21.3.1二次函数与一元二次方程的关系
由一次函状元成才数路 y=2x-3的图象可知：
它与x轴的交点坐标是( 3 ，0 )，
2
即当x=
3 2
时，y=0
y=2x-3
即x= 3 是一元一次方程 2x-3=20的根。
二次函数与一
一次函数y=kx+b当函数值y=0时对元应二的x次值就方是程一之元
一次方程kx+b=0的解
间有什么联系？
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为
同理可得另一近似值为.
方法归纳
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似 根. (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；
(2)观察估计二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的 横坐标的大致取值范围；
(3)确定方程 y=ax2+bx+c的解;利用逼近法求近似解
1 y x2 x 2
2 y 9x2 12x 4
解：它与x轴有交点，则y=0
解：它与x轴有交点，则 y=0
x2 x 2 0
9x2 12x 4 0
解这个方程(x－2)(x+1)= 0 ∴ x1=2, x2=－1
∴ x1= x2=
2 3
∴抛物线与x轴交点的横坐标分别 为2,－1.
∴ 与x轴交点的横坐标为
分别说出一元二次方程 x2 6x 9 0 和 x2 2x 2 0 的根的情
况.
y x2 6x 9
y x2 2x 2
二次函数y ax2 bx c 与x轴的交点的个数
一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根的个数
对于二次函数y=ax2+bx+c(a 0),当y=0时,函数即可化为一元二次 方程ax2 +bx+c=0,这时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标.
图象与 x 轴的交点坐标吗？
解：当y=0时，x2 x 6 0
解得 x1 3, x2 2.
所以,函数 y x2 x 6 的图象与 x 轴的交点 坐标为（-3，0）和（2，0）.
2.抛物线y＝－3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为_(_2_,_0)，_ (-_5_,．0) 一元二次方程－3(x－2)(x＋5)＝0的 解为__X_1_=_2__，_．X2=-5
当堂练习
用图象法求一元二次方程 x2 x 1 0 的解的近似值
（精确到0.1）.
解：画出x2+x-1=0的图象，
如图所示，由图象知，方程由两
个根，一个在-2和-1之间，另一
个在0到1之间. 通过估算，可得到抛物线与x轴
交点的横坐标大约为-1.6和0.6.即
一元二次方程的实数根为x1≈-1.6 ，x2≈0.6.
2 3
.
(3) y=x2-2x+3 解： x2-2x+3=0
a=1 , b=-2 , c=3 Δ =（-2）2-4×1×3<0 此方程无解，所以，抛物线 y=x2-2x+3与x轴没有交点.
三 利用二次函数求一元二次方程的近似解 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的解（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²+2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²+2x-1 与x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从 图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法 叫作图象法.
3.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则
关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D )
A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
二 一元二次方程根与二次函数图象与X轴交点的关系
观察二次函数 y x2 6x 9 的图象和二次函数 y x2 2x 2 的
图象,它们与X轴交点的个数
一 一元二次方程根与二次函数图象的关系
写出二次函数 y x2 2x 3 的顶点坐标,对称轴,并
画出它的图象.
x… y…
-2 -1 0 5 0 -3
12 -4 -3
(1,-4)
34 … 05…
思考一
N
当x为何值时, y=0?
M
x=-1或 x=3
x2 2x 3 0
x1 1, x2 3.
归纳 二次函数y ax2 bx c 函数值y 0时
Байду номын сангаас
y=ax2+bx+c的
方程
图象和x轴交 ax2+bx+c=0的
点
根
b2-4ac
函数的图象
有两个交点 方程有两个不
相等的实数根
b2-4ac>0
y .o . x
只有一个交 点
方程有两个相 等的实数根
b2-4ac=0
y o
x
没有交点 方程没有实数 b2-4ac<0 y
根
o
x
当堂练习
1.求下列抛物线与x轴的交点的横坐标：
拓展：利用图像法求解一元二次方程的根还 有没有其他解决方法？如：方程x²+2x-1=0
解：方程x²+2x-1=0， 变形可得：x²=-2x+1 令函数y=x2和y=-2x+1，画出两个函数 图像如右图所示 函数y=x2和y=-2x+1交于A、B两点，这 两点的横坐标就是我们要求的根. 利用逼近法求解近似值
状元成才路
一元一次方程kx+b=0的解.
21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系；（重点）
2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； （重 点）
3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形 结合思想的应用.（难点）
二次函数y ax2 bx c 与x轴的交点横坐标x1，x2
二次函数y ax2 bx c 与x轴的交点的个数
一元二次方程 ax2 bx c 0
一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根x1, x2 一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根的个数
练一练
1. 不画图象，你能说出函数 y x2 x 6 的
解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个 在0与1之间.
先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.4 或-2.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-2.5
-2.4
…
y
… 0.25 -0.04 …
观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的y由正变 负，可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2+2x-1 的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-2.4或x=-2.5都符 合要求.但当x=-2.4时更为接近0.故x1≈-2.4.
新人教版九年级数学上册 21.3 第1课时 传播问题与一元二次方程
根据示意图，列表如下： 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1+x=(1+x)1
1+x+x(1+x)=(1+x)2
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(1+x)2=121 解方程,得 x1= 10
,x2= -12 .
(不合题意,舍去)
答:平均一个人传染了___1_0____个人.
D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又
长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，
设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ B ）
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73
D.(1+x)2=73
3.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把 这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的 积为736，求原数.
注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
想一想
如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 分析
第一轮传染后的 人数
(1+x)1
第二轮传染后的 人数
(1+x)2
第三轮传染后的 人数
(1+x)3
第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1331人.
第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；
第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简 称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际 意义后，写出答案（及单位名称）。
(完整版)初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
人教版九年级数学上册21.3.1《一元二次方程的根与系数的关系》说课稿
人教版九年级数学上册21.3.1《一元二次方程的根与系数的关系》说课稿一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版九年级数学上册第21章第3节的内容。
本节课的主要内容是引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生通过观察、分析、归纳等数学活动，发现并掌握一元二次方程的根与系数之间的内在联系。
为学生提供了进一步研究一元二次方程的机会，培养了学生的抽象思维能力和数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法和因式分解的方法，具备了一定的数学思维能力。
但部分学生对于一元二次方程的根与系数之间的关系可能存在理解上的困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们积极参与课堂活动，提高他们的数学素养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能运用这一关系式解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生的抽象思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，体验数学的乐趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生发现并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用引导发现法、讨论法、归纳法等教学方法，引导学生主动探究，发现并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的解法和因式分解的方法，引出本节课的内容，激发学生的学习兴趣。
2.探究活动：让学生分组进行探究，观察、分析、归纳一元二次方程的根与系数之间的关系。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
3.成果展示：让学生代表汇报探究成果，其他学生进行评价、补充。
21.3.1二次函数与一元二次方程的关系
）， B（ X2，0 ）
思考：函数y＝x2-6x+9和y＝x2-2x+3与x轴的交点坐 标是什么？试试看！
想一想： 观察下列图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x22x+3=0的根的情况.
y x2 6x 9 y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
那么，二次函数和一元二次方程又有什么关 系呢？
想一想：
如何求二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标 呢？
设y=0, 得到一个一元二次方程 x2-2x-3=0，
解得 x1=3,x2=-1,
所以与x轴的交点坐标是（3，0），（-1，0).
观察y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标
y 4 3 2
利用下列条件估计一元二次方程x2+2x-10=0的 根（精确到0.1）
x y=x2+2x-10 -4.1 -1.39 -4.2 -0.76 -4.3 -0.11 -4.4 0.56
x y=x2+2x-10
2.1 -1.39
2.2 -0.76
2.3 -0.11
2.4 0.56
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝x2－4x＋4； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0）
抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方 程的知识来说明呢？ Y
b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
归纳： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解一元二次方程的解法以及二次函数与一元二次方程之间的关系。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质已经有了一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程之间的关系可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和归纳，自主探索出一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析和归纳，培养学生自主探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.教学难点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程之间的关系的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生自主探索和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件和数学软件，进行直观演示和练习。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的概念。
2.讲解与演示：利用多媒体课件和数学软件，讲解一元二次方程的解法，并展示二次函数与一元二次方程之间的关系。
3.练习与讨论：学生进行练习题，小组内讨论解题方法，互相交流心得。
4.总结与拓展：教师引导学生总结一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程之间的关系，并进行拓展讲解。
5.布置作业：布置一些相关的练习题，巩固所学知识。
21.3二次函数与一元二次方程 教案
21.3二次函数与一元二次方程教学设计讲授新课题目：写出二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标,对称轴，并画出它的图象.教师提示：通过列表法展示该二次函数的画图过程探究一提问：当x为何值时，y=0?展示列表与图像，启发学生思考图像与x轴的交点，同时y=0时，即是方程x2-2x-3=0的解。
学生用已学知识列表法独立解答，并积极踊跃发言，验证自己的解答结果是否正确。
学生观察图像与列表，思考老师的问题并回答。
通过题目引导学生探究二次函数与一元二次方程的关系，而学生对于简单的题目轻而易举即可解答，增加了自信心的同时，也不知不觉地进入了探究新知的环节。
通过循序渐进的提问与提示，引导学生一步步思考，一步步探索二次函数与一元二次方程的关系。
探究一【例】如图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴有几个交点？交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？引导并帮学生完善结论：总结：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个公共点(x1，0)、(x2，0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2 ,反之亦成立. 学生结合上一道习题的解答过程思考，小组讨论解答。
学生通过两道题目的解答，总结出二次函数与一元二次通过启发让学生意识到二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根的关系，随即抛物例题让学生自主解答，进一步学习新知。
学生通过自己解答题目找出规律，并自主归纳总结，加深了对变式：变式：不画图象，你能说出函数y=x2+x-6的图象与 x 轴的交点坐标吗？方程的关系。
请一位学生上台解答展示解答过程，其他学生自主解答。
新知的理解，且能培养学生的归纳总结能力、发现规律的能力。
总结新知后及时巩固练习，帮助学生加深理解，增强运用新知解答问题的能力探究二探究二：观察二次函数y=x²-6x+9的图象和二次函数y=x²-2x+3的图象，分别说出一元二次方程x²-6x+9=0和x²-2x+3=0的根的情况.提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?例：用图象法求一元二次方程x²+2x－1= 0 的近似解（精确到0.1）。
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计1
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程教学设计1一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程”是本册教材的重要内容，旨在让学生通过解决实际问题，掌握一元二次方程的解法和应用。
本节内容通过引入实际问题，让学生理解一元二次方程的模型，培养学生的数学建模能力，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了代数基础知识，对一元二次方程有一定的了解，但解决实际问题的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，要注重培养学生的数学建模能力，引导学生将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。
3.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。
四. 教学重难点1.教学重点：理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。
2.教学难点：将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，案例教学法和小组合作学习法。
通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生理解和应用一元二次方程。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如物体运动问题、面积问题等，引导学生关注实际问题中的一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义和解法，让学生理解一元二次方程的模型，并能熟练运用解法求解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，将导入环节中的实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些类似的实际问题，巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
人教版九年级上册数学全册教案21.3 实际问题与一元二次方程
6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．课堂总结．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．。
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章二次函数与一元二次方程 第2课时 二次函数与一元二次不等式
∴ 点 B 的横坐标为 -6.
B
根据图象可以看出，
kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集为
-6＜x＜1.
y
y2
OA x
y1
课堂小结
b2-4ac 的符号 二次函数
b2-4ac＞0
y
y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象
O
x1
x2 x
一元二次方程
ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根
y
02 x
0
x
y=-x2+x-2
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标 与一元二次不等式的关系
二次函数 y = ax2+bx+c 的 图象与 x 轴交点
a＞0 时的解集
a＜0 时的解集
有两个交点 (x1,0),
有(x2一,0)个(x交1＜点x2) (x0，0)
没有交点
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是__−_2_<__x__<_4___.
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2
的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有
__1__ 个交点，坐标是 (2 ，0) . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根
0＜x＜3
ax2 bx＜kx
由图可知，不等式
ax2 bx＞kx 的解集为 x＜0或 x＞3.
方法归纳
不等式 ax2 bx c＞mx n 的解集是二次函数