基于机器人避障问题的数学模型
给定场景下机器人避障行走的最短路径模型及求解
√ （ ７ ３ ＋ ０ ７ ｐ ） ＋
） ７ ｐ ＇ — （ ７ — ３ ＋０ — ２ ２ ７ ）＋ — （ １ ８ 一 ８ ｐ－６ ０ ）
： 、 ６ ２ ９ ２ ９ ｐ （ ９ １ ２ ６ ２ ＋３ ５ ４ ｐ ） （ Ｉ １ ０ ２ ５ ８ ｐ（ ７ ０ ８ ｐ ５ １ ４ ７ ６ ¨
使 之更 好 地 服务 油 田开 发项 目 ， 重 点关 心油 井 挤注 防 垢。油 田 进 入 中后 期 开发 后 ， 含 水 率 不断 升 高 ， 各种 结垢 问题 也将 日益 严重 ， 井 下挤 注 防垢 技术 的应 用 势在 必 行 ， 科 学合 理地 应用 油
井 挤注 防垢 技术 ， 做 好应 尽 的准 备 工作 ， 将 会 大 大提 高我 国油
所以： 最短 时 间路径为
ｍ ｉ ｎ ＝ 喜 厶，
用此模 型就 可 以对起 点到 目标 点之 间的路 径进行 优化 求解 。
４ ３ 给定场 景下 最短 路径模 型求 解
应 用 “拉 线 原 理 ” ， 计 算 各 个 路 线 的 最 短 路 径 相 互 比 较 可 得 最 优 行 走 路 线 以 及 最 短 路 径 。 知 ｏ （ ｏ ， ０ ） Ａ （ ３ ０ ０ ， ３ ０ ０ ）的 最 优 行 走 路 线 为 Ｏ Ａ Ａ ，最
ｏ （ ｏ ， ０ ） － － － ） Ａ （ ３ ０ ０ ， ３ ０ ０ ） Ｂ ００ ０ ， ７ ０ ０ ） Ｃ（ ７ ０ ０ ， ６ ４ ０ ） 的最优 行走 路
线为 Ｄ一 ５ 一 一 ７ 一 Ｄ８ 一 一 一 ９ 一 ９一 Ａ１ ０ 一Ｂ ｔ ０ 一Ｃ 一０ ， 最 短路径 Ｌ＝３ ０ ４ ２ ． ８ ０ ２ ２。
验 及应 用 。
模型缺陷 ： 在 障碍 物 较 多 时 ， 且形 状 不规 则 时 ， 模型 需 要 ０ 一 Ａ的最短路 径 ｏ （ ｏ ， ０ ） Ｃ （ ７ ０ ０ ， ６ ４ ０ ） 的 最 ０一 Ｂ的最 短路 径 优 行 走 路 线 为 参 考 文献 ［ １ ］ 机 器人 行走 问题． ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｅ ｎ ｋ ｕ ． ｂ ａ ｉ ｄ ｕ ． ｃ ｏ ｍ ／
行走机器人避障题数学建模
2
从而可得：
L b2 r2 c2 r2 r
2）而对于下图两种情况我们不能直接采用线圆的结构来解决，需要做简单的变 换。
情况一：
线圆结构 5.22
8
我们假设两圆心坐标分别为 O(x1, y1) 和 O(x2, y2 ) ,半径均为 r，M 点坐标为 (x3, y3 ) ，那么我们很容易可以求得:
分别为1 、2 、 。这样便有以下关系：
在 RtAO1C 中：
a
(x1 x3 )2 ( y1 y3 )2
b (x3 m)2 ( y3 n)2 c (x1 m)2 ( y1 n)2
e (x1 x4 )2 ( y1 y4 )2
f (x4 m)2 ( y4 n)2
AE +FB< AC1B ,记线段 AE、弧度 EF、线段 FB 为 AEFB,那么 AEFB 比任何折线
路径都短。 下面在考察一条不穿过障碍物的任何一条路径，设其分别于 OE 和 OF 的延长
线交与 P、Q 两点，记 A 和 P 之间的路径长度为 ，显然 >|AP|,又由 AE EO,
所以|AP|>AE,从而 >AE,同理可得 >BF。
9
就可以对其进行求解。同理多个这样的转弯时，用同样的方法可以进行分割。
5.3 模型准备二
一、对于从起点经过若干点然后再到达目标点的状况，因为不能走折线路 径，我们就必须考虑在经过路径中的一个目标点时转弯的状况。为了研究这个问 题的方便，我们先来证明一个猜想：
猜想二:如果一个圆环可以绕着环上一个定点转动，那么过圆环外两定点连 接一根绳子，并以该圆环为支撑拉紧绳子，达到平衡状态时，圆心与该顶点以 及两条切线的延长线的交点共线。
机器人避障问题的最短路径分析
机器人避障问题的最短路径分析摘要本论文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。
主要讨论了在一个区域中存在12个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过若干目标点最终到达出发点的两种情况。
采用传统的避障方法——切线图法。
建立了线圆结构，这样任何路径，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。
对于途中经过节点再到达目标点的状况，我们采用在转弯点和节点都采用最小转弯半径，以节点为切点的形式。
然后建立了最优化模型，利用MATLAB软件对方案进行求解。
问题一：把路径分解成若干个线圆结构来求解，然后把可能的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径：AO→最短路径为：471.0O→最短路径为：869.5BO→最短路径为：1093.3C对于O→→→我们将A、B、C看作切点，同样采用线圆结构CBAO→计算。
O→→→→最短路径为：2827.1AOCB问题二：考虑避障路径和转弯速度，我们建立时间与路径之间的模型，用MATLAB软件求出最优解。
当转弯半径为11.5的时候，可以得出最短时间为：T=94.3关键词最优化模型避障路径线圆结构切线图法一、问题重述本文是求一个机器人在800×800的平面场景图中避开障碍物，建立从原点O(0, 0)点处出发达到终点的最短路径和最短时间路径的模型。
即求：1、O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。
2、O →A 的最短时间路径。
机器人在行走时的要求是：1、它只能在该平面场景范围内活动2、图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物（障碍物的分布如图1）3、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。
4、规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。
机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。
机器人避障问题
ａ ＝ 、 厂 ６ ＝ 、 厂
， ，
Ｅ
ｃ ＝ 、 ／ ｒ
如图 ５ ． １ ， 设Ａ 。 ， Ｙ 。 ） 为起点， Ｂ 。 ， ｙ ２ ） 为 目标
点， 延长直线 Ｏ到． Ｃ Ｄ中点交圆弧 Ｃ Ｄ于 日 ， 过 圆心 作Ｏ Ｈ 的垂线分别 交 Ａ Ｃ 、 Ｃ Ｄ于 Ｆ 、 ，圆心 ０ 舢 ｃ ， ， 和Ｄ ， 为机器人经过拐点分别于 脱离危 险线 拐角 小 圆弧 的切 点 ，圆的半径 为 ｒ ，
其 中Ｐ是转弯 半径． 若超过该速度 ， 则机器人无法 完成行走 ： （ ３ ） 机器人变速和转身瞬间完成． ３模型假设 （ １ ） 机器人能够抽象成点来处理： ｃ ２ ） 机器人的性能足够好， 能准确地沿圆弧转弯； （ ３ ） 机器人行走过程 中不会意外停止； （ ４ ） 机器人行走不小于最小转弯半径和最小安 全距 离 ； （ ５ ） 机器人不会进 入 两个相接触的障碍物的死角． ４ 定义 与符 号说 明 ｒ ， Ｐ ： 转弯半径 ． ， 啦 ： 直线倾角或夹角． ｔ ： 时间． Ｌ ： 最 短路 径 总长 ． ５模 型 的建 立 查 阅相 关文 献 知 ，具有 圆形 限定 区域 的最短 路 径是由两部分组成的， 一部分是平面上的 自 然最短 路径 （ ａ Ｐ 直线段） ，另一部分是限定区域的部分边 界， 这两部分是相切 的， 这两条直线段是 由圆弧连 接的． 对于 问题 １ ， 我们经过深入分析知， 起 点到 目标 点无论中间障碍物有 多少 ， 最短路径都应该是若干 个线 圆结构所组成．在本题 中存在障碍物的状况 ， 且障碍物在拐点处 的危 险区域 是一个半径为 ｒ的 圆弧， 而求两点之间的最短路径 中的转弯半径我们 应该按照最小的转弯半径来算才能达到最优． ５ ． １基本线 圆结构的数学模型
冗余机械臂避障matlab
冗余机械臂避障matlab机械臂是一种能够模拟人类手臂运动的机器人，它可以完成各种复杂的工作任务。
在实际应用中，机械臂需要具备避障能力，以保证其在复杂环境中的安全运行。
冗余机械臂是一种具有多余自由度的机械臂，它可以通过调整自身姿态来避开障碍物，从而实现避障功能。
本文将介绍如何使用matlab实现冗余机械臂的避障控制。
我们需要建立机械臂的运动学模型。
运动学模型是描述机械臂运动规律的数学模型，它可以通过机械臂的关节角度计算出机械臂的末端位置和姿态。
在matlab中，我们可以使用Robotics System Toolbox工具箱来建立机械臂的运动学模型。
具体步骤如下：1. 定义机械臂的DH参数，包括关节长度、关节角度、关节偏移和连杆旋转角度。
2. 使用robotics.RigidBodyTree函数创建机械臂的刚体树模型。
3. 使用robotics.RigidBody函数创建机械臂的刚体模型，并将其添加到刚体树中。
4. 使用robotics.Joint函数创建机械臂的关节模型，并将其添加到刚体树中。
5. 使用robotics.RigidBodyJoint函数将关节模型连接到刚体模型上。
6. 使用robotics.RigidBodyTree函数计算机械臂的运动学模型。
建立好机械臂的运动学模型后，我们需要设计避障控制算法。
在冗余机械臂中，我们可以通过调整机械臂的姿态来避开障碍物。
具体步骤如下：1. 使用机械臂的运动学模型计算机械臂的末端位置和姿态。
2. 使用传感器获取障碍物的位置和大小。
3. 根据障碍物的位置和大小，计算机械臂需要调整的姿态。
4. 使用机械臂的运动学模型计算机械臂的关节角度。
5. 控制机械臂运动到目标姿态。
在matlab中，我们可以使用Robotics System Toolbox工具箱中的函数来实现避障控制算法。
具体步骤如下：1. 使用robotics.OccupancyGrid函数创建占据栅格地图。
机器人避障问题模型研究
２ 模 型假 设
１ ） 假设绕过障碍物我们均走最小半径的圆弧 ； ２ ） 假设 机 器人 能够 抽象 成点 来处理 ；
３ ） 假 设不 考虑 弧度 计算 ；
圆相 切 ， 切点 分别 为 Ｅ和 Ｆ， 当 Ｙ趋 近 于 Ｙ 时 ， 显 然 Ａ Ｃ Ｂ是这 种折 线 路 径 中最 短 的。 因 为 当 ： ０＜ Ｏ ｔ ＜
１ ８
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字
通
信
第４ ０卷
与障碍 物 问的最 近距离 为 １ ０个单 位 ， 否则将 发 生碰 撞， 若碰 撞 发生 ， 机 器 人则无 法完 成行 走 。 建立 机器人 从 区域 中一点 到达 另一 点 的避 障最 短路径 和 最短 时问路 径 的数 学模 型 。场 景 图 中有 ４ 个 目标 点 ０（ ０ ， ０） ， ４（ ３ ０ ０ ， ３ ０ ０ ） ， Ｂ（ １ ０ ０ ，７ ０ ０ ） ， Ｃ （ ７ ０ ０ ， ６ ４ ０ ） 。具 体分 别计算 ：机 器人 从 ０（ ０ ， ０ ） 点
出发 ， Ｄ 一４， Ｄ —Ｂ， Ｄ — Ｃ和 Ｄ —Ａ —Ｂ —Ｃ — Ｄ 的最 短路 径及 长度 。
问题 ： 证 明绳 子拉 紧时 的情况 ， 则 为 ２个 点 之 间
的最 短路 径 。 假设 在平 面 中有 Ａ（ ａ ， ０ ） 和 曰（一ａ ， ０ ） ２点 ， 中
间有 １ 个半圆形的障碍物 ， 证 明从 到 Ｂ的最路径
分析 中的绳子拉到最紧时的情况 。
Ｔ Ａ Ｅ Ｆ Ｂ是 满足 条件 Ａ到 的最短 路径 。
第 ６期
侯学 慧 ： 机器人避 障问题模型研究
ｌ ９
３ ． ２ 模型 准 备 １
所 以，
＝２ 一Ｏ ｔ 一卢 一
机器人避障冲突检查模型
机器人避障冲突检查模型机器人避障冲突检查模型[摘要]：分析和研究了机器人的避障最短路径问题。
通过冲突检查模型得到机器人在限定区域中行走的可能路径，对其优化得到最优路径。
[关键词]：最短路径冲突检查线圆结构解析几何最优化模型1引言机器人在800×800场景图的原点O（0，0）处，有12个不同形状的障碍物，机器人不能碰撞，障碍物的描述如图（左）所示。
机器人规定路径由直线段和圆弧组成，直线最大速度和转弯最大速度为v0=5单位/每秒、，其中ρ是半径。
建立避障最短路径的数学模型为：计算O→A、O→B、O→C的最短路径。
2模型假设假设机器人用抽象点来说明；假设障碍物拐角处的半径为10单位的圆弧；假设行走以最大速度行驶且不出现故障；假设速度突变时没有缓冲。
3模型准备3.1、模型准备一：冲突检查模型冲突即路径距离障碍物的最短距离。
模型如下：Step1：检查所有线段是否满足要求，否返回false；Step2：检查弧线是否满足要求，否返回false；Step3：若step1和step2满足，返回true。
该路径即有效路径。
3.1.1线段检查（1）线段与多边形检查：Step1：查看线段两端点到多边形各边的距离是否满足要求，否返回false；Step2：查看多边形各顶点到线段的距离是否满足要求，否返回false；Step3：若step1和step2满足，返回true。
（2）线段与圆检查：Step1：从圆心向线段做垂线，垂足落于线段，看垂线与半径差是否满足要求，否返回false，落于线段外，计算近足点到圆心距离与半径差是否满足要求，否返回false；满足返回true。
3.1.2弧线检查（1）弧线和多边形检查：Step1：查看弧线端点和多边形各顶端点是否满足要求，否返回false；Step2：从多边形各点向圆心做线段，若该线段和弧线没交点，忽略，否则若该线段长度-弧半径不满足要求，返回false；Step3：从弧心向多边形各边做垂线，若垂线和弧线相交且落在边上，查看垂线段长度-弧半径是否满足要求，否返回false，否则忽略。
数学建模机器人避障论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：机器人避障问题摘要针对题中机器人避障最短路径问题，文章使用简化后建立的最短路径的数学模型来解决此类问题。
对于问题1，我们matlab中自带函数graphshortestpath函数求解最短路径的数学模型。
其主要思想是：首先先证明出两点之间的最短路径是由两条线段和以中间点为圆心的圆的一段圆弧组成，然后证明圆弧的半径为定值10。
然后对模型简化使模型化为标准的最短路径模型，最后用graphshortestpath函数对模型求解。
针对问题2，我们建立了优化模型。
在问题1的基础上，我们对两种行走方案进行分析，根据转弯弧的半径变化对速度的影响我们锁定到一条路径，然后利用lingo对优化模型进行求解。
关键词：graphshortestpath函数、最短路径、避障问题1、问题重述已知：在下图中原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
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长
春
大
学
学
报
第２ ３卷
短 的三 个 圆弧 的圆心 。那么 求 Ｄ — 一Ｂ ｃ的最 短路 径就 与求 Ｄ — ， Ｄ — ｃ最 短路径 的方法 一样 。
图７ ０ —Ａ 一 一Ｃ 一 ０的 最 短 路 径 图
图８ 求过点 』 ４ 且 路 径 最 短 圆 弧 的 圆 心 ０方 法 图
ＡＣ ＝ ，
同理Ｏ Ｄ＝ ｊ（ ｘ ２ 一 ３ ） ＋ （ ｙ ２ 一 Ｙ ３ ） 一 ｒ 。又０ ＝ ２ ￣ ｒ 一／ ＿ Ａ Ｐ Ｃ 一 ／ ＿ Ｄ Ｐ Ｏ 一 ／ ＿ Ａ Ｐ Ｏ ， 贝 ０
０ ＝ ２ ７ ｒ — ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ — √ （ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 一 ａ ｃ ｏ ｓ — ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 二 ＿ ｒ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ） ＋ （ ｙ 一 ｙ ） √ （ 一 ） ＋ （ ｙ ｚ — ｙ ｓ ）
最后 ， 比较 ４种路 径 的长度 ， 得到 Ｄ — 的最 短路 径 。
以下为转弯圆弧公切线中点 Ｅ （ ｍ， ｎ ） 的求法 ： １ ． 转弯圆弧公切线为平行型
设 圆心 Ｐ 。 （ 。 ， 。 ） ， Ｐ ２ （ ， ） ， ） ， Ｅ到 Ｐ １ 的距 离 为 １ ０， 当 ｍ＜ ， 凡＞ 时得 到
度， 并 比较 大小 ， 即可求 出 Ｄ 最 短路 径 。 以下 为 Ｄ － ÷ Ａ绕 过一个 障碍物 的路径 ｘ ２ ， ｙ ２ ）
图３ 从 Ｄ — 的Ｌ Ｉ 。 １ ＿ ２ 两条 路径 图
图４
角 图
设Ａ （ ｌ ， Ｙ １ ） ， Ｐ（ ｘ ３ ， Ｙ ３ ） ， Ｄ （ Ｙ ２ ） ， ０ ＝／ ＿Ｃ Ｐ Ｄ（ 图４ ） ， 则由Ａ Ｐ ２ ：Ｃ Ｐ ２ ＋ Ａ Ｃ ， 得 到
） （ 一 ） （ ｙ 一 ） ＝ ｏ
ｆ ｍ 一
【 ｍ － ｘ ｌ ＋ ２ ｘ ２ ） ， — 丁 Ｙ ｌ ＋ Ｙ ２ ） ‘ － １ ０ ０
解 得
一
２ ． 转弯圆弧公切线为交叉型
＋ 一一 而 ＋ 丁 Ｊ １ ＇ Ｊ ２
。
设 圆心 Ｐ。 （ ， ｙ ） ， Ｐ ２ （ ： ， ） ， 则 Ｅ的坐标 ｍ： ． ， ｎ：
ｆ （ ， 一 兰 Ｌ 弓 。 ） （ 一 ： ） ＋ （ ｎ － 弓 ） （ ， ， 。 一 ） ＝ ０
１ ｍ 一 半） （ ｒ ｔ Ｙ ｚ ＋ ， Ｙ ２ ． ） ： １ ０ ０
解得
’
一
当 ｍ＞ ， ｎ＞ 时 得 到
＋ 一 而 ＋ 一
从 ０出发 ， Ｄ 一 曰根 据绕 过 障碍物 的个 数 ， 分 为若 干 个 阶 段 ， 每 一 阶段 找 出最 短 路径 。因此 ， 由０ 一 Ｂ有 ４种 路径 （Ｉ， Ⅱ， Ⅲ， Ⅳ） 。以路径 Ⅳ为 例 （ 图５ ） ， 分 为 ５阶段 ， 每段 计算 方法 就 与 Ｄ 相 同。
图 ５ 路 径 Ⅳ 图
长
春
大
学
学
报
第２ ３卷
３ 模型 的建 立和 求解
３ ． １ 从 ０出发 。 ０ 的最短 路径
机器人从 ０ （ ０ ， ０ ） 出发 ， Ｏ — 需要绕过一个障碍物 ， 仅有一个 阶段 。为使路径最短 ， 转弯路径 由与直线 路径相切的一段圆弧组成 ， 且取圆弧半 径为 １ Ｏ ， 从而 ０ Ａ有 １ ， Ｌ ２两条路径 （ 图３ ） 。只需求出 １ ， 长
以下为求 过点 Ａ且路 径最 短 圆弧 的圆心 ０方法 （ 图８ ） ： 以点 Ａ为 圆心作 圆 ， 圆 Ａ过路 径最 短 圆弧 的圆心 ０。过 点 Ｔ ４ ， Ｔ １ 做 圆 ０的切线 分别 相切 于 圆 Ｂ， Ｃ的点
， ，
切 线为 ， ， 且 ， 相 交 于点 Ｑ。设 ｏ（ ｘ ， ， Ｙ ｓ ） ， Ｂ（ 。 ， Ｙ ） ， Ｃ（ ， Ｙ ２ ） ， ＝ＬＤＯ Ｃ ， ＝／ ＿ Ｂ Ｏ Ｃ， ＝ 的 斜 率 ． ｊ ｝ 。＝
一
，
（ ２ 一 ３ ） ＋（ Ｙ ２ － Ｙ ３ ） ＋（ ｌ 一 ３ ） ２ ＋（ ， ， ｌ —Ｙ ３ ） ～（ １ 一 ２ ） ２ 一（ Ｙ １ 一 Ｙ ２ ）
２√（ ２ 一 ３ ） ＋ （ Ｙ ２ － Ｙ ３ ） ／ （ ｘ ｌ ～ ３ ） ＋ （ Ｙ ｌ 一 ）
第 ６期
陈卫 忠 ， 等： 基于机器人避障问题的数学模型
而每个 阶段 的分 界点 ， 我 们取 转 弯 圆弧 公 切线 的 中点 ， 转 弯 圆 弧公 切线 分 为 交叉 型 和平 行 型两 种 ， 我 们
只需 要 求 出转弯 圆弧公切 线 中点 的坐 标 ， 利用 Ｄ —Ａ 的方法 求 出每段 的最 短 路径 ， 从 而 求 出路 径 Ｉ Ｖ的长 度 。
进一步 圆弧 Ｃ Ｄ的长度 ｆ ＿ ， １ ９ ， 则Ｌ ＝ Ａ Ｃ＋ 圆弧 Ｃ Ｄ十Ｏ Ｄ＝ Ａ Ｃ＋ ｒ Ｏ ＋ Ｏ Ｄ 。最后 ， 将０ ， Ａ的坐标代人 ， 用软 件 编程 得到 最短 时 的转弯 圆心 以及 的长度 。 ３ ． ２ 从 ０出发 。 Ｄ ． 。Ｄ — Ｃ的最短 路径
从 ０出 发 ， Ｄ — Ｃ的最 短 路径 同样 可 以用 ０ 一 的方 法得 到 （ 图６ ） 。
图６ Ｄ —ｃ的最短路径 图
３ ． ３ 从 ０出发 ， Ｄ — 一８ 一Ｃ 一 ０的最 短路 径
如图７所示 ， 先将 ０ — ｌ ２ 段最短路径 即可 ， 即Ｄ
Ｂ ｃ —Ｏ分成 ｌ ３ 段， 第１ ３ 段已在求 ０ 一ｃ的最短路径中求出， 只要求出其他 —ｃ 。若 ， ， ｃ三点在圆弧上 ， 只需求出分别过 Ａ ， Ｂ， Ｃ三点且能使路径最