空间向量及线性运算
空间向量的线性运算习题课
第1页 空间向量的线性运算导学案（三）
习题课
目标检测
(一)增强信心
1．空间四边形ABCD中，,,,cADbBCaAB则CD( )
A．cba B.cba C．cba D．cba
2．若},,{cba是空间的一个基底，向量,,banbam，那么可以与n、m构成空间另一个基底的向量是( )
A．a B．b C．c D．a2
3．平行六面体OABC－O′A′B′C′中，设,,,cOObOCaOAG为BC′的中点，用a，b，c表示向量OG，则OG＝( )
A．cba2121 B．cba2121 C．cba2121 D．cba2121
4．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
A．OCOBOAOM B．OCOBOAOM2
C．OCOBOAOM3121 D．OCOBOAOM313131
5．若向量且向量和垂直向量Rbanbam,(,、则)0 （ ）
A．nm// B． nm
C．nmnm也不垂直于不平行于, D．以上三种情况都可能
6.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为________．
第2页 二：能力提升
7．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，若,3211CCzBCyABxAC则x＋y＋z＝( )
A．1 B．67 C．65 D．32
8．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且cOCbOBaOA,,，用cba,,表示向量MN______.
9．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为CC1的中点，NCAN21，若,1CCzADyABxNM则x＝______，y＝______，z＝______.
空间向量的线性运算
弘德中学 制作人：董春燕 使用日期：
运筹于帷幄之中，决胜于千里之外！祝你成功！！
空间向量的线性运算
一、学习目标：理解空间向量概念，掌握空间向量的集合表示法和字母表示法；能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
二、学习重点：空间向量的运算及运算律。
三、学习难点：应用向量解决立体几何中的问题。
四、知识梳理：
1. 空间向量（1）空间向量的定义：
（2）空间向量的表示方法：与平面向量一样，空间向量也是用 表示。
（3）空间向量的模：表示向量a的 叫向量的长度或模，记作
（4）零向量： 的向量叫零向量，记作
2.空间向量的关系：（1）相等向量： 的向量叫相等向量；
用 的有向线段表示同一向量或相等的向量。（2）平行向量或共线向量：①有向线段 叫做向量的基线。②如果空间中一些向量的基线互相 则这些向量叫做共线向量或平行向量，如 ab平行记作 。注：规定零向量与任意向量共线。
3.空间向量的加法、减法和数乘向量的运算律。（1）加法交换律
（2）加法结合律 （3）分配律 ；
4.空间向量与平面向量的关系：由于平面向量的集合是空间向量集合的子集，因而平面向量的概念在空间向量中仍然成立。
五、典例分析：
''''''11;(2)';(3)2ABCDABCDABADAADDABBCABADDDBC例、已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量（1）
教学案 空间向量及其线性运算
aC'B'A'D'DABCa B
A
O l P 高二年级 数学教学案（2010年9月27日）
周次 6 课题 空间向量及其线性运算 1课时
授课形式 新授 主编 审核
教学目标 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；
3．理解空间向量共线的充要条件
重点难点 1空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；
2空间向量的线性运算及其性质。
课堂结构
一、自主探究
1.在空间，我们把既有 又有 的量，叫做空间向量，记为a。
2.空间向量加法和数乘运算满足如下运算律：
（1）abba（2）cbacba （3）Rbaba
3.共线向量： 。
4.共线向量定理： 。
5.在平行六面体ABCD–A1B1C1D1中，设,,,1cAAbADaAB则BD1= 。
6.已知空间四边形ABCD，M,N,分别是BC和CD的中点，则BCBDAB2121
等于 。
二、教学过程
（一）、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；
2、物体的受力情况分析
（二）、建构数学
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图baABOAOB
向量的线性运算
向量的线性运算
向量是线性代数中的重要概念，线性运算是对向量进行数学操作的方法。本文将介绍向量的线性运算包括加法、减法、数乘，以及向量的线性组合。
一、向量的加法
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，符号为“+”。设有向量A和向量B，记作A+B=C，其中C是向量A和向量B的和向量。向量的加法满足以下几个性质：
1. 交换律：A+B=B+A
2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)
3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，其中0是零向量，即所有分量都为0的向量。
二、向量的减法
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，符号为“-”。设有向量A和向量B，记作A-B=C，其中C是向量A和向量B的差向量。向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B=A+(-B)，其中-表示取反操作。
三、向量的数乘 向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。设有向量A和实数k，记作kA=B，其中B是向量A的数乘结果。向量的数乘满足以下性质：
1. 分配律：k(A+B)=kA+kB
2. 结合律：(kl)A=k(lA)，其中k和l为实数
四、向量的线性组合
向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行相加得到一个新的向量。设有向量A1、A2、...、An和实数k1、k2、...、kn，向量的线性组合记作k1A1+k2A2+...+knAn。向量的线性组合可以看作是向量的加法和数乘运算的组合。
向量的线性运算在向量空间中有着重要的应用。通过向量的线性组合，我们可以表示出向量空间中的各种线性关系，诸如线性相关性、线性无关性、生成子空间等概念。
在实际问题中，向量的线性运算也有广泛的应用。例如，物理学中常用向量的线性组合来表示力、速度、加速度等物理量；经济学中则常用向量的线性组合来表示商品的组合、市场的供求关系等。
综上所述，向量的线性运算包括加法、减法、数乘和线性组合。通过这些运算，我们可以对向量进行各种数学操作，方便地进行向量的运算和分析，也为解决实际问题提供了有力的工具。
空间向量线性表示例题和知识点总结
空间向量线性表示例题和知识点总结
一、空间向量的基本概念
空间向量是在空间中具有大小和方向的量。与平面向量类似，空间向量也用有向线段来表示。其具有长度（模）和方向。
空间向量的模长计算公式为：若向量 ＄＼overrightarrow{a}＝（x,y,z)＄，则其模长 ＄｜＼overrightarrow{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋
z^2}＄。
空间向量的加减法遵循三角形法则或平行四边形法则。
二、空间向量的线性运算
空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘运算。
加法：＄＼overrightarrow{a} ＋ ＼overrightarrow{b} ＝ （x_1 ＋
x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＄
减法：＄＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝ （x_1 x_2,
y_1 y_2, z_1 z_2)＄
数乘：＄k\overrightarrow{a} ＝ （kx_1, ky_1, kz_1)＄
三、空间向量线性表示的例题
例 1：已知空间三点 ＄A(1,0,1)＄，＄B(2,1,－1)＄，＄C(0,1,3)＄，求向量 ＄＼overrightarrow{AB}＄ 和 ＄＼overrightarrow{AC}＄，并用向量 ＄＼overrightarrow{AB}＄ 和 ＄＼overrightarrow{AC}＄ 线性表示向量 ＄＼overrightarrow{BC}＄。
首先，＄＼overrightarrow{AB} ＝ （2 1, 1 0, －1 1) ＝ （1, 1, －2)＄
＄＼overrightarrow{AC} ＝ （0 1, 1 0, 3 1) ＝ （－1, 1, 2)＄
＄＼overrightarrow{BC} ＝ ＼overrightarrow{AC} ＼overrightarrow{AB} ＝ （－1 1, 1 1, 2 （－2)） ＝ （－2, 0, 4)＄
空间向量及其线性运算教案
房山高级中学生态循环课堂教案 高二数学（理科） 第18周01 总编号：06 主备人：董立杰
1 3.1.1空间向量及其线性运算
一、教学目标：
1．运用类比的方法，经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程；
2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；
3．理解空间向量共线（平行）的充要条件及共线向量定理．
二、教学重难点：
1.空间向量的线性运算及其性质．2.空间向量及其线性运算法则的运算．
三、教学方法建议：
新授课.启发式——引导发现.合作探究．
四、教学流程与教学方法设计
(A)类问题（学生自学）
1.平面内既有大小又有方向的量叫平面向量．
2.空间中既有大小又有方向的量叫空间向量．
3.空间向量的加法和数乘运算满足的运算律．
加法交换律：abba；加法结合律：)()(cbacba；
数乘分配律：bkakbak.
4.共线向量定理：空间任意两个向量a，b（a≠0），a//b的充要条件是ab．
(B)类问题（学生练习，教师点拨）
5.如图，在三棱柱111CBAABC中，M是1BB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
111BACACB＋； 1122ACCBAAAM＋＋； 113AAACCBBA－－． 房山高级中学生态循环课堂教案 高二数学（理科） 第18周01 总编号：06 主备人：董立杰
2
(C)类问题（学生思考，教师点拨）
6.如图，在长方体'''OADBCADB中，3OA，4OB，2OC，1OKOJOI，点FE,分别是'',BDDB的中点．设OIi＝，OJj＝，OKk＝，试用向量i，j，k表示OE和OF．
ijBEOBOE234
(学案)空间向量及其线性运算
3.1.1空间向量及其线性运算
[教学目标]
一、知识与技能：了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；理解空间向量共线的充要条件
二、过程与方法：运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
三、情感态度与价值观：体验数学在结构上的和谐性，感悟在推广过程中因维数增加所带来的影响
[教学重点]空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；
[教学难点]空间向量的线性运算及其性质。（本节是课件）
[教学过程]：
一、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；
2、物体的受力情况分析
二、建构数学
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
运算律：
⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3．平行六面体：
平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
5．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 ．其中向量叫做直线的方向向量.
空间向量的线性运算(人教A版)
第1页共4页
空间向量的线性运算（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.在空间直角坐标系中，已知点，则下列叙述：
①点关于轴对称的点的坐标是；
②点关于平面对称点的坐标是；
③点关于轴对称点的坐标是；
④点关于原点对称的点的坐标是．
其中正确的有( )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
2.在空间四边形中，( )
A.B.
C.D.
3.若为空间的一组基底，则下列各项中，也能构成基底的一组向量是( )
A.B.
C.D.
4.若为空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是( )
A.B.
C.D.
第2页共4页 5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是(
)
A.B.
C.D.
6.在平行六面体中，设，则=( )
A.B.
C.D.
7.如图，点是平行六面体的体对角线与的交点，，，，则=( ) 第3页共4页
A.B.
C.D.
8.在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则可表示为( )
A.B.
C.D.
9.如图，已知和分别是四面体的边的中点，且，若，，，则用，，表示为( ) 第4页共4页
A.B.
C.D.
10.如图，在空间四边形，，，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是(
)
A.B.
C.D.
空间向量的线性运算(人教A版) 2
第1页共4页
空间向量的线性运算（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.在空间直角坐标系中，已知点，下列叙述正确的个数是( )
（1）点关于轴对称的点的坐标是；
（2）点关于平面对称点的坐标是；
（3）点关于轴对称点的坐标是；
（4）点关于原点对称的点的坐标是.
A.3 B.2
C.1 D.0
2.在空间四边形中，等于( )
A.B.
C.D.
3.若为空间的一组基底，则下列各项中，也能构成基底的一组向量
是( )
A.B.
C.D.
4.若为空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的向量是( )
A.B.
C.D.
第2页共4页 5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是(
)
A.B.
C.D.
6.在平行六面体中，设，则=( )
A.B.
C.D.
7.如图，点是平行六面体的体对角线与的交点，，，，则=( ) 第3页共4页
A.B.
C.D.
8.在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则可表示为( )
A.B.
C.D.
9.如图，已知和分别是四面体的棱的中点，且，若，，，则用，，表示为( ) 第4页共4页
A.B.
C.D.
10.如图，在空间四边形，，，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是(
)
A.B.
C.D.
空间向量的线性运算 2
昌邑市文华学校
3.1.1空间向量的线性运算
【学习目标】
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法减法和数乘运算.
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律
3.用空间向量的运算意义和运算律解决立体几何问题.
【重点、难点】用空间向量的运算意义和运算律解决立体几何问题.
【自学指导】
一、基础知识：
1.空间向量的概念： 叫做向量.
2.零向量：起点与终点 的向量叫做零向量，记为0.
3.长度：表示向量a的 的长度，叫做向量的
记作 .
4.基线：有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的 叫做向量的基线．
5.共线向量(平行向量): 如果空间中一些向量的基线 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b，记作 ．规定零向量与 共线．
二、空间向量的运算
1.定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） =OBOAAB BAOAOB
()OPaR 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律：
思考与讨论：
1.零向量有方向吗？
2.首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，它们的和向量有什么特点？
3.平面向量有关的法则、运算律等在空间中仍成立的有哪些？
【合作、探究、展示】
例1：已知平行六面体1111ABCDABCD，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
规律小结：
例2：已知平行六面体1111ABCDABCD，求满足下列各式的x的值。