第21章二次函数
二次函数全章知识总结及练习
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
2
y a x h k ，确定其顶点坐标 h ，k ；
⑵ 保持抛物线 y ax2 的形状不变，将其顶点平移到
h ，k 处，具体平移方法如下：
学习必备
y=ax 2
ab 的符号的判定：对称轴 x
b 在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 ，
2a
概括的说就是 “左同右异”
3. 常数项 c ⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．即抛物线与 y 轴交于（ 0， c）；
2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下， 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2a
向上 (k >0)【或下 (k <0)】平移 |k|个单位
y=a (x-h)2+k
2. 平移规律 在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移；
概括成八个字“左加右减，上加下减” ．
k 值正上移，负下移 ”．
方法二：
⑴ y ax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m
第3课时 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
17．如图是二次函数 y＝a(x＋1）2＋2 的图象的一部分，根据 图象回答下列问题． (1）抛物线与 x 轴的一个交点 A 的坐标是 (－3，0） ， 则抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标是 (1，0）； (2）确定 a 的值； (3）设抛物线的顶点是 P， 试求△PAB 的面积．
解：(2）将(1，0）代入 y＝a(x＋1）2＋2， 可得 0＝4a＋2，解得 a＝－12. (3）∵y＝a(x＋1）2＋2， ∴抛物线的顶点坐标是(－1，2）． ∵A(－3，0），B(1，0）， ∴AB＝xB－xA＝1－(－3）＝4. ∴S△PAB＝12×4×2＝4.
解：(1）将(1，0）代入 y＝(x－2）2＋m，得 0＝(1－2）2＋m， 解得 m＝－1. ∴二次函数的表达式为 y＝(x－2）2－1，且对称轴为直线
x＝2. 当 x＝0 时，y＝3，故 C(0，3）． ∵点 C 与点 B 关于抛物线的对称轴对称， ∴B(4，3）．
将 A(1，0），B(4，3）代入 y＝kx＋b，得 k4＋k＋b＝ b＝0， 3. 解得kb＝＝1－，1. ∴一次函数的表达式为 y＝x－1.
移得到，下列平移方法中正确的是( B ） A．先向左平移 2 个单位长度，在向上平移 1 个单位长度 B．先向左平移 2 个单位长度，在向下平移 1 个单位长度 C．先向右平移 2 个单位长度，在向上平移 1 个单位长度 D．先向右平移 2 个单位长度，在向下平移 1 个单位长度
10．将抛物线 y＝2(x－3）2－4 向右平移 2 个单位长度，再向 上平移 3 个单位长度后得到一条新的抛物线，则这条新的 抛物线的顶点为 (5，－1） ．
7.若二次函数 y＝(x－m）2＋m＋1 的对称轴是直线 x＝1，则该 函数的顶点坐标是(1，2）．
二次函数全章整理
二次函数的认识与待定系数法、配方法要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c ； 若c=0，则y=ax 2+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的x 、y 对应也就是说：1、二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；2、满足二次函数解析式的每一组(,)x y 的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。
要点三、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系要点四、待定系数法求函数关系式1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数；2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；3、已知图象与x 轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。
4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。
要点五、配方法其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——2222()a ab b a b ±+=±。
配方法在如下几个方面使用较多： 1、 用于求二次三项式的最值； 2、 用于解一元二次方程；3、 用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。
人就版数学九年级上册第 二十一章 一元二次方程---二十二章 二次函数综合复习试卷(含简单答案)
人就版数学九年级上册第二十一章-二十二章一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A．x2=x B．a x2+bx+c=0C．xy=1D．x+1x=12．把抛物线y=−x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A．y=−(x+3)2+1B．y=−(x+1)2+3C．y=−(x−1)2+4D．y=−(x+1)2+43．已知关于x的一元二次方程k x2−(4k−1)x+4k−3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．k<14B．k<14且k≠0C．k>−14D．k>−14且k≠04．如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m．设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A．x(5−2x)=4B．x(5+1−2x)=4C．x(5−2x−1)=4D．x(2.5−x)＝45．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（ ）A．1m B．2m C．3m D．23m6．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程x 2−16x +55=0的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ）A ．11B ．27C ．5或11D ．21或278．已知关于x 的方程a(x−m)x =x−m 有两个相等的实数根，若M =a 2−2am ，N =4am−1m 2，则M 与N 的关系正确的是 （ ）A ．M +N =2B ．M +N =−2C ．2M +N =0D ．M +N =09．y =a x 2+bx +c 与自变量x 的部分对应值如下，已知有且仅有一组值错误（其中a ，b ，c ，m 均为常数）．x …−1012…y…m 2−2m 2m 2…甲同学发现当a <0时，x =3是方程a x 2+bx +c +2=0的一个根；乙同学发现当a >0时，则2a +b >0．下列说法正确的是（ ）A ．甲对乙错B ．甲错乙对C ．甲乙都错D ．甲乙都对10．已知二次函数y =−12x 2+bx 的对称轴为x =1，当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是2m ≤y ≤2n ．则m +n 的值为（ ）A ．−6或−2B ．14或−74C ．14D ．−2二、填空题11．方程 x 2=5x 的根是 ．12．已知x =−1是关于x 的方程x 2+mx−n =0的一个根，则m +n 的值是= ．13．已知点A(−1，y 1)，B(1，y 2)，C(4，y 3)在二次函数y =x 2−6x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 (用“>”连接)．14．如图，水池中心点О处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点О在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距О点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距О点3m.那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m.15．已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y=a x2−3x+1上的两点，其对称轴是直线x=x0，若|x1−x0|>|x2−x0|时，总有y1>y2，同一坐标系中有M(−1,−2)，N(3,2)且抛物线y=a x2−3x+1与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是 ．16．已知抛物线y=a x2+bx+c（a，b，c是常数），其图像经过点A(2,0)，坐标原点为O．①若b=−2a，则抛物线必经过原点；②若c≠4a，则抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；③若抛物线与x轴交于点B（不与A重合），交y轴于点C且OB=OC，则a=−12；④点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线上，若当x1>x2>−1时，总有y1>y2，则8a+c≤0．其中正确的结论是 （填写序号）．三、解答题17．解方程：x2−4x−5=0．18．在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中，（1）若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为−2，求出t的值：（3）如果A(m−2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．19．阅读下列材料，解答问题：材料：若x1，x2为一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．（1）已知实数m，n满足3m2−5m−2=0，3n2−5n−2=0，且m≠n，求m2n+m n2的值．解：根据题意，可将m，n看作方程3x2−5x−2=0的两个实数根．∴m+n= ，mn= ．∴m2n+m n2=mn(m+n)= ．（2）已知实数a，b满足a2=2a+3，9b2=6b+3，且a≠3b，求ab的值．（3）已知实数m，n满足m+mn+n=a24−6，m−mn+n=−a24+2a，求实数a的最大整数值．20．如图，在平面直角坐标系中，从原点O的正上方8个单位A处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形CDEF的平台EF上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度y与飞行的水平距离x满足关系式L1:y=−x2+bx+c．其中C(6,0)，D(10,0)，CF=2．（1）求c的值；（2）求b的取值范围；（3）若落在平台EF上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与L1形状相同的拋物线L2，在21.x轴有两个点M、N，且M(15,0)，N(16,0)，从点N向上作NP⊥x轴，且PN=2．若沿抛物线L2下落的小球能落在边MP（包括端点）上，求抛物线L2最高点纵坐标差的最大值是多少？定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点(1 3,13)是函数y=x图象的“12阶方点”；点(−1,1)是函数y=−x图象的“1阶方点”．（1）在①(−1,2)；②(0,0)；③(12,−1)三点中，是正比例函数y=−2x图象的“1阶方点”的有___（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y=ax−4a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点(n,n)，则点(n,n)称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y=14x2+(p−t+1)x+q+t−2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．22.如图，抛物线L：y=a(x+2)2+9与x轴交于A，B(−5,0)两点，与y轴交于点C．（1）写出抛物线的对称轴，并求a的值；（2）平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N（点M在点N的左边），交线段BC于点R．当R为线段MN的中点时，求点N的坐标；（3）将线段AB先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段A′B′．若抛物线L平移后与线段A′B′有两个交点，且这两个交点恰好将线段A′B′三等分，求抛物线L平移的最短路程；（4）P是抛物线L上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m．过点P作PQ⊥y轴于点Q，E 为y轴上的一点，纵坐标为−2m．以EQ,PQ为邻边构造矩形PQEF，当抛物线L在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D11．【答案】x 1=0，x 2=512．【答案】113．【答案】y 1>y 2>y 314．【答案】815．【答案】109≤a <216．【答案】①②④17．【答案】x 1=−1，x 2=518．【答案】（1）t =32（2）t =5（3）3<m <4或m >619．【答案】（1）53；−23；−109（2）解：∵9b 2=6b +3，∴(3b)2=2×(3b)+3∵a 2=2a +3，a ≠3b∴a ，3b 是一元二次方程x 2=2x +3的不相等的两个实数根整理方程得：x 2−2x−3=0，∴a ×3b =−3∴ab =−1（3）解：∵m +mn +n =a 24−6①，m−mn +n =−a 24+2a②，∴①+②可得：2(m+n)=2a−6，即：m+n=a−3①−②可得：2mn=a22−2a−6，即：mn=a24−a−3∴m，n可以看作是一元二次方程x2−(a−3)x+a24−a−3=0的两个实数根∴Δ=[−(a−3)]2−4×1×(a24−a−3)≥0化简得：−2a+21≥0，解得：a≤21 2，∴实数a的最大整数值为10 20．【答案】（1）c=8；（2）5≤b≤47 5；（3）抛物线L2最高点纵坐标差的最大值是19.71．21．【答案】（1）②③（2）a的值为32或a=−12（3）．t=3−3或4+5 22．【答案】（1）x=−2,a=−1；（2）6−2（3）10（4）−6−1<m<0或m>6−1。
沪科版九年级数学上册《二次函数与反比例函数》阶段核心方法专训求反比例函数表达式的六种方法
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
26mm＋＋nn＝＝31，，解得mn＝＝4－. 21，∴直线 AB 的表达式为 y＝－12x＋4.
阶段核心方法专训
5．【2019·重庆】如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BD∥x 轴， 反比例函数 y＝kx(k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线 的交点 E.若点 A(2，0)，D(0，4)，则 k 的值为( ) A．16 B．20 C．32 D．40
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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
上街区七中九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质2第4课时二次函数y
2 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质第4课时 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质教学目标：1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。
重点难点：重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b24a)是教学的难点。
教学过程： 一、提出问题1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?(函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?(当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1)4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，进而观察得到这个函数的性质。
解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表；x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －612 －4 －212 －2 －212 －4 －612…(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
沪教版数学九年级上册：21.2.2-二次函数
第21章 二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图 象和性质——y=ax2+k型
1 课堂讲解 二次函数y=ax2+k的图象
二次函数y=ax2+k的性质 二次函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
(1)一般地，抛物线y=ax2+k与y=ax2形状相同，位置不 同；
(2)抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2平移 k 个单位长
度得到(当k>0时，向上平移；当k<0时，向下平移)； (3)抛物线y=ax2+k有如下特点：当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点为(0，k).
A．3 B．2
C．1
D．0
（来自《典中点》）
知1－练
1
4
2
3
（来自《典中点》）
知识点 2 二次函数y=ax2+k的性质
知2－导
思考： 观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象，当 x＜0时，y随x的增大怎样变化？当x＞0呢？ 由此你能得到二次函数y=ax2+k有怎样的代数 性质？
代数性质： (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有
们的开口方向、对称轴和顶点各是什么吗？这两个 图象有什么共同点？由此你能得出抛物线y＝ax2＋k 有怎样的几何性质？
知1－讲
a
知1－练
1 抛物线y＝ax2＋(a－2)的顶点在x轴的下方，则 a的取值范围是____________．
2 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点第 21 章一元二次方程。
1. 一元二次方程的概念。
形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程叫做一元二次方程，其中ax^2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 一元二次方程的一般形式。
一般形式为ax^2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，a≠0）3. 一元二次方程的解法。
- 直接开平方法：适用于形如(x + m)^2 = n（n≥0）的方程。
- 配方法：通过配方将方程化为完全平方式，再求解。
- 公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），其解为x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，前提是b^2 - 4ac≥0。
- 因式分解法：将方程化为两个因式乘积等于 0 的形式，从而求解。
4. 一元二次方程根的判别式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），Δ = b^2 - 4ac- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根。
5. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为x_1、x_2，则有x_1 + x_2 = -(b)/(a)，x_1x_2 = (c)/(a)第 22 章二次函数。
1. 二次函数的概念。
形如y = ax^2 + bx + c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
2. 二次函数的图象和性质。
- 图象是一条抛物线。
- 当a > 0时，抛物线开口向上，对称轴为x = -(b)/(2a)，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，抛物线开口向下，对称轴为x = -(b)/(2a)，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。
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第21章二次函数整体说课
课标要求
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
教材教法
教材分析
二次函数是在学习一次函数和反比例函数之后的初中三大函数之一．本章核心内容是对二次函数图像及其性质的学习，并运用这些性质解决有关问题，其图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起积极推动作用，二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通．因此它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础．．
在历届中考试题中，二次函数一直都是是中考命题的“重头戏”，除了考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解和探究题，二次函数与其他函数方程、不等、几何知识的综合常常作为压轴题．
教法建议
由于本章的知识点多，前后联系紧密的特点，在教学中要随时做好前后课时的衔接，建议如下：
1．注意复习相关内容．注意回顾和复习已学函数知识，从一次函数到反比例函数，再到二次函数，中间间隔了一段时间，如函数的概念，描点法画函数图象在本章都要用到，如y=ax2的图象关于y轴对称，y=ax2的图象与y=-ax2的图象关于x轴对称，这些内容涉及到图形变换的内容，通过复习对称的坐标变换，有助于学生学习上述内容．
2．注意知识间的比较．本章研究二次函数从简单y=ax2的图象出发，逐步到y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象和性质，再到y=a（x-h）2+k和y=ax2+bx+c的图象，最后进行实际问题的运用和二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的解关系的讨论，整个安排层层推进，步步为营，既有联系又由区别，建议采用图表结构，将知识点分类，让学生通过这个框架结构很容易看出不同解析式表示的二次函数的内在联系，让学生形成一个清晰、系统、完整的知识网络．因此切实做好比较，让学生在比较中学习，比较中发展！
3．注重结论的探索．学生只有亲身经历和体验才能掌握好所学内容，因此要充分关注学生的基本活动经验．（1）指导好学生画图的准确性，培养学生的动手能力，让学生看到不同的解析式对应着不同的图象和性质；（2）在性质总结时，运用多媒体进行辅助教学，直观、生动地反映图形变换，增强教学的条理性和形象性，丰富课堂的内容，有利于突出重点、分散难点，用运动和发展的观念看待二次函数的学习，让数形结合的思想在学生的头脑中生根发芽．同时一定要给学生充分的表演舞台，形成学生自动发现，生生助动补充，师生互动点评，教师应着眼于引导，学生着眼于探索；（3）在讲解例题和练习时，考虑到学生的个体差异，在教学进行分层施教，让每一个学生都能获得知识，能力得到提高．同时处理好函数题目中有关”函数语言“的理解及表达，例如抛物线的顶点在x轴上，等价于b2-4ac=0等等．学情学法
学情分析
本章教学重点利用描点法画出二次函数的图像，建构符合学生认知结构的知识体系，教学难点是运用数形结合的思想描述函数，根据解析式判断函数的开口方向、对称轴、顶点坐标．基于以上对教材的认识，根据数学课程标准，考虑到学生已有的认知结构与心理特征，笔者认为以下问题在教学中要引起我们的注意：
1．为什么二次函数的图象是抛物线？教材利用几个整数点就连接成抛物线，值得商榷．特别前面学习了一次函数图象是靠直线连接，那么对学生来说为什么这些整数点也不用直线连接呢？这是学生感到困惑的地方．笔者认为在第一次画形如y=ax2的图象时，教师要让学生尝试连接感悟平滑的曲线，到细化两等分两整数之间的连接方式，体会抛物线，最后运用计算机辅助三等分、四等分…，乃至100等分连接方式，使学生确信抛物线，这个认知过程对初学者十分必要．
2．在总结性质时，学生常常只从图象去理解比较直观，也容易得出结论，但很少有学生从解析式的角度对性质做出理性的分析．这个问题笔者调查过一些学生，学生回答的结果如下：当a>0时，y=a（x-h）2+k,顶点为（h,k），对称轴x=h，开口向上，有最小值y=k等等……，但问及原因时，回答都是说：“从图象上看的！”，这些都不是问题的本质，图象是一个结果的展示而已，即图象生成之后，很少在去思考“从解析式的角度研究函数图象的性质”．因此在教学中，教师要注意引导学生从数的角度去认识性质．这样对函数图象的研究既从数到形，又从形到数两方面进行的研究，有利于全面认识正比例函数的本质．
3．二次函数涉及的知识点多，联系的范畴广，试题难度大，历来都以开始压轴题的形式出现，因此学生学习畏难情绪重，教师一方面要注意在新课学习中布置一些基础性的试题，保护好学生学习的信心，再由浅入深、循序渐进提高学生的解题能力；另一方面多鼓励学生，多做积极的评价，认真分析出错的原因，及时消除学生的困惑．
学法建议
根据《大纲》要求，“对于课程实施和教学过程，教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要．”依据这样的理念，在学生的学习过程中，建议如下：
1．学法指导：学法突出自主学习、研讨发现．知识是通过学生自己动口、动脑，积极思考、主动探索获得，学生在讨论、交流、合作、探究活动中总结方法和规律．在活动中体会用类比和数形结合的方法扩展知识的过程．
2．能力形成：在学习二次函数时，要以动手为基础，概括为目标，通过模仿，敢于尝试，逐步熟练掌握相关知识及其应用，最终提高解决问题的能力，真正成为学习的主人．
3．问题分析：因为二次函数是集合与代数的融合，所以适当的习题必不可少．特别是在做二次函数与几何图形的综合问题时，要将大问题逐步分解为一个个的小问题，要以滴水穿石精神逐一破解．
总之，在二次函数教与学的过程中，以学生能力发展为核心，以过程为引导，以数形结合的思想为指导，以积极评价为动力，以类比推动创新，切实做好分层教学，夯实学生基础，循序渐进提高学生的分析和解决问题的能力．。