解直角三角形3d一计算
解直角三角形3d一计算
1.解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫解直角三角形。
在直角三角形中，共有三条边和三个角共6个元素，除直角外的5个元素中，由已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素。
2.解直角三角形的依据有斜用弦（条件或求解中有斜边时，用正弦sin或余弦cos）
无斜用切（条件或求解中没有斜边时，用正切tan或余切cot）取原避中（尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增大最后答案的误差）
宁乘勿除（能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度）。
直角三角形的计算
直角三角形的计算直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在数学中，我们可以通过给定直角三角形的已知边长或角度来进行相关计算。
本文将介绍直角三角形的计算方法，包括三角函数、勾股定理和特殊直角三角形的性质。
一、三角函数的计算在直角三角形中，我们可以使用三角函数来计算各个角的正弦、余弦和正切值。
1. 正弦函数 sin正弦函数（sine）表示一个角的对边与斜边的比值。
在直角三角形中，我们可以通过已知斜边和对边的长度来计算正弦值。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为5，对边长为3，我们可以计算出正弦值：sinA = 对边 / 斜边 = 3 / 5 = 0.62. 余弦函数 cos余弦函数（cosine）表示一个角的邻边与斜边的比值。
在直角三角形中，我们可以通过已知斜边和邻边的长度来计算余弦值。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为5，邻边长为4，我们可以计算出余弦值：cosA = 邻边 / 斜边 = 4 / 5 = 0.83. 正切函数 tan正切函数（tangent）表示一个角的对边与邻边的比值。
在直角三角形中，我们可以通过已知对边和邻边的长度来计算正切值。
例如，已知一个直角三角形的对边长为3，邻边长为4，我们可以计算出正切值：tanA = 对边 / 邻边 = 3 / 4 = 0.75二、勾股定理的计算勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。
我们可以利用勾股定理来求解直角三角形的边长。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，勾股定理可以表示为：c² = a² + b²通过已知条件，我们可以反推出直角三角形的边长。
例如，已知一个直角三角形的直角边a为3，斜边c为5，我们可以计算出另一个直角边b的长度：b² = c² - a² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16b = √16 = 4三、特殊直角三角形的性质在特定的直角三角形中，边长可以通过一些特殊性质直接计算。
解直角三角形口诀
解直角三角形口诀
口诀(一)
已知一边一锐角，求其余边和余角．
求出它们很是绕，概括三句口诀妙．
求直角边用乘，求斜边用除灵．
是对边用正，是邻边用余．
有斜边用弦，无斜边用切．
[注] 余边、余角即其余边和其余角．已知角的三角函数，求直角边用乘，求斜边用除．当已知边为斜边时，求对边用正弦，求邻边用余弦．已知一直角边求另一直角边用正切和余切．
口诀(二)——选用关系式
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便．
已知直边求直边，正切余切理当然．
已知两边求一边，勾股定理最方便．
已知两边求一角，函数关系要选好．
已知锐角求锐角，互余关系要记牢．
已知直边求斜边，用除还需正余弦．
计算方法要选择，能用乘法不用除．
1 / 1。
解直角三角形的基本类型及其解法公式
2)丈量底部可以到达的物体的高度
数学模型
所用 工具 皮尺 镜子
应测数据
目高 a1 水平距离
a1 镜子
h
a
a
数量关系
h ＝ a1 ，h＝ a1a3
a3 a2
a2
根据 原理 反射 定律
h
a3
a1 a2
α
h
a1
a2
皮尺 标杆
皮尺 侧倾
器
a2 水平距离
a3 标杆高 a1 标杆影长
a2 物体影长
a3 侧倾器高
a1 水平距离
a2 倾斜角α
h ＝ a3 ,h＝ a1a3
a1 a2
a2
tanα＝ h a1 , a2
h＝a1＋a2tanα
同一时刻物高与 影长成正比
矩形的性质和直 角三角形的边角
关系
h1
αβ
h
a1 α
h2
仰角α 俯角β 水平距离
a1
tanα＝ h1 , tanβ＝ h2
a1
a1
h＝h1＋h2＝a1（tanα＋tan
tanβ＝ a x
∴
x
＝
a－h tanα
＝
a tanβ
∴
h
＝
a
－
atanα
tanβ
根据 理论 矩形的性质和 直角三角形的 边角关系
丈量底部不成到达的物体的高度（2）
数字模型
A
α
a2 a1
h1
β
h
x
所用 工具 皮尺 侧倾
器
应测距离
仰角α， 仰角β 水平距离
a1 侧倾器高
a2
数量关系
tanα＝ h1 a1 x
解直角三角形问题
解直角三角形问题直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
解直角三角形问题即是指求解一些与直角三角形相关的问题，包括求解三角形的边长、角度、面积等。
一、勾股定理的应用勾股定理是解直角三角形问题中最常用的定理之一。
它表明，在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边长的平方和。
例如，已知直角三角形的一条直角边长为a，另一条直角边长为b，我们可以使用勾股定理求解斜边长c，计算公式为：c = √(a² + b²)。
通过勾股定理，我们可以方便地计算出直角三角形的边长。
二、三角函数的应用除了勾股定理，三角函数也是解直角三角形问题中常用的工具之一。
常见的三角函数有正弦、余弦和正切函数。
1. 正弦函数的应用在直角三角形中，正弦函数的定义为：sinθ = 对边/斜边。
例如，已知一个直角三角形，斜边长为c，对边长为a，我们可以使用正弦函数求解角度θ，计算公式为：θ = arcsin(a/c)。
2. 余弦函数的应用在直角三角形中，余弦函数的定义为：cosθ = 邻边/斜边。
例如，已知一个直角三角形，斜边长为c，邻边长为b，我们可以使用余弦函数求解角度θ，计算公式为：θ = arccos(b/c)。
3. 正切函数的应用在直角三角形中，正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边。
例如，已知一个直角三角形，对边长为a，邻边长为b，我们可以使用正切函数求解角度θ，计算公式为：θ = arctan(a/b)。
通过三角函数的应用，我们可以在已知一些边长或角度的情况下，求解直角三角形的其他边长或角度。
三、应用实例下面举例说明如何应用勾股定理和三角函数来解直角三角形问题。
例题一：已知一个直角三角形的直角边长是3，斜边长是5，求另一条直角边长。
解析：根据勾股定理，直角边的平方等于斜边长的平方减去另一条直角边长的平方，即：3² = 5² - x²解方程得到：x = √(5² - 3²) = 4。
解直角三角形五种常见类型
解直角三角形五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。
解直角三角形
(2)a=30,b=20.(tan 55°≈1.4,tan 56°≈1.5) 【思路点拨】 (2)已知两条边长,求另一边和两个锐角.
【规律总结】 直角三角形中,由已知的两个元素(至少有一个是边),利用三边关系、锐 角关系、边角关系求出其余未知元素,灵活运用关系求出未知的三个元素.
解直角三角形
2020/9/7
2.一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角
三角形中已知的两个元素( 至少有一个是边
),利余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
类型:解直角三角形 例 在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (1)∠B=60°,c=14;
,
AD=
.(用根号表示)
第2题图
第3题图
4.如图,已知在△ABC中,AB=4,AC=6,∠ABC=45°,求BC长及tan C.
1.在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,tan B=2,那么AC为( D )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,CD=3,AD=BC,且cos∠ADC= ,则BD的长是(
) C
(A)4 (B)3
(C)2
(D)1
3.如图,在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆,拉线与地面成60°角,则AC=
解直角三角形的方法与技巧
解直角三角形常用解题方法与技巧 解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下： 一、巧妙应变，走出解题陷阱 例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°，⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ．简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理222b c a +=求解．解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=，又∵c ＞0，∴222215129c a b =-=-=．⑵、由⑴知222b c a +=，∴222281517a b c =+=+=．评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生．二、巧设参数，化繁难为简易例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只有“sin A =35”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决．解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）．∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC =2222(5)(4)3AB BC k k k -=-=，∴tan AC B BC ==3344k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路．三、巧建模型，以不变应万变例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那么它会有触礁危险吗？简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问题．不妨设OH =x ，则由AH －BH =AB 可得方程cot30°x －cot45°x =30，从中解出x 的值，接下去只需将OH 的值与40进行比较即可得解．解 过点O 作OH ⊥AB 于H ，设OH =x ，由题意可知∠OAH =30°，∠OBH =45°，AB =30．在Rt △OAH 与Rt △OBH 中，∵cot ∠OAH =AH OH ，cot ∠OBH =BH OH∴AB =AH －BH = OH (cot30°－cot45°)，即(cot30°－cot45°)x =30，解之得x =15＋153≈40.98＞40．所以如果不改变航向，该船不会有触礁的危险．例4 如图④所示，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC =60°，∠ACB =45°，现量得BC =30m ，求河的宽度．简析 河的宽度即为△ABC 中BC 边上的高，为此，过点A 作AD ⊥BC于D ，则本实际问题也转化成了解直角三角形问题．和前例一样，通过设AD =x 然后建立方程即可求得AD 的长．解 过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x ．在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵cot cot 60BD ABC AD =∠=︒，cot cot 45CD ACB AD=∠=︒， ∴BC =BD ＋CD =AD (cot60°＋cot45°)，即(cot60°＋cot45°)x =30，解之得x =45－153， ∴所求河的宽度为(45－153)m ．评注 在解有双方位角或双视角类实际问题时，如果图形中没有直角三角形，则应通过添加辅助线的方法将原图形转化为两个具有公共边特征的直角三角形，然后再建立方程进行求解．为方便同类题型求解，以上两例还可归结为如下的数学模型——⑴如图⑤a ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的同侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，且α＜β，则有AB (cot α－cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β；⑵如图⑤b ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的两侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，则有AB (cot α＋cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β．。
解直角三角形3PPT优选课件
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,
在Rt△ABC中， ∠B = 30°,
∴AC=
1 2 AB =
21x 240 = 120
∵AC = 120 < 150
∴A城受到沙尘暴影响
2020/10/18
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2.实际问题向数学模型的转化 3.解直角三角形的边角关系
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2020/10/18
附加题
由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘 暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B 处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心 150km的范围为受影响区域。
tanB B B的 的 对 邻 边 边 b a cotB B B 的 的 邻 对 边 边 b a
2020/10/18
2
例1、如图, 一段路基的横断面是梯形，高 为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面 与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下 底的宽．（精确到0.1米）
D 12.51米 C
解直角三角形(3)
1
2020/10/18
在RtΔABC中，若∠C =900， 问题1. 两锐角∠A与∠B有什么关系? 答： ∠A+ ∠B= 900. 问题2. 三边a、b、c的关系如何？
答：a2+b2 =c2. 问题3. ∠B与边的关系是什么？
答:sinBB斜 的 边 对 边b c cosB B 斜 的 边 邻 边 a c
解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km 为半径的圆与BM的交点，由题意得：
∴CE = √AE2 – AC2 = 90
解直角三角形3
3 6
B
45
＝
180×45 3.14×36.3
≈71.06(度).
O
A
作OC⊥AB于C.
＝36.3×sin35.530
∵OA＝OB, ∴AB＝AC, 且∠AOC
≈21.09 (m), ∴AB＝2AC
＝2×21.09≈42.2(m).
∴A＝C12＝∠OAAOsBi＝n∠3A5O.5C30
答:B栏架离A栏架的距 离约为42.2m.
BC
A
解: 作BE⊥AD, CF⊥AD. 在Rt△CDF中,
CF 1 tanD＝ DF ＝2.5 ＝0.4, ∴∠D≈21048’
∴CF＝CD·sinD ＝60×sin21048’≈22.28(m)
DF＝CD·cosD ＝60×cos21048’≈55.71(m)
EF
D
BE 1 ∵ AE ＝ 3 ,
BC
A
D
EF
解: 设横断面面积为Sm3.
＝1498.9×150
则S＝
1 2
(BC＋AD)×CF
1 ＝ 2 (6＋128.55)×22.28
≈1498.9(m2),
∴需用土石方v＝s l
＝224835(m3)
答:斜坡CD的坡角约为 21048’,坡底宽约为 128.6m,建造这个堤坝 需用土石方224835m3.
0.3m处的弧线(图中之虚线)的
B
45
长度作为相邻两栏架之间的间
3 6
隔路程.已知跑道内侧线半径为
36m,问在设定A栏架后,B栏架
离A栏架的直线距离是多少
O
A
(π取3.14,结果精确到0.1m)?
解:
得
连结AB, 由题意得
人教版九年级下册数学册第28章 28.2.1 解直角三角形
sin A BC 3 ,A 60，B 90 A 30. AB 2
例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小 数点后一位）．
提问
需求的未知元素： 直角边a、斜边c、锐角A.
解：A=90 B=90 35 55.
∵ tanB
b a
新课导入
如图是意大利的比萨斜塔， 设塔顶中心点为B，塔身中心线与 垂直中心线的交点为A ，过B点向 垂直中心线引垂线，垂足为C，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米， AB=54.5米.
知道以上条件，你能求出∠A的度数吗？
推进新课
知识点1 解直角三角形的定义
已知：Rt△ABC中，∠C=90°， C B BC=5.2 m，AB=54.5 m.
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在 BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2， 求△ABC的周长.（结果保留根号）
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
求问：∠A的度数.
解：sinA
BC AB
5.2 54.5
0.0954,
利用计算器可得∠A ≈ 5°28′.
A
一般地，直角三角形中，除直角外，共有 五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角 形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫
做解直角三角形.
探究
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理） ；