沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数教案
沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数教案
第21章二次函数与反比例函数续表续表自学指导知识模块一二次函数y=ax2+k的图象阅读教材P11~12,完成下面内容:画出y=2x2+1,y=2x2-1图象,根据图象答复以下问题:〔1〕抛物线y=2x2+1,y=2x2-1开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标分别为〔0,1〕,〔0,-1〕.〔2〕抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与y=2x2之间有什么关系?答:可以发现y=2x2+1是由y=2x2向上平移一个单位长度得到的,而y=2x2-1是由y=2x2向下平移1个单位长度得到的.知识模块二二次函数y=ax2+k的性质继续观察知识模块一中y=2x2+1,y=2x2-1图象,说说它们的增减性.答:两个图象都是当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.续表续表大,开口越小.2.归纳小结:〔1〕二次函数y=a〔x+h〕2〔a≠0〕的图象性质:开口方向:a>0时,开口向上,a<0时,开口向下,顶点〔-h,0〕,对称轴x=-h .最值:a>0时,有最小值y=0 .当a<0时,有最大值y=0 .增减性:a>0且x>-h时,y随x的增大而增大;x<-h时,y 随x的增大而减小;a<0且x>-h时,y随x的增大而减小,x<-h时,y随x的增大而增大.〔2〕y=ax2和y=a〔x+h〕2的图象有如下关系:y=ax2y=a〔x+h〕2.3.方法规律:〔1〕解决二次函数y=a〔x+h〕2〔a≠0〕的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑.〔2〕由抛物线y=ax2的图象通过平移得到y=a〔x+h〕2的图象,左右平移的规律是〔四字口诀〕左加右减.续表自学指导知识模块一掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质阅读教材P18~19,完成下面的内容:填空:y=-2x2-8x-7=-2〔x2+4x〕- 7=-2〔x2+4x+ 4 〕- 7 + 8=-2〔x+ 2 〕2+ 1知识模块二二次函数图象与性质的应用【例1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,那么以下结论中,正确的选项是〔 C 〕〔A〕ab>0,c>0 〔B〕ab>0,c<0〔C〕ab<0,c>0 〔D〕ab<0,c<0【例2】二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象与x 轴交于〔-1,0〕,那么以下结论错误的选项是〔 D 〕〔A 〕当x=2时,有最大值〔B 〕当x<2时,y 随x 的增大而增大 〔C 〕-b2a =2〔D 〕抛物线与x 轴的另一个交点为〔2,0〕 合作探究1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑. 续表2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞. 老师指导 1.易错点: 用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴时,首先要把二次项系数化为1. 2.归纳小结:〔1〕一般式化为顶点式的思路:①二次项系数化为 1 ;②加、减一次项系数 一半 的平方;③写成 平方 的形式.〔2〕二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是 x=-b2a ,顶点坐标是 -b 2a ,4ac -b 24a.假设a>0:当x<-b2a 时,y 随x 的增大而 减小 ;当x>-b2a 时,y 随x 的增大而 增大 ;当x=-b2a 时,y 最小值=4ac -b 24a;假设a<0:当x<-b 2a 时,y 随x 的增大而 增大 ;当x>-b2a 时,y 随x 的增大续表旧知回忆:1.一次函数y=kx+b的图象经过〔0,3〕,〔4,0〕,那么方程kx+b=0的解是x=4 .2.如图,一次函数y=kx+b的图象如下图,那么方程kx+b=1的解是x=-2 .考虑:对于二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕,当y取一个确定值时,它就变成了一个一元二次方程,由此可知一元二次方程与二次函数有着亲密的关系.那么,二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕与一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕之间到底有怎样的关系呢?通过本节课的学习我们将能解决这个问题.观察二次函数y=x2+3x+2的图象,并答复以下问题.〔1〕函数图象与x轴有几个交点?〔2〕二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?归纳:二次函数与一元二次方程的关系:知识模块二利用二次函数图象解一元二次方程阅读教材P31~32,完成以下问题2.作出二次函数y=x2-x-6的图象,根据图象答复以下问题:〔1〕图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么;〔2〕当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x2-x-6=0有什么关系.学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑.续表1.假设方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两个根分别为x1=1,x2=2,那么抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的交点坐标分别为.2.二次函数y=x2-6x+n的部分图象如下图,假设关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1,那么另一个解x2= .3.二次函数y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.1.利用配方法求函数y=-4x2+80x的最大值.y=-4〔x2-20x+102-102〕=-4〔x-10〕2+400,当x=10时,y最大值=400.2.实例引入:如图,用长20米的篱笆,一面靠墙〔墙长不限〕围成一个长方形的园子,怎么围才能使园子的面积最大?最大面积是多少?解:设与墙垂直的一边为x米,园子面积为S平方米,由题意得S=x〔20-2x〕=-2x2+20x=-2〔x-5〕2+50〔0<x<10〕.因为-2<0,所以当x=5〔在0<x<10的范围内〕时,园子面积S的最大值为50平方米.自学指导知识模块二用二次函数解决拱桥类问题【例题】如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥.当水面宽为4米时,拱顶〔拱桥洞的最高点〕离水面2米,水面下降1米时,水面宽度为多少米?学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究请同学们回忆解题过程,讨论、交流,归纳解题步骤〔1〕先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;〔2〕研究自变量的取值范围;〔3〕研究所得的函数;〔4〕检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值:〔5〕解决提出的实际问题.续表1.如下图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB 和BC 分别在两直角边上,设AB=x m,长方形的面积为y m 2,要使长方形的面积最大,其边长x 应为〔 〕 〔A 〕254m 〔B 〕6 m 〔C 〕15 m 〔D 〕52m2.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,那么绳子的最低点距地面的间隔 为 米. 3.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤〔岸堤足够长〕为一边,用总长为40 m 的围网在水库中围成了如下图的①②两块矩形区域.设BC 的长度为x m,矩形区域ABCD 的面积为y m 2.〔1〕求y 与x 之间的函数关系式;〔2〕x 为何值时,y 有最大值?最大值是多少?如下图从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h〔单位:米〕与小球运动时间t〔单位:秒〕的函数关系式是h=9.8t-4.9t2,那么小球运动中的最大高度h最大= 4.9 米.解:h=9.8t-4.9t2=-4.9〔t2-2t〕=-4.9〔t-1〕2+4.9当t=1时,小球运动最大高度为4.9米.利用二次函数还可以解决日常生活中一些常见的问题,下面就让我们一起去看看吧!自学指导知识模块一二次函数与高度问题阅读教材P38~39,答复以下问题:1.当初始速度为10 m/s,问题中得到哪两个量之间的二次函数关系式?如何求解?2.第2个问题属于什么问题?怎样求解?【例题】如图,小明在一次高尔夫球争霸赛中,从山坡下O点打出一球向洞A点飞去,球的飞行道路为抛物线,假如不考虑空气阻力,当球到达最大高度12米时,球挪动的程度间隔为9米,山坡OA与程度方向OC的夹角为30°,O,A两点相距8√3米.〔1〕求出点A的坐标及直线OA的解析式;〔2〕求出球的飞行道路所在抛物线的解析式;〔3〕判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.知识模块二二次函数与刹车间隔阅读教材P39~40,答复以下问题:1.如何明确汽车刹车的制动间隔与车速成二次函数关系式?通过描点观察,图象可近似地以二次函数来模拟.2.通过本例的解决,你认为利用二次函数解决实际问题的方法是什么?通过实际问题中数据建立坐标系,求出二次函数解析式,再利用二次函数来解答相应问题.续表续表续表自学指导反比例函数与图形面积上一点,AB⊥x轴,AC⊥y轴,设A点的坐标为〔a,b〕,如图,点A为反比例函数y=kx,不管A点在何处它那么ab=k,所以S矩形ABOC=|OB|·|OC|=|a|·|b|=|k|,S△ABO=|k|2们的面积都不变.一次函数与反比例函数的综合运用【例题】〔k2≠0〕相交于A〔1,m〕,B〔-2,-1〕如图,直线y=k1x+b〔k1≠0〕与双曲线y=k2x两点.〔1〕求直线和双曲线的解析式;〔2〕假设A1〔x1,y1〕,A2〔x2,y2〕,A3〔x3,y3〕为双曲线上的三点,且x1<x2<0<x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系;〔3〕根据图象答复,一次函数大于反比例函数值时x的取值范围.合作探究1.的图象相交于A,B两点,其中点B 正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x的横坐标为-2,当y1<y2时,x的取值范围是〔 B 〕〔A〕x<-2或x>2 〔B〕x<-2或0<x<2〔C〕-2<x<0或0<x<2 〔D〕-2<x<0或x>2续表上,分别过A,B两点向坐标轴作垂线段,S阴影=1,那么2.如图,A,B两点在双曲线y=4xS1+S2= 6 .的图象上的一点,AB⊥x轴于点B,且△ABO的面积是3,那3.如图,A是反比例函数y=kx么k的值是 6 .解:根据题意可知:S△AOB=1|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k>0,那么k=6.2第2题图第3题图老师指导过双曲线y=k〔k≠0〕上一点P〔m,n〕分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,那x么S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|k|.1.图象上一点,过A作AB⊥x轴于点B,连接OA,那么△ABO 如图,点A为反比例函数y=-4x的面积为〔〕〔A〕-4 〔B〕4 〔C〕-2 〔D〕22.如图,A,B,C为反比例函数图象上的三个点,分别从A,B,C向x,y轴作垂线,构成三个矩形,它们的面积分别是S1,S2,S3,那么S1,S2,S3的大小关系是〔〕〔A〕S1=S2>S3〔B〕S1<S2<S3〔C〕S1>S2>S3〔D〕S1=S2=S33.如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=m与直线y=-2x+2交于点A〔-1,a〕.x〔1〕求a,m的值;〔2〕求该双曲线与直线y=-2x+2另一个交点B的坐标.续表〔A〕4 000元〔B〕4 250元〔C〕4 500元〔D〕5 000元2.一件工艺品进价为100元,标价135元出售,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,那么每天可多售出4件,要使每天利润最大,每件需降价的钱数为〔〕〔A〕5元〔B〕10元〔C〕0元〔D〕3 600元3.某种商品每天的销售利润y〔元〕与销售单价x〔元〕之间满足关系:y=ax2+bx-75.其图象如下图.〔1〕销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?〔2〕销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?。
沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21
二次函数二次函数说课稿一、教材分析：1、教材的地位和作用这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上,来学习二次函数的概念。
二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数,也是最重要的,在历年来的中考题中占有较大比例。
同时,二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。
进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径,并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。
而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础,是为后来学习二次函数的图象做铺垫。
所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
2、教学目标和要求：（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念,掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。
（2）过程与方法：通过学生的学与教师的引,经历二次函数概念的探索过程,通过当堂练习提高学生解决问题的能力．（3）情感、态度与价值观：通过观察、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解,发展学生的数学思维,增强学好数学的愿望与信心．3、教学重点：对二次函数概念的理解。
4、教学难点：由实际问题确定函数解析式。
二、说教法学法：1、先学后教,当堂训练2、利用研究学习,通过思维深入,领悟教学过程三、说教学过程：1.自我学习展示学习目标：1.认识二次函数2.会列出二次函数关系式自学指导：看课本P2-P3页,看清三个问题中函数的表示方法,熟记二次函数的概念及后面的满足条件。
思考二次函数为什么要满足这样的要求？5分钟完成。
中间给1分钟讨论。
【设计意图】首先展示学习目标和自学指导,让学生明确本节课要学习的内容和要达到的目标,自学指导可以让学生清楚的知道要做什么,要想什么,2.（1）用周长为20m的篱笆围成矩形场地,场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？由一名学生上黑板演版,其他同学在学案上做,做完后由学生找错误,教师点评。
然后教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？【设计意图】通过具体事例,让学生列出关系式,进一步提高学生由实际问题列出函数关系式的能力,并启发学生观察,思考,归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。
HK沪科版 初三九年级数学 上册第一学期秋(教学设计 教案)第21章 21.1 二次函数2
21.1 二次函数教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边得出矩形的面积2．试将计算结果填写在下表的空格中，BC的长，进而3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。
对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。
形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。
对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
HK沪科版 初三九年级数学上册第一学期(教学设计教案)第21章 二次函数与反比例函数(全章分课时 含反思)
第21章二次函数与反比例函数21．1二次函数1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)2．能根据实际情况建立二次函数模型．(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数？(1)y＝2－x2; (2)y＝1x2－1；(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式不符合二次函数的定义，故y＝1x2－1不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有(1)和(3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值如果函数y＝(k＋2)xk－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？解析：紧扣二次函数定义求解．注意易错点为忽视k＋2≠0.解：根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2＝2，k ＋2≠0，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝±2，k ≠－2，∴k ＝2. 方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a ≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax 2＋bx ＋c .【类型三】 与二次函数系数有关的计算已知一个二次函数，当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12；当x ＝－1时，y ＝18.求这个二次函数中各项系数的和．解析：解：设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．把x ＝0，y ＝0；x ＝2，y ＝12；x ＝－1，y ＝18分别代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝12，a －b ＋c ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝0，c ＝0.所以这个二次函数的表达式为y ＝18x 2.所以a ＋b ＋c ＝18＋0＋0＝18，即这个二次函数中各项系数的和为18. 方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解决这类问题要根据x ，y 的对应值，列出关于字母a ，b ，c 的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a ，b ，c 的值．探究点二：建立二次函数模型某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元．(1)请写出y 与x 的函数表达式，并求出自变量x 的取值范围； (2)当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为多少元？解析：根据题意可以知道：实际每件商品的利润为(60－x －40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x )，则每星期售出商品的利润为y ＝(60－x －40)(300＋20x )元，化简，注意要求出自变量x 的取值范围．解：(1)由题意，得： y ＝(60－x －40)(300＋20x ) ＝(20－x )(300＋20x ) ＝－20x 2＋100x ＋6000，自变量x 的取值范围为0≤x ≤20；(2)把x ＝15代入y ＝－20x 2＋100x ＋6000得y ＝3000(元)，即当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为3000元．方法总结：销售利润＝单件商品利润×销售数量；单件商品利润＝售价－进价．三、板书设计二次函数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1.概念：一般地，表达式形如y ＝ax 2＋bx ＋c（a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数，其中x 是自变量2.二次函数的识别3.确定二次函数中待定字母的取值（范围）4.求函数值5.建立二次函数模型6.确定自变量的取值范围教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．21．2 二次函数的图象和性质 1．二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)2．会用描点法画出二次函数y ＝ax 2的图象，概括出图象的特点；(重点) 3．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．一、情境导入我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？ 二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象 【类型一】 画二次函数y ＝ax 2的图象在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝12x 2；②y ＝2x 2；③y ＝－12x 2；④y ＝－2x 2.根据图象回答下列问题：(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O 为中心，对称地选取x 的值，列出函数的对应值表．解：列表：描点、连线，函数图象如图所示．(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y 轴；(2)函数y ＝2x 2和y ＝12x 2的图象有最低点，函数y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．方法总结：(1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．(3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2.(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab>0时，抛物线y＝ax与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是()解析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限．当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为()A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c答案：A方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；(3)△AMB 的面积．解析：直线与二次函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB 的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1； (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；(3)如图所示，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S △BDM ＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】 二次函数y ＝ax 2的增减性作出函数y ＝－x 2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小； (2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小．解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法． 解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2； (2)由图象可知y 3<y 4.方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】 二次函数y ＝ax 2的最值已知函数y ＝(1－n )xn ＋n －4是关于x 的二次函数，当n 为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解：∵函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n －4＝2，1－n ≠0.解得n ＝2或n＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n >0，即n <1.∴n ＝－3.∴当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的二次项系数a 的符号决定的；当a >0时，抛物线有最低点；当a <0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n >0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n >0，即n <1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n )．探究点五：利用二次函数y ＝ax 2的图象和性质解题 【类型一】 利用二次函数y ＝ax 2的性质解题当m 为何值时，函数y ＝mxm －m 的图象是开口向下的抛物线？当x 为何值时，y随x 的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？解：由题意，得m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 2－m ＝2，解得m ＝－1.当x <0时，y 随x 的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0.方法总结：本题主要考查函数y ＝ax 2(a ≠0)的有关性质．当a >0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a <0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a <0且x <0时，y 随x 的增大而增大．【类型二】 二次函数y＝ax 2的图象和性质的实际应用如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m ，水面CD 的宽为10m.(1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶了1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD 处，当水位涨到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ≠0)，拱桥最高点O 到水面CD 的距离为h m ，则D (5，－h )，B (10，－h －3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝－h ，100a ＝－h －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝1.∴抛物线的函数表达式为y ＝－125x 2；(2)水位由CD 处涨到最高点O 的时间为h ÷0.25＝1÷0.25＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x km/h ，即当4x ＋40×1＝280时，x ＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km/h.方法总结：一般地，求二次函数y ＝ax 2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B ，D 的纵坐标未知，故需设出CD 到桥顶的距离h 作为辅助未知数．三、板书设计二次函数y ＝ax 2的图象和性质⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧图象⎩⎪⎨⎪⎧画y ＝ax 2图象y ＝ax 2图象的形状、特点性质⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a >0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而减小当x >0时，函数y 随x 的增大而增大当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y ≥0a <0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而增大当x >0时，函数y 随x 的增大而减小当x ＝0时，函数取得最大值，y 最大值＝0，且y 没有最小值，即y ≤0教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1．会用描点法画出y ＝ax 2＋k 的图象；2．掌握形如y ＝ax 2＋k 的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 之间的联系．(难点)一、情境导入边长为15cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x (cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y (cm 2)与x (cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质【类型一】 确定y＝ax 2＋k 的图象与坐标轴的交点抛物线y ＝x －4与x 轴的交点坐标是________．解析：因为抛物线y ＝x 2－4与x 轴的交点纵坐标是0，即y ＝0，此时x 2－4＝0，解得x ＝±2，所以抛物线y ＝x 2－4与x 轴的交点坐标是(2，0)与(－2，0)．方法总结：求抛物线与x 轴交点坐标时，可利用交点纵坐标为0构造关于x 的方程来求抛物线的横坐标．【类型二】 二次函数y＝ax 2＋k 增减性判断已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是( ) A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2 B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2 C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2 D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2解析：如图所示，选项A ：若y 1＝y 2，则x 1＝－x 2，所以选项A 是错误的；选项B ：若x 1＝－x 2，则y 1＝y 2，所以选项B 是错误的；选项C ：若0＜x 1＜x 2，则在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，则y 1＜y 2，所以选项C 是错误的；选项D ：若x 1＜x 2＜0，则在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则y 1＞y 2，所以选项D 是正确的．故选D.【类型三】 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质的综合若二次函数y ＝ax ＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝2B ．当x ＜0，y 随x 的增大而减小C ．顶点坐标为(2，0)D ．图象有最低点解析：把x ＝－2，y ＝10代入y ＝ax 2＋2可得10＝4a ＋2，所以a ＝2，抛物线开口向上，有最低点，当x ＜0，y 随x 的增大而减小，所以A 、B 、D 均正确，顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)的顶点为(0，k )．【类型四】 在同一坐标系中确定y＝ax 2＋k 的图象与一次函数的图象在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y＝ax ＋c 的图象大致为( )解析：当a ＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升；当a ＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A ，C ，D ，故选B.探究点二：二次函数y ＝ax 2＋k 的平移【类型一】 利用平移确定y＝ax 2＋k 的解析式已知抛物线y ＝ax ＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2.那么抛物线的解析式为____________．解析：因为抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2.所以a ＝－3，c －2＝2，所以c ＝4，所以抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋4.【类型二】 确定y＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的关系抛物线y ＝ax ＋c 与y ＝－5x 的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y ＝－5x 2怎样得到的？解：抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－5x 2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－5. 又∵其顶点坐标为(0，3)，∴c ＝3.∴y ＝－5x 2＋3.它是由抛物线y ＝－5x 2向上平移3个单位得到的．方法总结：对于二次函数y ＝ax 2的图象来说，向上平移|c |个单位，就在ax 2后面加|c |，向下平移|c |个单位，就在ax 2后面减|c |.三、板书设计二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质⎩⎪⎨⎪⎧1.顶点坐标、对称轴、开口方向2.抛物线的增减性3.平移规律4.与一次函数、几何图形综合教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．第2课时 二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象和性质1．会用描点法画出y ＝a (x ＋h )2的图象；2．掌握形如y ＝a (x ＋h )2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝a (x ＋h )2与y ＝ax 2之间的联系．(难点)一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象与性质 【类型一】 y ＝a (x ＋h )2的顶点坐标已知抛物线y ＝a (x ＋h )(a ≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a ，h 的值．解：∵抛物线y ＝a (x ＋h )2(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝2.又∵抛物线y ＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴a (－4＋2)2＝2.∴a ＝12.方法总结：二次函数y ＝a (x ＋h )2的顶点坐标为(－h ，0)．【类型二】 二次函数y＝a (x ＋h )2图象的形状顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x ＋h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x ＋h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12.而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2.把a ＝－12，h ＝2代入y ＝a (x ＋h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．【类型三】 二次函数y＝a (x ＋h )2的增减性及最值对于二次函数y ＝9(x －1)，下列结论正确的是( ) A ．y 随x 的增大而增大B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＝－1时，y 有最小值0D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大解析：因为a ＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h ＝－1，顶点坐标为(1，0)，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D.探究点二：二次函数y ＝a (x ＋h )2图象的平移 【类型一】 利用平移确定y＝a (x ＋h )2的解析式抛物线y ＝ax 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．解析：y ＝ax 2向右平移3个单位后的关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a 的值．解：二次函数y ＝ax 2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把x ＝－1，y ＝4代入，得4＝a (－1－3)2，a ＝14，∴平移后二次函数关系式为y ＝14(x －3)2.方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．【类型二】 确定y＝a (x ＋h )2与y ＝ax 2的关系向左或向右平移函数y ＝－12x 2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能，理由如下：设平移后的函数为y ＝－12(x ＋h )2，将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－12(－9＋h )2，所以h ＝5或h ＝13，所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y ＝－12(x ＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．【类型三】 二次函数y ＝a (x ＋h )2图象的平移与几何图形的综合把函数y ＝12x 2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点坐标，最后求△ABC 的面积．解：平移后的函数为y ＝12(x －4)2，顶点C 的坐标为(4，0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x －4）2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8. ∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)，∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝12OC ×8－12OC×2＝12.方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．三、板书设计二次函数y ＝a （x ＋h ）2的图象和性质⎩⎪⎨⎪⎧1.顶点坐标、对称轴、开口方向2.抛物线的增减性3.抛物线的平移4.确定抛物线的解析式教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．第3课时 二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象和性质1．会用描点法画出y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象；2．掌握形如y ＝a (x ＋h )2＋k 的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2之间的联系．(难点)一、情境导入前面我们是如何研究二次函数y ＝ax 2、y ＝ax 2＋k 、y ＝a (x ＋h )2的图象与性质的？如何画出y ＝12(x －2)2＋1的图象？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象与性质【类型一】 抛物线y ＝a (x ＋h )2＋k 的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对于抛物线y ＝3(x －3)＋6，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝3；③顶点坐标为(3，6)；④x >0时，y 随x 的增大而增大．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可．①∵a ＝3>0，∴抛物线的开口向上，正确；②对称轴为直线x ＝3，正确；③顶点坐标为(3，6)，正确；④∵x >3时，y 随x 的增大而增大，即x >0时，图象的增减性不同．故选C.方法总结：对于抛物线y ＝a (x ＋h )2＋k ，其对称轴为x ＝－h ，顶点坐标为(－h ，k )．当a >0时，对称轴左边的图象，y 随x 的增大而减小，对称轴右边的图象，y 随x 的增大而增大，当a <0时，反之．【类型二】 利用顶点确定y＝a (x ＋h )2＋k 的解析式已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为__________________．解析：由题意可设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋2)2＋3，把x ＝－1，y ＝5代入得5＝a (－1＋2)2＋3，所以a ＝2，所以抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2＋3.【类型三】 利用y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象解决问题如图，点A ，B 的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y ＝a (x －m )2＋n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点(C 在D 的左侧)，点C 的横坐标最小值为－3，则点D 的横坐标最大值为( )A．－3 B ．1 C ．5 D ．8解析：C 、D 两点是抛物线与x 轴的交点，当C 的横坐标取得最小值时，抛物线的顶点在A 处，把C (－3，0)，A (1，4)代入解析式，可得0＝a (－3－1)2＋4，求得a ＝－14，当抛物线的顶点在B 处时，D 的横坐标取得最大值，其解析式y ＝－14(x －4)2＋4，易得最大值为8.故选D.探究点二：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象的平移将抛物线y ＝13x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A ．y ＝13(x －2)2－1B ．y ＝13(x －2)2＋1C ．y ＝13(x ＋2)2＋1D ．y ＝13(x ＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y ＝13x 2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝13(x －2)2－1.故选A.探究点三：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象与几何图形的综合如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y ＝(x －h )2＋k .所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)求h ，k 的值；(2)判断△ACD 的形状，并说明理由．解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；(2)分别过点D 作x 轴和y 轴的垂线段DE ，DF ，再利用勾股定理，可说明△ACD 是直角三角形．解：(1)∵将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y ＝(x ＋1)2－4，∴h ＝－1，k ＝－4；(2)△ACD 为直角三角形．理由如下：由(1)得y ＝(x ＋1)2－4.当y ＝0时，(x ＋1)2－4＝0，x ＝－3或x ＝1.∴A (－3，0)，B (1，0)．当x ＝0时，y ＝(x ＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C 点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D (－1，－4)．作出抛物线的对称轴x ＝－1交x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，如图所示．在Rt △AED 中，AD 2＝22＋42＝20；在Rt △AOC 中，AC 2＝32＋32＝18；在Rt △CFD 中，CD 2＝12＋12＝2.∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形．三、板书设计二次函数y ＝a （x ＋h ）2＋k 的图象和性质⎩⎪⎨⎪⎧1.顶点坐标、对称轴、开口方向2.抛物线的增减性3.函数的最值4.抛物线的平移教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．第4课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象；2．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握二次函数的性质；(重点)3．二次函数性质的综合应用．(难点)一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 【类型一】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值已知0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是( )A ．－10.5B ．2C ．－2.5D ．－6解析：y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∵自变量取值范围为0≤x ≤12，∴图象都在对称轴的左侧，且y 随x 的增大而增大．∴当x ＝12时，y 有最大值，最大值为y ＝－2x 2＋8x －6＝－2×(12)2＋8×12－6＝－2.5.故选C.方法总结：二次函数求最值最常用的方法是配方法和公式法，需要注意的是，当自变量限制范围时，如果对称轴取值不在范围内，则可以根据二次函数图象的增减性在取值范围内求最值．【类型二】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的增减性如图，已知二次函数y ＝－x ＋2x ，当－1＜x ＜a 时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．－1＜a ≤1C ．a ＞0D ．－1＜a ＜2解析：抛物线的对称轴为x ＝－22×（－1）＝1，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x 的增大而增大，∴a ≤1.∵－1＜x ＜a ，∴a >－1，∴－1<a ≤1.故选B.方法总结：抛物线的增减性：当a ＞0时，开口向上，对称轴左降右升；当a ＜0时，开口向下，对称轴左升右降．【类型三】 在同一坐标系中确定二次函数与一次函数的图象在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和y ＝－mx ＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )解析：当二次函数图象开口向上时，－m >0，即m <0，对称轴x ＝22m ＝1m <0，这时抛物线的对称轴在y 轴左侧．当m <0时，一次函数y ＝mx ＋m 的图象经过第二、三、四象限．故选D.方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．探究点二：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的平移在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝2x 2＋4x －3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )A ．(－3，－6)B ．(1，－4)C ．(1，－6)D ．(－3，4)解析：二次函数y ＝2x 2＋4x －3配方得y ＝2(x ＋1)2－5，将y ＝2(x ＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝2(x ＋1－2)2－5＝2(x －1)2－5，将抛物线y ＝2(x －1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y ＝2(x －1)2－5－1＝2(x －1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)．故选C.方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向上平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为y ＝ax 2＋k ，向下平移k (k >0)个单位所得函数关系式为y ＝ax 2－k ；向左平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x ＋h )2；向右平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x －h )2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．探究点三：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的位置与系数a 、b 、c 的关系如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，x ＝－1是对称轴，有下列判断：①b －2a ＝0；②4a －2b ＋c <0；③a －b ＋c ＝－9a ；④若(－3，y 1)，(32，y 2)是抛物线上两点，则y 1>y 2.其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④解析：∵－b2a ＝－1，∴b ＝2a ，即b －2a ＝0，∴①正确；∵当x ＝－2时点在x 轴的上方，即4a －2b ＋c >0，∴②不正确；∵4a ＋2b ＋c ＝0，∴c ＝－4a －2b ，∵b ＝2a ，∴a －b ＋c ＝a －b －4a －2b ＝－3a －3b ＝－9a ，∴③正确；∵(32，y 2)关于对称轴x ＝－1的对称点为(－72，y 2)，x <－1时，y 随x 的增大而增大，∵－3>－72，∴y 1>y 2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a 、b 、c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，当开口向上时，a ＞0，当开口向下时，a ＜0；抛物线的对称轴是x ＝－b 2a ；当x ＝2时，二次函数的函数值为y ＝4a ＋2b ＋c ；函数的图象在x 轴上方时，y >0，函数的图。
沪科9年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数1 二次函数
知1－练
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知1－练
解：① y=1－ 2 x2 ＝ － 2 x2 ＋ 1，是二次函数； ②分母中含有自变量，不是二次函数； ③ y=3x(1－3x) ＝ － 9x2+3x，是二次函数； ④ y=(1－2x)(1＋2x) ＝ － 4x2+1，是二次函数．
答案：C
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知1－练
1-1. [ 月考·合肥 ] 下列各式中， y 是 x 的二次函数的 是( C ) A.y=3x － 1 B.y=x2 － ( x+1)( x － 5) C.y=x2 － 5x+13
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特别提醒
知1－讲
(1)二次项系数、一次项系数和常数项包括它们前
面的符号，不要漏掉 .
(2) 二次函数y=ax2+bx+c( a ≠ 0)的特殊形式：
特殊形式 二次项 一次项 常数项
y=ax2(a≠0)
ax2
无
0
y=ax2+bx(a≠0) ax2
bx
0
y=ax2+c(a≠0) ax2
无
c
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知2－练
2-1.某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元， 每个月可卖出210 件；如果售价超过 50元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每个月少卖 3 件 . 设每件商品的售价为x元( x为 整数)，每个月的销售量为y 件.
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知2－练
(1) 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值 范围； 解：当 50＜x≤80 时，y＝210－(x－50)，即 y＝260－x； 当 80＜x＜140 时，y＝210－(80－50)－3(x－80)， 即 y＝420－3x. 综上所述，y＝246200－ －x3（ x（508<0<x≤x<801）40，）.
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质和图像，以及会运用二次函数解决实际问题。
二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考的热点，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对于函数的概念和图像是有一定的了解的。
但是二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生有良好的数学思维能力和抽象思维能力。
同时，学生对于实际问题的解决能力也需要加强。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图像；2.学会运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质；2.二次函数图像的特点；3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的定义和性质；2.使用多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解二次函数的特点；3.通过实际例题，让学生运用二次函数解决实际问题；4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.二次函数的PPT；3.实际问题的例题；4.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线射击、最大利润等问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数的定义、性质和图像，让学生直观地了解二次函数的特点。
同时，教师进行讲解，让学生理解二次函数的概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固二次函数的知识。
教师选取一些题目进行讲解，纠正学生的错误。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些拓展问题，如二次函数在实际生活中的应用等。
沪科版数学九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》复习教学设计
沪科版数学九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》复习教学设计一. 教材分析《二次函数与反比例函数》是沪科版数学九年级上册第21章的内容，本章主要让学生掌握二次函数和反比例函数的性质、图象和应用。
内容涵盖了二次函数的定义、开口方向、对称轴、顶点坐标的求法，以及反比例函数的定义、图象、性质等。
这一章内容在初中数学中占有重要地位，对于学生来说，理解掌握二次函数和反比例函数的知识，对于高中阶段的学习有着重要的铺垫作用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一次函数和二次函数的基础知识，对于函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数和反比例函数的性质、图象和应用，部分学生可能还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学设计，帮助学生理解和掌握二次函数和反比例函数的知识。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数和反比例函数的定义、性质、图象和应用，能够熟练运用二次函数和反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方式，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学素养，使学生认识到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数和反比例函数的定义、性质、图象和应用。
2.难点：二次函数和反比例函数的性质、图象和应用的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数和反比例函数的定义和应用。
2.自主学习法：鼓励学生自主探究二次函数和反比例函数的性质、图象，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的合作交流能力。
4.案例教学法：通过分析实际问题，引导学生运用二次函数和反比例函数解决问题，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的实际问题，作为教学案例。
沪科版初中数学九年级上册 (HK) 教学设计 第21章 二次函数与反比例函数 小结与复习
第21章二次函数与反比例函数小结与复习二、知识填空1．二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象和性质：抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的大致形状b2-4ac>0b2-4ac=b2-4ac<0开口方向对称轴顶点坐标函数y=ax2+bx+c（a>0）增减情况函数y=ax2+bx+c（a>0）的最值2.反比例函数y=xk（k≠0）的图象和性质：函数y=xk（k≠0）的图象大致形状k>0 k<0 函数y=（k≠0）的图象：教学思路（纠错栏）增减情况☆知识整合提升☆1、已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB.2、如图所示：已知直线ｙ＝21x与双曲线y=xk（k>0）交于Ａ、Ｂ两点，且点Ａ的横坐标为4.⑴求ｋ的值.⑵若双曲线y=xk（k>0）上的一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积xyABO☆ 达标检测 ☆1．抛物线y=2x 2-12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 2．在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是 ． 3.如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。
正确的说法有_____________。
(把正确的答案的序号都填在横线上)。
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第21章二次函数与反比例函数主题二次函数与反比例函数课型新授课上课时间教学内容21.1 二次函数;21.2 二次函数的图象和性质;21.3 二次函数与一元二次方程;21.4 二次函数的应用;21.5 反比例函数;21.6 综合实践获取最大利润教材分析本章对二次函数和反比例函数的学习,进一步丰富了研究函数的内容和方法,搞好这部分内容的教学,对进入高中后,学生对初等函数的学习有重要的意义.教学目标1.知识与技能了解二次函数和反比例函数的意义;掌握二次函数和反比例函数图象的画法;理解二次函数顶点坐标及最大值和最小值的意义;会根据不同的条件, 确定二次函数或反比例函数的解析式,会用待定系数法;会把一些实际问题归结为二次函数或反比例函数问题,并会运用二次函数或反比例函数的性质加以解决.2.过程与方法(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数、反比例函数的表达式,并体会二次函数、反比例函数的意义;(2)会用描点法画出二次函数、反比例函数的图象,能从图象上认识二次函数、反比例函数的性质;(3)会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导),并能解决简单的实际问题;(4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解;(5)能用反比例函数解决某些实际问题.3.情感、态度与价值观从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.教学重难点重点:1.二次函数和反比例函数的概念.2.二次函数和反比例函数图象和性质,以及它们的应用.3.培养学生在解决实际问题时建立函数模型的意识,并掌握建立函数模型的技能.难点:1.二次函数和反比例函数图象和性质,以及它们的应用.2.解决实际问题时建立函数模型的意识,并掌握建立函数模型的技能.知识结构课题21.1 二次函数课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能理解二次函数的概念,掌握二次函数一般形式.2.过程与方法通过对实际问题的探索,熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围.3.情感、态度与价值观注重参与,联系实际,丰富同学们的感性认识,培养同学们的良好的学习习惯.教学重难点重点:能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围.难点:熟练地列出二次函数关系式.教学活动设计二次设计课堂导入旧知回顾:一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0) ,一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0) ,为什么a≠0? 当a=0时,方程不是一元二次方程.导入新课:某正方形边长为x,面积为S,则其面积S与边长x之间的函数关系式是什么?它是一次函数吗?为什么?函数关系是S=x2,不是一次函数,为什么?探索新知合作探究自学指导知识模块一二次函数的概念阅读教材本课时的内容,回答以下问题:1.问题①中40 m是长方形的周长吗? 是,矩形面积S与其一边长x之间的函数关系式为S=x(20-x)(0<x<20) ,它是一次函数吗? 不是,原因: 右边不是x的一次式.2.问题②中,设增加x人,此时,共有15+x 个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此每人每天只装配190-10x 个玩具,所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为y=(190-10x)(15+x) .这个函数是一次函数吗? 不是,原因: 右边不是x的一次式.知识模块二在实际问题中列二次函数的解析式【例题】列出下列函数的关系式.(1)一个圆柱的高等于底面半径的2倍,则它的表面积S与底面半径r之间的关系式为S=6πr2.(2)某工厂一种产品现在年产量是20件,计划今后两年增加产量,如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示? y=20(1+x)2.学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.续表探索新知合作合作探究1.讨论探究小组讨论自学指导中出现疑问的地方.2.让学生归纳上面两个函数解析式具有哪些共同特征?3.思考:解决列函数关系式这一类题的步骤.教师指导1.易错点:二次函数是自变量的多项式,自变量的最高次数都是2,二次项系数不为0.2.归纳小结:一般地,表达式形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫做x的二次函数,其中x是自变量,a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.3.方法规律:(1) 二次函数必须满足三个条件:①函数解析式必须是整式;②化简后自变量的最高次数必须是2;③二次项系数不为0.(2) 解决列函数关系式这一类题的步骤:①审清题意,②找等量关系,③列函数关系式.当堂训练1.函数y=-2x2+3x-1的二次项系数、一次项系数、常数项依次是( )(A)-2,3,1 (B)-2,3,-1 (C)2,3,1 (D)2,3,-12.将一根长为20 cm的铁丝弯成一个矩形框架,设矩形的一边长为x cm,面积为y cm2,则y与x之间的函数关系式为,其中自变量x的取值范围是.3.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为.板书设计21.1 二次函数知识模块一二次函数的概念知识模块二在实际问题中列二次函数的解析式教学反思课题21.2 二次函数的图象和性质课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能能够利用描点法作出y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解y=ax2的图象和性质. 2.过程与方法经历画二次函数y=ax2的图象和探索性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.3.情感、态度与价值观经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.教学重难点重点:会画y=ax2的图象,理解其性质.难点:结合图象理解抛物线开口方向,对称轴,顶点坐标及基本性质.教学活动设计二次设计课堂导入旧知回顾:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)其图象是一条经过(0,b)的直线.特别地,正比例函数y=kx(k≠0)其图象是过原点的直线.(2)描点法画出一次函数的步骤,分为列表, 描点, 连线三个步骤.(3)我们把形如y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数.探索新知合作探究自学指导探究二次函数y=ax2图象性质阅读教材P5~6页的内容,回答以下问题:1.在画二次函数y=x2的图象时,自变量取了多少个值?经历了多少步?自变量取了7个值,经历了3步,分别是列表、描点、连线.2.二次函数y=x2的图象是一条抛物线,它的对称轴是y 轴,顶点(最低点)是(0,0) ,在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降,在对称轴的右侧,抛物线从左到右上升,也就是说,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.3.观察y=x2,y=2x2的图象,回答它们的开口方向,对称轴和顶点坐标.4.根据函数y=x2,y=2x2图象特点,总结y=ax2(a>0)的性质:最高或最低点,图象何时上升、下降.5.观察y=-x2,y=-2x2的图象,指出它们与y=x2,y=2x2图象的不同之处.6.(1)a>0与a<0时,函数y=ax2图象有什么不同?(2)|a|大小对开口大小有什么影响? 学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.续表探索新知合作探究合作探究1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学指导”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.教师指导1.易错点:y=ax2图象的两端是无限伸展的,画的时候要“出头”, a的绝对值越大,抛物线的开口越小.2.归纳小结:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,0)y轴x>0时,y随x的增大而;x<0时,y随x的增大而;x=0时,y有0a<0向下(0,0)y轴x>0时,y随x的增大而;x<0时,y随x的增大而;x=0时,y有03.方法规律:解决二次函数y=ax2的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑.当堂训练1.若(-5,2)在抛物线y=ax2上,则下列各点一定也在该抛物线上的是( )(A)(5,2) (B)(-2,-5)(C)(-5,-2) (D)(0,2)2.函数y=5x2的图象开口向,顶点是,对称轴是,当x 时,y随x的增大而增大.板书设计第1课时二次函数y=ax2的图象和性质探究二次函数y=ax2图象性质归纳性质教学反思课题21.2 二次函数的图象和性质课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象.2.过程与方法经历画二次函数y=ax2+k的图象和探索性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,体会数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观经历、探索二次函数y=ax2+k图象性质的过程,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.教学重点:二次函数y=ax2+k的图象和性质.重难点难点:函数y=ax2+k与y=ax2的相互关系.教学活动设计二次设计课堂导入旧知回顾:1.画函数图象利用描点法,其步骤为列表、描点、连线.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,a>0时,它的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是原点(0,0) ;在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当x=0时,y取最小值.a<0时有什么变化呢?探索新知合作探究自学指导知识模块一二次函数y=ax2+k的图象阅读教材P11~12,完成下面内容:画出y=2x2+1,y=2x2-1图象,根据图象回答下列问题:(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标分别为(0,1),(0,-1) .(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与y=2x2之间有什么关系?答:可以发现y=2x2+1是由y=2x2向上平移一个单位长度得到的,而y=2x2-1是由y=2x2向下平移1个单位长度得到的.知识模块二二次函数y=ax2+k的性质继续观察知识模块一中y=2x2+1,y=2x2-1图象,说说它们的增减性.答:两个图象都是当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.续表探索新知合作探究合作探究1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学指导”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.教师指导1.易错点:抛物线y=ax2与 y=ax2+k平移规律,运用y=ax2+k的性质时要注意数形结合思想.2.归纳小结:(1)抛物线y=ax2+k的图象①抛物线y=ax2+k的图象,当a>0时,开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k) .②抛物线y=ax2沿着y轴上下平移可以得到y=ax2+k,当k>0时,y=ax2向上平移k 个单位就可以得到抛物线y=ax2+k;当k<0时,抛物线y=ax2向下平移k 个单位就可以得到抛物线y=ax2+k.(2)二次函数y=ax2+k的图象和性质①开口方向:当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下.②对称轴: y轴.③顶点坐标: (0,k) .④增减性:当a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大;当a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y 随x的增大而减小.⑤最值:当a>0时,抛物线有最低点,当x=0时,y有最小值是k ;当a<0时,抛物线有最高点,当x=0时,y有最大值是k .3.方法规律:解决二次函数y=ax2+k的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑.当堂训练1.抛物线y=-2x2+8的开口,对称轴为,顶点坐标是;当x 时,y有最值为;当x<0时,函数值随x的增大而;当x>0时,函数值随x的增大而.2.将抛物线y=x2+1向下平移2个单位,得到抛物线解析式为.3.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点是(0,2),则a的值为.4.抛物线y=ax2+c与y=-3x2-2的图象关于x轴对称,则a= ,c= .板书设计第2课时二次函数y=ax2+k的图象和性质探究二次函数y=ax2+k的图象归纳二次函数y=ax2+k的性质教学反思课题21.2 二次函数的图象和性质课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.2.过程与方法让学生经历二次函数y=a(x+h)2性质探究的过程,理解函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.3.情感、态度与价值观经历、探索二次函数y=a(x+h)2图象性质的过程,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.教学重难点重点:掌握二次函数y=a(x+h)2的图象和性质.难点:二次函数y=a(x+h)2的图象和性质的运用.教学活动设计二次设计课堂导入旧知回顾:1.y=ax2+k是由y=ax2平移|k| 个单位得到.2.二次函数y=x2+5的图象是一条抛物线,它的开口向上,对称轴是y 轴,顶点坐标是(0,5) ;在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当x= 0 时,y取最小值.探索新知合作探究自学指导知识模块二次函数y=a(x+h)2的图象与性质阅读教材P14~15,思考并填写课本中的问题,然后完成下列问题:抛物线y=(x-1)2和y=(x+1)2与y=x2之间有什么关系?【例1】抛物线y=(x-2)2的开口向上,对称轴是直线x=2 ,顶点坐标是(2,0) ,当x <2 时,y随x的增大而减小;当x =2 时,函数y取得最小值,值为0 .【例2】如果将抛物线y=3x2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是( C ) (A)y=3x2-1 (B)y=3x2+1(C)y=3(x-1)2(D)y=3(x+1)2合作探究1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学指导”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:对于二次函数的图象,只要|a|相等,则它们的形状相同,只是开口方向不同,且|a|越大,开口越小.2.归纳小结:(1)二次函数y=a(x+h)2(a≠0)的图象性质:开口方向:a>0时,开口向上,a<0时,开口向下,顶点(-h,0) ,对称轴x=-h .最值:a>0时,有最小值y=0 .当a<0时,有最大值y=0 .增减性:a>0且x>-h时,y随x的增大而增大;x<-h时,y随x的增大而减小;a<0且x>-h时,y随x的增大而减小,x<-h时,y随x的增大而增大.(2)y=ax2和y=a(x+h)2的图象有如下关系:y=ax2y=a(x+h)2.3.方法规律:(1)解决二次函数y=a(x+h)2(a≠0)的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑.(2)由抛物线y=ax2的图象通过平移得到y=a(x+h)2的图象,左右平移的规律是(四字口诀)左加右减.当堂训练1.抛物线y=(x-2)2的开口向,顶点为,对称轴是,当时,y随x增大而减小;当x= 时,y有最值为.2.抛物线y=2x2.若抛物线不动,把y轴向右平移3个单位,那么在新坐标系下抛物线解析式为.3.抛物线y=3(x-1)2图象上有A(-1,y1),B(,y2),C(2,y3)三点.则y1,y2,y3大小关系为.板书设计第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质探究二次函数y=a(x+h)2的图象归纳二次函数y=a(x+h)2的性质教学反思课题21.2 二次函数的图象和性质课时第4课时上课时间教学目标1.知识与技能使学生理解函数y=a(x+h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.会确定函数y=a(x+h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.过程与方法让学生经历函数y=a(x+h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x+h)2+k的性质.3.情感、态度与价值观经历、探索二次函数y=a(x+h)2+k图象性质的过程,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.教学重难点重点:二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质.难点:运用二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质解决简单的实际问题.教学活动设计二次设计课堂导入1.填空:函数开口方向对称轴顶点坐标最值y=3x2向上y轴或x=0(0,0)最小值0 y=-2x2+3向下y轴或x=0(0,3)最大值3 y=x2-4向上y轴或x=0(0,-4)最小值-4y=0.6(x-5)2向上x=5(5,0)最小值0y=-3(x+1)2向下x=-1(-1,0)最大值02.函数y=x2+1的图象由y=x2向上平移1个单位得到;函数y=(x-2)2的图象由y=x2向右平移两个单位得到.探索新知合作探究自学指导知识模块一二次函数y=a(x+h)2+k的图象与y=ax2之间的关系阅读教材P16~17,完成下面内容:1.在同一直角坐标系中,画出下列函数y=x2,y=(x-2)2,y=(x-2)2+1的图象.2.观察它们的图象,回答:它们的开口方向都向上,对称轴分别为y轴、直线x=2 、直线x=2 ,顶点坐标分别为(0,0) 、(2,0) 、(2,1) .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.【例题】说出抛物线y=2(x+1)2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标,并指出它是由抛物线y=2x2通过怎样的平移得到的.知识模块二二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质1.(1)a>0,开口向上;a<0,开口向下;(2)对称轴是x= -h ;(3)顶点坐标是(-h,k) .2.从二次函数y=a(x+h)2+k的图象可以看出:如果a>0,当x<-h时,y随x的增大而减小,当x>-h时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<-h时,y随x的增大而增大,当x>-h时,y随x的增大而减小.续表探索新知合作探究合作探究1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学指导”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.教师指导1.易错点:抛物线的增减性根据函数图象运用数形结合思想;二次函数的平移问题用到的知识点为:二次函数的平移不改变二次项的系数;关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标,左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点.2.归纳小结:一般地,抛物线y=a(x+h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x+h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k 的值决定.二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质(1)①a>0,开口向上;a<0,开口向下;②对称轴是x= -h ;③顶点坐标是(-h,k) .(2)从二次函数y=a(x+h)2+k的图象可以看出:如果a>0,当x<-h时,y随x的增大而减小,当x>-h时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<-h时,y随x的增大而增大,当x>-h时,y随x的增大而减小.3.方法规律:由抛物线y=ax2的图象通过平移得到y=a(x+h)2+k的图象,平移的规律是左加右减,上加下减.当堂训练1.将抛物线y=-8x2先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为.2.抛物线y=-9(x+2)2-5的开口方向是,对称轴是,当x= 时,y 有最值,当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小.3.若一抛物线形状与y=2x2+7x相同,顶点坐标是(4,-2),则其解析式为.板书设计第4课时二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质二次函数y=a(x+h)2+k的图象与y=ax2之间的关系二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质教学反思课题21.2 二次函数的图象和性质课时第5课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象.(2)掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.过程与方法经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y=ax2+bx+c的性质.3.情感、态度与价值观经历、探索二次函数y=ax2+bx+c图象性质的过程,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.教学重难点重点:通过配方确定抛物线的对称轴,顶点坐标.难点:理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质.教学活动设计二次设计课堂导入旧知回顾:1.你能说出函数y=-3(x+2)2+4图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗?解:开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,4).在对称轴右侧y随x的增大而减小,在对称轴左侧y随x的增大而增大.当x=-2时,有最大值4.2.函数y=-3(x+2)2+4图象与函数y=-3x2的图象有什么关系?解:函数y=-3(x+2)2+4的图象是由函数y=-3x2的图象向上平移4个单位,向左平移2个单位得到的.探索新知合作探究自学指导知识模块一掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质阅读教材P18~19,完成下面的内容:填空:y=-2x2-8x-7=-2(x2+4x)- 7=-2(x2+4x+ 4 )- 7 + 8=-2(x+ 2 )2+ 1知识模块二二次函数图象与性质的应用【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( C )(A)ab>0,c>0 (B)ab>0,c<0(C)ab<0,c>0 (D)ab<0,c<0【例2】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于(-1,0),则下列结论错误的是( D )(A)当x=2时,有最大值(B)当x<2时,y随x的增大而增大(C)-=2(D)抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)合作探究1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学指导”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.续表探索新知合作2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.教师指导1.易错点:探究用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴时,首先要把二次项系数化为1.2.归纳小结:(1)一般式化为顶点式的思路:①二次项系数化为 1 ;②加、减一次项系数一半的平方;③写成平方的形式.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点坐标是-,.若a>0:当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大;当x=-时,y最小值= ;若a<0:当x<-时,y随x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小,当x= -时,y最大值= .3.方法规律:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的画法五点绘图法:利用公式法或配方法,确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取五点为:顶点,与y轴的交点(0,c),以及点(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c),与x轴的交点(x1,0) ,(x2,0) (若与x轴没有交点,则取两个关于对称轴对称的点).当堂训练1.抛物线y=-2x2+4x+6的开口,对称轴为,顶点坐标是,当x= 时,y有最值,当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小.2.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=-x2-6x;(2)y=x2-4x+3.3.已知抛物线y=-x2+ax-4的顶点在坐标轴上,求a的值.板书设计第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质二次函数图象与性质的应用教学反思课题21.2 二次函数的图象和性质课时第6课时上课时间教学目标1.知识与技能会用待定系数法求二次函数的表达式,会求两图象的交点坐标.2.过程与方法经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法.3.情感、态度与价值观培养观察、思考、归纳的良好思维习惯,增强学生数学应用意识.教学重难点重点:用待定系数法求二次函数的解析式.难点:由条件灵活选择解析式类型.教学活动设计二次设计课堂导入旧知回顾:1.正比例函数图象经过点(1,-2),该函数解析式是y=-2x .2.在直角坐标系中,直线l过(1,2)和(3,-1)两点,求直线l的函数关系式.思考:一般地,函数关系式中有几个独立的系数,我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如:我们确定正比例函数y=kx(k≠0)只需要一个独立条件;确定一次函数y=kx+b(k≠0)需要两个独立条件.如果要确定二次函数y=ax2+bx+c的关系式,需要几个条件呢?探索新知合作探究自学指导阅读教材P21~22,完成下面的内容:通过学习,你会发现求y=ax2+bx+c的解析式需要三个独立条件.(学生先独立思考,然后教师出示解题步骤)【例1】已知二次函数经过(-1,10),(1,4),(2,7),求这个二次函数解析式.解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).因为二次函数y=ax2+bx+c过点(-1,10),(1,4),(2,7)三点.所以解得所以所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.【例2】见教材第22页,学生先独立思考,然后小组讨论.总结解决此类问题的方法.学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学指导”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.续表探索新知合作探究2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.教师指导1.易错点:确定二次函数的表达式时,注意选择合适的二次函数形式.2.归纳小结:(1)求二次函数的解析式y=ax2+bx+c,需要求出a,b,c 的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a,b,c 的方程组,求出a,b,c 的值,就可以写出二次函数的解析式.(2)求两函数图象的交点坐标,就是两函数关系式联立组成方程组的解.3.方法规律:求二次函数的关系式,应恰当地选用二次函数关系式的形式,一般,有如下几种情况:(1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.。