2012年数学建模机器人避障问题
面向学习者的机器人避障案例教学设计
面向学习者的机器人避障案例教学设计作者：陈杨林来源：《中小企业管理与科技·上旬刊》2015年第03期摘要：本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题进行了改编，并从实际情况出发进行图形数据处理、模型建立、模型求解。
关键词：最短路径 matlab 线圆模型动态规划1 机器人避障问题转化为数学问题2012年全国大学生数学建模竞赛D题为一道机器人避障问题，即要求机器人在给定区域内成功绕过障碍物并到达目标点。
这道题目考查了大学生的综合分析能力和解决问题的能力，要求其灵活运用数学知识解决现实生活中的具体问题。
本文试图通过建立数学模型的方式分析和解决这一问题。
首先，我们先设计一张平面场景示意图，规定其为机器人的限定活动区域。
其中，场景图的规格为800×800，设机器人的起点为原点，即（0，0）。
假设我们在12个形状不同的区域内设置了障碍物。
机器人在活动时不得与障碍物发生碰撞，否则将无法正常行走。
为进一步明确机器人的行走状况和障碍物的分布特征，我们制作了表格。
（表1）求解问题一：以下给出了O到各目标点的可能路径的最短路径：①如图5，解决的就是O到目标点A的最短路径问题，共有两种路径走法。
线路（1）走法的路径长度为471.0327；线路（2）走法的路径长度为490.8325。
所以OA的最短路径走法为路线（1），路径为471.0327。
②如图6，图中给出了四条可能的最短避障路径。
我们可以一一计算，并进行对比，最终得到O到B的最优路径。
线路（1）的路径为824.6960。
线路（2）的路径为852.7。
线路（3）的路径为945.3287。
线路（4）的路径为1050.2591。
所以线路（1）为OB的最短路径，OB路径为824.6960。
③如图7，图中给出了O到C的四条可能最短路径，取最小结果路径为最优路径。
计算线路（1）和线路（2）时由于有特殊的圆形障碍物所以建立了线圆结构模型五，结合模型一二三四可以求出各个路径的长度。
二维机器人避障问题的案例教学内容设计
二维机器人避障问题的案例教学内容设计陈晓江;陈杨林【期刊名称】《九江职业技术学院学报》【年(卷),期】2012(000)004【摘要】This paper rearrange one exercise of the maths modeling contest in 2012 as picture drawing and pro- ceeding and model construction application. From the background of robots' obstacle avoidance , problems, calculation and keys, Which fully illustrates the case teaching design faced the higher vocational students.%将2012年全国大学生数学建模竞赛D题改编为包括图形绘制和处理、模型建立、算法设计鳊程、模型应用拓展等能力训练在内的一个案例，从机器人避障的背景描述、问题提出到模型分析、建立和解算，再到给出参考解答，完整地提供了面向高职学生的案例教学内容设计过程。
【总页数】3页(P20-22)【作者】陈晓江;陈杨林【作者单位】九江职业技术学院,江西九江332007;九江职业技术学院,江西九江332007【正文语种】中文【中图分类】TP242【相关文献】1.基于双目视觉信息融合的移动机器人避障研究基于双目视觉信息融合的移动机器人避障研究 [J], 谷凤伟;金西虎;姜珊2.机器人二维环境下仿人虚拟力场避障研究 [J], 金英连;王斌锐;吴善强3.面向学习者的机器人避障案例教学设计 [J], 陈杨林4.基于图的理论解决机器人避障最短路径选择问题 [J], 张琪;王一帆5.基于线圆结构的机器人避障问题路径规划 [J], 游晋峰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
建模机器人避路障问题
机器人避障问题摘要：本文根据题目要求，主要研究了在一个区域内有障碍物的最短路径问题。
依题意我们可以认为最短路径一定是由线和最小圆弧组成，圆心在障碍物的顶点。
对于问题一首先讨论由O 到A 的距离，为了到达目标点，我们建立了圆线模型。
将路线分为两部分：一部分是平面上的自然最短路径〔即直线段〕，另一部分是限定区域的部分边界的半径至少十个单位以外的圆弧，得到其路径长度为L r θ=,并用MATLAB 程序解得最短路径471.0372对于O 到B 的距离问题，为了到达目标点，我们需要建立圆与点圆模型，其中由于圆与圆之间的不同的位置关系，又可以分为同向相切与异向相切，同向相切时1212L r r o o θθ=++，异向相切时12L r r θθ=++ 由MATLAB 程序解得最短路径869.8523。
对于O 到C ，与前者的区别是障碍物大圆视为半径较大的转折弧，为了到达目标点，依旧建立圆圆结构与线圆结构模型，经MATLAB 程序解得最短路径为1011.3。
对于OABCO 的路径问题，除了用了上述提到的圆圆，线圆结构外，还建立了圆心偏移的模型〔即点ABC 在相对应的弧上〕，A 点偏以后的坐标为〔290.9,304.1〕，B 点偏以后的坐标为〔108.23,694.32〕，C 点偏以后的坐标为〔707.26,633.12〕，将OABCO 分为两部分，一部分为OABCN 〔730,520〕的距离，另一部分为由N 回到O 的距离，两部分结果之和即为所求路径。
OABCN 的距离1.7691e+003,N 到O 为880.7744，总长为2649,6744对于问题二，我们将路线问题转化为规划问题，求的最短时间，目标函数为由LINGO 有最短时间为94.22822，切点坐标〔69.80,211.98〕〔77.75,220.14〕 圆心〔82.14,207.92〕。
关键词: 最短路径 最优化模型 避障路径 规划问题 线圆结构10T v r v BD AC θ++=一 问题重述机器人从原点O 出发且他只能在图中所给出的800*800正方平面场景范围内活动。
机器人行走路径的最优方案
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：重庆市正大软件软件职业技术学院参赛队员(打印并签名) ：1. 王永清2. 岳红梅3. 冉锐指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：机器人行走路径的最优方案摘要本文研究的是机器人避障路径行走的最优方案。
针对问题一，机器人在行走时，首先考虑与障碍物的最小距离为转弯时的半径。
然后，用各种几何知识（如：可视图法）分析O→A、O→B、O C→以及O→A→B→→的路径有哪些，将障碍物的起始点和目标点用直线和圆弧画出来，C O而且要求不能穿越障碍物。
图中的弧段就是集合，其中，起始点O连接的任何目标点都均不能与障碍物相交，在绕A、B、C时采用的是LINGO13编程，本队用MATLAN7.0软件编程计算从起始点到目标点的最优路径。
二维机器人避障问题的案例教学内容设计
九 江 职 业 技 术 学 院 学 报 Journal of Jiujiang Vocational & Technical College
220. 1394) 和 ( 300 , 300)。 路径图如下图 3 :
2012. 4
类似地 , 另一个切点 D 坐标也满足如下方程组 : ( m - x) +(n - y) = p (x - 300) (x - m)+( y - 300) ( y - n)= 0 同理可求得切点 D 坐标 。 三 、 参考解答 考虑到模型建立 、 精度选取的不同 , 下面仅给出一种参 考解答 。 案 例教学时对学生实际完成的有创新性的模型和方 法 , 哪怕结果有出入 , 也要予以特别的关注和科学的引导 。 1 .场景图及预处理场景如下图 2 :
2 2 2 | OQ | + | AQ | | OA | ; 2 | OQ | | AQ | ρ ρ ∠ OQC = arcos ; ∠ AQD = arcos ; |OQ | | AQ | θ= ∠ CQD = 2 π - ∠ OQA - ∠ OQC - ∠ AQD 。 最小目标函数 ( 含路程最短 和时间最少) 为 :
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法完成行走 。
九 江 职 业 技 术 学 院 学 报 ( 陈晓江 : 二维机器人避障问题的案例教学内容设计)
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参数 m , n 可依据动圆半径 ρ最大为 14 , 得 到两个参数 的取 值范围 。
2 .问题提出 针对机器人在案例背景中给出的场景中行走 , 既要避障 又要达到目标位置的要求 , 请分析并完成如下四个任务 : ( 1) 画 出该二维场景图 , 及预处理场景图 。 ( 2) 计算 出 机 器 人从 O (0 , 0) 出 发 , 到 达 A ( 300 , 300) 最短路径的距离 。 ( 3) 计算 出 机 器 人从 O (0 , 0) 出 发 , 到 达 A ( 300 , 300) 最短时间路径的 时间 、 距 离 、 各路段 起始 点坐标 以及 圆弧圆心坐标和转弯半径 , 并画出路径图 。 ( 4) 自 行设计若干拓展问题 , 并提出解决思路 。 二 、 模型分析 、 建立和解算 1 .模型分析 因为机 器人圆弧行走 的最小半 径为 10 个 单位 , 直 线行 走避障距离最小为 10 个单位 , 因 此需要 考虑在 场景中 设置 机器人行走的 “ 危险区域” 进行预处理 , 该区域为按照最小 距离单位覆盖所有障碍物 的包络 图 。 用 M A T LAB 软 件编程 将二维场景图和预处理场景图绘图在一个平面图形中 。 由于最短路径和最短时间路径的区别在于机器人走圆弧 的转弯速度 , 而转弯速 度又取 决于圆 弧半径 。 第 ( 2) 问行 走速度固定 , 为达到最短路径要求圆弧半径始终设定为 ρ= 10 个单位 , 第 ( 3) 问则根据问 题所给要求 , 直线行 走速度 在保 持 最 大 速 度 的条 件 下 , 适 当增 加 转 弯 半 径 ( 即 ρ> 10 ) , 用以 增 大圆 弧 距离 , 从而 提 高 走圆 弧 的速 度 。 因 为 v0 ρ )≈ li m 2 = 5 , 事 实上 , 当 ρ 取 14 时 , v( 1ρ ρ ※∞ 1 + e10-0. 4. 9997 已非常接 近最 大直行 速度 , 于是 搜索 最短 时间 路径 时可以考虑条件 : 10 < ρ≤ 14 。 2 .建立模型 考虑机 器人行走规则 , 可 以建立 一个统 一的数 学模 型 , 模型准备如下 : ( 1) 以 圆心在第 5 个障 碍物左 上顶点 , 半径为 10 的圆 为一个定圆 。 ( 2) 以圆心为动点 Q( m , n )、 半径 为 ρ的 圆为一 个动 圆 , 保持动圆始终跟定圆内切 ( 定圆始终在动圆内) 。 ( 3) 最短路径采 用 “ 拉绳 法” 〔3〕 , 即用 连接 O 、 A 之间 的一根绳子 , 以障碍物上的定圆为支撑拉紧绳子 , 则绳子长 度就是从 O 到 A 点 之间 的最短 路径 。 此 时 , 最 短路径 为两 个直线段和一个圆弧段组成 , 定圆圆心坐标为 ( 80 , 210)。 ( 4) 最 短时间路径采用 “ 拉绳法” 和 “ 自然下垂法” 相 结合的办法 , 其中 “ 拉绳法” 原理同上 , 只是支撑圆弧替换 为动圆 , 而 “ 自 然下 垂 法” 是 指 :当 绳 子 两端 O 、 A 拉 紧 时 , 动圆可以绕着定圆自然下垂摆动 , 并保持定圆始终在动 圆的上半圆 内 切 ( 如图 1), 以 实 现最 短 时 间 路径 。 此 时 , 在机器人沿着由上述最短路径的基础上 , 以行走时间最短为 目标函数编程 搜索 出最 佳位 置的 动圆 参数 :动 圆圆 心 坐标 (m , n ) 、 动圆半径 ρ。 搜索算法模 型的优化 条件可 以根据 平面几何中 “ 两个内切圆的圆心距离等于动圆半径与定圆半 径的差” 的定理可优化减少一个参数 , 比如 ρ;剩下的两个
机器人壁障问题数学建模
机器人避障问题摘要：当今科学技术日益发达，高科技产品尤其是机器人在我们日常生活中运用的越来越广泛，它能够代替人类完成许许多多的工作，但如何能让机器人自动化的完成人类交给的任务成为设计机器人的关键。
我们做此题就是为了更好的利用机器人为我们提供方便，提高生活质量，若机器人程序设计不当不仅不会给人类带来方便，还很有可能给我们的生活带来更多的麻烦。
本题中提出了如何让机器人能够自动识别障碍物，保证机器人能够在合理区域行走，并设计出如何能让机器人自动判断最短路程于最短时间下行走路线的问题。
所以解决好本题可以为我们的生活提供帮助。
本文通过运用两点之间直线最短理论，优化问题，最短路问题，图论，以及运用matlab软件编程及作图的方法，阐述了机器人避障问题的相对优化方案的解决办法，即“两点之间直线最好，转弯半径最小”的理论，通过计算中的比较与选择把四条最短路径都求出了相对最优解，论证了转弯速度不会随着r的增加一直增大或减小，而是有一个最小极点的思想。
从而求出了r，以及最短的时间。
问题一，通过对最短路问题的分析，我们很容易分解成线圆结构来求解，然后把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径：O →A 最短路径为：471.0372O →B 最短路径为：838.0466O →C 最短路径为：1085.7531O→A→B→C→O最短路径为：2834.6591问题二，通过建立时间t与r的关系式，得出r在11.504时，从O到A的时间相对最短，最短时间为98.606004。
我们可以利用此篇论文解决生活中实际的问题，在计算时可以节省大量的时间，使机器人又准确又完善的完成我们给定的任务，从而进行拓展，给定区域内任何两个点，我们都可求出其最短路径和走完全程的最快时间。
从而可以让机器人帮助我们给家里打扫卫生或设计自动吸尘器等，也可使机器人在最短的时间完成工作，提高效率，延长机器人的使用寿命。
关键字：最短路问题优化问题 matlab一 问题重述 随着现代科学技术日新月异的发展，机器人越来越多的出现在日常生活中,它既可以通过运行预先编排的程序为人类服务，根据人工智能程序自动处理一些生活中问题，进而协助或者相应地取代人类的工作，可以说机器人的创新与改进正一步步影响着人类的发展。
机器人避障问题模型的几何画板解法探析
机器人避障问题模型的几何画板解法探析作者：刘晓可孙志杰来源：《科技探索》2012年第10期摘要：本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题“机器人行走避障问题”，给出了利用“几何画板”这一数学软件进行求解的方法，并对该方法的优缺点进行了分析。
关键词：数学模型机器人避障几何画板2012年全国大学生数学建模竞赛D题“机器人行走避障问题”如下：在一个800×800的平面场景图中，原点O（0， 0）点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物。
规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。
机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的圆弧组成，每个圆弧的半径最小为10个单位。
为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位。
计算机器人从O（0，0）出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。
这个题目是平面区域的最短路径问题，难度在于路线的具体长度和拐点的坐标不容易计算，但可以利用几何画板的度量与标记坐标的功能实现求解，具体做法为：1. 在几何画板中画出平面区域的相关障碍物。
2. 先目测可能的最短路线并画出。
3. 计算几条路线的总长并进行比较。
4. 选取出最短的路线，并标记拐点的坐标。
下面是针对O→C的具体做法：如图，首先选取两条可能的最短路线，再利用几何画板的度量功能，分别计算出总长度。
经计算，S1=1087.37，S2=1102.32。
因为，S1问题中到其他点的路径可以用类似方法求得，在这里不一一表述。
该方法的优点是简单易操作、直观性强，缺点是计算结果没有用matlab等数学软件求解的精确，但现有的精确度已经足够，因此其不失为一个简单高效的方法。
参考文献：[1]赵静，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2008。
避障线路优化求解
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：临沧师范高等专科学校参赛队员(打印并签名) ：1. 高永萍2. 杨秋学3. 杨琼指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张嵘日期： 2012 年 9 月 9 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：避障线路优化求解摘要机器人行走的路径由直线段和圆弧组成，我们可用拉绳法来找出最短路径。
在障碍物较多的情况下，用穷举法会使计算太繁杂。
为解决此问题，我们先简化问题，认为机器人可折线行走，可贴障碍物，即可将障碍物的边界点当成拐点，利用Lingo软件编程找出起点到目标点的最短路径，此路径是近似路径，故再用Matlab软件编程精确的求其最短路径的长度等。
问题一结果：O→A的最短路径长度为471.0372；O→B的最短路径长度为850.5559;O→C的最短路径长度为1083；O→A→B→C→O的最短路径长度为2663。
圆弧的起点和终点坐标等均计算出。
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1 机器人避障问题 摘要 本文主要运用直线逼近法等规律来解决机器人避障问题.对于问题一：要求最短路径运用直线逼近法证得圆弧角三角形定理，得出结论：若一大圆弧角三角形完全包括另一小圆弧角三角形，则该三角形曲线周长必大于小的三角形周长.那么可知机器人在曲线过弯时，选择最小半径可满足路径最短，即为10个单位半径，通过观察可得可能的所有曲线，通过仅考虑直线段的大致筛选选出总长较小、长度相近（之差小于100）的曲线，然后利用平面几何知识对相关切点，进而求出各直线、曲线的长度，求和可得最
段路线.对于问题二：通过对机器人过弯规律21.0100e1)(vvv的分析可知，当过弯
半径13时，机器人速度达最大速度为50v个单位/秒，再大就无变化了，那么可分两种情况考虑：1）当13时，过弯速度无变化，但由圆弧角三角形定理可知，此时随着的不断变大，其路线总长不断变大，这时越小OA所用时间最短；2）当13
时，统计计算分别为10、11、12、13时，过弯速度v也不断变化，计算所用时间发现随不断变大，OA所用时间越短，此时当13时，时间最短.综合上述可知：当13时，时间最短.
关键词： 质点机器人 安全范围 直线逼近法 圆弧角三角形定理 10单位半径 2
1 问题重述 在一个800×800的平面场景中，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，其中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表： 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200
2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70
3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330)
4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210)，右下顶点坐标(410, 100)
5 正方形 (80, 60) 边长150
6 三角形 (60, 300) 上顶点坐标(150, 435)，右下顶点坐标(235, 300)
7 长方形 (0, 470) 长220，宽60
8 平行四边形 (150, 600) 底边长90，左上顶点坐标(180, 680)
9 长方形 (370, 680) 长60，宽120
10 正方形 (540, 600) 边长130
11 正方形 (640, 520) 边长80
12 长方形 (500, 140) 长300，宽60
在该平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）.规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径.机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位.
机器人直线行走的最大速度为50v个单位/秒.机器人转弯时，最大转弯速度为
2100.110()(1e)vvv
，其中是转弯半径.如果超过该速度，机器人将发
生侧翻，无法完成行走. 下面建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径. (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径.
2 问题分析 2.1问题一： 该问题要求路径最短，即不要求速度与时间，则可认为以最小半径10的圆过弯. 如图2.1所示：由圆弧角三角形定理（简单证明见模型准备5.3）可知过弯时，只有采用10单位半径过弯时，才会使得过弯路径最短，
因此解决问题一的过弯拐角问题均采用10单位半径过弯路径. 2.2问题二： 由于O→A过程中，机器人至少要经过一 3
次转弯；因为转弯时的速度一般小于直线行走的最大速度，又由分析指出转弯次数越多，转弯路径越远，转弯所花费的时间也越长.所以可以确定有且只有一次转弯时才存在最短时间路径.就仅考虑只经过一次转弯的情形.
3 模型假设 1）假设机器人可准确执行运动轨道，无任何偏差； 2）假设机器人为一可运动的质点，即质点机器人不考虑其外形尺寸； 3）假设机器人的行进速度可瞬时加减变化，不受条件限制； 4）假设机器人可到达边界线而不会发生碰撞，即对边界线不再加10个单位.
4 符号说明 hijD： 机器人的行走路径上各切点，h表示路径目的地（A、B、C），i表示到达h机器人行走路线的第(1,2,3,)ii种方案，j表示机器人在该路线上所经过的第(1,2,3,)ii个点；
hijL: 机器人的行走路径上的线段长或弧长，h、i、j同上定义；
ijD：机器人的行走路径上的障碍物的顶点，i、j同上定义； `hjD：机器人在OABCO环道中的各线切点h、j同上定义
5 模型准备 5.1建立机器人运动坐标系： 以O为原点，两对应坐标轴，水平方向为X轴，垂直方向为Y轴 5.2建立机器人可安全运动到达的区域图： 由于保持安全距离10个单位，则机器人的实际可到达到区域应由各障碍物的外延10个单位的区域组成如图所示图5.2.1实线外的空白部分.
5.3圆弧角三角形定理： 4
定义1：平面内若两不平行直线所夹的角被一同时与这两条直线相切的圆弧段取代而形成的角，叫做圆弧角.
如图5.3.2，称为凸圆弧角（本文主要讨论）；如图5.3.3，称为凹圆弧角. 定义2：由有一内角为凸圆弧角的三角形为圆弧角三角形. 圆弧角三角形定理：圆弧角`DHD在直线`DD及上方范围完全包含圆弧角`DGD（即圆弧角DGD’各边均在圆弧角`DHD的边与线段DD’所构成的封闭区间内，如图5.3.1所示）时，则有曲线段`DGD的长度恒小于曲线段`DHD
成立.
证明：如图5.3.1，过圆弧'EGE的一个端点E作该圆弧在该点的切线的垂线交曲
线DH于点F，同样过圆弧'EGE的另一个端点'E也作相应的垂线交曲线'DH于点'F，两条直线的交点O显然为圆弧'EGE所在圆的圆心. （1）,EFDE90DEF； ,DFDE曲线段DFDF，
曲线段DFDE. （2）'''',EFDE '''90DEF； '''',DFDE 曲线段''''DFDF；曲线段''''DFDE. （3）将''EFFE分成n等份（如图5.3.5），每部分（见图5.3.4）中，,(1,,)iiMNin是MN与边界的交点.令iiMN为iM，iN两点间直线长度，''iiMN为`iA,`iE两点间直线长度，则圆弧MN长度=1limniiniMN，曲线`AE长度=''1limniiniMN 5
又容易证明，''(1,,)iiiiMNMNin，故有''11limlimnniiiinniiMNMN .因此，圆弧MN长度曲线''MN长度. 综合（1）（2）（3）的证明，得
曲线段DF+曲线段''DF+曲线''MN长度 DE+''DE+圆弧MN长度.结论得证. 6 模型建立与求解 该问题要求路径最短，即不要求速度与时间，则可认为过弯半径允许以最小半径10，如图6.1所示. 由圆弧角三角形定理可得：本论文问题一求路径最短可采用10单位过弯半径，即以半径为10个单位的圆弧过弯可满足两点避障过弯最短问题. 6.1问题一的模型建立与求解： 6.1.1：机器人从O(0, 0)出发，OA的最短路径. 由圆弧角三角形定理可得：采用10单位半径过弯路径最短，解决过弯避障拐角问题采用10单位半径过弯路径. 已知机器人所走路线为直线或圆弧，那么通过实际规划可得如下四种避障行进方案：如图6.1.1 首先对上述四条路线进行筛选： 1）当机器人以一个连续圆弧过弯，即选择路 线二或路线四时,其中
路线二：分别过点OA，和障碍物5的切点23aD
（72.74，216.88），则可得过该三点的圆的方程： 225406140xyxy
显然当0x时，y有不等的两个根，则该路线超出规定场地. 同理路线四的圆方程： 22(73.98)(226.02)56558.350xy (Matlab求解程序见程序01)
当0y时，x有不等的两个根，则该路线也超出规定场地. 2）当机器人以直线—圆弧—直线的方式过弯，即有以10单位半径过弯模式的线路一和三：比较线路一与线路三：显然
路线一的总长1111213aaaaLLLL，线路三的总长3313233aaaaLLLL.
解得13471.04498.44aaLL