数学建模机器人避障论文
行走机器人避障题数学建模
AE +FB< AC1B ,记线段 AE、弧度 EF、线段 FB 为 AEFB,那么 AEFB 比任何折线
路径都短。 下面在考察一条不穿过障碍物的任何一条路径，设其分别于 OE 和 OF 的延长
线交与 P、Q 两点，记 A 和 P 之间的路径长度为 ，显然 >|AP|,又由 AE EO,
所以|AP|>AE,从而 >AE,同理可得 >BF。
问题一，我们很容易分解成线圆结构来求解，然后把可能路径的最短路径采 用穷举法列举出来，最终得出最短路径：
R A 最短路径为：70.5076 R B 最短路径为：107.9587 R C 最短路径为：102.0514 问题二，我们方案都进行优化，求得最终结果： 第一种方案最短路径为：156.471 第二种方案最短路径为：157.752
5
证明：假设在平面中有 A（a，0）和 B（-a，0）两点，中间有一个半圆形的 障碍物，证明从 A 到 B 的最路径为 A B。
平面上连接两点最短的路径是通过这两点的直线段，但是连接两点的线段于障碍 物相交，所以设法尝试折线路径。在 y 轴上取一点 C（0，y），若 y 适当大，则 折线 ACB 与障碍物不相交，折线 ACB 的长度为：
图 5.31
证明猜想： 如图 4.31 所示，E 点就是圆环上的一个顶点，A B 就是拉紧的绳子，O2 就
是切线 AC 和 BD 的延长线的交点，证明 O1 、E、 O2 三点共线。 我们可以用力学的知识进行证明，因为是拉紧的绳子，所以两边的绳子拉力
相等，设为 F ，它们的合力设为 F0 ，定点对圆环的作用力设为 F1 。 那么由几何学的知识我们可以知道 F0 一定与 O1O2 共线，而又由力的平衡条
|ACB | 2 a2 +y2
机器人避障问题研究
一、问题的提出在一个310×310的平面场景内，在原点O（0，0）点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
在平面场景中有3个形状分别为正方形、长方形、三角形的不同区域，是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，这些障碍物的顶点坐标分别为：正方形E（80，60）、F （80，210）、G（230，210）、H（230，60），长方形B （60，300）、I（60，310）、J（235，310）、C（235，300），三角形K （280，100）、M（310，100）、N（310，200）。
障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。
机器人的行走路径满足如下假设：（1）行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。
（2）机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。
（3）为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
请建立机器人从区域中一点绕过一个障碍物顶点到达另一点的避障最短路径的数学模型。
对于平面场景图中2个点，具体计算机器人从O（0，0）出发，到达A （300，300）的最短路径。
注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标以及机器人行走的总距离。
数据结果精确到小数点后两位。
二、模型分析根据假设3，机器人的行走路径在必须在以各障碍物周围10个单位以外区域内进行，要使行走路径最短，若不绕过避障点（障碍物的顶点），则以直线路径行走，若要绕过避障点，则行走的直线必须与以避障点为圆心的圆相切，再在以避障点为圆心的圆上行走一段圆弧，最后再以切线方向走向另一段直线或圆弧，且转弯时的圆弧半径要最小，即转弯圆弧半径为10个单位。
根据机器人行走的路径情况，我们建立如下模型。
三、模型建立1.根据以上分析，机器人的行走路径为从一个点出发直线到达以避障点为圆心的圆的圆周上的某一点，或从以避障点为圆心的圆的圆周上一点出发直线达到另一点，简化为从一点出发向一个以避障点为圆心的圆做切线。
2012年数学建模机器人避障问题
机器人避障问题摘要本文主要运用直线逼近法等规律来解决机器人避障问题.对于问题一：要求最短路径运用直线逼近法证得圆弧角三角形定理，得出结论：若一大圆弧角三角形完全包括另一小圆弧角三角形，则该三角形曲线周长必大于小的三角形周长.那么可知机器人在曲线过弯时，选择最小半径可满足路径最短，即为10个单位半径，通过观察可得可能的所有曲线，通过仅考虑直线段的大致筛选选出总长较小、长度相近（之差小于100）的曲线，然后利用平面几何知识对相关切点，进而求出各直线、曲线的长度，求和可得最段路线.对于问题二：通过对机器人过弯规律21.0100e 1)(ρρ-+==v v v 的分析可知，当过弯半径13ρ=时，机器人速度达最大速度为50=v 个单位/秒，再大就无变化了，那么可分两种情况考虑：1）当13ρ>时，过弯速度无变化，但由圆弧角三角形定理可知，此时随着ρ的不断变大，其路线总长不断变大，这时ρ越小O A →所用时间最短；2）当13ρ≤时，统计计算ρ分别为10、11、12、13时，过弯速度v 也不断变化，计算所用时间发现随ρ不断变大，O A →所用时间越短，此时当13ρ=时，时间最短.综合上述可知：当13ρ=时，时间最短.关键词：质点机器人 安全范围 直线逼近法 圆弧角三角形定理 10单位半径1 问题重述在一个800×800的平面场景中，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，其中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，物的距离至少超过10个单位）.规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径.机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位.机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒.机器人转弯时，最大转弯速度为2100.110()(1e)v v v ρρ--==+，其中ρ是转弯半径.如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走.下面建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：(1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径. (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径.2 问题分析2.1问题一：该问题要求路径最短，即不要求速度与时间，则可认为以最小半径10的圆过弯.如图2.1所示：由圆弧角三角形定理（简单证明见模型准备5.3）可知过弯时，只有采用10单位半径过弯时，才会使得过弯路径最短，因此解决问题一的过弯拐角问题均采用10单位半径过弯路径. 2.2问题二：由于O→A 过程中，机器人至少要经过一次转弯；因为转弯时的速度一般小于直线行走的最大速度，又由分析指出转弯次数越多，转弯路径越远，转弯所花费的时间也越长.所以可以确定有且只有一次转弯时才存在最短时间路径.就仅考虑只经过一次转弯的情形.3 模型假设1）假设机器人可准确执行运动轨道，无任何偏差；2）假设机器人为一可运动的质点，即质点机器人不考虑其外形尺寸； 3）假设机器人的行进速度可瞬时加减变化，不受条件限制；4）假设机器人可到达边界线而不会发生碰撞，即对边界线不再加10个单位.4 符号说明hij D ： 机器人的行走路径上各切点，h 表示路径目的地（A 、B 、C ），i 表示到达h 机器人行走路线的第(1,2,3,)i i = 种方案，j 表示机器人在该路线上所经过的第(1,2,3,)i i = 个点；hij L : 机器人的行走路径上的线段长或弧长，h 、i 、j 同上定义；ij D ：机器人的行走路径上的障碍物的顶点，i 、j 同上定义；`hj D ：机器人在O A B C O →→→→环道中的各线切点h 、j 同上定义5 模型准备5.1建立机器人运动坐标系：以O 为原点，两对应坐标轴，水平方向为X 轴，垂直方向为Y 轴5.2建立机器人可安全运动到达的区域图：由于保持安全距离10个单位，则机器人的实际可到达到区域应由各障碍物的外延10个单位的区域组成如图所示图5.2.1实线外的空白部分.5.3圆弧角三角形定理：定义1：平面内若两不平行直线所夹的角被一同时与这两条直线相切的圆弧段取代而形成的角，叫做圆弧角.如图5.3.2，称为凸圆弧角（本文主要讨论）；如图 5.3.3，称为凹圆弧角.定义2：由有一内角为凸圆弧角的三角形为圆弧角三角形.圆弧角三角形定理：圆弧角`DHD ∠在直线`DD 及上方范围完全包含圆弧角`DGD ∠（即圆弧角DGD ’各边均在圆弧角`DHD ∠的边与线段DD ’所构成的封闭区间内，如图5.3.1所示）时，则有曲线段`DGD 的长度恒小于曲线段`DHD 成立.证明：如图 5.3.1，过圆弧 'EGE的一个端点E 作该圆弧在该点的切线的垂线交曲线DH 于点F ，同样过圆弧 'EGE的另一个端点'E 也作相应的垂线交曲线'D H 于点'F ，两条直线的交点O 显然为圆弧 'EGE 所在圆的圆心. （1）,EF DE ⊥ 90DEF ∴∠=︒ ；,DF DE ∴> 曲线段DF DF ≥， ∴曲线段DF DE >.（2）'''',E F D E ⊥ '''90D E F ∴∠=︒；'''',D F D E ∴> 曲线段''''D F D F ≥；∴曲线段''''D F D E >.（3）将''EFF E 分成n 等份（如图5.3.5），每部分（见图5.3.4）中，,(1,,)i i M N i n = 是 MN 与边界的交点.令i i M N 为i M ，i N 两点间直线长度，''i i M N 为`i A ,`i E 两点间直线长度，则圆弧 MN 长度=1lim ni i n i M N →∞=∑，曲线`AE 长度=''1lim ni in i M N →∞=∑又容易证明，''(1,,)i i i i M N M N i n ≤= ，故有''11lim lim n ni i i i n n i i M N M N →∞→∞==≤∑∑ .因此，圆弧 MN长度≤曲线 ''M N 长度. 综合（1）（2）（3）的证明，得曲线段DF +曲线段''D F +曲线 ''M N 长度 > DE +''D E +圆弧 MN长度.结论得证. 6 模型建立与求解该问题要求路径最短，即不要求速度与时间，则可认为过弯半径允许以最小半径10，如图6.1所示.由圆弧角三角形定理可得：本论文问题一求路径最短可采用10单位过弯半径，即以半径为10个单位的圆弧过弯可满足两点避障过弯最短问题.6.1问题一的模型建立与求解：6.1.1：机器人从O(0, 0)出发，O A →的最短路径. 由圆弧角三角形定理可得：采用10单位半径过弯路径最短，解决过弯避障拐角问题采用10单位半径过弯路径.已知机器人所走路线为直线或圆弧，那么通过实际规划可得如下四种避障行进方案：如图6.1.1首先对上述四条路线进行筛选：1）当机器人以一个连续圆弧过弯，即选择路 线二或路线四时,其中路线二：分别过点O A ，和障碍物5的切点23a D （72.74，216.88），则可得过该三点的圆的方程：225406140x y x y ++-=显然当0x =时，y 有不等的两个根，则该路线超出规定场地. 同理路线四的圆方程：22(73.98)(226.02)56558.350x y -+--= (Matlab 求解程序见程序01) 当0y =时，x 有不等的两个根，则该路线也超出规定场地.2）当机器人以直线—圆弧—直线的方式过弯，即有以10单位半径过弯模式的线路一和三：比较线路一与线路三：显然路线一的总长1111213a a a a L L L L =++，线路三的总长3313233a a a a L L L L =++. 解得13471.04498.44a a L L =>=则可知O→A 的最短路径为路线一总长为1471.04a L =，下表5.1.1为线路一的各点的详细参数，表6.1.2为各线的参数.表6.1.26.1.2机器人从O(0, 0)出发，O B →的最短路径由圆弧角三角形定理可得：采用10单位半径过弯路径最短： 通过观察可得如下四种较短的避障行进方案，如图6.1.2：由于方案较多，可预先进行粗略筛选：如图所示：大致统计长度仅包括直线段长度如下表6.1.2线的精确长度：设：11b OD 、1111b D D分别表示O 点到点11b D ，点11b D 到点11D 之间的向量；1111b D D 为11b D 、11D 两点之间的向量的模；()()(),hij hij x y 表示切点hij D 坐标；()()(),ij ij x y 记为障碍物顶点ij D 的坐标；b11L2220(b12)(b11)(b12)(b11)00b12-((x -x )+(y -y ))22=arccos()L ρρρ⨯b13L11(11)(00)(11)(00)(,)b b b OD x x y y =-- ()1 61(61)(00)(61)(00)(,)OD x x y y =--1111(11)(11)(11)(11)(,)b b b D D x x y y =--()2 1111110b b D D OD =()3 1111b D D r =()4联立方程()1()2()3()4解得11b D (50.14,30.64)由于点12b D ，13b D 分别是以点61D ，61D 为圆心r 为半径圆的外公切线切点，所以 由点到直线的距离公式得0ρ= ()50ρ=()6并且线段13126163b b D D D D =()7由于直线13126163b b D D D D 平行直线由斜率相等得(13)(13)(61)(63)(13)(13)(61)(63)b b b b x x x x y y y y --=-- ()8联立方程()5()6()7()8解得点12b D 的坐标(51.6795,305.547)13b D 的坐标(141.68,440.55)线路一和线路二的各段路线及总长分别如下表6.1.2,6.1.3同理可解得各点坐标如下表6.2.4→的最短路径为：O B6.1.3机器人从O(0, 0)出发，O C→的最短路径由圆弧角三角形定理可得：采用10单位半径过弯路径最短：通过观察可得如下避障行进方案，如图6.1.3由于该线路同样较复杂，可通过大致筛选，仅考虑其中的直线段长度.将通过障碍物1上边沿的线路称为上线路，通过下边沿的线路称为下线路1）考虑上线路中最短路径：上线路中如图6.1.3.1分两大段，上半段：线路A、B、C，下半段：线路D、E对上半段的线路进行只计算线段的粗筛选：计算统计可得三线路的粗选长度：如对下半段的线路进行只计算线段的粗筛选： 计算统计可得三线路的粗选长度：如表6.1.62）考虑下线路中最短路径： 如图图6.1.3.2对下线路的线路进行只计算线段的筛选：计算统计可得线路的长度：下表6.1.7为路线一的各段线路总长对于同一条路径上的两个相邻点(),i i x y 、()11,i i x y ++来说，如果这两点之间的路径为直线段时，用通式1L 计算；如果这两点之间的路径为弧线段时，可用通式2L 计算：1L 222011002-((-)(-))22=arccos()i i i i x x y y L ρρρ+++⨯下表6.2.8为路线二的各段线路总长下线路的两段线路对比得：线路一最短为：950.84综合上线段、下线段可得：线路一最短.各切点坐标如下表6.1.9表6.1.96.1.4机器人从O(0, 0)出发，O A B C O →→→→的最短路径 由圆弧角三角形定理可得：采用10单位半径过弯路径最短：6.1.4.1A B →的最短路径求解： 通过实际规划可得如下A B →的避障行进最短方案：如图6.1.4.16.1.4.2B C →的最短路径求解：通过实际规划可得如下A B →的避障行进最短方案：如图6.1.4.1对线路一、二进行大致选可得下表表6.1.10则可知路线一距离最近对于同一条路径上的两个相邻点(),iix y 、()11,i i x y ++来说，如果这两点之间的路径为直线段时，用通式1L 计算；如果这两点之间的路径为弧线段时，可用通式2L 计算：1L 222011002-((-)(-))22=arccos()i i i i x x y y L ρρρ+++⨯6.1.4.3线路经过A 、B 、C 的圆弧处理问题为使经过A 、B 、C 的圆弧路线最短，在A 与相邻切点的连线形成的夹角的平分线，以该角的平分线为基础，在该线上做与点A 相切的半径为10个单位的圆，则此时通过该构造圆与相邻圆弧的切线连接就产生了，进而保证了机器人的圆弧过弯和线路最短. 点A 的圆弧处理结果如图6.1.4.3则综上所述：求得各线短的最短路径，则可计算并统计出线段总长及各切点坐标如下表表6.1.116.2问题二的模型建立与求解：由于O→A 过程中，机器人至少要经过一次转弯；因为转弯时的速度一般小于直线行走的最大速度，又由分析指出转弯次数越多，转弯路径越远，转弯所花费的时间也越长.所以可以确定有且只有一次转弯时才存在最短时间路径.故以下就仅考虑只经过一次转弯的情形.机器人由起点到终点所用时间121255O AOQ Q AQ Q t v →=++，对于每种固定的转弯半径来说，转弯路径所在的圆的圆心与点(80,210)连线垂直平分该转弯路径所在的圆弧时，所得的总路径长度最短.如图6.2.1所示.对于已知条件中的最大转弯速度为21.0100e1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径通过matlab 画出其图像，见程序02 如图6.2.2根据图6.1中所示，当1013R ≤<时，v 随R 增加而增加；当13R ≥时，v 已非常趋近于5单位/秒，此时可以看做v 不随R 增加而变化了.于是可以分两种情况解决本问题：1)当13R ≥时，由于O→A 整个过程的平均速度可以达到最大05v =单位/秒，以这样的速度沿最小的路径就可以使到达A 的时间最短.通过问题一中对机器人O→A 最短路径的分析，可知其最小时间路径应在OA 连线左上方区域；同时根据所建立并证明的圆弧角三角形定理可以知道，所得路径的转弯半径应为13个单位（如图6.2.3）1236.1392OQ =, 120.9077Q Q =,2223.1903Q A =,总长度： 1122++471.1296L OQ Q Q Q A == 总时间：1212471.135594.225595O AOQ Q A Q Q L t v →=++===（秒）2)当1013R ≤<时，图6.2取自原题目图中的一部分，其中(0,0)O ，2(80,210)O ，(300,300)A 点的坐标均已给出.1Q 、2Q 分别为OQ1和OQ2与1O 的切点，其中1O 又与2O 相切于3Q 点.假设半径R 已知，1O 、1Q 、2Q 、3Q 的坐标分别为00(,)x y 、11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y ，则可列出如下方程组：2221010()()x x y y R -+-= 2222020()()x x y y R -+-= 2223030()()x x y y R -+-= 22233(80)(210)10x y -+-=21302130()()()()0x x x x y y y y --+--=310302108080y y y x x --=-- 110110()()0x x x y y y ⨯-+⨯-=202202()(300)()(300)0x x x y y y --+--=分别取R =10，11，12，13并解方程组可以得到总时间t 随转弯半径R 变化的数据，根据弧长公式得12Q Q AR =, A = 最终计算数据如下表：6.2.1最终会趋于94.22秒.因此，可以确定出最短时间路径.经过以上两种情况的讨论，可得最短时间路径， 具体坐标信息见表6.2.27 模型的评价与推广7.1优点：1)该模型采用较准确的及计算方法，数据精度高，可信度高. 2)该模型定义了新的几何名词与定理.具有一定的创新性. 3)利用估算法减少了计算量. 7.2缺点：程序利用率和执行率较低，计算量较大. 7.3应用与推广：自动控制技术 智能机器人技术 避障快速救援项目8参考文献[1]姜启源谢金星，数学建模，北京：高等教育出版社，2003[2]薛毅，数学建模基础，北京：北京工业大学出版社，2004[3]杨启帆方道元，数学建模，浙江，浙江大学出版社，19999附录程序01%三点确定圆方程%三点坐标x1=input('请输入x1=');y1=input('请输入y1=');x2=input('请输入x2=');y2=input('请输入y2=');x3=input('请输入x3=');y3=input('请输入y3=');if((y1==y2)&(y2==y3))disp('三点不构成圆!');elseif((y1~=y2)&(y2~=y3))k1=(x2-x1)/(y2-y1);k2=(x3-x2)/(y3-y2);endif(k1==k2)disp('三点不构成圆!');enda=2*(x2-x1);b=2*(y2-y1);c=x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1;d=2*(x3-x2);e=2*(y3-y2);f=x3*x3+y3*y3-x2*x2-y2*y2;disp('圆心为::');x=(b*f-e*c)/(b*d-e*a)y=(d*c-a*f)/(b*d-e*a)disp('半径为::');r=sqrt((x-x1)*(x-x1)+(y-y1)*(y-y1))利用参考文献：/thread-790618-1-1.html/求助已知3点怎么用MATLAB编程求圆的方程/参考程序程序02function plot_v_rr=0:0.5:20;v=5./(1+exp(10-0.1*r.^2));plot(r,v)grid on。
“机器人避障问题”论文
机器人避障问题摘要移动机器人是一种能够在工作环境中自由移动并完成预定任务的智能系统，移动机器人的避障问题则是移动机器人控制领域的研究热点。
本文针对移动机器人的避障问题，建立了最短路径及最短时间路径的数学模型。
并应用于解决本题给定的路径规划问题，获得了满足问题需求的全部最优路径。
对于最短路径问题，本文分析了障碍物对移动机器人运行的影响，给出了最优移动规则；建立了简化的路径网格模型，将其抽象为由节点及边构成的两维图，并确定了其各项参数，再使用经典的Dijkstra算法获得可行的最短路径。
由于计算机行走过程与障碍物之间还需满足一定的间隔约束，故上述结果可能并非最优，故我们实际还需对次优的几条参考路径（也可通过以上Dijkstra算法获取）进行精算，经准确计算获得各段路径的具体位置后，确定实际的最短路径。
为方便计算，文中推导了自指定点向指定圆作切线，两个相离圆的内、外切线方程的解析表达式，给出了闭式结果，作为MATLAB编程的依据，从而大大提高了运算处理的速度及精度。
考虑到移动机器人需完成由O→A→B→C→O的多点移动，且中间不能折线运行，即机器人在通过上述点时一般必须以圆弧通过，且其上下游多数也是圆弧路径，其通过点并不固定。
为此，理论推导了该未知圆弧的约束公式，以各圆心之间距离最小作为优化条件，建立数学模型，再使用MATLAB中的fmincon有约束优化工具箱获得了理想的结果。
对于最短时间路径问题，本文分析了移动机器人弯道运行的速度曲线，特别是对O→A两点间的避障问题进行了详细的理论分析与推导，通过几何关系得出了转弯半径与总的移动距离、移动时间的严格数学关系，此后借助MATLAB优化函数fminsearch获得最佳的转弯半径。
经分析计算，得到下述结果：结论1：机器人完成O→A，O→B，O→C及O→A→B→C→O的最短路径总距离分别是：471.04、853.70、1050.50、2712.68单位长度；总时间分别是96.02、179.07、235.19及570.36秒。
机器人壁障问题数学建模
机器人避障问题摘要：当今科学技术日益发达，高科技产品尤其是机器人在我们日常生活中运用的越来越广泛，它能够代替人类完成许许多多的工作，但如何能让机器人自动化的完成人类交给的任务成为设计机器人的关键。
我们做此题就是为了更好的利用机器人为我们提供方便，提高生活质量，若机器人程序设计不当不仅不会给人类带来方便，还很有可能给我们的生活带来更多的麻烦。
本题中提出了如何让机器人能够自动识别障碍物，保证机器人能够在合理区域行走，并设计出如何能让机器人自动判断最短路程于最短时间下行走路线的问题。
所以解决好本题可以为我们的生活提供帮助。
本文通过运用两点之间直线最短理论，优化问题，最短路问题，图论，以及运用matlab软件编程及作图的方法，阐述了机器人避障问题的相对优化方案的解决办法，即“两点之间直线最好，转弯半径最小”的理论，通过计算中的比较与选择把四条最短路径都求出了相对最优解，论证了转弯速度不会随着r的增加一直增大或减小，而是有一个最小极点的思想。
从而求出了r，以及最短的时间。
问题一，通过对最短路问题的分析，我们很容易分解成线圆结构来求解，然后把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径：O →A 最短路径为：471.0372O →B 最短路径为：838.0466O →C 最短路径为：1085.7531O→A→B→C→O最短路径为：2834.6591问题二，通过建立时间t与r的关系式，得出r在11.504时，从O到A的时间相对最短，最短时间为98.606004。
我们可以利用此篇论文解决生活中实际的问题，在计算时可以节省大量的时间，使机器人又准确又完善的完成我们给定的任务，从而进行拓展，给定区域内任何两个点，我们都可求出其最短路径和走完全程的最快时间。
从而可以让机器人帮助我们给家里打扫卫生或设计自动吸尘器等，也可使机器人在最短的时间完成工作，提高效率，延长机器人的使用寿命。
关键字：最短路问题优化问题 matlab一 问题重述 随着现代科学技术日新月异的发展，机器人越来越多的出现在日常生活中,它既可以通过运行预先编排的程序为人类服务，根据人工智能程序自动处理一些生活中问题，进而协助或者相应地取代人类的工作，可以说机器人的创新与改进正一步步影响着人类的发展。
机器人论文数学建模大赛2012年浙江省一等奖
机器人避障模型摘要：本文主要考虑在固定的场景范围内，当机器人需躲开障碍物从区域的一点到达另外一个固定点时，如何设计行走路线，使得机器人所走的路径最短或者所需的时间最少。
首先建立一个以O 为原点的直角坐标系，对问题一和问题二利用可视图中的几何逼近法设计机器人的行走路线，建立方程组，并利用matlab 软件求出最优路径。
问题一，考虑机器人从O(0, 0)出发到达一个固定点的最短路径。
利用可视图中的几何逼近法分析得出最短路径转弯处圆弧的半径为10个单位，通过比较建立各路径长度的函数关系式，利用matlab 求解得知O→A 的最短路径长度约为471个单位，行走线路如图二；O→B 的最短路径长度约为853个单位，行走线路如图四；O→C 的最短路径长度约为1093个单位，行走线路如图六；O→A→B→C→O 的最短路径长度约为2714个单位，行走线路如图七。
问题二，考虑机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。
通过对平面可视图的分析可知从O (0, 0)出发到达A 点只经过一段圆弧时时间最省，且所有的圆弧所在圆的圆心在同一直线上并且内切于某一点。
圆弧所在圆的半径大小决定机器人从O→A所需要的时间，由此求出圆的内切点，建立圆弧所在圆的半径，圆心坐标和最短路径所需时间的函数关系，利用matlab 求带约束的非线性方程的最小值求得，最短时间路径中机器人从O 点出发通过第一段直线所需的时间1t =41.4463秒，通过圆弧所需的时间2t =8.5576秒，通过第二段直线到达A 点所需的时间3t =44.2570秒，所求最短时间路径所需总时间为94.2509秒。
此时，圆弧的半径为46个单位，圆心坐标为（106.2,183.8），路经如图九所示。
关键词： 几何逼近法 matlab 最短路径 最短时间路径一、问题重述在一个800×800的平面场景图中，有12个形状各异的障碍物。
原点（0，0）点处有一个机器人通过行走且需躲开障碍物到达指定目标点。
机器人避障问题论文
D题机器人避障问题摘要本文综合运用分析法、图论方法、非线性规划方法，讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径求解问题。
针对问题一，首先，通过分析，建立了靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短、转弯时圆弧的半径最小时和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短、转弯在中间目标点附近时，中间目标点位于弧段中点有最短路径的三个原理，基于三个原理，其次对模型进行变换，对障碍物进行加工，扩充为符合条件的新的区域并在转弯处圆角化构成障碍图，并通过扩充的跨立实验，得到切线和圆弧是否在可避障区的算法，第三，计算起点、中间目标点和最终目标点和各圆弧及圆弧之间的所有可避障切线和圆弧路径，最后给这些定点赋一个等于切线长度或弧度的权值构成一个网络图，然后利用Dijkstra算法求出了O-A、O-B，O-C的最短路径为O-A：471.0372个单位，O-B：853.7001个单位，O-C：1086.0677个单位；对于需要经中间目标点的路径，可运用启发规则分别以相邻的目标点作为起点和终点计算，确定路径的大致情况，在进一步调整可得到O-A-B-C-O的最短路径为2748.699个单位。
针对问题二，主要研究的是由出发点到达目标点A点的最短时间路径，我们在第一问的基础上考虑路径尽可能短且圆弧转弯时的圆弧尽量靠近障碍物的顶点，即确定了圆弧半径最小时的圆弧内切于要确定的圆弧时存在最小时间路径，建立以总时间最短为目标函数，采用非线性规划模型通过Matlab编程求解出最短时间路径为最短时间路程为472.4822个单位，其中圆弧的圆心坐标为(81.430,209.41)，最短时间为94.3332秒。
圆弧两切点的坐标分别为（70.88,212.92）、（77.66,219.87）。
关键字：Dijkstra算法跨立实验分析法非线性规划模型一.问题的重述图是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
数学建模机器人避障论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：机器人避障问题摘要针对题中机器人避障最短路径问题，文章使用简化后建立的最短路径的数学模型来解决此类问题。
对于问题1，我们matlab中自带函数graphshortestpath函数求解最短路径的数学模型。
其主要思想是：首先先证明出两点之间的最短路径是由两条线段和以中间点为圆心的圆的一段圆弧组成，然后证明圆弧的半径为定值10。
然后对模型简化使模型化为标准的最短路径模型，最后用graphshortestpath函数对模型求解。
针对问题2，我们建立了优化模型。
在问题1的基础上，我们对两种行走方案进行分析，根据转弯弧的半径变化对速度的影响我们锁定到一条路径，然后利用lingo对优化模型进行求解。
关键词：graphshortestpath函数、最短路径、避障问题1、问题重述已知：在下图中原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：机器人避障问题摘要针对题中机器人避障最短路径问题，文章使用简化后建立的最短路径的数学模型来解决此类问题。
对于问题1，我们matlab中自带函数graphshortestpath函数求解最短路径的数学模型。
其主要思想是：首先先证明出两点之间的最短路径是由两条线段和以中间点为圆心的圆的一段圆弧组成，然后证明圆弧的半径为定值10。
然后对模型简化使模型化为标准的最短路径模型，最后用graphshortestpath函数对模型求解。
针对问题2，我们建立了优化模型。
在问题1的基础上，我们对两种行走方案进行分析，根据转弯弧的半径变化对速度的影响我们锁定到一条路径，然后利用lingo对优化模型进行求解。
关键词：graphshortestpath函数、最短路径、避障问题1、问题重述已知：在下图中原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
图中有12个区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物。
在机器人的行走中，要求机器人行走路径只能是以下两种：由与直线路径相切的一段圆弧组成、由两个或多个相切的圆弧路径组成。
不能沿着折线转弯。
转弯的圆弧半径最小为10个单位，并且机器人与障碍物至少距离10个单位。
在速度方面，机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。
机器人转弯的最大转弯速度为21.0100e1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。
问题1：求机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。
问题2：求机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。
2、模型假设1、假设机器人抽象成点来分析2、假设机器人在改变路径时能在瞬间将速度调整过来3、符号说明符号 符号说明Tθ L V 0V R机器人达到目的地所用的时间 转弯角度 转弯的弧长 转弯速度直线行走最大速度转弯圆弧的半径4、 模型的建立与求解4.1 首先证明以下猜想：两点之间若间隔有障碍物，两点之间的最短路径是由两部分组成。
第一部分是自然最短直线段，第二部分是限定部分的边界弧。
这两部分是相切并且互相连接的。
证明：如图A,B 两点，它们之间有一个半径为1的半圆形障碍物。
现在要求出A 到B 的最短路径。
分析1：两点之间的最短路径应是连接两点的线段，但是由于障碍物的存在，现在改为绕过障碍物的折线（用于证明方便），设动点C 点坐标设为（0，y ），折线ACB 的长度为222y a +，当c 点竖直向下移动时，折线ACB 的长度会减小，当C 点移动到C1（0，y1）点时ACB 的长度最小，最小长度为2122y a +。
其中C1是过点A,B 与圆弧相切的切线交点。
又由于满足0<α<2π的角满足α<tan α，所以弧度EF 小于E 1C F 的长。
记线段AE ，弧度EF ，线段FB 这样的路径为AEFB ，则从A 到B 绕过障碍物的最短路径为AEFB 。
分析2：当考虑从A 到B 的路径全为圆弧线段组成时，如图A 到B 的弧线。
假设a=2，则这段弧线所对应的圆为经过A(-2，0)，B(2，0)，(0，1)三点的圆的一部分。
此圆的一般方程为：425)23(22=++y x ，则这段圆弧路径的长度为2π。
若用分析1中的折线与弧线相交并相切的方法计算，路径长度为332π+≈4.51小于圆弧方案的长度。
综上所述，方案AEFB 满足题中最短路径的要求。
4.2 切线和弧线的公式推导如图，在4.1的基础上用解析几何方法计算出两条切线和一段圆弧的长度。
假设起点终点为A （x1，y1）和C （x3，y3），障碍物的顶点为B(x2，y2），D,E 为两条线段与圆弧的切点，圆弧的半径为10个单位。
现在求解线段AD ，CE 及圆弧DE 的长度。
因为三角形ABD 和CBE 是直角三角形，我们可以利用余弦函数来解出∠DBA 和∠EBC 。
COS ∠DBA=AB DB =212212)()(10y y x x -+-，①COS ∠EBC=BC BE =232232)()(10y y x x -+-，②然后再利用余弦定理在三角形ABC 中找出与∠ABC 有关系的等式，COS ∠ABC=BCAB AC BC AB ⨯⨯-+2222，③由①②③三式再根据周角为2π可以解出角DBE 的弧度数，由于后面编程需要，需要将弧度数转化成角度数，利用公式180π⨯=弧度角度，然后再利用公式180n rπ=弧长求得弧DE 的长度。
而对于线段AD,CE ，我们可以直接根据勾股定理可以求得具体长度。
程序见附件1。
4.3 模型简化模型的中心思想是利用Dijkstra 算法来求解出最短路径的方案，由于两点间路径是由线段和弧线组成的，为了化为标准的最短路径模型，需要将模型进行简化。
在这里以4.2的模型基础上进行示范。
首先令A,B,C 分别为起点、中间点、末点。
我们将路线ADEC 分成两个部分，第一部分是线段AD 和弧线DE 组成的，第二部分是线段EC 。
又由于弧线的长度会随着末点的变化而变化，所以我们取弧线的平均值作为弧线DE 的长度。
第一部分表示起点到中间点的距离。
在本题中主要不是如4.2中的简单模型。
现在以下图模型进行进一步说明。
此模型涉及到两个障碍物，根据以上简化思想，A到H的最短路径应该是简化为三部分。
第一部分为线段AD与弧线DE（弧线DE的平均值），表示A到B的距离。
易知线段EC和线段BF的长度是相等的，第二部分为线段BF与弧线FG，表示B到C 的距离。
第三部分为线段GH，表示路径的最后一段距离，如果目标点不是H，则下一部分应是线段CH加上下一段圆弧，以此类推。
此算法命名为算法1。
根据以上的算法1的简化，我们将本题中的机器人避障最短路径模型简化为标准最短路径模型，并且对可能会用到的点加以编号，得到如下图。
4.4模型的求解对于问题1：根据简化使用的算法1，对机器人所有可行走的路径利用4.2推导的公式用matlab 进行计算，程序见附件1，得到所有以三点为一组的各个路径的长度，主要有线段1，圆弧，线段2。
具体结果见附件2。
因为中间点到末点具有多条路径，即有不同的圆弧长，所以对同一中间点所对应的所有圆弧长求平均值，将模型简化为最短路径模型，就能得出邻接矩阵，邻接矩阵见附件3。
最后利用matlab自带函数graphshortestpath和邻接矩阵对模型求解得到最短路径。
程序见附件4。
运行结果为：（用编号表示）O—A：35—1—30O—B：35—2—3—4—5—6—31O—C：35—24—22—20—17—15—32O--A--B--C--O：35—1—30—5—6—31—9—10—11—12—32—15—17—20—22—24—35 具体的路径见下图：对于问题2：问题2需要求出行走时间最短的路径，从图中易知从O到A的路线有两条，一条是35—1—30方案，简称方案1。
另一条是35—24—30方案，简称方案2。
由问题1解决结果知，方案1比方案2的路径要短，又由计算知，在增加圆的半径的情况下，对于长度较长的方案2所用时间也相应较多。
所以，对问题2的讨论中，我们在问题1结果的基础上研究方案1中圆弧变化对时间的影响。
对于最短时间模型，我们使用了最优化模型。
由于半径会影响机器人在转弯弧上的速度，当半径增大时，机器人在转弯弧上的速度也会增大，此时机器人所走的直线段会变短，而时间=路程速度，我们要求最短时间，就要使0两边直线段之和速度（v =5)+20100.1v=)1R v e -⨯+圆弧长速度( 最小。
其中： 第一条直线段长度为22280210R +-； 第二条直线段长度为222(30080)(300210)R -+--；转弯弧所对的圆心角θ为：2222360(arccos ) 3.14180(arccos ) 3.1418080210(30080)(300210)RR -÷⨯-÷⨯+-+-222222222280210(30080)(300210)300300arccos 3.14180280210(30080)(300210)++-+----÷⨯+⨯-+-； 转弯弧长为：3.14180R θ⨯⨯； 转弯速度为：2100.151R e -+模型的数学表达式如下：S.T. min T =22222280210(30080)(300210)5R R L V+-+-+--+10R ≥2222360(arccos ) 3.14180(arccos) 3.1418080210(30080)(300210)RR θ=-÷⨯-÷⨯+-+- 222222222280210(30080)(300210)300300a r c c o s 3.14180280210(30080)(300210)++-+----÷⨯+⨯-+- 3.14180R L θ⨯⨯=2100.151R V e -=+然后利用lingo 软件，对模型进行求解，其lingo 程序见附件5。
运算结果为：转弯弧半径R=11.50350弧长L=10.52502转弯速度V=4.810298所用时间T=94.55726即，用时最少的路径为从O出发，沿切线到达在以5号正方形左上角为圆心，以11.5035为半径的圆上，再沿另一条切线到达A点。
5、模型结果的分析与检验本文模型中的检验主要是针对题中给出的机器人与障碍物之间保持10个单位的距离这一要求，在所得到的路径中，可能存在着某直线段与某障碍物的间隔距离小于10个单位，所以在得到运算结果的前提上，从中找到以下需要检验的检验点：27号（对应1—30路径）、7号（对应31—9路径）、19号（对应20—27路径）。