Hausdorff测度H_s_F_与H_s_F_的关系_代克非

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共形映像的Hausdorff 测度及其算法

s β1 H s (E )
H s (f (E ))
s β2 H s (E ).
Rn 中子集族 V 叫做一个集合 E 的 Vitali 覆盖族, 如果对所有 x ∈ E 和 δ > 0, 存在 U ∈ V 使得 x ∈ U 和 0 < |U | < δ . 下面的 Vitali 覆盖定理在本文定理 1.1 的证明中起到重要作用.
|Dx f − Dy f | ϵ|Dx f |, (3)
则集合族
V = {B (x, r) : x ∈ K, 0 < r < δ/2, B (x, r) ⊂ V }
是 K 的 Vitali 覆盖, 这里 B (x, r) 是一个中心在 x 且半径为 r 的闭球 (见 [5]). 据引理 2.2, 则存在可数或有限不相交闭球 Bi ∈ V 使得 ( \∪ ) Hs K Bi = 0. (4)
∪
i
Bi ) = 0, 我们有 ∫
∪
i
∫ |Dx f |s dµ(x) =
Ki K
|Dx f |s dµ(x).
(16)
所以由 (12), (14), (16) 三式得 ∫ (1 − ϵ)s H s (K ) · |Dx f |s dµ(x)
K
H s (f (K )) ∫ (1 + ϵ) H (K ) ·
i i
因此, 我们有
H
s
(∪
i
) f (Ki ) =H
s
(∪
i
) f (K ∩ Bi )
)) ( (∪ f (Bi ) = H f (K ) ∩
s
( \( \∪ )) s f (K ) = H f (K ) f (Bi ) ( \∪ ) = H s (f (K )) − H s f (K ) f (Bi )

hausdorff 度量

hausdorff 度量
Hausdorff度量是一种用于度量两个集合之间的距离的数学方法。

它以德国数学家FelixHausdorff的名字命名，用于度量两个集合中
最远的点之间的距离。

在数学中，一个集合是指在同一空间内的一组元素。

例如在平面几何中，一个集合可以是所有点的集合。

Hausdorff度量可以用于比较两个集合之间的相似性。

Hausdorff度量定义为一个集合与另一个集合之间的最短距离。

这个最短距离是指，在第一个集合中找到一个点，然后在第二个集合中找到一个点，这两个点的距离是两个集合中所有可能的点对中最短的距离。

Hausdorff度量在计算机视觉和图像处理中得到广泛应用。

它可以用于图像分割、目标跟踪和形状识别等方面。

它还可以用于比较不同图像之间的相似性。

总之，Hausdorff度量是一种重要的数学工具，它可以用于度量两个集合之间的距离，帮助我们比较不同集合之间的相似性。

- 1 -。

初探Hausdorff型测度与测度φ (s,t)的关系

收稿日期：２０－０－００８９２
作者简介：刘爱萍（９６１１７ — ，男，江西余干人，韩山师范学院潮州师范分院讲师
１１
证明（用数学归纳法证明）当礼＝１．时，取矩形口的四条边的中点，则得到四个完全相等的直径
其
中
口一
＝
￣ｌｌＪ／矩形．ｍ２显然，这四个矩形口ｔ＝１２３４的每一个ＴＤ）１２）口）（：，）（ｉ＝（／（，则
４
∑ 口）４（２（）１州一（）（Ｊ ×１。）口＝（２。口ｔ＝／＋ｔ／）
ｊ＝１
则得到Ｆ的矩形覆盖｛）≤ ｏ１ ≤７，由于ｓ ≥２口巧１ｔ。≤ ４ ≤ ．ｌ＋ｔ，则
４
Ｕ
∑ 口＝ ×１洲）（＝１洲）（：（）４（２口（２口｛／）／）
｛１＝
４
口
其中Ｕ口ｔ＝口，因此，当ｎ＝１时，引理２２．成立．
假设当礼＝时，引理２成立，即存在４完全相等的直径为ｌ／．２口ｌ的矩形，使得对每个这样的矩２
｛ｌ＝４ｋｌ＋
其中Ｕ口＝口所以，ｎ＝ｋ时，ｔ．＋１引理２成立，证毕．．２
定理２１．的证明令ＦｃＲ。＞０，．由日（和砂（定义知））
Ｈ（Ｆ） “（ ≤
当＿０，有时
（Ｆ）
日（（ ≤ （（ ’ ） ’ Ｆ）
零的子集．１８年，Ｃ．Ｒｇｒ在文献［中引入了维纹的概念，研究了两个不同的点集可能有相９８Ａ．ｏｅｓ２】

广义长方形Sierpinski地毯的Hausdorff测度

３ＳｈｏｆＣｏ．ｃｏｌｏｍｐｕｅｃｅｃｓｔｒＳｉｎｅ，ＮａｊｎｒｉｅｓｔｎｉｇＮｏｍａｌＵｎｖｒｉｙ，Ｎａｊｎ１０６ｈｎ）ｎｉｇ２０４，Ｃｉａ
Ａｓｒｃ：Ａｎｗｍｓｉｒｕｉｎｉｄｆｅｎｔｅａｉｏｅｒｎｅ［］ＷＡｉｎＨＡＮＧＱｉ．Ｔｅｂｔａｔｅａｓｄｓｉｔｅｉｄｏｓｆｆｅｃ１（ＮＧＨａａｄＺｔｂｏｓｎｈｂｓｒｅｎｈ
文章编号：１０ — ３３２１）１０２ — ５０４４５（０００ —０９０
广义长方形Ｓｅｐｎｋ地毯的ｉｒｉｓｉＨａｓｏｆ测度ｕｄｒｆ
袁珍王海，
（１河海大学理学院，苏南京４０２；２新乡学院数学系，南新乡４３０；．江３０９．河５０３３南京师范大学计算机学院，苏南京２０４．江１０６）
关键词：Ｓｅｐｎｋ地毯；ｕｄｒＩ度；自相似集；质量分布ｉｉｓｉｒＨａｓｏｆ测
中图分类号：７Ｏ１５文献标识码：Ａ
ＨａｓｏｆｅｓｒｆＧｅｒｌＳｅｐｎｋｉＣａｐｅｎＲｅｔｎｇｅｕｄｒｆＭａｕｅｏｎｅａｉｒｉｓｒｔｏｃａｌ
赵燕芬等进一步给出了长方形Ｓｅｐｎｋ地毯当压缩比为１４时的Ｈａｓｏｆ测度；献Ｅ］论了。ｉｉｓｉｒ／ｕｄｒｆ文１讨

有关Hausdorff测度的两类覆盖形式_丁丹

１普通球覆盖与广义球覆盖
传统的Ｌ通Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度可以看成是Ｌｅｂｅｓｕｅ测度的推广．ｅｂｅｓｕｅ测度采用的是开矩体覆盖，ｇｇ
［］常的Ｈ由于在采用不同覆盖时，仍可使所得Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度是采用任意集合覆盖１．ａｕｓｄｏｒｆｆ维数是一］１２－，致的［所以在仅讨论维数时如何定义测度都是合适的．采用闭球覆盖定义Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度就是一种但是，普通球覆盖的形式有时候用起来很不方便，本文将普通球覆盖在形式上推广成比较简单的形式．
Ｂ｜｜：ｉ ∞ （）称 μ＝ｓ对任意满足０＜如果２ｕＢ１≤ ｉ δ≤ ＋ ∞ 的δ，ｐ＜＋∞ 为广义球覆盖｛ｉ｝ｉ＝１的半径．２
｛
｝
∞ 则称｛Ｂ δ，－球覆盖或第二类δ－球覆盖．ｉ｝ｉ＝１为广义δ μ≤ ∞ ／在上述定义中，当δ＝＋∞ 时，对广义球覆盖｛满足半径｜ＢＢ２≤ ｜ δ＝＋ ∞ 的任意集合均可作ｉ｝ｉ＝１，ｉ
（），记１０＜ δ（ δ≤ ＋∞ｉｎｆ｛Ｂ球覆盖｝１＝ｉ｝ｉ＝１为Ｆ的任意ｎ维普通δ δ（ ∑ ｜Ｂｉ｜：ｉ＝１ｍ
（）２．１
ｍｉｉ＝１
称其为Ｆ关于普通球覆盖的ｓ维Ｈ并称ａｕｓｄｏｒｆｆ δ－测度．且记为化覆盖体积，
它们的半径与直径相等．闭球，
ｎ定义１．２任意给定ＦＲ．
∞ ∞ （）如果｛并且它能覆盖集合Ｆ，即Ｆ ∪Ｂ则称｛１ＢＢｉ｝ｉ＝１为可列个广义闭球构成的闭球族，ｉ．ｉ｝ｉ＝１ ∞

自相似集的Hausdorff测度的七个等价刻画

Ｉ ≤
且每一个ｊ
完全落在至少一个己，中．
收稿日期：２０１２—１Ｏ一２８
基金项目：周口师范学院青年科研基金资助项目（Ｎｏ．２０１２ＱＮＢ１０）
作者简介：殷峰丽（１９８５一），女，河南淮阳人，助教，硕士，主要从事分形几何与小波分析研究．
而最基本的分形，得到了一系列有意义的结果．文
ｉｎｆ｛ ∑ ｌ
中｛）表示
｛ｕ）是Ｅ的任一覆盖）；
Ｕ＝＝）Ｅ），其
中的开集列；
（２）Ｈ（Ｅ）一ｉｎｆ｛ ∑ ｌ【，
献［２］给出了维数确定的情况下，满足开集条件的
殷峰丽，井世忠
（周口师范学院数学系，河南周口４６６００１）
摘要：给出了满足开集条件自相似集的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的七个等价刻画，并且给出了详细证明，为计算一
类自相似集Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度奠定了基础．关键词：Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度；覆盖；自相似集；开集条件中图分类号：Ｏ１７４．１２文献标志码：Ａ文章编号：１６７１ —９４７６（２０１３）０２— ００１７ — ０２
Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度是分形几何中最基本的概念，

Hausdorff测度H_s_F_与H_s_F_的关系_代克非

ｓ δ δ→０
是有意义的．Ｈｓ（Ｆ）＝ｌｉｍＨｓＦ） δ（
δ→０
＋
ｎｓ，另外，由定义１．对于Ｒ中的任意集合Ｆ，必有Ｈｓ并且Ｈｓ３易知，Ｆ）Ｆ）０＜Ｆ） ≤Ｈδ（ δ＜＋∞ ．＋∞ （ δ（
与Ｈｓ有如下关系成立：Ｆ）＋∞ （
［］命题１则．１５设Ｆ为Ｒｎ中的任意子集，ｓ为一非负实数，ｌｉｍＨｓＦ）＝ＨｓＦ）．＋∞ （ δ（
的关系hausdorff测度洪盛中平东北师范大学数学与统计学院吉林长春130024在对满足开集条件的自相似分形的测度关系进行了分析的基础上对一般分形的hausdorff测度的对应关系进行了讨论
第４３卷第１期２０１１年３月
东北师大学报（自然科学版）（）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｅａｓｔＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎｙ
ｎ定义１用｜．１设Ｕ为ｎ维欧式空间Ｒｎ中的非空子集，ｘ－ｕｃｌｉｄ距离，Ｕ的直｜表示ｘ，ｙｙ∈Ｒ的Ｅ｛，径定义为｜即Ｕ内任何两点距离的上确界．Ｕ｜＝ｓｕｘ－ｘ，｜｜：ｐｙｙ∈Ｕ｝ｎ由上述定义可见，单点集的直径为零，即｜｛另外，约定空集的直径为－ ∞，即ｘ｝｜＝０，ｘ∈Ｒ．
Ｓ（ｘ）－Ｓ（ｃｘ－｜｜≤ ｜｜，ｘ，ｙ）ｙｙ∈Ｄ，，，则称ｃ为压缩比．当上式等号恒成立时称Ｓ为相似压缩映像ｃ称为相似比．

外森比克不等式的证明-定义说明解析

外森比克不等式的证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述外森比克不等式是数学上一种重要的不等式，它在不同领域都有着广泛的应用。

该不等式由瑞典数学家法巴西·维尔希特·外森（Vilhelm Friman Koren Bjerknes）于19世纪末提出，并在大气科学、统计学、气候学等领域中得到了广泛应用。

外森比克不等式是一种关于两个变量之间的不等式关系。

它描述了两个连续函数在给定区间上的关系，提供了判断两个函数之间相对大小的方法。

外森比克不等式的精确形式十分复杂，其一般形式可以表示为：在给定区间[a, b]上，对于连续函数f(x)和g(x)，如果在该区间上f(x)≤g(x)，且在[a, b]区间内f'(x)≤g'(x)，那么在该区间上f(x)≤g(x)。

外森比克不等式在实际问题中的应用非常广泛。

在大气科学中，该不等式被用于预测气候变化和天气模型的研究中。

在统计学中，外森比克不等式被用于建立置信区间和评估模型的准确性。

在经济学和金融学中，该不等式被用于分析经济指标之间的关系。

此外，外森比克不等式在其他领域，如生物学、医学、工程等方面也有着重要的应用。

本文将围绕外森比克不等式展开，主要内容包括外森比克不等式的定义、重要性和应用领域，并介绍相关的理论。

同时，本文还将介绍外森比克不等式的证明方法和通过实例分析来进一步说明其实际应用。

最后，文章将对外森比克不等式进行总结，并展望其在未来的研究中的可能应用方向。

通过本文的阅读，读者将能够了解外森比克不等式的基本内容和重要性，以及它在各个领域中的实际应用。

同时，读者还可以了解到不同的证明方法和一些具体的实例分析，加深对该不等式的理解。

希望本文对读者在学习和研究外森比克不等式时能够起到一定的帮助作用。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包含以下内容：本文将按照以下结构进行论述：1. 引言：首先介绍外森比克不等式及其背景和重要性，引起读者的兴趣。

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δ→ ∞
ｎ设Ｄ为Ｒｎ中的有界闭集，用ρ 则（为一ｎ≥１．ｘ，＝｜ｘ－ｕｃｌｉｄ距离，Ｄ，｜表示ｘ，ｙ）ｙｙ∈Ｒ的ＥＥ（Ｅ） ρ
完备度量空间．，定义１映射Ｓ：亦称为双曲的）如果存在常数ｃ．４设Ｄ为Ｒｎ中的有界闭集，Ｄ →Ｄ叫做压缩的（满足０＜使得ｃ＜１，
（）东北师范大学数学与统计学院，吉林长春１３００２４
［摘要］对一般分形的在对满足开集条件的自相似分形的测度关系进行了分析的基础上，
ｎ给出了Ｒ中任意集合Ｆ，当ｓ时，与Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的对应关系进行了讨论．ｉｍＨ（Ｆ）Ｈｓ（Ｆ）＞ｄｓｎｓｓ相等的结论；对Ｒ中任意有界集合Ｆ，当ｓ＜ｄ时，获得了Ｈδ （的证Ｈδ（Ｆ）ｉｍＨ（Ｆ）Ｆ）Ｆ）＜Ｈ（
８
东北师大学报（自然科学版）
第４３卷
∞ ∞ ｝集条件的自相似集．设α ｛覆盖，易见｛的一个ｃＵｌ｝ＳＵｌ）Ｆ）ｉ＝１， δ－覆盖，ｌ＝１是Ｆ的一个δ－ｉ（ｌ＝１是Ｓｉ（ｉ ∞ …， …Ｓ（｝ …Ｓ（ … …Ｓ（类似的，的一个ｃ易见｜ … ｛２，ｍ．ＳＵｌ）Ｆ）ｃＳＵｌ） α δ－覆盖．｜＝ｉｉｉｌ＝１是Ｓｉｉｉｉｉｉ１ｉｋ１ｋ１ｋ１ｋ１ｋ … ｃｃＵｌｌ｜｜， ≥１．ｉｉ１ｋ
｛
２自相似集的测度关系
一般分形的Ｈ对于特殊的自相似集的Ｈ周作领在ａｕｓｄｏｒｆｆ测度计算过程比较复杂，ａｕｓｄｏｒｆｆ测度，ｓｓ］文献［中给出了自相似集Ｆ在满足开集条件时就有Ｈ（的证明．从而对满足一定条件的３Ｆ）＝Ｈδ （Ｆ）特殊分形的Ｈ在此基础上，文胜友和许绍元在文献［中证明了Ｆ是ａｕｓｄｏｒｆｆБайду номын сангаас度的表述进行了简化．５］ｓｓ］满足开集条件的自相似集时Ｈ（成立，其将文献［的结果进行了推广．Ｆ）＝Ｈ＋ ∞ （Ｆ）３
＝
ｍ
…， …，确定的吸引子．当｛为相似迭代函数系时，称Ｆ为Ｒｎ中的自相似集．２，ｍ｝Ｄ：Ｓｉ＝１，２，ｍ｝ｉ， …，，定义１如果存在度量空间（上的非空开集Ｕ，使．６给定迭代函数系｛Ｄ：Ｓｉ＝１，２，ｍ｝Ｄ，ｉ，Ｅ） ρ 且Ｓ则称此Ｉ得 ∪ＳＵ）Ｕ）Ｕ）＝，１≤ ｉＦＳ及其吸引子满足开集条件．Ｕ， ∩Ｓ＜ｊ≤ｍ．ｉ（ｉ（ｊ（ｉ１
１预备知识
［］在分形几何研究中，Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数通常对刻画分形起着重要作用１－５，Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数的估计是一［］个困难的问题，而计算Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度也十分困难２－５．Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的定义是通过欧式空间的覆盖，
Ｓ（ｘ）－Ｓ（ｃｘ－｜｜≤ ｜｜，ｘ，ｙ）ｙｙ∈Ｄ，，，则称ｃ为压缩比．当上式等号恒成立时称Ｓ为相似压缩映像ｃ称为相似比．
…，定义１对应的压缩比为ｃ．５设Ｄ为Ｒｎ中的有界闭集，ＳＤ →Ｄ是一族压缩映像，ｉ＝１，２，ｉ：ｉ，ｍ …， …，则称｛为具有压缩比｛简称Ｉ当Ｓｍ；ｍ≥１．Ｄ：Ｓｉ＝１，２，ｍ｝ｃＦＳ）．ｉ＝１，２，ｍｉ，ｉ｝ｉ＝１的迭代函数系（ｉ， …，均为相似压缩时，称｛为相似迭代函数系．Ｄ：Ｓｉ＝１，２，ｍ｝ｉ，，根据压缩映像原理，存在唯一的集合ＦＤ，使得Ｆ＝ ∪ ＳＦ）Ｆ叫做由迭代函数系｛Ｄ：Ｓｉ＝１，ｉ（ｉ，ｉ１
第１期
∞
代克非，等：与Ｈｓ的关系Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度Ｈｓ（Ｆ）Ｆ） δ（
７
称其中的
的ｓ维覆盖体积；称ＨＵ｜为δ－覆盖｛Ｕ｝ ∑｜
ｓｉｉｉ＝１
ｓ δ
（为集合Ｆ的ｓ称Ｆ）ａｕｓｄｏｒｆｆ－维Ｈ δ－测度；
ｍ
［］定理２若Ｆ为满足开集条件的自相似集，．１３设０＜ｓ是满足 δ＜＋∞ ．
ｉ＝１
∑ｃ＝１的唯一正实数
ｓｉ
（，亦即ｓ为Ｆ的自相似维数ｄ则ｓｉｍＦ）＝ｄｉｍＨＦ且有Ｈｓ（Ｆ）＝ＨｓＦ）．ｓ δ（ …，证明由引理１．设Ｆ为相似迭代函数系｛所确定的满足开１知ｓ＝ｄｉｍＨＦ．Ｄ：Ｓｃｉ＝１，２，ｍ｝ｉ，ｉ，
Ｖｏｌ．４３Ｎｏ．１Ｍａｒｃｈ２０１１
［（）文章编号］１０００１８３２２０１１０１０００６０４－－－
与Ｈｓ的关系Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度Ｈｓ（Ｆ）Ｆ） δ（
代克非，丁丹，毛洪，盛中平
明．对于一般分形的相应测度关系给出了一个系统的推测．［关键词］测度关系Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度；Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数；分形；［中图分类号］学科代码］文献标志码］１７４．１２［１０·５７４５［Ｏ１Ａ
经过一个下确界和一个极限的过程得到的，比较复杂，难以计算．但是有一些分形只取下确界就可以得
［］若Ｆ是满足开集条件的自相似分形，则当ｓ＝ｄ时，有Ｈｓ（出它们的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度３－５：ｉｍＨ（Ｆ）Ｆ）＝ｓ（）本文将对这个结论进行推广和完善Ｈδ Ｆ．．
］从而，下面给出Ｈ其中Ｈｓ首先在文献［中ｓａｕｓｄｏｒｆｆ测度的定义，Ｆ）５ ≥０． δ－覆盖也可以是有限覆盖．＋∞ （被引入并讨论．定义１．３设Ｆ为Ｒｎ中的任意子集，ｓ为一非负实数．（）对任何０＜记：１ δ≤ ＋∞ ，
ｓ δ δ→０
是有意义的．Ｈｓ（Ｆ）＝ｌｉｍＨｓＦ） δ（
δ→０
＋
ｎｓ，另外，由定义１．对于Ｒ中的任意集合Ｆ，必有Ｈｓ并且Ｈｓ３易知，Ｆ）Ｆ）０＜Ｆ） ≤Ｈδ（ δ＜＋∞ ．＋∞ （ δ（
与Ｈｓ有如下关系成立：Ｆ）＋∞ （
［］命题１则．１５设Ｆ为Ｒｎ中的任意子集，ｓ为一非负实数，ｌｉｍＨｓＦ）＝ＨｓＦ）．＋∞ （ δ（
…， …， …Ｓ（，用Ｊ的集合（记Ｆ易见 … ＝ｉｉ１≤ ｉｉｋ≥１）．ＳＦ）ｋ表示所有ｋ元序组（１，ｋ）１，ｋ ≤ｍ；ｉｉｉ１ｉｋ１ｋ …，｛｛ …Ｓ（： …｝因此，当（跑遍Ｊ构成Ｆ … ． … ｝Ｆ＝ ∪ ＦｉｉｉＳＵｌ）ｌ＝１，２，３， α １，ｋ）ｋ时，ｉｉｉ ∪ １ｉｋ１ｉｋＪｋ１ｋ
ｎ定义１用｜．１设Ｕ为ｎ维欧式空间Ｒｎ中的非空子集，ｘ－ｕｃｌｉｄ距离，Ｕ的直｜表示ｘ，ｙｙ∈Ｒ的Ｅ｛，径定义为｜即Ｕ内任何两点距离的上确界．Ｕ｜＝ｓｕｘ－ｘ，｜｜：ｐｙｙ∈Ｕ｝ｎ由上述定义可见，单点集的直径为零，即｜｛另外，约定空集的直径为－ ∞，即ｘ｝｜＝０，ｘ∈Ｒ．
∞
ｓ｛，为Ｆ的δ ＨｓＦ）＝ｉｎｆＵｉＵｉ｝覆盖｝０＜｜： δ＜＋∞ ； δ（｛ ∑｜ｉ＝１
∞
ｓ｛，为Ｆ的任一覆盖｝ＨｓＦ）＝ｉｎｆＵｉＵｉ｝｜： δ＝＋∞ ．＋∞ （｛ ∑｜ｉ＝１
［收稿日期］００９１０２２２－－［）基金项目］１０６７１０３１．国家自然科学基金资助项目（［，，作者简介］女，硕士；通讯作者：盛中平（男，硕士，教授，主要从事数值逼近、分形几何研究．１９８５—）１９６５—）代克非（
｜｜＝－∞ ．定义１如果｛为可列个直径不超过 δ 的集合构成的集列，并且它能覆盖集合Ｆ．即．２设δ＞０，Ｕｉ｝且对每个ｉ都有０≤｜则称｛为集合Ｆ的一个δ－覆盖．Ｆ∪Ｕｉ，ＵｉＵｉ｝｜≤ δ，
ｉ
０ｓ（注意，上述δ－覆盖中的集合也可以是空集．我们在计算下面的覆盖体积时，约定０＝１；－∞）＝０，
＝
ｍ
对于满足开集体条件的自相似集，其自相似维数与其Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数相等．
ｍ
［］引理１且Ｆ满足开集条件．设ｓ是满足．１２设Ｆ是Ｒｎ中的自相似集，
ｉ＝１
称 ∑ｃ＝１的唯一正实数（