高考数学二轮复习 第2部分 专题一 三角函数与解三角形 1 三角函数图象与性质限时速解训练 文
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
高考总复习二轮文科数学精品课件 专题1 三角函数与解三角形 考点突破练1 三角函数的图象与性质
7.(2023 陕西榆林二模)已知函数
π
π
2 7π
f(x)=2sin(2x+6 )在[-4 , 6 ]和[ 5 , 12 ]上都是单调
的,则 a 的取值范围是( D )
π
f(x)=2sin(ωx+6 )(ω>0),若方程|f(x)|=1
在区间(0,2π)内恰有 5 个实
根,则 ω 的取值范围是( D )
7 5
A.( , ]
6 3
解析 由|f(x)|=
5 13
B.( , ]
3 6
π
|2sin(ωx+ )|=1
6
4
C.(1, ]
3
可得
π
1
sin(ωx+ )=± ,若
6
5
π·
=1,∴当
2
5
f(2)>f(1)=2,当
5
2
x=2时,f(x)< +sin
5
x=2时,得
πx 不成立,即
5
5 2
4
4
g(2)=f(2)- 5 >f(1)-5=2-5
2
=
6
>sin
5
5
5π
g(2)<sin 2 不成立,由此可在坐标系
中画出 g(x)与 y=sin πx 大致图象如图所示:
由图象可知,当 x∈(-∞,-1)∪(0,1)时,g(x)<sin πx,即
f(x)的单调递增区间为[kπ-
5π
π
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
所以 ω＝－16＋23k，k∈Z， 所以 ω＝52，f(x)＝sin 52x＋π4＋2， 所以 fπ2＝sin 54π＋π4＋2＝1. 故选 A.
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
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2．(2022·全国甲卷)设函数 f(x)＝sin ωx＋π3在区间(0，π)恰有三个极
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【解析】 f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以 f(x) 在区间0，π2和32π，2π上 f′(x)>0，即 f(x)单调递增；在区间π2，32π上 f′(x)<0， 即 f(x)单调递减，又 f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋2，f32π＝－32π＋1＋1＝－ 32π，所以 f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－32π，最大值为π2＋2.故选 D.
值点、两个零点，则 ω 的取值范围是
( C)
A．53，163
B．53，169
C．163，83
D．163，169
专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
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【解析】 依题意可得 ω>0，因为 x∈(0，π)，所以 ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，
又 y＝sin x，x∈π3，3π的图象如下所示：
则52π<ωπ＋π3≤3π，解得163<ω≤83，即 ω∈163，83.故选 C.
专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
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3．(2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sin ωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是 ( C )
新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题二三角函数解三角形课件
的值
2
sin α
1
D．
2
C． 2
答案：D
α
解析：由tan
α
2
cos2 2
α
1+cos α 1+2 cos 2 −1
1
1
＝2，则
＝
α
α ＝
α
α＝
α＝ .故选D.
2
sin α
2
2 sin cos
sin cos
tan
2
2
2
2
2
(2)[2023·安徽宣城二模]已知 3sin α－sin
＝(
)
7
9
7
4
)
1
B．
2
D．－
3
2
答案：D
解析：由已知可得，sin
1−cos2α 3
＝ .
2
4
所以sin2α＝
3π
(2α＋ )＝cos
2
(2α＋π)＝－cos
3
2
1
2α＝ ，所以cos
2
又角α在第四象限内，所以sin α＝－ sin2 α＝－ .故选D.
1
2α＝－ ，
2
2. (1)[2023·安徽安庆二模]已知第二象限角α满足sin
2
即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝ ，所以2sinαcos
3
因为0<α<π，所以cos α<0<sin α，所以sin α－cos α>0.
1
4
2 3
.
3
因为(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1＋ ＝ ，所以sinα－cos α＝
2024届高考数学二轮复习专题1三角函数与解三角形课件
即 cos A＝－12，
由 A 为三角形内角得 A＝23π，
△ABC
面积
S＝12bcsin
A＝12×1×
23＝
3 4.
专题一 三角函数与平面向量
类型四 平面向量及其应用
1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量 a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，
则( )
A．λ＋μ＝1
B．λ＋μ＝－1
A．79 解析：因为
sin
B．19 (α－β)＝sin
αcos
C．－19 β－sin βcos
α＝13，
cos αsin β＝16，
所以 sin αcos β＝12，
所以 sin(α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝12＋16＝23，
则 cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×49＝19.
答案：－
3 2
专题一 三角函数与平面向量
3．(2023·全国甲卷)函数 y＝f(x)的图象由函数 y＝cos (2x＋π6)的图象向左平移π6个
单位长度得到，则 y＝f(x)的图象与直线 y＝12x－12的交点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：把函数 y＝cos(2x＋π6)向左平移π6个单位可得 函数 f(x)＝cos(2x＋π2)＝－sin 2x 的图象， 而直线 y＝12x－12＝12(x－1)经过点(1，0)，且斜率为12，
Bcos Bcos
AA－ssiinn
CB＝1，所以ssiinn
（（AA－＋BB））－
sin sin
CB＝sin
（A－sinBC）－sinB＝1，
专题一 三角函数与平面向量
高考数学(理)二轮复习专题二第一节三角函数的图像与性质PPT课件
(3)数量积是平面向量中的一种重要运算，坐标运算是平面 向量的核心知识，涉及夹角、距离等的基本运算，是历年高考 命题的重点，要准确记忆相关公式；
三角函数与平面向量主要包括三部分内容——三角函 数、平面向量、解三角形，复习这三部分内容应牢牢把握 三个点：“角”、“关系”与“运算”，这三个点串成了该部分 知识复习的主线．
“角”，是三角函数复习线索的中心，该部分知识的复习要围 绕“角”这个中心，抓住四个基本点：三角函数的定义、同角三角 函数的基本关系与诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等 变换．
＝
()
A．－1
B．－
2 2
C.
2 2
解析：选 A
D．1 由 sin α－cos α＝ 2sin α－π4＝ 2，α∈(0，π)，
解得 α＝34π，所以 tan α＝tan 34π＝－1.
1
2．已知 α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝aloga 3 (a>0，且 a≠1)，则
[解析] tan θ＝cos334π＝－coπsπ4＝－1， sin4π sin4
又 sin34π>0，cos34π<0， 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π)， 所以 θ＝74π. [答案] D
练习：
1．(2012·辽宁高考)已知 sin α－cos α＝ 2，α∈(0，π)，则 tan α
(3)测量问题是解三角形在实际应用中的主要内容，解决问题 的关键是把要测量的问题归入到相应的三角形中，然后利用正、 余弦定理求解相应的边角．
全国通用高考数学二轮复习第二层提升篇专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质课件
答案：－1
3．(2019·西安师大附中模拟改编)将函数y＝sin 2x＋π6 的图象 π
向右平移 3 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 g(x)的图象．若g(x1)g(x2)＝4，且x1，x2∈[－2π，2π]，则 g(x)＝____________，x1－2x2的最大值为________．
的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为
________． 解析：由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4× 52－1
＝6，所以ω＝
2π T
＝
π 3
，所以f(x)＝Asin
π3 x＋φ
，将(0，
1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝
f(3)＝Asinπ3 ×3＋φ＝－Asin φ＝－1.
法二：由题设知，先将函数y＝sin 3x－16π 的图象上所有点的
Hale Waihona Puke 横坐标缩短到原来的1 2
，再将所得图象向右平移
π 3
个单位长度
即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin
3×2x－π3 －16π
＝
sin6x－16π.故选B.
答案：B
2．(2019·湖南省五市十校联考)函数f(x)＝
Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)
[答案] (1)B (2)C
[解题方略] 由“图”定“式”找“对应”的方法 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，
ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间
的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图． (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最
大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B
2022年高考数学二轮复习专题二三角函数、解三角形 第1讲三角函数的图象与性质
4
π
+
4
π
x的图象向左平移 个单位，得到的图象的函数解析
4
π
B．y＝sin x－
4
π
D．y＝sin x＋
4
答案：C
π
π
解析：函数y＝sin x的图象向左平移 个单位，得到y＝sin (x＋ )的图象．
4
4
故选C.
2．要得到函数y＝cos
(
)
π
A．向右平移
6
π
C．向右平移
18
3x −
π
6
的图象，只需将y＝cos 3x的图象
4
答案：A
解析：f x ＝sin
故选A.
1
1
x＋cos x＝
3
3
2cos
1
x
3
π
−
4
＝ 2cos
1
3
x
3π
−
4
.
2．[2021·山东潍坊学情调研]将函数f(x)＝sin 2x +
移a(a>0)个单位得到函数g(x)＝cos
(
)
5π
A．
12
7π
B．
12
2x
π
+
4
41π
D．
24
答案：C
解析：由题意知，g(x)＝cos 2x
4
π
D．向右平移 个单位长度
12
3．设函数f x ＝sin ωx −
π
4
f 2 ＝0.则f x 的最小正周期为(
16
A．
9
1
C．
8
答案：A
B．16
9
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限时规范训练一 三角函数图象与性质
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12
. (1)若0＜α＜π2，且sin α＝22
，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22
. 所以f (α)＝22⎝
⎛⎭⎪⎪⎫22＋22－12＝12
. (2)因为f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 2．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，向量b ＝(cos x ，－sin x )，f (x )＝a·b .
(1)求函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最小正周期和对称轴方程；
(2)若x 是第一象限角且3f (x )＝－2f ′(x )，求tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4的值． 解：(1)∵g (x )＝f (x )＋sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x
＝cos 2x ＋sin 2x
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 最小正周期T ＝2π2
＝π. 当2x ＋π4＝π2
＋k π(k ∈Z )时， x ＝k π2＋π8
. ∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的对称轴方程为x ＝
k π2＋π8
(k ∈Z )． (2)由3f (x )＝－2f ′(x )，得3cos 2x ＝4sin 2x .
3cos 2x －3sin 2x －8sin x cos x ＝0.
(3cos x ＋sin x )(cos x －3sin x )＝0.
又x 是第一象限角，
∴cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13
. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋131－13＝2. 3．(2016·山东枣庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω＞0)．
(1)求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2
，求函数f (x )的单调递增区间．
解：(1)f (x )＝3
2sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1)
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin ωx －12cos ωx －1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1， 得－3≤2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1≤1， 所以函数f (x )的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，
f (x )的周期为π，所以2πω
＝π，即ω＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2
(k ∈Z )， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3
(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．
解：(1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－13
22×4×5＝5
5，所以P (1,2)．
由此可得A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6
.将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ， 得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋φ＝1，∴π6＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． 因为0＜φ＜π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋π3. (2)由题意得g (x )＝2sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π6x －2＋π3＝2sin π6x . 所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6
x ＝2sin 2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3
x ＋ 3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3x －π6. 当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1), 即1＋2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)．于是函数h (x )的值域为(－1,3)．。