，∴由⑦得，h( )<2；当a<0时，h(t)在上递减∴由⑦得，h(1)<2,显然满足条件；当a＝0时，h（t）＝1，显然满足条件.因此由⑦得⑧于是综合（1）（2）知，由0<h(t)<2推出五、高考真题（一）选择题1、（湖北卷）若（）A. B. C. D.分析：注意到我们对的熟悉，故考虑从认知的范围入手，去了解的范围.由∴，∴应选C.2、函数的部分图象如图，则（）A.B.C.D.分析：由图象得 . ∴，∴又f(1)=1，∴注意到，∴应选C.（二）、填空题1、（湖北卷）函数的最小正周期与最大值的和为。