第1讲 概率与测度
高等概率论
高等概率论第一章：测度与积分第一节：集族与测度(Ω,Φ,μ)---------测度空间①Ω---------------非空集合-------------研究对象全体②Φ----------------σ代数（域）-------由Ω的一些子集组成σ代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭Φ{,}φ=Ω-------------平凡的σ代数③μ：Φ+→R （[0,1]）集函数（是Ω的元素的一种测度或度量）例：Ω=[0,1].（a,b]?Ω,((,])a b b a μ- ,I 是Ω的子集，I 为区间，()I μ=I 的长度，Φ=B （[0,1]）=()σε--------包含ε的最小σ代数，[0,1]ε=中的一切开集测度的唯一扩张定理,{:()}n x x ωξω?∈≤∈R Φ 称ξ是可测函数({})a b μξξ<≤---的分布①..()lim ()n x a e μξωμ→∞几乎处处收敛依测度收敛依分布收敛（弱收敛）②ξ是一维可测函数，积分ξωμωΩ（）d ()-------数学期望积分的收敛性---------Lebesgue 控制收敛定理lim ()?lim ()n n x x d d ξωμξωμ→∞→∞ΩΩ=??Fatou 引理，Levy 引理记号、述语：大写英文字母表示Ω的子集（事件）花写英文字母表示Ω的子集组成的集合类（集类，集族）AαBβXχ?δEεΦφΓγHηIι??KκΛλMμNνOο∏πΘθPρ∑σTτYυ??ΩωΞξψψZζ 某集类对某种运算封闭：如A 对可数并封闭指：对?A1，A2，…A n ∈A ，则1i ∞=A i ∈A第二节：集族与测度1. 集合序列的极限设1,2,...,,...,A A An ?Ω111limsup {:}{,,...,}x K k k K k n kAn n An X A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω?∈== 可数个不同的，使至少一个发生111lim inf {:}{,,...,}x k k k k n kAn n An A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∈== 除有限个以外，都发生关系：lim inf lim sup n n An An →∞→∞如果lim inf lim sup n n An An →∞→∞=，称{}An 的极限存在，记为lim x An →∞特例：单调上升集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=单调下降集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=例：A,B 是Ω的两个子集，221,,1,2,n n A A A B n -=== ，则lim sup ,lim inf n n An A B An A B →∞→∞==11((1),1(1))nn An n n=-+-，则lim sup [0,1],lim inf (0,1)n n An An →∞→∞==11(,1)(0,1)2211(,1)(0,1)22n n n n An Bn =-↑=-+↓2几种常用集类的定义：①A 称为一个π类：如果A 对有限交封闭②?称为一个λ类：如果：(a).ω∈ ?;(b). ?对真差封闭：若,A B ∈?,且A B ?,则B A -∈? （c ）?对单调上升（下降）集合列的极限封闭③环A ：如果A 对有限并、差运算封闭（交：()A B A A B =-- ）④代数Φ：如果Φ是环，且Ω∈Φ0（代数对一切有限次运算封闭）⑤σ环A ：如果A 对可数并、差运算封闭（?可数交封闭，极限运算封闭）⑥σ代数（域）Φ：如果Φ是σ环，且Ω∈Φ（σ代数对一切可数次集合运算封闭）⑦单调族M ：如果M 对单调上升（下降）列的极限封闭，即：如果An ∈M ，且An ↑，则1n An ∞=∈ M如果An ∈M ，且An ↓，则1n An ∞=∈ M代数、且又是单调族σ?代数π类、且又是λ类σ?代数A 是任意集类，分别称λ（）A ，σ（）A ，M （A ）是由A 生成的最小λ类，最小σ代数，最小单调类。
测度论与概率论基础pdf
测度论与概率论基础pdf
1 概率论与测度论
概率论与测度论是科学统计学研究中最基础的理论，构成数据分
析理论的基础。
概率论是一门探讨现实中诸种概率事件发生的概率分布规律的学科，是数学中一门分支，它以数学分析法研究概率，是研究随机性出
现的理论基础，其核心思想是将不可预言的机率性随机事件，用概率
的概念表示出来，以及用数学的方法分析事件发生的概率。
测度论是管理统计学中的一个专门领域，研究经济变量之间的焦点，总体分布特征，以及多维数据分析，刻画出复杂的统计变量之间
的关系，是当今统计数据分析技术的重要组成部分，在数据分析中起
重要作用。
测度论的核心是如何定义历史数据及其关联性，以及用统
计学方法进行测量，发现数据之间的联系。
概率论与测度论是统计学研究的两个重要领域，其研究方法和应
用及其重要性都被科学工作者广泛认可，应用于实际中计算数据之间
的关系和多维统计变量分析，可以更好地根据数据特征提出发现性结论，发现更多有价值的信息，为后绥研究及应用奠定坚实的基础。
概率论与测度论的基础pdf资料可以在网络上搜索，例如国家统
计局的官网和学术网站上可以下载到很多免费的学术论文和专题资料，这些资料内容涵盖了测度论及其概率论基础方面的内容，可以为研究
者提供较为详细的理论介绍。
此外，还可以在图书馆或学校里查阅专业书籍来加深对概率论和测度论方面的理论探索和应用研究。
总之，概率论和测度论是具有极高学术价值的研究领域，是统计学研究的两个重要分支，为开展数据分析提供了重要的理论基础。
充分认识其重要性，科学研究者们应当认真学习，深入探索，以加快统计学研究领域的发展，最终发现更多有价值的内容，解决实际问题。
概率测度与勒贝格测度
概率测度与勒贝格测度【概率测度与勒贝格测度】——揭示事件发生可能性的真相一、引言概率测度和勒贝格测度是概率论和测度论中常见而重要的概念。
它们旨在帮助我们量化事件发生的可能性，并进一步理解事件的特征、结构和规律。
本文将从简到繁、由浅入深地探讨概率测度和勒贝格测度的原理与应用，以帮助读者全面、深刻地理解这两个关键概念。
二、概率测度的定义与特性1. 概率的概念：概率是用来度量事件发生可能性的一种方法。
以随机试验为例，设S为随机试验的样本空间，事件A是S的一个子集，而概率P(A)表示事件A发生的可能性。
2. 概率测度的定义：概率测度是一种将事件映射到[0,1]区间的函数，它满足三个基本性质：非负性、规范性和可列可加性。
3. 概率测度的应用：概率测度可用于计算事件的概率、描述随机变量的分布、推导统计性质等。
它是概率论中的核心概念。
三、勒贝格测度的引入与定义1. 度量论的背景：度量论是测度论的基础，旨在研究空间的度量和测量。
引入勒贝格测度是为了更全面地描述不连续和有间断的函数。
2. 勒贝格测度的定义：勒贝格测度是一种广义的测度，它通过分割测量空间并计算分割的大小来度量集合的大小。
它不仅仅依赖于区间长度，而是考虑了集合的整体特性。
3. 勒贝格测度的性质与应用：勒贝格测度满足可列可加性和位移不变性等基本性质，可用于描述集合的长度、面积、容量等。
它在几何学、测度论、积分论等领域有着广泛的应用。
四、概率测度与勒贝格测度的关系1. 概率测度的引入：概率测度是为了度量事件的发生可能性，它与概率论的关系紧密。
概率测度可以衍生出概率、条件概率、期望等概念，为概率论提供了理论基础。
2. 勒贝格测度与概率测度的联系：概率测度是勒贝格测度的特殊情况，既包含了勒贝格测度的基本性质，又满足概率的基本要求。
可以说，概率测度是一种特殊的勒贝格测度。
3. 概率测度与勒贝格测度的应用：概率测度和勒贝格测度在概率论和测度论的研究中有着重要的地位。
测度论基础
高等概率论（讲义）一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。
建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。
参考书[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980基本内容[1] 测度与概率[2] 随机变量的刻画：分布函数[3] 随机变量的刻画：特征函数[4] 随机变量的收敛性[5] 渐近分布理论第1章 Lebesgue 测度与概率1.1 集和类 ● 基本概念所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。
不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。
[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。
[2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ∉ω表示点ω不在集A 中。
如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ⊂；如果B A ⊂，同时A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =。
[4] 集的基本运算（1）交。
集合A 与B 的交集：A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）简记为AB 。
概率与测度学习
要写四个字，很罗嗦。会占掉每日写字份额的。
可以说这个情况相当严重了，那么怎么办？把“死亡”，"存活"给数值化。
比如说{0，1}。只占2个字节，好开森~
总之呢，引入随机变量，就是为了将试验结果数值化
数值化之后又能干嘛呢？函数啊~~~会用excel不？别人一个一个改可能要改一天。你函数一用，瞬间秒杀。不仅如此，老板还特别高兴，因为你做得又快又好。
这个现象成功引起了注意，于是人们就会进行试验。（就比如说重复扔硬币的试验）
具有这种特性的试验，我们称之为随机试验。在概率论中，我们要研究随机现象，是通过大量的随机试，都有两个结果：‘正面’‘反面’
预先知道了所有结果，而且结果数量有两个
对，没错，这个人扔了两万四千次
简单起见，把sigma(X)理解成随机变量X所包含的所有信息就好。
随机变量生成的 代数，指的是一组特殊事件组成的集合：这些事件是否发生，可以通过随机变量的取值明确判断出来。举个例子吧。比如今天可能下雨也可能不下，下雨时随机变量X=1，反之X=0。然而，下不下雨只是“今天”的一个属性，其它属性，比如我早饭吃的是火腿还是培根，也是全世界所包含的信息的一部分。假设整个概率空间由下面这些元素组成：
感觉上和什么松下，井上，差不多...想想还是中文名有讲究。
degenerate（退化）分布
那么开头举的那个鱼塘例子，里面鱼的存活情况满足什么分布呢？
二项分布很常用：比如说抛硬币
4的超几何分布是不是特别眼熟？就是概率论基础1中提到的“古典概型离不开排列组合”中提到的例子。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。（由二项式推导而来）
如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。
条件概率 测度论
条件概率测度论
条件概率和测度论是概率论的两个重要概念。
条件概率是指在某个条件或限制下，某一事件发生的概率。
测度论则是概率论的基础，它定义了概率空间和事件集合，并给出了概率测度的性质和运算规则。
在测度论中，概率空间是一个三元组（Ω，F，P），其中Ω是一个样本空间，F是Ω上的一个σ代数，P是一个定义在F上的概率测度。
事件集合是由F中的元素构成的，每个元素都对应一个事件。
概率测度P给出了每个事件发生的概率。
条件概率是在某个已知条件下，某个事件发生的概率。
在测度论中，条件概率可以通过转移测度来定义。
转移测度是将一个概率测度从原来的样本空间Ω映射到另一个样本空间的一个函数。
在条件概率的定义中，转移测度的作用是将原来的概率测度P映射到一个新的概率测度P'上，使得P'满足条件概率的定义。
通过测度论和条件概率的定义，我们可以进一步探讨概率论中的其他概念，例如随机变量、分布函数、期望、方差等。
这些概念在概率论中有着广泛的应用，可以用于解决各种不确定性和风险问题。
依概率收敛和依测度收敛的关系
依概率收敛和依测度收敛的关系概率论和测度论是数学中重要的分支，它们用于描述随机现象和集合的性质。
在概率论中，我们常常关注随机事件的概率收敛性质，而在测度论中，我们则更关注集合的测度收敛性质。
本文将探讨依概率收敛和依测度收敛之间的关系。
我们来了解一下依概率收敛和依测度收敛的概念。
在概率论中，我们说随机变量序列{Xn}依概率收敛到随机变量X，如果对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0。
这意味着当n趋向于无穷大时，随机变量Xn与X之间的差异趋于零的概率趋于1。
而在测度论中，我们说测度序列{μn}依测度收敛到测度μ，如果对于任意给定的集合A，有lim(n→∞) μn(A) = μ(A)。
这意味着当n趋向于无穷大时，测度μn和μ之间对任意集合A的测度差异趋于零。
然而，依概率收敛和依测度收敛并不是完全等价的。
虽然它们都描述了一种收敛性质，但在某些情况下它们并不一致。
具体来说，依概率收敛是针对随机变量序列的，而依测度收敛是针对测度序列的。
在概率论中，我们关注的是随机事件的发生概率，而在测度论中，我们关注的是集合的测度。
因此，依概率收敛更适用于描述随机事件的收敛性质，而依测度收敛更适用于描述集合的收敛性质。
依概率收敛和依测度收敛的定义也有所不同。
在依概率收敛的定义中，我们要求对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0。
这意味着随着n的增大，随机变量Xn与X之间的差异趋于零的概率趋于1。
而在依测度收敛的定义中，我们要求对于任意给定的集合A，有lim(n→∞) μn(A) = μ(A)。
这意味着随着n 的增大，测度μn和μ之间对任意集合A的测度差异趋于零。
尽管依概率收敛和依测度收敛有一些区别，但它们之间存在一定的关系。
事实上，如果一个随机变量序列{Xn}依概率收敛到X，那么它一定也依测度收敛到X。
这是因为依概率收敛要求随机变量Xn与X之间的差异趋于零的概率趋于1，而依测度收敛要求随着n的增大，测度μn和μ之间对任意集合A的测度差异趋于零。
测度论与概率论基础
测度论与概率论基础
基础统计学是数理统计学中的一个重要组成部分，其由概率论和测度论组成。
概率论是研究测量随机变量以及随机事件发生的可能性大小的一种数学理论。
测度论则是一门关于评估不同大小的不可测量的事物的数学理论。
它将数量抽象化，以捕捉这些事物的重要特征，使之可以用来作为研究中的依据。
概率论和测度论是基础统计学的基本内容之一，它能够帮助人们了解并分析测量的随机变量和随机事件，以及其发生的频率和可能性。
在概率论中，采用概率密度和分布函数来测量不同统计变量的可能性，这对了解数据具有重要意义。
一般来说，测量统计变量的概率密度和分布函数会存在差异，而且还可以通过数据收集和分析，以及进行相关推断和统计推断来评估不同变量之间的联系。
测度论主要用于研究不能测量的变量和研究对象，常见的测度有比率测度和分类测度。
比率测度是一种表征一个特定对象的数量关系的测度，比如实验设计中的处理组和对照组；而分类测度则是将变量分为两类，可以用于研究多变量之间的关系。
概率论和测度论是建立在数学分析的基础上的，是统计分析的基础之一。
它们的基本原理被广泛用于科学研究、工程设计、营销策略分析和决策等领域。
概率论和测度论不仅在基础统计学中具有重要的地位，还是统计分析的重要工具。
只有理解概率论和测度论的基本原理，熟练掌握它们的理论和方法，才能正确应用其理论和方法进行统计分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10
独立性 定义 1.1.10 设 (,F ,P) 为概率空间，称两事件A，B 是 独立的 （independent） 如果
P( A B) P( A) P( B)
若 A={Hi;i =1,2,..}是由可测集类 Hi 组成的集族 ，称 A是独立的，如果对任意不同的i1,…,ik
随机数学
第1讲 概率与测度
教师: 陈 萍 prob123@
1
引言
随机数学涉及4个主要部分:概率论,随机过程, 数理统计,随机运筹.本课程在对概率论作适当补 充的基础上,着重介绍随机过程的基本概念及主要 结论,以备在解决实际问题中的应用. 随机过程通常被视为概率论的动态部分,在概 率论中研究的随机现象,都是在概率空间上的一个 或有限多个随机变量的规律性.但在实际问题中, 我们还需要研究一些随机现象的发展和变化过程, 即随时间不断变化的随机变量,这就是随机过程所 要研究的对象.
则称μ为可测空间(,F)上的测度(measure )，且称 (,F,μ)为测度空间(measure space ). 特别，当μ( )=1时，称μ为概率测度(probability measure), 记为P，并称(,F,P) 为概率空间 (probability space). 此时,称F可测集A为事件，A的测度P(A)称为事件A发 生的概率。
Hi1 Hi1 ,...Hik Hik
P(Hi1 ... Hik ) P( Hi1 )...P( Hik )
称随机变量族 {Xi;i=1,2,…} 是独立的，如果 生成 -代数族{ (Xi), i=1,2,…} 是独立的.
11
定理1.1.7 . 设 (,F,P)为概率空间, 若Ct, t∈T 为独立 的 -类 , 则(Ct), t∈T 为独立的 -代数. 注：称集类C为 类，若满足 A,B C AB C 推论1. 设 (,F,P)为概率空间, 若 {Ai, i=1,…,m, m+1,…,m+n} 为m+n个独立的 事件 , g, h表示两个事件运算，则 g( A1,…, Am)与h( Am+1,…, Am+n)独立. 推论2. 设 (,F,P)为概率空间, 若{Xt, t∈T }为独立的 随机变量族 , {gt, t∈T }为Borel可测函数族，则 {gt (Xt), t∈T }独立.
12
将一枚硬币连抛三次,样本空间为 HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT 以 X k , k 1, 2,3 分别表示第k次抛出正面H的次 数, 记 F , Fk X k , k 1,2,3 (1) 试判断下列集合分别关于 F , Fk , k 1, 2,3 的可测 性.
A HHH , HHT , HTH , B HHH , HHT , THH , THT D HHH , TTT 1 若在 , F , P上定义概率 P , 8 C HHH , HHT ,
试写出随机变量 X k , k 1, 2,3 的导出分布.
4
1.1 测度与可测函数
概率与测度中的基本术语及符号: E--随机试验; --样本空间; ω--样本点; A--集类;
定义 1.1.1 设F是空间上的集类，称 F 为 -代数（域） （ -algebra ）, 若满足: ① ∈ F ; ② F ∈ F FC∈ F ； ③ A1,A2,… ∈ F Ai∈ F 注: 如果F 是 -代数 ,则 F 对F上的所有集合运算封闭；且对极限运算封闭.
6
定义 1.1.2 设 U 是由 的子集构成的集类 . 称包含U. 的最小-代数,即 ( U ) {H ; a lg ebra of , U H} 为由U生成的-代数（ the -algebra generated by U.）
定义 1.1.3 设F为空间 的子集组成的 σ代数，称 二元组 (,F) 为可测空间 （measurable space）;
13
的任一子集 F 称为F- 可测（F-measurable） 的 , 如果 F∈ F .
7
定义 1.1.4 设(,F)为可测空间，μ: F R+ ，若 (1) μ()=0; (2) 若 A1,A2,… ∈ F ,且 {Ai}i≧1 两两不交，则
( Ai ) ( Ai )
i 1 i 1
9
随机变量
定义 1.1.6 设 (,F) 与（E，E）为可测空间 , 函数 X: →E称为F-可测的（F-measurable）, 如果对任意 UE， X 1 (U ) ( , X ( ) U ) F 注: (p7 th1.1.6-1.1.7) (1)可测函数的"函数"仍可测; (2)可测函数的单调极限仍可测 特别，若 (,F,P)为概率空间，(E,E)=(Rn,B)，则可 测函数X称为n维随机变量（随机变量）; 1 ( X ) { X ( B); B B }.为由X生成的σ代数 ; 记 称
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
例1.1.1 几个常见的-代数：
1）称 {, }为最“粗”的 -代数，而称 ()= {的所有子集} 为最“细”的 -代数； 2）设 A ，则 {, , A, Ac}是- 代数； 3）设F1，F2 是 的子集组成的两个 -代数，令 F3=F1F2 ，则F3 也为- 代数； 4）设 是实数域Rn ， 是由 Rn上的一切开 集 生成的 -代数，称之为Borel 代数，B中的元素称 为Borel集.
8
概率的运算性质补充：
1）下（上）连续性：设 {An,n1}F, 若An↓A, 则P(An) ↓ P(A); 若 An↑A, (n→∞), 则P(An)↑P(A);
2）加法公式： 设{Ai,i=1,…,n}为事件列，则
n n n P Ai P( A i ) (1)k 1 P( Ai1 ... Aik ) k 2 i1 ...ik i 1 i 1
2
课程的主要内容
1. 测度论基础与随机过程的基本概念
2. 泊松过程与更新过程
3. 马尔科夫链
4. 鞅与Brown 运动 5. 随机微分方程
3
参考书
[1] 陈萍等编， 随机数学，国防工业出版社，2008
[2] Bernt ksendal, Stochastic Deferential Equations, Springer-Verlag, 1998 [3] 冯予等编， 概率论与数理统计，国防工业出版 社，2005 [4] 工程数学--积分变换