辽宁省葫芦岛市第一高级中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理
辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷(理科)Word版含解析
辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．计算=（）A．B．C．﹣ D．﹣3．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角5．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．56．函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=07．平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1 B．2n C． D．n2+n+18．曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是（）A．B．2 C．D．19．等比数列{a n}中，a1=1，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a n），则f′（0）（）A．0 B．16 C．64 D．25610．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．11．f（x）为定义在R上的可导函数，且f′（x）＞f（x），对任意正数a，则下列式子成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．e a f（a）＜f（0）C．f（a）＞e a f（0）D．e a f（a）＞f（0）12．已知函数f（x）的导函数f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=，且f（1）=1，则函数f（x）的最大值为（）A．0 B．C．D．2e二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．设z=1+i（i是虚数单位），则=．14．由直线，曲线及x轴所围图形的面积为．15．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的最大值是．16．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]=2，[π]=3，[k]=k（k∈N*）．我们发现：[]+[]+[]=3；[]+[]+[]+[]+[]=10；[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21；…通过合情推理，写出一般性的结论：（用含n的式子表示）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4；（2）由（1）猜想a n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．18．设函数f（x）=x3+ax2+bx（a∈R），已知曲线y=f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y=4x+3．（Ⅰ）求a，b的值；并求出函数的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最值．19．（1）分别比较log23和log34，log34和log45的大小，归纳出一个一般性的结论，并证明你的结论；（2）已知a，b，x，y∈R，证明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，并利用上述结论求（sin2x+cos2x）（+）的最小值（其中x∈R）．20．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，证明不等式e x ln（1+y）＞e y ln（1+x）请考生在第22、23题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的基本概念．【分析】将复数进行化简，根据复数的几何意义即可得到结论．【解答】解：z===，∴对应的点的坐标为（），位于第四象限，故选：D．2．计算=（）A． B． C．﹣D．﹣【考点】极限及其运算．【分析】由题意可知=═sin′（），根据导数的运算，即可求得答案．【解答】解：==sin′（）=cos=，故选：B．3．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，令导函数f′（x）＞0，从而求出其递增区间．【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）e x的，∴f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴函数f（x）的递增区间是（2，+∞），故选：A．4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，从而得出结论．【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”，故选：B．5．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意故选：D．6．函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选B．7．平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1 B．2n C． D．n2+n+1【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多，确定f（n）﹣f（n﹣1）=n，累加，即可求得f（n）的表达式．【解答】解：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）﹣f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得f（2）﹣f（1）=2，f（3）﹣f（2）=3，…，f（n）﹣f（n﹣1）=n，把这n﹣1个等式累加，得f（n）﹣f（1）=2+3+…+n=∴f（n）=2+=故选C．8．曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是（）A． B．2 C． D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出和y=x+1平行的直线和y=lnx相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论．【解答】解：设与y=x+1平行的直线与y=lnx相切，则切线斜率k=1，∵y=lnx，∴，由，得x=1．当x=1时，y=ln1=0，即切点坐标为P（1，0），则点（1，0）到直线的距离就是线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离，∴点（1，0）到直线的距离为：d==，∴曲线y=lnx上的点到直线l：y=x+1的距离的最小值为．故选：A．9．等比数列{a n}中，a1=1，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a n），则f′（0）（）A．0 B．16 C．64 D．256【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用导数的乘法法则得到f′（x），求得f′（0），利用等比数列的性质得答案．【解答】解：函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′则f′（0）=a1•a2…a8==44=256．故选：D．10．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选B．11．f（x）为定义在R上的可导函数，且f′（x）＞f（x），对任意正数a，则下列式子成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．e a f（a）＜f（0）C．f（a）＞e a f（0）D．e a f（a）＞f（0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据选项令g（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f′（x）＞f（x），可以证明g（x）为增函数，可以推出g（a）＞g（0），再对选项进行判断．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，∴可以令g（x）=，∴g′（x）=，∵f′（x）＞f（x），e x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）为增函数，∵正数a＞0，∴g（a）＞g（0），∴＞=f（0），∴f（a）＞e a f（0），故选：C．12．已知函数f（x）的导函数f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=，且f（1）=1，则函数f（x）的最大值为（）A．0 B．C．D．2e【考点】导数的运算；函数的最值及其几何意义．【分析】由题意构造函数g（x）=x2f（x），可解得g（x）=1+lnx，f（x）=，利用导数判断函数f（x）的单调性，求得最大值即可．【解答】解：∵xf′（x）+2f（x）=，∴x2f′（x）+2xf（x）=，令g（x）=x2f（x），则g′（x）=x2f′（x）+2xf（x）=，∵f（1）=1，∴g（1）=1，∴g（x）=1+lnx，f（x）=，∴f′（x）=，∴x＜时，f′（x）=＞0，x＞时，f′（x）=＜0，∴当x=时，f（x）max=f（）==．故选C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．设z=1+i （i 是虚数单位），则= 1+i ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】将z=1+i 代入，利用复数代数形式的乘除运算，乘方运算化简可得．【解答】解：将z=1+i 代入得，故答案为1+i14．由直线，曲线及x 轴所围图形的面积为 2ln2 ．【考点】定积分的简单应用．【分析】利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，直线，曲线及x 轴所围图形的面积为=lnx=ln2﹣ln =2ln2 故答案为：2ln2．15．若f （x ）=﹣x 2+bln （x +2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b 的最大值是 ﹣1 ． 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得不等式b ≤x 2+2x ，将问题转化为求g （x ）的最小值问题，从而问题得解．【解答】解：∵f′（x ）=﹣x +，令f′（x ）≤0，得b ≤x 2+2x ， 令g （x ）=x 2+2x ， 画出函数g （x ）的图象， 如图示：，∴b≤﹣1，故答案为：﹣1．16．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]=2，[π]=3，[k]=k（k∈N*）．我们发现：[]+[]+[]=3；[]+[]+[]+[]+[]=10；[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21；…通过合情推理，写出一般性的结论：=n （2n+1）（n∈N*）（用含n的式子表示）．【考点】归纳推理．【分析】根据条件通过观察，可以得到一个一般性的结论=n（2n+1）（n∈N*）．【解答】解：根据[]+[]+[]=3；[]+[]+[]+[]+[]=10；[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21；…通过观察，发现，等式左边方括号内第一个数是完全平方数，以后依次增加1，最后一个是后一个完全平方数减1，而右边可以写成两个数的积的形式．我们可以得到一个一般性的结论：=n（2n+1）（n∈N*）．故答案为：=n（2n+1）（n∈N*）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4；（2）由（1）猜想a n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【考点】数学归纳法；数列的概念及简单表示法．【分析】（1）根据已知中数列{a n}满足．令n=1，2，3可得a2，a3，a4；（2）由（1）猜想a n=n+1，利用数学归纳法可证得结论．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足．∴=3；=4；=5；（2）由（1）猜想a n=n+1，用数学归纳法证明如下：当n=1时，左边=a2=3，右边==22﹣2+1=3，满足条件；假设n=k时，满足条件，则，即k+2=（k+1）2﹣k（k+1）+1，则n=k+1时，左边=（k+1）+2=k+3，右边=（k+2）2﹣（k+1）（k+2）+1=k+2+1=k+3，满足条件，综上a n=n+1满足条件．18．设函数f（x）=x3+ax2+bx（a∈R），已知曲线y=f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y=4x+3．（Ⅰ）求a，b的值；并求出函数的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求f′（x）=3x2+2ax+b，根据函数在切点处的导数等于切线的斜率和切点在切线上得出两个关于a，b的方程，即可求出a，b：a=b=1．这样便得到f′（x）=3x2﹣2x﹣1，这样找使f′（x）＞0，和f′（x）＜0的x的取值，从而求出增区间和减区间；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的单调区间，即可判断f（x）取极值的情况，并且求出端点值，即可求出函数f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b；由已知条件得：；解得a=b=﹣1；∴f（x）=x3﹣x2﹣x，f′（x）=3x2﹣2x﹣1；令3x2﹣2x﹣1=0得：x=，或1；∴x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0；x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；∴函数f（x）的单调增区间是：（﹣∞，﹣]，[1，+∞）；单调减区间是：（﹣，1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）在[﹣1，﹣]上单调递增；在（﹣，1]上单调递减；∴f（﹣）=是f（x）的极大值，又f（﹣1）=﹣1，f（1）=﹣1；∴函数f（x）的最大值是，最小值是﹣1．19．（1）分别比较log23和log34，log34和log45的大小，归纳出一个一般性的结论，并证明你的结论；（2）已知a，b，x，y∈R，证明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，并利用上述结论求（sin2x+cos2x）（+）的最小值（其中x∈R）．【考点】进行简单的合情推理．【分析】（1）作差（作商），即可比较证明大小；（2）作差比较即可证明；由不等式（a 2+b 2）（x 2+y 2）≥（ax +by ）2成立知，即可得出结论．【解答】解：（1）log 23﹣log 34==＞＞=0，所以log 23＞log 34 同理log 34＞log 45，一般性的结论：log n （n +1）＞log （n +1）（n +2）．（n ∈N +）=log （n +1）（n +2）log （n +1）n ＜＜1，∵log n （n +1）＞0，∴log n （n +1）＞log （n +1）（n +2）．（n ∈N +）；（2）∵（a 2+b 2）（x 2+y 2）﹣（ax +by ）2=a 2x 2+a 2y 2+b 2x 2+b 2y 2﹣（a 2x 2+2abxy +b 2y 2）=a 2y 2﹣2abxy +b 2x 2=（ay ﹣bx ）2≥0∴（a 2+b 2）（x 2+y 2）≥（ax +by ）2 由不等式（a 2+b 2）（x 2+y 2）≥（ax +by ）2成立知，∴（sin 2x +cos 2x ）（+）的最小值为9．20．已知函数f （x ）=lnx ﹣a （x ﹣1）（a ∈R ）．（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f （x ）＜0对任意x ∈（1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解．【解答】解：（Ⅰ） 因为a=﹣2时，f （x ）=inx +x ﹣1，f′（x ）=+1． 所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．所以a=﹣2时，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2x ﹣2．（II）（i）由f（x）=lnx﹣a（x﹣1），所以f′（x）=﹣，①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，∴a≤0不合题意．②当a≥2即0≤1时，f′（x）=﹣＜0，在（1，+∞）上恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，∴a≥2满足题意．③若0＜a＜2即时，由f′（x）＞0，可得1＜x＜，由f′（x）＜0，可得x，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（）＞f（1）=0，∴0＜a＜2不合题意．综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．（ii）a≥2时，“比较e a﹣2与a e﹣2的大小”等价于“比较a﹣2与（e﹣2lna）的大小”设g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．则g′（x）=1﹣=＞0．∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，因为g（e）=0．当x∈[2，e）时，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以e x﹣2＜x e﹣2．当x∈（e，+∞）时g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴e x﹣2＞x e﹣2．综上所述，当a∈[2，e）时，e a﹣2＜a e﹣2；当a=e时，e a﹣2=a e﹣2；当a∈（e，+∞）时，e a﹣2＞a e﹣2．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，证明不等式e x ln（1+y）＞e y ln（1+x）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由f（x）=ax﹣1﹣lnx，求得f′（x）=．然后分a≤0与a＞0两种情况讨论，从而得到f′（x）的符号，可得f（x）在其定义域（0，+∞）内的单调性，最后综合可得答案；（2）函数f（x）在x=1处取得极值，由（1）的讨论可得a=1．将不等式f（x）≥bx﹣2化简整理得到1+﹣≥b，再构造函数g（x）=1+﹣，利用导数研究g（x）的单调性，得到[g（x）]min=1﹣]．由此即可得到实数b的取值范围；（3）设函数F（t）=，其中t＞e﹣1．利用导数研究F（x）的单调性，得到得F（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数．从而得到当x＞y＞e﹣1时，F（x）＞F（y）即＞，变形整理即可得到不等式e x ln（1+y）＞e y ln（1+x）成立．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣1﹣lnx，∴f′（x）=a﹣=，当a≤0时，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x≤，f'（x）＞0得x＞，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．（2）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴根据（1）的结论，可得a=1，∴f（x）≥bx﹣2，即x+1﹣lnx≥bx，两边都除以正数x，得1+﹣≥b，令g（x）=1+﹣，则g′（x）=﹣﹣=﹣（2﹣lnx），由g′（x）＞0得，x＞e2，∴g（x）在（0，e2）上递减，由g′（x）＜0得，0＜x＜e2，∴g（x）在（e2，+∞）上递增，∴g（x）min=g（e2）=1﹣，可得b ≤1﹣，实数b 的取值范围为（﹣∞，1﹣]．（3）令F （t ）=，其中t ＞e ﹣1可得F'（t ）==再设G （t ）=ln （1+t ）﹣，可得G'（t ）=+＞0在（e ﹣1，+∞）上恒成立∴G （t ）是（e ﹣1，+∞）上的增函数，可得G （t ）＞G （e ﹣1）=lne ﹣=1﹣＞0因此，F'（t ）=＞0在（e ﹣1，+∞）上恒成立，可得F （t ）=是（e﹣1，+∞）上的增函数．∵x ＞y ＞e ﹣1，∴F （x ）＞F （y ），可得＞∵ln （1+x ）＞0且ln （1+y ）＞0，∴不等式两边都乘以ln （1+x ）ln （1+y ），可得e x ln （1+y ）＞e y ln （1+x ）．即对任意x ＞y ＞e ﹣1，都有不等式e x ln （1+y ）＞e y ln （1+x ）成立．请考生在第22、23任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为，（t 为参数），在以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，A ，B 两点的极坐标分别为．（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最小值． 【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由圆C 的参数方程消去t 得到圆C 的普通方程，由直线l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ转化为直角坐标方程即可；（2）将A 与B 的极坐标化为直角坐标，并求出|AB |的长，根据P 在圆C 上，设出P 坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．【解答】解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），∴|AB|==2，设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），∴P点到直线l的距离为d==，∴d min==2，则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．[选修4-5：不等式选讲]23．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。
辽宁省葫芦岛市第一高级中学高二数学下学期期中试题 理 新人教A版
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的 四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复平面内，复数21ii-所对应的点到坐标原点的距离为 （ ）22. 一批灯泡400只，其中20 W 、40 W 、60 W 的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ）A ．20 ,10 ，10 B.15 ,20 ,5 C .20, 5,15 D.20, 15, 5 3. 曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为 ( ) A ．y ＝2x －2B ．y ＝x －1．C ． y ＝2x ＋2D ．y ＝x ＋14. 已知回归直线的斜率估计值是 1.23，样本中心为（4,5），则回归直线的方程为（ ）A. 1.234y x =+B. 1.235y x =+C. 1.230.08y x =+D. 1.23 2.15y x =-5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，936S =，则789++a a a 等于( ) A ．15 B ．12 C ．36 D ．27 6.若2013220130122013(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则010202013()()()a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=（ ）A.2011B.2012C.2013D.20147．位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是（ ）A ．5)21( B ．525)21(C C ．335)21(C D ．53525)21(C C8．将三颗骰子各掷一次，设事件A =“三个点数都不相同”，B =“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于（ ） A ．21691 B ． 9160 C ．185 D ．21 9． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．[1,2]B ．(1,2)C ．（2，＋∞)D ．[2，＋∞)10．已知函数()y xf x ='的图象如图所示 （其中()f x '是函数)(x f 的导函数）．下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（ ）11．已知函数)(),(x g x f 是定义在R 上可导函数，满足0)(')()()('<⋅-⋅x g x f x g x f ，且0)(,0)(>>x g x f ，对b c a ≤≤时。
辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)
2017-2018学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．设复数z 满足iz=1+2i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．在用反证法证明“在△ABC 中，若∠C 是直角，则∠A 和∠B 都是锐角”的过程中，应该假设（ ）A ．∠A 和∠B 都不是锐角 B ．∠A 和∠B 不都是锐角C ．∠A 和∠B 都是钝角D ．∠A 和∠B 都是直角3．A ﹣C等于（ ）A ．0B ．﹣10C ．10D ．﹣404．已知a ，b ，c ∈R ，c ≠0，n ∈N *，下列使用类比推理恰当的是（ ） A ．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b” B ．“（ab ）n=a n b n”类比推出“（a+b ）n=a n+b n” C ．“（a+b ）•c=ac +bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D ．“（a+b ）•c=ac +bc”类比推出“=+”5．已知函数f （x ）=6﹣x 3，g （x ）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（ ） A ．f′（x ）=6﹣3x 2，g′（x ）=e xB ．f′（x ）=﹣3x 2，g′（x ）=e x﹣1 C ．f′（x ）=﹣3x 2，g′（x ）=e x D ．f′（x ）=6﹣3x 2，g′（x ）=e x ﹣16．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（ ） A ．24 B ．72 C ．144 D ．2887．函数f （x ）=lnx ﹣4x+1的递增区间为（ ）A ．（0，）B ．（0，4）C ．（﹣∞，）D ．（，+∞）8．已知函数f （x ）=cos （3x+），则f′（）等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，] B．[，] C．[，π）D．[0，）∪[，π）10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100 B．900 C．999 D．100011．若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣312．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n 的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|= ．14．已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）= ．15．若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx= ．16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．18．已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．19．已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．20．设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？22．设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．设复数z满足iz=1+2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，再求出的坐标得答案．【解答】解：由iz=1+2i，得z=，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．A﹣C等于（）A．0 B．﹣10 C．10 D．﹣40【考点】D4：排列及排列数公式；D5：组合及组合数公式．【分析】利用排列组合数的计算公式即可得出．【解答】解：原式=A﹣==10．故选：C．4．已知a，b，c∈R，c≠0，n∈N*，下列使用类比推理恰当的是（）A．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“（ab）n=a n b n”类比推出“（a+b）n=a n+b n”C．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“=+”【考点】F3：类比推理．【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．【解答】解：对于A：“若a•5=b•5，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12对于C：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于D：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，故选：D．5．已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣1【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x，故选：C6．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A．24 B．72 C．144 D．288【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用捆绑法将甲、乙、丙三人看成一个整体，并考虑三人之间的顺序，②、将这个整体与其他三人全排列，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求甲、乙、丙三人站在一起，将3人看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A33=6种情况，②、将这个整体与其他三人全排列，有A44=24种不同顺序，则不同的排法种数为6×24=144种；故选：C．7．函数f（x）=lnx﹣4x+1的递增区间为（）A．（0，）B．（0，4）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣4x+1定义域是{x|x＞0}∵f'（x）=﹣4=当f'（x）＞0时，0＜x＜故选：A8．已知函数f（x）=cos（3x+），则f′（）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】63：导数的运算．【分析】利用复合函数的导数运算法则即可得出．【解答】解：f′（x）=﹣3sin（3x+），∴f′（）=﹣3sin（）=﹣，故选：D．9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，] B．[，] C．[，π）D．[0，）∪[，π）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解．【解答】解：由y=x﹣x2﹣lnx，得y′=1﹣x﹣（x＞0），∵1﹣x﹣=1﹣（x+），当且仅当x=1时上式“=”成立．∴y′≤﹣1，即曲线在点P点处的切线的斜率小于等于﹣1．则tanθ≤﹣1，又θ∈[0，π），∴θ∈（]．故选：A．10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100 B．900 C．999 D．1000【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有9×10×10=900故选：B．11．若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣3【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值，求出a的值即可．【解答】解：函数的定义域为：x＞0；f′（x）=x+2﹣，令f′（x）＞0，解得：1＜x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）极小值=f（1）==，解得：a=﹣1，故选：B．12．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n 的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标（），求出原函数的导函数，写出切线方程，把点（2，n）代入切线方程，整理得到．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，利用导数求其极大值为g（1）=5；极小值为g（2）=4．再由4＜﹣n＜5求得n的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，设切点为（），则．∴过切点处的切线方程为，把点（2，n）代入得：．整理得：．若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则方程有三个不同根．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，则g′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），∴当x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）．∴当x=1时，g（x）有极大值为g（1）=5；当x=2时，g（x）有极小值为g（2）=4．由4＜﹣n＜5，得﹣5＜n＜﹣4．∴实数n的取值范围是（﹣5，﹣4）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|= 5 ．【考点】A8：复数求模．【分析】先求出z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，由此能求出|z|．【解答】解：∵复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，∴z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，∴|z|==5．故答案为：5．14．已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）= 2 ．【考点】63：导数的运算．【分析】根据函数的导数公式直接求导即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x+2x﹣e，则f′（1）=e+2﹣e=2，故答案为：215．若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx= ．【考点】67：定积分．【分析】将被积函数变形，两条定积分的可加性以及微积分基本定理求值．【解答】解：m为正整数，则x（x+sin2mx）dx=（x2+xsin2mx）dx=2+=2×+0=；故答案为：．16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5 ℃/h．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用导数法可求变化的快慢与变化率．【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7，当x=1时，f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣5三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．【考点】67：定积分．【分析】利用微积分基本定理，分别求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限求值．【解答】解：（1）dx=lnx|=ln2﹣ln1=ln2；（2）4cosxdx=4sinx|=4sin=2．18．已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据求导公式求出f（x）的导数即可；（2）求出切线的斜率f′（2），从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）f′（x）=4（2x﹣1）+5=8x+1；（2）f′（2）=17，故切线方程是：y﹣19=17（x﹣2），即17x﹣y﹣15=0．19．已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值，从而求出f（x）在[0，1]上的值域即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=0得x=﹣1，令f′（x）＞0得x＞﹣1，∴f（x）的增区间为（﹣1，+∞）．令f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）．（2）当时x∈[0，1]，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上递增，∴f（x）min=f（0）=5，f（x）max=f（0）=e+5，∴f（x）在[0，1]上的值域为[5，e+5]．20．设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：48（2x﹣1）2=2a+6a3x+12，令x=0，可得a2．2（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得：a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，代入（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）即可得出．【解答】解：（1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：48（2x﹣1）2=2a2+6a3x+12，令x=0，可得a2=24．（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得：a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=34=81．21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，③、将剩下的1人分到丙学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，②、将分好的三组全排列，对应3个学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，有C74=35种选法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，有C32=3种选法；③、将剩下的1人分到丙学校，有1种情况，则一共有35×3=105种分配方案；（2）根据题意，分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，有C74×C32×C11=105种分组方法，②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有A33=6种情况，则一共有105×6=630种分配方案．22．设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用分段函数，当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，判断函数的单调性以及函数的极值，推出m的范围．（2）当x≤0时，求出函数的导函数f'（x）=a（x+1）e x，通过a＜0，求解函数的单调性以及极值，推出a＞0，利用函数的极值推出a的范围．【解答】解：（1）当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，令f'（x）=0时得；令f'（x）＞0得递增；令f'（x）＜0得0，f（x）递减，∴f（x）在处取得极小值，且极小值为，∵f（0）=0，f（2）=4，所以由数形结合可得0≤m≤4或．（2）当x≤0时，f'（x）=a（x+1）e x，a＜0，令f'（x）=0得x=﹣1；令f'（x）＞0得﹣1＜x≤0，f（x）递增；令f'（x）＜0得x＜﹣1，f（x）递减．∴f（x）在x=﹣1处取得极小值，且极小值为．∴a＞0，∴，因为当即时，，∴，∴．当即时，，∴，即a≥0，∴．综上，．。
辽宁省葫芦岛一中等五校联考2017-2018学年高二下学期6月联考数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年辽宁省葫芦岛一中等五校联考高二（下）6月联考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|log3x≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．若复数z满足zi=1+2i，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．“m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若平面向量，满足﹣2=（2，﹣1），，则与的夹角是（）A． B． C．D．5．已知{a n}为等差数列，且a6=4，则a4a7的最大值为（）A．8 B．10 C．18 D．366．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约（）A．134石B．169石C．192石D．338石7．已知x、y满足约束条件则z=x+2y 的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣C．﹣3 D．9．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．10．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120°的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A．20πB．πC．25πD．25π11．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=，则方程f（x）=在[﹣3，5]上的所有实根之和为（）A．0 B．2 C．4 D．6二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知（x+a）2（x﹣1）3的展开式中，x4的系数为1，则a=．14．已知等比数列{a n}为递增数列，a1=﹣2，且3（a n+a n+2）=10a n+1，则公比q=．15．已知抛物线y2=4x与经过该抛物线焦点的直线l在第一象限的交点为A，A在y轴和准线上的投影分别为点B，C，=2，则直线l的斜率为．16．已知函数f（x）=lnx+，对任意x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，则实数b的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin（2A+B）=2sinA+2cos （A+B）sinA（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a=1，求c的值．18．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．．19．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．20．已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1，F2，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2=．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1++…+≥ln（e为自然对数的底数）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲．]22．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B，C两点，弦CD ∥AP，AD，BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：∠EDF=∠P；（Ⅱ）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年辽宁省葫芦岛一中等五校联考高二（下）6月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|log3x≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x≥1}，这样即可求出A∩B，A∪B，从而找出正确选项．【解答】解：A={x|x≥1}，B={x|x≤1}；∴A∩B={1}，A∪B=R，A，B没有包含关系；即B正确．故选B．2．若复数z满足zi=1+2i，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由zi=1+2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：由zi=1+2i，得，则复数z的共轭复数=2+i．故选：D．3．“m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可．【解答】解：若m=1，则两直线方程为x﹣y=0和x+y=0，满足垂直，当m=0时，两直线方程为﹣y=0和x=0，满足垂直，但m=1不成立，即“m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的充分不必要条件，故选：A．4．若平面向量，满足﹣2=（2，﹣1），，则与的夹角是（）A． B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设出的坐标，由已知列式求得，的坐标，代入数量积求夹角公式得答案．【解答】解：设，由﹣2=（2，﹣1），，得，解得m=0，n=1，c=﹣，d=1．∴．从事cos=，∴cos=．故选：D．5．已知{a n}为等差数列，且a6=4，则a4a7的最大值为（）A．8 B．10 C．18 D．36【考点】等差数列的性质．【分析】设公差为d，a4a7=（a6﹣2d）•（a6+d）=（4﹣2d）（4+d）=﹣2（d+1）2+18，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：根据题意，{a n}为等差数列，且a6=4，设公差为d，∴a4a7=（a6﹣2d）•（a6+d）=（4﹣2d）（4+d）=﹣2（d+1）2+18，当d=﹣1时，有最大值，最大值为18，故选：C．6．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约（）A．134石B．169石C．192石D．338石【考点】收集数据的方法．【分析】根据224粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1536×=192石，故选：C．7．已知x、y满足约束条件则z=x+2y 的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，即，即A（0，1），此时z=0+2=2，故选：D．8．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣C．﹣3 D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，i的值，观察规律可知S出现周期为4，当i=2017时，不满足条件i≤2018，结束循环输出S，输出的s的值为2．【解答】解：模拟执行程序，可得：s=2，i=1满足条件i≤2018，执行循环体，满足条件i≤2018，执行循环体，满足条件i≤2018，执行循环体，满足条件i≤2018，执行循环体，s==2，i=5…，观察规律可知S出现周期为4，由于2018=504×4，可得当i=2018时，满足条件i≤2018，执行循环体，s=2，i=2017，不满足条件i≤2018，结束循环输出S，输出的s的值为2．故选：A．9．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f（）＞f（π），易求出满足条件的具体的φ值．【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又，即sinφ＜0，0＜φ＜2π当k=1时，此时φ=，满足条件故选C．10．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120°的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A．20πB．πC．25πD．25π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，求出底面外接圆半径，球心距，进而求出球半径，代入球的面积公式，可得答案．【解答】解：由俯视图是一个顶角为120°，腰长为2的等腰三角形，故底面外接圆半径r=2，由主视图可得几何体的高为2，故球心到底面的距离d=1，故球半径R=，故该直三棱柱外接球的表面积为20π，故选：A11．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，将直线y=1﹣x联立，求得交点A，B的坐标，可得中点坐标，由直线的斜率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线方程为y=±x，把y=1﹣x代入y=±x，可得A（，），B（，），可得AB的中点M为（，）由过原点和线段AB中点的直线的斜率为，即有k OM===，故选：A．12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=，则方程f（x）=在[﹣3，5]上的所有实根之和为（）A．0 B．2 C．4 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由奇函数可将问题转化为求方程f（x）在（3，5]上的所有实根之和，从而解得．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，y=在其定义域上也是奇函数；∴方程f（x）在[﹣3，3]上的所有实根之和为0，故问题转化为求方程f（x）在（3，5]上的所有实根之和，当x∈（3，4]时，f（x）=•2x﹣3，故＜f（x）≤，而≤＜，故当x=4时，方程f（x）=成立；可判断当x＞4时，f（x）＜恒成立，故方程f（x）=无解，故方程f（x）在[﹣3，5]上的所有实根之和为4，故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知（x+a）2（x﹣1）3的展开式中，x4的系数为1，则a=2．【考点】二项式系数的性质．【分析】由（x +a ）2（x ﹣1）3=（x 2+2ax +a 2）（x 3﹣3x 2+3x ﹣1），求出它的展开式中x 4的系数即可． 【解答】解：（x +a ）2（x ﹣1）3=（x 2+2ax +a 2）（x 3﹣3x 2+3x ﹣1）， 所以它的展开式中，x 4的系数为： ﹣3+2a=1， 解得a=2． 故答案为：2．14．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1=﹣2，且3（a n +a n +2）=10a n +1，则公比q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知可得0＜q ＜1，再由3（a n +a n +2）=10a n +1，得到关于q 的一元二次方程，求解一元二次方程得答案．【解答】解：∵等比数列{a n }为递增数列，且a 1=﹣2＜0， ∴公比0＜q ＜1，又∵3（a n +a n +2）=10a n +1，两边同除a n ， 可得3（1+q 2）=10q ，即3q 2﹣10q +3=0，解得q=3或，而0＜q ＜1，∴．故答案为：．15．已知抛物线y 2=4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ， =2，则直线l 的斜率为 2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用=2，求出A 的坐标，利用斜率公式求出直线l 的斜率．【解答】解：设A 的横坐标为x ，则∵=2，BC=1，∴AB=2，∴A （2，2）， ∵F （1，0），∴直线l 的斜率为=2，故答案为：2．16．已知函数f（x）=lnx+，对任意x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，则实数b的取值范围是．【考点】函数单调性的性质．【分析】利用导数的几何意义即可得出．【解答】解：f′（x）=﹣=，∵对任意x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，∴，解得b＞，故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin（2A+B）=2sinA+2cos （A+B）sinA（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a=1，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理进行转化即可求的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a=1，根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程关系即可求c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（2A+B）=2sinA+2cos（A+B）sinA，∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2cos（A+B）sinA，∴sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=2sinA，∴sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，∴．（Ⅱ）∵a=1，∴b=2，，所以，，当时，∴，∴．当时，∴，∴．故或18．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．．【考点】独立性检验的应用；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题设知K2=≈2.932＞2.706，由此得到结果．（2）（i）记题设事件为A，利用组合数公式得P（A）=，由此能求出事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率．（ii）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3．由此能求出X 的分布列和期望．【解答】解：（1）K2=≈2.932＞2.706，由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．…（2）（ⅰ）记题设事件为A，则所求概率为P（A）==．…（ⅱ）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3．X的期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1．…19．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【分析】解法1（1）证明BD⊥EG，只需证明EG⊥平面BHD，证明DH⊥EG，BH⊥EG即可；（2）先证明∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，再在△GMH中，利用余弦定理，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值；解法2（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明，可得BD⊥EG；（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．【解答】解法1（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．…过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．…∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，…又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．…∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．…（2）解：∵AE⊥平面BCFE，AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD∵DE⊂平面AEFD，∴GH⊥DE…取DE的中点M，连接MH，MG∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE∵MH∩GH=H，MH⊂平面GHM，GH⊂平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，…在△GMH中，，∴…∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…解法2（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G （2，2，0）．…∴，，…∴，…∴BD⊥EG．…（2）解：由已知得是平面DEF的法向量．…设平面DEG的法向量为，∵，∴，即，令x=1，得．…设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，则…∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…20．已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1，F2，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2=．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直线AC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC⊥x轴，若AB⊥x轴，计算即可得到所求定值．【解答】解：（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．因为cos∠F1AF2=，所以|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，则4•=2a，即a2=2b2=2（a2﹣c2），即a2=2c2，即有e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=（x﹣b），代入椭圆方程得（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0，可得y0y2=﹣，又λ2===，同理λ1=，可得λ1+λ2=6；（2）若AC⊥x轴，则λ2=1，λ1==5，这时λ1+λ2=6；若AB⊥x轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6；综上所述，λ1+λ2是定值6．21．已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1++…+≥ln（e为自然对数的底数）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，分类讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求得函数的极值．（2）取a=1，由（1）知f（x）=lnx﹣≥0，即≥1﹣lnx=ln，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的结论．【解答】解：（1）由题意可得f′（x）=，∴当a＞0时，令f′（x）=0，求得x=a，由ax＞0，求得x＞0，函数的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值．当a＜0时，由ax＞0，求得x＜0，可得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），此时函数（﹣∞，a）上，f′（x）=＜0，f（x）是减函数；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值．（2）证明：取a=1，由（1）知f（x）=lnx﹣≥f（1）=0，∴≥1﹣lnx=ln，取x=1，2，3…，n，则1++…+≥ln+ln+ln+…+ln=ln，故要征得不等式1++…+≥ln成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲．]22．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B，C两点，弦CD ∥AP，AD，BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：∠EDF=∠P；（Ⅱ）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）运用相似三角形的判定，证得△DEF∽△CED，再由两直线平行的性质定理，即可得证；（Ⅱ）由对应角相等，证得△EDF∽△EPA，再由相交弦定理和相似三角形的性质，可得CE，BE，EP，再由圆的切割线定理，计算即可得到所求PA的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF=∠DEF，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C，又∵CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P．（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠EDF=∠P，又∠DEF=∠PEA，∴△EDF∽△EPA，∴=，∴EF•EP=EA•ED，又EA•ED=EC•EB，∴CE•EB=EF•EP．∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2，∴，∵CE：BE=3：2，∴BE==3，解得EP===．∴．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，∴，解得．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0，将直线l的参数方程代入x2﹣y2﹣6x﹣1=0，得t2﹣8tcosα+8=0，再利用根的判别式能求出α的取值范围．（2）曲线C的参数方程为，（θ为参数），由此利用三角函数性质能求出x+y的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0，∵直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，∴直线l的参数方程为，（t为参数），将，代入x2﹣y2﹣6x﹣1=0，整理，得t2﹣8tcosα+8=0，∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos2α﹣32≥0，即cosα≥，或cosα≤﹣，∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）．（2）曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣6x+1=0可化为（x﹣3）2+y2=8，其参数方程为，（θ为参数），∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2=3+4sin（），∴x+y的取值范围是[﹣1，7]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2018年10月29日。
最新-辽宁省葫芦岛高中2018学年高二下学期期中考试(数学理) 精品
葫芦岛高中2018-2018下学期期中考试高二数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，注意事项：1、在答题前，考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题纸上。
非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或者碳素笔在答题纸的指定区域书写，要求字迹工整、笔迹清楚。
2、正确填涂答题卡上的考生姓名、考号等信息，并把选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.有6个人分成两排就座,每排3人,则共有( )种不同的排法;A.72B.36C.720D.1202.下列结论正确的是( )A.若y=sinx,则y′=cosx;B.若y= cosx,则y′= sinx;C.若y=1x,则y′=1x2 D.若y=x,则y′=12x3.若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是( )A．-2 B. 22 C. 34 D. 24.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．20295.某校组织一次高二期中考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)=e800)100(2-x（x∈R）,则下列命题不正确的是（）A.该市这次考试的数学平均成绩为100分B.分数在110分以上的人数与分数在70分以下的人数相同C.分数在120分以上的人数与分数在80分以下的人数相同D.该校这次考试的数学标准差为206.观察数表:1 2 3 4 …2 3 4 5 …3 4 5 6 …4 5 6 7 …根据数表所反映的规律,第n行第n列交叉点上的数应该是( )A.2n-1B.2n+1C.n2-1D.n27.函数y=f(x)在定义域(-,3)内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式f'(x)≤0的解集为( )A. [-1, ]∪[,]B. (-,)∪[1,2)C. [-,1]∪[2,3)D.(-,-1]∪[,]∪[,3)8.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A ．52种B ．36种C ．20种D ．10种9.据气象部门统计,甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为0.25和0.3,两地同时下雨的比例占0.18,则甲地为雨天时乙地也为雨天的概率为( )A.0.28B.0.72C.0.225D.0.6010.如图1是某市一高中的校标（字母YG 的组合）,图2 是它的轮廓图,现要在如图所示的5个区域内涂色,共有 5种颜色可供选择,要求相邻区域(有公共边线)不能涂同 色,则不同的涂色方法共有( )种(用数字作答)A.120B.840C.1260D.1280 11.由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )A. 12B. 13C. 14D. 2312.若点P 是曲线y=x2-lnx 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离是(A. 2B.1C. 22 D. 3第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.设复数z=+(1-i)2,则(1+z)7的展开式(按z 的升幂排列)的第6项是14. 若y 与x 之间是线性相关关系,若实际销售额不低于118.5万元,则 广告费支出最少是____万元;15.将红、白、黑三粒跳棋棋子放入下图中5×4的方格内,每格内只放一粒,且这3个棋子每两个即不同行也不同列,则不同的放法有__________种;16.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
最新17—18学年下学期高二期中考试数学试题(附答案)
2017学年第二学期高二期中考试数 学考生须知：1. 全卷分试卷和答卷. 试卷2页，答卷 2页，共 4页. 考试时间120分钟，满分150分.2. 本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效；选择题用答题卡的，把答案用2B 铅笔填涂在答题卡上.3. 请用钢笔或圆珠笔将班级、序号、姓名、座位号分别填写在答卷的相应位置上. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设()log (0a f x x a =>且1a ≠），若()12 2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ▲ ) A ．2 B ．2- C ．12-D ．122．已知()3sin 5πα+=，α为第三象限角，则tan α=( ▲ ) A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 3．已知平面向量()1,2a = ，()//a b b +，则b 可以是( ▲ )A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1D ．()1,24．下列求导运算正确的是( ▲ ) A ．3211)1(xx x -='+B ．(2)2ln 2x x '=C ．2(sin )2cos x x x x '=D ．1(ln 2)2x x'=5．已知集合{}2|430A x x x =++≤，{}2|0B x x ax =-≤.若B A ⊆，则实数a 的取值范围是( ▲ )A ．33≤≤-aB ．0≥aC ．3-≤aD ．3-<a6．在R 上的可导函数)(x f 的图象如图所示，则关于x 的不等式0)(<'x f x 的解集是( ▲ )A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-C ．)2,1()1,2( --D ．),2()2,(+∞--∞7．若函数21()f x x ax x =++在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是( ▲ ) A ．[]1,0- B ．[)1,-+∞ C ．[]1,3-D ．[)3,+∞8．已知三棱台111ABC A B C -的底面是锐角三角形，则存在过点A 的平面( ▲ )A ．与直线BC 和直线11AB 都平行 B ．与直线BC 和直线11A B 都垂直C ．与直线BC 平行且与直线11A B 垂直D ．与直线BC 和直线11A B 所成的角相等9．设F 是双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若3AF BF =，则C 的离心率是( ▲ )A B CD ．210.设函数()()22()2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在()00,x ∈+∞，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值是 ( ▲ ) A ．12 B ．1 C ．15 D ．25二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，共36分.）11.设集合{}{}|1,|2,S x x T x x =<=≤则S T = ▲ ；R T C S = ▲ .（R 表示实数集）12. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≤时，()23f x x x a =++，则a = ▲ ；当[]13x ∈，时，()f x 的取值范围是 ▲ .13. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30A =︒，3a =，2c =，则si n C = ▲ ，b = ▲ .14.已知直线20x y +-=与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，P 是抛物线的弧AOB 上的动点，当ABP ∆的面积最大时，点P 的坐标是 ▲ ，此时ABP ∆的面积是 ▲ .15.已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()3f f x =的零点的个数是 ▲ .16. 已知a 、b 是平面内的两个单位向量，若()c a b a b -+≤- ，则c的最大值是▲ .17. 已知函数xxx a x f +-+=11ln 2)(，其中0>a .若()f x 有极值，则它的所有极值之和为 ▲ .三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=+-()0ω>的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.19.已知函数1)(23+++=bx ax x x f 在1-=x 处有极值2. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当[]t x ,1-∈时，设)(x f 的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面DABCD .12PA PB AB BC AD ====，G 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：//CG 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CA 与平面PAD 所成角的正弦值.21.已知椭圆22:13x C y +=，点P 是直线3x =上的动点，过点P 作椭圆的切线PA ，切点为A ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若切线PA 的斜率为1，求点A 的坐标；（Ⅱ）求AOP ∆的面积的最小值，并求出此时PA 的斜率.22.已知函数()2xf x e x =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x >时，不等式()()1x k x f x '+>-恒成立，求整数k 的最大值.2017学年第二学期高二期中考试数学答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，共36分）11.(],2-∞；[]1,2 12. 0；90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦13.1314.()1,2-；15. 416. 17. 0三、解答题(本大题共5题：其中第18题14分，第19、20、21、22题各15分，共74分)18.已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=+-()0ω>的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 解：（Ⅰ）∵1()2cos 222f x x x ωω=- …………………………2分 ()sin 26f x x πω⎛⎫∴=-⎪⎝⎭………………………………………2分,1T πω=∴= ……………………………………………………2分()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 3222262k x k πππππ∴+≤-≤+ ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦………………2分（Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦………………………………2分 ∴()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………………………………………………4分 19.已知函数1)(23+++=bx ax x x f 在1-=x 处有极值2. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当[]t x ,1-∈时，设)(x f 的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式.解: （Ⅰ）()b ax x x f ++='232 ……………………………………………………2分()()⎩⎨⎧=-=-'2101f f⎩⎨⎧=+-+-=+-∴211023b a b a ,⎩⎨⎧-==∴11b a …………………………………………3分此时()()()1131232+-=-+='x x x x x f ，所以1-=x 是极大值点1)(23+-+=∴x x x x f ……………………………………………………2分 （Ⅱ）)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31上递增…………………………2分 若311<<-t ，则()1)()(23min +-+===t t t t f x f t g ……………………2分 若31≥t ，则272231)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t g ……………………………………………2分 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-+-+=31,2722311,1)(23t t t t t t g ………………………………………………2分20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD .12PA PB AB BC AD ====，G 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：//CG 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CA 与平面PAD 所成角的正弦值. 解：（Ⅰ）取AD 的中点M ，则//GM PA ，所以//GM 平面PAB …………2分//CM AB ，//CM ∴平面PAB …………2分所以平面//CGM 平面PAB ……………1分CG ⊂ 平面CGM//CG ∴平面PAB . …………………………2分（Ⅱ）BC AB ⊥ ,侧面PAB ⊥底面ABCD BC ∴⊥平面PAB …………………………2分 B C P B ∴⊥ 设112PA PB AB BC AD =====，则PC CD ==CG PD ∴⊥ ……………………………………………………1分 BC ⊥ 平面PAB ，BC ∴⊥平面CGM BC CG ∴⊥，CG AD ∴⊥ CG ∴⊥平面PADCAG ∴∠即为所求角…………………………3分PDCG ∴=CA =sin CAG ∴∠=∴直线CA 与平面PAD…………………………2分 21.已知椭圆22:13x C y +=，点P 是直线3x =上的动点，过点P 作椭圆的切线PA ，切点为A ，O 为坐标原点. （Ⅰ）若切线PA 的斜率为1，求点A 的坐标；D（Ⅱ）求AOP ∆的面积的最小值，并求出此时PA 的斜率.解：（Ⅰ）设切线PA ：y x m =+2233y x m x y =+⎧⎨+=⎩得到2246330x mx m ++-=………2分 0∆=，得到24m =，所以2m =±……………2分 所以31,22A ⎛⎫-⎪⎝⎭或31,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭…………………2分 （Ⅱ）设切线PA ：y kx m =+2233y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得到222(13)6330k x kmx m +++-=…………………………2分0∆=，得到2213m k =+………………………………………1分23313A km kx k m--∴==+……………………………………………1分132AOP A S m x ∆∴=-133322k m m k m =⋅+=+…………………………2分 令m k t +=，则m t k =-，代入2213m k =+，得到222210k tk t ++-=0∆≥，得到223t ≥，所以t ≥ 所以()min 2AOP S ∆=2分此时6k =±.……………………………………………………1分 另解：设()00,A x y ，则00:13PA x xl y y +=……………………1分 所以0013,x P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………………………………2分 0000001311322AOP x x S x y y y ∆--∴=⋅-=…………………………2分设直线3x =与y 轴的交点为M ，则112AOP AMS k ∆∴=，当AM 与椭圆相切时，AM k 最大，即AOP ∆的面积最小所以()3,0P ，此时1,A ⎛ ⎝⎭，所以6k =± …………2分∴()min AOP S ∆=2分 22.已知函数()2x f x e x =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x >时，不等式()()1x k x f x '+>-恒成立，求整数k 的最大值. 解：（Ⅰ）()1xf x e '=-………………………………………………2分令()0f x '>，则0x >所以，()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增. ……………2分（Ⅱ）()()11xx k x e +>--令()()()11xg x x k e x =--++，则()min 0g x >…………………………………2分()()1xg x x k e'=-+………………………………………………1分 ①若1k ≤，则()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上递增，所以()()01g x g >=1k ∴≤成立………………………………………………………2分 ②若1k >，则()g x 在区间()0,1k -上递减，在()1,k -+∞上递增所以()()1min 110k g x g k e k -=-=-++>………………………………………2分即110k ek ---<()2x f x e x =-- 在区间()0,+∞上单调递增令1()1k h k ek -=--，则()h k 在()1,+∞上单调递增…………………………2分2(2)30,(3)40h e h e =-<=->，所以函数()h k 的零点()2,3∈∴整数k 的最大值是2………………………………………………2分。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
辽宁省葫芦岛一中2017-2018学年高二下学期3月期初考试数学(文)试卷
2017-2018学年度上学期高二期初考试数学试题（文）第I 卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}022>-=x x x A ，{}3,2,1,1-=B ，则B A ＝( )A. {}1,1-B. {}2,1C. {}3,1D. {}3,1- 2．与30- 终边相同的角是 ( )A. 330-B. 30C. 150D. 3303．下列函数中，满足定义域为R 且为增函数的是（ ） A. x y e -= B. ln y x = C. 3y x = D. y x = 4．函数()()lg 1f x x =+的定义域为( ) A. (]1,2- B. [)1,3- C. [)2,+∞ D. (),1-∞- 5．已知命题:p “,e 20x x x ∃∈--≤R ”,则p ⌝为 A. ,e 20x x x ∃∈--≥R B. ,e 20x x x ∃∈-->RC. ,e 20x x x ∀∈-->RD. ,e 20x x x ∀∈--≥R6．如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于( ) A. 100π B.1003π C. 25π D. 253π7.有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是 A. 37 B. 27 C. 17 D. 128.若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a = A. 3 B. 0 C. 3- D. 03-或9.设向量,满足)2,1(=5=，5=⋅且θ>=<,，则=θcos ( )A.5B. 5C. 5D. 5 10.已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥-4211y x y x y x ，则3z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. 6C. 8D. 1111.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为( ) A. 76 B. 96 C. 146 D. 18812．如图是一个算法的流程图，则输出K 的值是( ) A. 6 B. 7 C. 16 D. 19 二．填空题（共四题，每题5分）13．函数42-=x y 的零点是_________. 14．函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________．15．函数()f x 在R 上为奇函数,且()1,0f x x =>,则()4f -=_______160y -=为双曲线()22210y x b b-=>的一条渐近线，则b 的值为_________．三．解答题（共六题，其中17题10分，其余各题12分）17．已知△ABC 中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ， b = 4B π=，cos 5C =． （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．18．已知{}n a 为等差数列，且36a =-， 60a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-， 2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知AC BC ⊥， 1BC CC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）//DE 平面C C AA 11； （2）11AB BC ⊥.20．某P2P 平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间[20,50]岁之间，对区间[20,50]岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(Ⅰ)求a 的值并画出频率分布直方图； (Ⅱ)在统计表的第五与第六组的5人中，随机选取2人，求这2人的年龄都小于45岁的概率．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过()()()3,3,0,1P Q R +-三点． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值．22．已知短轴长为2的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，直线n 的横、纵截距分别为,1a -，且原点到直线n 的距离为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与椭圆E 交于,A B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足02=-+OC OA ，求直线l 的方程高二文科数学参考答案1.D2.D3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A 10.D 11.B 12.D 13．2 14．23π15．-3 1617. （Ⅰ）在ABC ∆中， 0C π<<，且cos 5C =，所以sin 5C =--------2分． 因为sin sin c b C B =，且b = 4B π=， ------------4分所以sin sin b Cc B===所以c = -------------------6分 （Ⅱ）因为2222cos b a c ac B =+-， 所以24120a a --=，所以6a =或2a =-（舍）． ------------------8分 所以1sin 62ABC S ac B ∆==．------------10分18．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 因为366,0a a =-= 所以1126{50a d a d +=-+=解得110,2a d =-=所以()1012212n a n n =-+-⋅=--------------------6分 （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-所以824q -=-即q =3 ----------------------------10分所以{}n b 的前n 项和公式为()()114131nnn b q S q-==-- --------------12分19.⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，且1BC CC =∴矩形11BB C C 是正方形，E ∴为1B C 的中点，又D 为1AB 的中点， //DE AC ∴，又DE ⊄ 平面11AACC ， AC ⊂平面11AACC ，//DE ∴平面11AACC ---------------------------------------6分⑵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC , AC ⊂平面ABC ,1AC CC ∴⊥又AC BC ⊥ ， 1CC ⊂平面11BCC B ， BC ⊂平面11BCC B ， 1BC CC C ⋂=，AC ∴⊥平面11BCC B ， -------------------------8分1BC ⊂ 平面11BCC B ， 1AC B C ∴⊥矩形11BCC B 是正方形， 11BC BC ∴⊥，1,AC B C ⊂ 平面1B AC ， 1C C C A ⋂B =， 1BC ∴⊥平面1B AC又1AB ⊂ 平面1B AC ， 11BC AB ∴⊥. -------------------12分20.(Ⅰ)a ＝20－2－5－4－3－2＝4， 直方图中小矩形的高度依次为2205⨯＝0.02， 4205⨯＝0.04， 5205⨯＝0.05， 4205⨯＝0.04， 3205⨯＝0.03， 2205⨯＝0.02，-----------------4分 频率直方图如图-----------------------8分(Ⅱ)记第五组中的3人为A ，B ，C ，第六组中的2人为a ，b ，则从中选取2人的取法有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10种， 其中2人都小于45岁的有3种，所以所求概率为P ＝310.----------12分 21.⑴因为圆C 的圆心在线段PQ 的直平分线上，所以可设圆C 的圆心为()3,t ， ------------------------2分则有解得 1.t = 则圆C的半径为所以圆C的方程为------------6分⑵设()()1122,,,Ax y B x y，其坐标满足方程组：消去y，得到方程由根与系数的关系可得， 21212214,.2a a x x a x x -++=-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①----------8分 由OA OB ⊥于可得, 12120.x x y y +=又所以()2121220.x x ax x a +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①，②得，满足故-----------------------12分22. （1）因为椭圆E 的短轴长为2，故1b =.依题意设直线n 的方程为：1xy a-==解得a = 故椭圆的方程为2213x y +=.----------------------4分（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 当直线l 的斜率为0时，显示不符合题意. 当直线l 的斜率不为0时，)2F，设其方程为x ty =，由221{ 3x y x ty +==，得()22310t y ++-=，所以1212213y y y y t +==-+①.-------------6分因为20OA OC -=，所以31231211,2222x x x y y y =+=+.又点C 在椭圆E上，∴22223312121113322x y x x y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222121212121311434323x x y y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎫=+++++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又∵222212121,133x x y y +=+=，∴1212103x x y y +=②， ---------------8分将1122x ty x ty ==21t =，即1t =或1t =-. 故直线l的方程为0x y +=或0x y -=.----------------12分。
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2017-2018学年度第下学期期中考试高二年级数学(理科）试题满分150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ( )A ． 2B ．23C ．－23D ．22.已知函数f （x ）在x 0处的导数为1，则000(2x)()lim x f x f x x∆→+∆-∆等于 （ ）A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣13.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是 （ ） A ．假设三内角都不大于60度 B ．假设三内角都大于60度 C ．假设三内角至多有一个大于60度 D ．假设三内角至多有两个大于60度4.已知复数z ＝3＋4i 1－2i，z －是z 的共轭复数，则|z －|为 ( )A.553B.2215C. 5 D ．55.从6名学生中选4人分别从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事A 工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．280B ．240C ．180D ．966.由直线x=﹣2，x=2，y=0及曲线y=x 2﹣x 所围成的平面图形的面积为 （ ） A ．B ．C ．D ．7.假设n=k 时成立,当n=k+1时,证明*1111()23212n nn N ++++>∈- ,左端增加的项数是 A ．1项B ．k ﹣1项C ．k 项D ．2k项8.已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝ ( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－2439.某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )A ．144B ．72C ．36D ．4810.设(3n x 的展开式的各项系数绝对值之和为M ，二项式系数之和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的有理项的项数为 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．411. 对于任意的实数x ∈[1,e],总存在三个不同的实数y ∈[-1,4],使得y 2xe 1-y-ax-lnx=0成立,则实数a 的取值范围是A.[16e 3,3e )B.(0, 16e 3]C.[16e 3,e 2-3e )D. [16e 3,e 2-1e)12.函数f （x ）在实数集R 上连续可导，且2f （x ）﹣f ′（x ）＞0在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ） A ．2(2)(1)f f e>B ．2(2)(1)f f e <C ．f （﹣2）＞e 3f （1）D ．f （﹣2）＜e 3f （1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在答题纸上.13.有下列四个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若x ，y ∈R ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④若实数a 与复数a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的序号是______.14. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有 条线段.15. 小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 __ ． 16. 设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式6(的展开式的常数项是_______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分）设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z1＋z ，那么u 是不是纯虚数？并说明理由．18.(本小题满分12分）已知函数f （x ）=x 3+bx 2+ax+d 的图象过点P （0，2），且在点M （﹣1，f （﹣1））处的切线程为6x ﹣y+7=0．（1）求函数y=f （x ）的解析式； （2）求函数y=f （x ）的单调区间．19.(本小题满分12分）已知(x －2x2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含32x 的项．20.(本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1＜x 2，有f (x 1)＋2x 1＜f (x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．21.(本小题满分12分）已知函数f(x)=ax-ax -4l nx 的两个极值点x 1,x 2满足x 1<x 2,且1<x 2<e,其中e 是自然对数的底数;(1)当a=1时,求x 12+x 22的值; (2)求f(x 2)-f(x 1)的取值范围;22.(本小题满分12分)已知函数f 1(x )＝12x 2，f 2(x )＝a ln x (其中a >0)．(1)求函数f (x )＝f 1(x )·f 2(x )的极值；(2)若函数g (x )＝f 1(x )－f 2(x )＋(a －1)x 在区间(1e ，e)内有两个零点，求正实数a 的取值范围；(3)求证：当x >0时，ln x ＋34x 2－1ex >0.(说明：e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…)17-18学年度第二学期期中考试高二年级数学学科试题参考答案命题人：刘敬东 校对人：王尚学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.D 8.B 9.C 10.C 11.A 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.③. 14.3×2n－3(n ∈N *) 15.84 ．16.－160. 三、解答题：本大题共6小题，共70分17.(本小题满分10分）设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z1＋z ，那么u 是不是纯虚数？并说明理由．[解析]：(1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1，ω＝2a .∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 5分 (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i ，∵－12<a <1，b ≠0，∴u 是纯虚数．10分 18.(本小题满分12分）[解析]：（Ⅰ）∵f （x ）的图象经过P （0，2），∴d=2， ∴f （x ）=x 3+bx 2+ax+2，f'（x ）=3x 2+2bx+a ． 2分 ∵点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0 ∴f'（x ）|x=﹣1=3x 2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①， 3分还可以得到，f （﹣1）=y=1，即点M （﹣1，1）满足f （x ）方程，得到﹣1+b ﹣a+2=1② 4分 由①、②联立得b=a=﹣3 故所求的解析式是f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2． 6分（Ⅱ）f'（x ）=3x 2﹣6x ﹣3．令3x 2﹣6x ﹣3=0，即x 2﹣2x ﹣1=0.解得x 1=1- 2 ,x 2=1+ 2. 8分当x<1-2,或x>1+2时，f'（x ）>0；当1-2<x<1+2时，f'（x ）<0. 10分 故f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣2），（1+2,+∞）；单调减区间为（1﹣2,1+2）12分19.(本小题满分12分）[答案] (1)1 (2)－16x 32[解析]：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．4分 (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. 6分(2)通项公式T r ＋1＝C r 8(x )8－r (－2x 2)r ＝C r 8(－2)rx 8－r2 －2r .令8－r 2－2r ＝32，得r ＝1，故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32 . 12分20.(本小题满分12分）[解析]：(1)a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f (1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －3＋1x， 2分∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝0； 4分 所以在点(1，f (1))处的切线方程为 y ＝－2； 6分(2)令g (x )＝f (x )＋2x ＝ax 2－ax ＋ln x ，(x ＞0)；由题意知g (x )在(0，＋∞)单调递增，所以g ′(x )＝2ax －a ＋1x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2ax 2－ax ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立；令h (x )＝2ax 2－ax ＋1，(x ＞0)； 8分则①若a ＝0，h (x )＝1≥0恒成立； 9分②若a ＜0，二次函数h (x )≥0不恒成立，舍去；10分③若a ＞0，二次函数h (x )≥0恒成立，只需满足最小值h (14)≥0，即a 8－a4＋1≥0，解得0＜a ≤8；综上，a 的取值范围是[0,8]． 12分 21.(本小题满分12分）22.(本小题满分12分)[解析]：(1)∵f (x )＝f 1(x )·f 2(x )＝12ax 2·ln x ，∴f ′(x )＝ax ln x ＋12ax ＝12ax (2ln x ＋1)(x >0，a >0)，由f ′(x )>0，得x >e －12，由f ′(x )<0，得0<x <e －12， 2分故函数f (x )在(0，e －12)上单调递减，在(e －12，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的极小值为f (e －12)＝－a4e ，无极大值．4分(2)函数g (x )＝12x 2－a ln x ＋(a －1)x ，则g ′(x )＝x －a x ＋(a －1)＝x 2＋(a －1)x －a x ＝(x ＋a )(x －1)x，令g ′(x )＝0，∵a >0，解得x ＝1，或x ＝－a (舍去)， 当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增．6分 函数g (x )在区间(1e，e)内有两个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (1e)>0，g (1)<0，g (e)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12e 2＋a －1e＋a >0，12＋a －1<0，e 22＋(a －1)e －a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2e －12e 2＋2e，a <12，a >2e －e 22e －2，故实数a 的取值范围是(2e －12e 2＋2e ，12)． 8分(3)问题等价于x 2ln x >x 2e x －34.由(1)知f (x )＝x 2ln x 的最小值为－12e .设h (x )＝x 2e x －34，h ′(x )＝－x (x －2)ex，易知h (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． 10分∴h (x )max ＝h (2)＝4e 2－34，∵－12e －(4e 2－34)＝34－12e －4e 2＝3e 2－2e －164e 2＝(3e －8)(e ＋2)4e 2>0， ∴f (x )min >h (x )max ，∴x 2ln x >x 2e x －34，故当x >0时，ln x ＋34x 2－1ex >0. 12分。