春季-固体物理-第四章习题解答参考解析PPT教学课件
固体物理习题解答 ppt课件
n 4r3
x 3 V
(1) 简单立方
a 任意一个原子球有6个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则有 a 2r,V a3
晶胞内包含一个原子，所以有： (2) 体心立方
x
4 (a)3
32
a3
6
任意一个原子球有8个最近邻，若原子
Vc
ac 3 2
单位体积内原子数（即密度）为
1 Vc
六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为
Vs a
3 2
a
3
c
/
6
3 a2c 4
1
3
a2 8
2
a
4 3
2 a3 2
因为密度不变，所以
1 Vc
1 Vs
即：
ac3 / 2
2 a3 2
1
a ac / 2 6 0.377nm
r h3b3
)
(
r a1 h1
r a3 h3
)
r h1b1
r ga1 h1
h3
r b3
r ga3 h3
0
同理可证
v uuur Kh1h2h3 CB 0
v 所以晶面族（h1h2h3）与和倒格矢 Kh1h2h3 正交
v K h1h2 h3
2.6 试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系 2.8 试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第 二布里渊区。
第一章 习题
1.1 何谓布喇菲格子？试画出NaCl晶体的结点所构成的布喇 菲格子。
答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（Bravais格子） 氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的 布氏格子套构而成的复式格子。
固体物理习题解答
的离子实势场中运动。通过绝势近似将电子系统和原子核 (离子实)系统分开考虑。 平均场近似视固体中每个电子所处的势场都相同，使每个电子 所受势场只与该电子位置有关，而与其它电子位置无关。 通过平均场近似使所有电子都满足同样的薛定鄂方程。 通过绝热近似和平均场近似，将一个多粒子体系问题简化为单 电子问题。绝热近似和平均场近似也称为单电子近似。 周期势场假定则认为电子所受势场具有晶格平移周期性。 通过以上近似和假定，最终将一个多粒子体系问题变成在晶格 周期势场中的单电子的薛定鄂方程定态问题。
复式格子？
3
第一章 思考题
3、引入倒格子有什么实际意义？对于一定的布拉菲格子，基 矢选择不唯一，它所对应的倒基矢也不唯一，因而有人说 一个布拉菲格子可以对应于几个倒格子，对吗？复式格子 的倒格子也是复式格子吗？
答：
引入倒格子概念，对分析和表述有关晶格周期性的各种问题 非常有效，如：晶体X射线衍射，晶体周期函数的傅里 叶变换。
方 (110)晶面的格点面密度最大。根据
dhkl
h2
a k2 l2
，有面心立 d11方 1 a3，体心立d1方 10
a 2
因此，最大格点面密度表达式，
dh1h2h32 /G h1h2h3
面心立 11方 1a43 a343a23，体心立 11方 0a23a2a2 2
13
第一章 习题
1.7 证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子。
7
第一章 习题
1.1 何谓布拉菲格子？画出NaCl晶格所构成的布拉菲格子，说 明基元代表点构成的格子是面心立方晶体，每个原胞中含 几个格点？
解： 由基元代表点-格点-形成的晶格称为布拉菲格子或布拉菲点
固体物理课件
e 2 晶体中有3N个振动模 晶体中有 个振动模 C = k ( ∑ B k T ) (eℏω j / kBT − 1)2 V 1） 爱因斯坦模型 ） j =1 B 假设N个原子构成的晶体 个原子构成的晶体， 假设 个原子构成的晶体，
所有的原子以相同的频率 ω0振动 2） 德拜模型 ） 以连续介质的弹性波来代表格 波，将晶格看作是各向同性的 连续介质
V (r + R) = V (r )
布洛赫定理
具有晶格周期性时， 布洛赫定理 —— 势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，电子的波 函数满足薛定谔方程 ℏ2 2 [− ∇ + V ( r )]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 2m —— 方程的解具有以下性质
ψ ( r + Rn ) = e ik ⋅R ψ ( r )
ω = 2
−
− i (ωt − naq )
2
β
m
ω
aq sin m 2
−π a
β
π π < q ≤ a a
q=
µn = µn+ N 2π
Na
× h —— h为整数 为整数
π a o 晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数 晶体的原胞数
能量本征值 ε n = ( n q + 1 ) ℏ ω q
q
晶格振动的能量量子； 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 系统能量本征值
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波
模型 运动方程 试探解
m µ n = − β (µ n − µ n−1 ) − β (µ n − µ n+1 )
..
一维晶格振动 一维无限长原子链， ， ， 一维无限长原子链，m，a，β
黄昆固体物理习题第四章能带理论
在只考虑S态电子的情下，由一维简单晶格的布洛赫 波为：
n k ,r
1 N
e ik kn at s
r kn
n
M点的布洛赫波为:
m k , r
1 N
e ik km at s
如图所示，第一布里渊区仍然为一个立方体，立方体 中心为O点。
面中心点A的波矢为：
角顶B点的波矢为：BBiblioteka 因为自由电子能量为：A
A点能量为： B点能量为：
所以
(3)第二问的结果对于二价金属的电导率可能会产生 什么影响？
如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如 图所示，根据自由电子理论，自由电子的能量为
N2(E)
2V
(2 )2
(
2m2
2
3
)2
E2(k) E2(k0)
半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带，由于 能带交叠，能带 1 中的电子填充到能带 2 中，满足
4.9题解答完毕
4.10 题略 解：
设
则
所以 设铜的晶格常数为a,则对于面心立方晶体中
面心立方的倒格子为体心立方 面心立方结构的倒格基矢构成的体心立方的边长为
4.11题解答完毕
4.12 设有二维正方晶格，晶体势场
用近自由电子近似的微扰论 近似求出在布里渊顶角(/a, /a)处的能隙 解：晶体布里渊顶角(/a, /a)处的能隙 近自由电子近似中，势能函数的第n个傅里叶系数
晶体势场：
布里渊顶角 代入
布里渊顶角
处的能隙
4.12题解答完毕
4.7 有一一维单原子链，原子间距a，总长度为L＝Na
固体物理学：第四章 第二节 平面波法
V(K4 K2)
V (K4 K3)
实际计算只能取有限阶的行列式。比如取100个平面波叠加 ，得到100x100的行列式，得到100个线性方程组，可以求出 100个能量本征值:
n为能带序号。
平面波方法优点是简单，有较好的解析形式。而且 通过不断增加平面波数，总能得到收敛解。
其缺点是收敛较慢，特别是对于靠近原子核的芯电 子，为了展开这些震荡厉害的芯电子，需要非常多的 平面波，在对角化时候速度非常慢，甚至变得不现实。
上面波函数还可以写成上面波函数还可以写成写成狄拉克符号形式写成狄拉克符号形式其中其中kk平面波平面波所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一个倒格矢的平面波的叠加
第四章 能带论
§4.2 平面波法
根据布洛赫定理，周期势场中的单电子波函数是一个 调幅平面波：
对调幅因子按倒格矢做傅里叶展开：
通常我们是通过设定一个最大的Kmax来确定 平面波的数目，相当于给定一个电子的最大 动能。由此我们可以定义一个平面波的截断 能量(cut-off energy):
我们以Ca的3s电子的波函数为例：
在原子核0.1埃范围内，波函数的变化非常剧烈，要用平面波来 展开这个波函数，必须要用周期小一个量级的波，即波长为 0.01埃。所以Kmax=2π/0.01埃=6.3x1012 m-1, 假设晶格常数为3埃， 那么第一布里渊区为9.2x1030m-3，在以Kmax为半径的球内，大概 有108个倒格矢，也就是要108个平面波！
上式中哈密顿量 =
周期势也可以在倒空间展开：
其中展开系数为
为平均势，通常取作0，而 为相对于平均势的起伏
用| k+K h’>齐次方程
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考04第四章 晶体结构中的缺陷
第四章 晶格结构中的缺陷4.1 试证明，由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为sB k T s n Ne μ−=其中s μ是形成一个空位所需要的能量。
证明：设由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为s n ，则其微观状态数为!()!s !s s N P N n n =− 由于s μ个空位的出现，熵的改变[]!ln lnln ()ln()ln ()!!B s B B s s s s s s N S k P k k N N N n N n n n N n n Δ===−−−−− 晶体的自由能变化为 []ln ()ln()ln s s s s B s s s F n T S n k T N N N n N n n n μμ=−Δ=−−−−−s要使晶体的自由能最小B ()ln 0s s s sT n F u k T n N ⎡⎤⎛⎞∂Δ=+=⎜⎟⎢⎥∂−⎣⎦⎝⎠n 整理得s B k T s s n e N n μ−=− 在实际晶体中，由于,s n N <<s s s n n N N n ≈−，得到 sB k T s n Ne μ−=4.2 铜中形成一个肖托基缺陷的能量为1.2eV ，若形成一个间隙原子的能量为4eV ，试分别计算1300K 时肖托基缺陷和间隙原子数目，并对二者进行比较。
已知，铜的熔点是1360K 。
解：（王矜奉4.2.4）根据《固体物理学》4-8式和4-10式，肖托基缺陷和间隙原子数目分别为 s B k T s n Neμ−= 11B k T n Ne μ−= 得19231.21.61051.38101300 2.2510sB k T s n Ne NeN μ−−××−−−××===× 191231.2410161.381013001 3.2110B k T n Ne Ne N μ−−××−−−××===×4.3 设一个钠晶体中空位附近的一个钠原子迁移时，必须越过0.5eV 的势垒，原子振动频率为1012Hz 。
固体物理习题答案PPT课件
5 解： A2 b c,B 2 c a,C 2 a b
V c
V c
V c
V A (B C ) (2)3( b c )[ c ( a ) ( a b )] V c
A (B C )(A C )B (A B )C
6解：当 KCl 取 ZnS 结构时，晶体总相互作用
能为 utotN(zeRR q2)
已知：N=6.023*1023/mol, ρ=0.326埃，αZnS=1.6381,（见P103) 为NaCl结构时，Zλ=2.05*10-8erg, Z=6 当为ZnS 结构时，Z=4, Zλ=（4/6）*2.05*10-8erg
设ZnS 结构时，其晶格常数与NaCl结构相同， （为原子最近邻距离）
即 a=6.294埃（见P20，图20配位数为6，参见表10，表11， a=2*1.33+1.81=6.2埃），31/2a/4=2.72埃（为原子最近邻距
离）
u to 6 . 0 t 1 2 2 [ 3 0 6 4 2 2 . 0 1 5 8 e 0 0 2 . 3 . 7 2 2 1 . 6 6 2 . ( 3 7 4 . 8 1 8 2 1 8 0 1 0 e 1 5 0 0 ) 3 ] s 1 u . 8 K 5/ m 3 C
第二章 习题答案
3解:
（c)衍射先只出现在同时满足以下二个方程的方
向上：（1）acosθ1=nλ,(2) bcosθ2=mλ
(
a,b
为二个方向矢量）
所以在二个锥面的交线上出现衍射极大。当底板
//原子面时，衍射花样为二个锥面的交线与底板
的交点。
（d）反射式低能电子衍射(LEED)中，只有表面 层原子参与衍射，故为二维衍射，衍射点的周期 大小与晶体表面原子排列方向上周期大小成反比。
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章
4.1，根据 k黄昆 固体物理 习题解答第四章 能带理论= ± π 状态简并微扰结果，求出与 E − 及 E +相应的波函数ψ − 及ψ+?，并说明它 a们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2说明能隙的来源(假设V n =V n *)。
＜解＞令 k= + π ， k ′ = − π ，简并微扰波函数为ψ=A ψk( ) + B ψk( )a*a⎡E k ( ) − E A V B n= 0( )V A n+ ⎡E k − E B =取 E E +带入上式，其中 E += E k0( )+ V nV(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是A ⎡ n π− n π ⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =ixe a − e i x a =2A sin n x+⎣k⎢ L ⎣⎥ ⎦L a 取 E E − ， E −=E k0( )− V nV A n= −V B n,得到A BA ⎡ i nπx−i n πx⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =e a − ea=2A cos n x−⎣ k⎦⎢ ⎣L a由教材可知，Ψ+及 Ψ − ν ( ) 为零．产生驻波因为电子波矢n kπ=时，电子波的波长aλ =2π=2a ，恰好满足布拉格发射条件，这kn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。
4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π= 的 0 级波函数。
2a11r2π1π 2π1i2π1xi mx i x i mx(m+ )ψ* ＜解＞( ) = ikx=eikx ae e= e2a⋅ea= e a 4k L⋅π=L*Lπ1 i2xL第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a2ab b′则b′ →,k2π⋅= −L2π, m= −1,i2πx i π∴ψ *( )= 13πi xe第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a2π2π 1 π2π 1 5π第三能带：c′ →, ⋅=aa即m =,*1,ψk( ) = Li x i xe2a⋅ea= L i xe2a解答（初稿）作者季正华- 1 -4.3 电子在周期场中的势能．黄昆 固体物理 习题解答1 2 2 2 2 m ω ⎡b − −( x na ⎤) ,当na b x na b + V x ( ) =0 ，当(n-1)a+b ≤ ≤x na b −其中 d ＝4b ， ω 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见， V x ( ) 是个以 a 为周期的周期函数，所以V x ( )= 1∫ V x L( )=1∫a( )=1a b( )L a ba ∫−b题设 a = 4b ，故积分上限应为 a b − = 3b ，但由于在 [b b ,3 ] 区间内[− , ] 区间内积分．这时， n = 0 ，于是V x ( ) 0=，故只需在= 1∫b= m ω2∫b22=m ω2 ⎡ 2b− 1x 3b ⎤ = 1m ωb 2V( )b − x dx )( b x ⎢ −b −b⎥ 。
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电阻率 半导体
价带
0
T1
T2
温度 14
4.5
E (k)m 2 2 8 7 a co k)s a8 1 (co 2 ks ) a (
（1） 由极值条件找到极值点，
d d E k m 2 2 a a sikn ) a a 4 ( si2 k n ) a (0
a
a
ico3saxk(x)
eika1
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
在第一布里渊区内，ka，,a得到， k
a
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2
（3） k(x)f(xla) l
k(xa) f(xala )f(x(l1)a)
l
l
令 l'l，得1到，
k(xa)f(xl'a)f(xl'a)k(x)
ห้องสมุดไป่ตู้
一组 (k1,k2代,k表3一) 个电子状态点，波矢点均匀分布。
b3
b2
b1 波矢空间原胞体积，
k N b 1 1 N b 2 2 N b 3 3 N 1 ( 2 ) 3 ( 2 V ) 3
波矢密度，
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k
V
(2 )3
9
4.4 用能带图说明导体、绝缘体、半导体的导电性质
它电子、离子实的库仑相互作用只与该电子位置有关。 ③ 周期势场近似——单电子势具有晶格平移周期性
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4
（2）能带论的要点 构成晶体的原子的价电子不再束缚于其原子，而是在晶体中共有化运动。在
单电子近似下，求解共有化电子所满足的薛定谔方程，得到： 1、共有化运动电子的本征波函数是调幅平面波（布洛赫波），本征波函数
以倒格矢为周期。 4、允带每个能级容纳自旋相反的两个电子，一个能带可容纳2N个电子。
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5
4.2 （3）简约布里渊区表示的能带图和扩展布里渊表示的能带图有什么区别？
扩展布里渊区表示法
En k
简约布里渊区表示法
En k
n3
n2
n 1
3 2 0 2 3
k
a aa a a a
i 1,2,3
7
eikNiai 1
kN ia i2h i
k1
2 h1
N1a
k2
2 h2
N2a
k3
2 h3
N3a
(h1 0, 1, 2, ) (h2 0, 1, 2, ) (h3 0, 1, 2, )
若第一布里渊区为
a
,，a得到，
a
ki
a
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8
Ni 2
hi
Ni 2
k 取值个数 NN1N2N3
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13
半导体
E c 禁带 E
原子含偶数个价电子，能量最高的满带（导带） 和能量最低的空带（价带）之间的禁带宽度较小。 绝对零度下，满带电子不能激发到导带，导电性
E g 为零。当温度高于绝对零度时，随温度提高，价
带空穴和导带电子大量增加，导电性急剧提高。
激发
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导带 激发
的振幅具有与晶格相同的周期性，电子在晶体不同原胞中的对应点上出现的几 率相等。
2、共有化运动电子允许存在的本征能量态（电子量子态）不再是原子能级， 而是一系列允许的能带（允带）。允带之间是共有化电子不可具有的能量状态， 称为禁带。
3、一般情况下，每个允带中包含等于晶体原胞数N、间隔非常小的能级（准
连续）。每个能级是共有化电子波矢 的函k 数，在波矢空间中，这种函数关系
ai
i 1,2,3
N
i
为a
方向原胞数，
i
ai
a
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对应的倒格子基矢为 b 1 b 2 ，b 则3 电子波矢，
k k 1 b 1 k 2 b 2 k 3 b 3
由共有化运动电子波函数的周期性边界条件，
k n r k n r N ia i
得到，
u k n ( r ) e i k r u k n ( r N i a i ) e i k r N i a i
4.1 （1） 电子波函数 k(x)sinax
根据布洛赫定理，一维周期势场中的电子波函数，
k(x a ) e ik xk(x )
得到，
k(x a ) s i a n (x a ) s i a n x s ia x n c o c s o a xss in
Ek
s ia x n k(x )
l'
l'
e ik a 1 ， k a 2 n， k2 n (n0,1,2,......)
a
在第一布里渊区， ka,a
k0
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3
4.2 （1）能带论的基本假设及其物理意义 答：能带论的基本假设 ① 绝热近似——假设相对于共有化运动电子的运动速度，离子实近似固定在
格点上不动，电子系统和离子实系统没有能量交换。 ② 平均场近似（单电子势近似）——假设每个电子所处的周期势相同，与其
Ec
禁带
E
典型：Be、Mg、Zn
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11
半金属
Ec
禁带
E
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原子含偶数个价电子，满带与空 带少量重叠，一个能带几乎填满， 另一个能带有很少电子，导电性比 导体差。
典型：Bi、As、Sb
12
绝缘体
Ec
禁带
Eg
E
原子含偶数个价电子，能量最高的满 带和能量最低的空带之间的禁带宽度很 大。在一般的温度下，满带电子不能激 发到空带中，导电性很差。
eika1
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
k 2 n 1 , n 0 , 1 , 2 , a
在第一布里渊区内，ka，,a得到，
0
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k
a
a
k
a
1
（2）
电子波函数 k(x)ico3sax
k(xa)icos3a(xa)icos3ax3
ico3sxco3sisin3xsin3
k
a
a
扩展布里渊区将不同的能带描绘在波矢空间中的不同的布里渊区内；
简约布里渊区依据波矢具有以倒格矢为周期的平移对称性 E nk G h， 将E n 波k
矢202的0/1取0/k16值限制在第一布里渊区内；
6
V
4.3 试证明三维布拉菲晶格的电子波矢分布密度为 2 3
证明 设三维布拉菲晶格的原胞基矢为
基本原理：
满带中的电子不能导电
没有电子的空带不能导电（因为没有电子）
导体
不满的能带中的电子参与导电
1、原子含奇数个价电子的导体具有不满带、外场下导电良好
Ec
禁带
E
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典型：Na、Cu、K、Li、Ag、Au
10
2、原子含偶数个价电子的导体，价电子填满一个或几个能 带，但满带与空带重叠，外场下具有较好的导电性。