空间向量及其线性运算
?
温故:
想一想:
如何将向量推广到空间立体中？
回顾1 : 什么是平面向量 ?怎样表示 ?
回顾2 :向量的线性运算的概念和运算法则?
回顾3 :向量线性运算的运算律有哪些?
知识再现：平面向量 既有大小又有方向的量。 1、定义： 几何表示法: 用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母 a 表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
例题讲解: 1. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中 点,化简下列各式. B1 A1 (1)CB + BA1 = CA1
C1 M B
C
(1) AC + CB + BD
练习: 1. 如图,在空间四边形ABCD中,E是AB中 点,CF=2DF,化简下列各式:
B
BA = OA - OB
a
P O
A
与平面向量一样,空间向量的加法,减法,数乘 运算的意义与平面向量运算的意义相同.
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
知新:
1.空间向量;空间向量的表示: (1)在空间中,把像位移、力、速度、加速度这 样既有大小又有方向的量，叫做空间向量。 (2)空间向量和平面向量一样,空间向量也用 有向线段表示. 凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示 同一向量或相等向量.
B A D
C
2.对于任意两个空间向量 a, b ,在空间任取
B A D
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
a b a
向量减法的三角形法则
ka ka
(k>0) (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律 加法交换律： 加法结合ห้องสมุดไป่ตู้： 数乘分配律：
ab ba ( a b) c a (b c ) k ( a b) k a＋k b
一点O,作 OA = a, AB = b
空间任意两个向量,都可以用某一平面内的两条有向线 段表示.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面 向量中有关结论仍适用于它们。 a
b
a + b = OA + AB = OB
OP = ka
空间向量 Þ 平面向量
空间向量 及其线性运算
问题情境: 一个小蚂蚁从A点出发(蚂蚁只能在 边或棱上爬行),寻找食物: (1)正方形ABCD中,食物在D点; D1 (2)正方体中,食物在C1点;
D A C A1 B1
C1
B
A
AD AB BC CD
D
C
B AC1 AB BC CC1
,使得 b = l a
概念认识: 判断命题的真假:
(1)两个空间向量相等, 则它们的起点相同,终点也相同. 假 (2)由 a b ,知 a 与 b 方向相同. 假 (3)不相等的两个空间向量的模必不相等. 假 (4)若空间向量
(5)若空间向量
m, n, p a ,b,c
A D
OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,点E,F分别是DB,
小结
概念与表示
运算 共线定理
空间向量
向量
应用
平面向量
类比,化归思想
作业:
P72,练习 2,3. 数学之友 10,T3.1 空间向量及其线性运算
数乘分配律 (a b) a＋b
3. 空间向量的加法结合律成立吗?
(a + b) + c = a + (b + c)
O
a
A
a+ b+ c a+ b b+ c C b B c
4.如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合,则这些向量称为平行向量 或共线向量. 记作: a b 规定:零向量与任一向量共线. 对于空间任意两个向量 a, b (a ¹ 0) , a, b共线 的充要条件是: 存在实数 l
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算
运 算 律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
满足 m = n ,n = p 则 m = p .真 满足 a b , b c 则 a c .假
(6)空间中任意两个单位向量相等. 假 (7)将所有单位向量的起点平移到同一点为起点,则 它们终点的轨迹为单位圆. 假
1 (2) AC + CB + AA1 2 = AB + BM A = AM (3) AA1 - AC - CB = CA1 - CB = BA1
D F
(2) AF - BF - AC 2 1 (3) AB + BC + CD 2 3
A E B
C
例题讲解: 2. 如图,在长方体OADB-CA1D1B1中,OA=3,
D1B1的中点,设 OI = i, OJ = j, OK = k ,试用 B1 i, j, k 表示下列向量. C F D 1 (1)OE A1 K (2)OF O B J I (3) AF E
加法交换律 a b b a
加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a 加法结合律
成立吗？
(a b) c a (b c) 数乘分配律 (a b) a＋b
1.1.1空间向量及其线性运算课件(人教版)(2)
表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决
立体几何问题.
在本章，我们就来研究这些问题.
情景引入
引例1
这是一个做滑翔
伞运动的场景.你能
想象,在滑翔过程中,
飞行员会受到来自哪
些不同方向、大小各
异的力吗？
这是一个做滑翔
伞运动的场景.可以
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
空间向量
实数与空间向量a的积
是一个向量，记作 a，
其长度和方向规定如下：
（1） a a
（2）若 0, a与a的方向相同；
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
2. 空间向量的线性运算
人教A版202X高中数学选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
星
学习目标
（1）经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量的
概念，发展数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb？
对任意两个空间向量a, b（b 0）
, a / / b 存在实数，使a b
a
l
P
O
O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行
的非零向量称为直线l的方向向量
对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确
定的实数，使得 OP a . 也就是说，直线可以由其上一点和它的
【课件】空间向量及其线性运算+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算1.空间向量及其线性运算【知识点的认识】1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.f f2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为I, II特别地：f①规定长度为0的向量为零向量，记作0;②模为1的向量叫做单位向量；3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.ff4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如的相反向量记为. _5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.6.注意：f①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量;④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小.1.加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.BA = OA - OB = a - b2 .加法运算律: 空间向量的加法满足交换律及结合律.(1)交换律：+3.推广: (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:1 2 + 2 3 + 3 4 +^+ _1(求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量1 .空间向量的数乘运算④|入|=|入|・加法的三甬形法则 加法的平行四边形法贝ij 减法的三眉形法则 一 的长度是 的长度的|入|倍.(2)结合律：(+ ) ++( + )•1 2 +2 3 + 3 4 +一 + 一1=0.实数入与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算. ①当入 >0时 一与的方向相同;②当入<0时 一与的方向相反; ③当入=0时 一 0.空间向量的数乘满足分配律及结合律.一②(入+P )=+一一 (2)结合律：()=( )A<0(1)分配律:一 一 ①（+ ）= + 注意：实数和空间向量可 行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算.。
第一章 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算
1.1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算[学习目标]1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．(重点)导语你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？一、空间向量的有关概念问题1平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？提示平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致．知识梳理1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．空间向量用字母a ，b ，c ，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)空间向量不能比较大小．(4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)．例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A ．单位向量都相等B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →D ．相等向量其方向必相同答案D解析A 中，单位向量长度相等，方向不确定；B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量不能比较大小．(2)(多选)下列命题为真命题的是()A ．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝bB ．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→C ．若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝pD ．空间中，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析A 为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A 中向量a 与b 的方向不一定相同；B 为真命题，AC →与A 1C 1—→的方向相同，模也相等，故AC →＝A 1C 1—→；C 为真命题，向量的相等满足传递性；D 为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b ＝0时，a 与c 不一定平行．反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1(多选)下列说法错误的是()A ．任意两个空间向量的模能比较大小B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等答案BCD解析对于选项A ，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，两个向量不相等，它们的模可以相等．二、空间向量的加减运算问题2空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．知识梳理加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．(3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.(4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n A 1—→＝0.例2(1)(多选)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是()A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→答案AB解析A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→；B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.(2)对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，其中一定不成立的是()A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－AC →＝BC →C ．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|D ．|AB →|－|AC →|＝|BC →|答案B解析根据空间向量的加减法运算，对于A ，AB →＋BC →＝AC →恒成立；对于C ，当AB →，BC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于D ，当AB →，AC →方向相同且|AB →|≥|AC →|时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|；对于B ，由向量减法可知AB →－AC →＝CB →，又BC →为非零向量，所以B 一定不成立．反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)AB →＋BC →－DC →；(2)AB →－DG →－CE →.解(1)AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →.(2)如图，连接GF ，GF →＝12BC →，AB →－DG →－CE →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.三、空间向量的数乘运算知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa 与向量a 的方向相同λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ<0λa 与向量a 的方向相反λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa )＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.(2)λ的正负影响着向量λa 的方向，λ的绝对值的大小影响着λa 的长度．(3)向量λa 与向量a 一定是共线向量．例3(1)(多选)已知m ，n 是实数，a ，b 是空间任意向量，下列命题正确的是()A ．m (a －b )＝m a －m bB ．(m －n )a ＝m a －n aC ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n 答案AB解析m (a －b )＝m a －m b ，A 对；(m －n )a ＝m a －n a ，B 对；若m ＝0，则a ，b 不一定相等，C 错；若a ＝0，则m ，n 不一定相等，D 错．(2)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →；②A 1N —→；③MP →.解①∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1—→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .②∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC→＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .③∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝121A —→＋AP→＝－12a ＋12b ＋＝12a ＋12b ＋c .延伸探究1．本例(2)的条件不变，试用a ，b ，c 表示向量PN →.解因为P ，N 分别是C 1D 1，BC 的中点，所以PN →＝PC 1—→＋C 1C —→＋CN →＝12AB →＋(－AA 1—→)－12AD a ＋12b －12c .2．若把本例(2)中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是棱BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．(1)CB →＋BA 1—→；(2)AC →＋CB →＋12AA 1—→；(3)12AA 1—→－12B 1B —→－AC →－CB →.解(1)CB →＋BA 1—→＝CA 1—→.(2)∵M 是BB 1的中点，∴BM →＝12BB 1—→，又AA 1→＝BB 1—→，∴AC →＋CB →＋12AA 1—→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)12AA 1—→－12B 1B —→－AC →－CB →＝12(AA 1—→＋BB 1—→)－(AC →＋CB →)＝AA 1—→－AB →＝BA 1—→.1．知识清单：(1)向量的相关概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．(3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列命题中，真命题是()A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案ABC解析容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是()A.PM →B.NP →C ．0D.MN→答案C解析PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0.3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是()A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形答案A解析∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形．4．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，点P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，若OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →，则x ＝________，y ＝________.答案－12－12解析由图可知，因为OQ →＝PQ →－PO→＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是()A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案D解析向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反．2．下列说法中正确的是()A ．空间中共线的向量必在同一条直线上B.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合C ．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →答案C解析对于A ，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A 错误；对于B ，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合，所以B 错误；对于C ，λ既决定大小又决定方向，所以C 正确；对于D ，满足AB →＋AD →＝AC →的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D 错误．3．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于()A.32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG→答案B解析MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1—→＝c ，则A 1B —→等于()A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a －cD ．b －a ＋c 答案C解析A 1B —→＝AB →－AA 1—→＝(CB →－CA →)－AA 1—→，∵AA 1—→＝CC 1—→＝c ，∴A 1B —→＝b －a －c .5.在空间四边形OABC 中，若E ，F 分别是AB ，BC 的中点，H 是EF 上的点，且EH →＝13EF →，记OH →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )等于()，12，，16，，16，，13，答案A解析连接OE ，OF (图略)，因为EH →＝13EF →，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以OH →＝OE →＋EH→＝OE →＋13EF →＝OE →＋13(OF →－OE →)＝23OE →＋13OF →＝23×12(OA →＋OB →)＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋12OB→＋16OC →，故(x ，y ，z )，12，6．(多选)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列选项中正确的有()A.AB →－CB →＝AC→B.AC ′—→＝AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→C.AA ′—→＝CC ′—→D.AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′—→答案ABC解析作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的图象如图，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，故A 正确；AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC ′—→，故B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AB →＋BC →＝AC →，故D 不正确．7．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________.答案AD→解析AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________.答案－a －b ＋12c解析∵CM →＝CB →＋BA →＋AM →＝－BC →－AB →＋AM →，又∵M 是AA 1的中点，∴AM →＝12AA 1—→，∴CM →＝－BC →－AB →＋12AA 1—→，∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，∴CM →＝－a －b ＋12c .9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为5的所有向量；(3)试写出AA 1—→的所有相反向量．解(1)由题意知，AA 1＝1，所以向量AA 1—→，A 1A —→，BB 1—→，B 1B —→，CC 1—→，C 1C —→，DD 1—→，D 1D —→，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)易知A 1D ＝AA 21＋AD 2＝5，所以模为5的向量有AD 1—→，D 1A —→，C 1B —→，BC 1—→，B 1C —→，CB 1—→，A 1D —→，DA 1—→.(3)根据相反向量的定义，可得向量AA 1—→的所有相反向量为A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→.10.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解∵AE →＝AB →＋BC →＋CE→＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC→＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝12OD →＋12OB →－32→，又AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，∴x ＝12，y ＝－32.11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于()A.DB →B.AB →C.AC→ D.BA→答案D 解析方法一DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.方法二DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM →等于()A ．－12AB →＋76AD →＋23AA ′—→B ．－12AB →＋56AD →＋13AA ′—→C.12AB →＋16AD →＋23AA ′—→D.12AB →－16AD →＋13AA ′—→答案C解析因为BM ＝2MC ′，所以BM →＝23BC ′—→，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋23BC ′—→＝12DB →＋23(AD →＋AA ′—→)＝12(AB →－AD →)＋23(AD →＋AA ′—→)＝12AB →＋16AD →＋23AA ′—→.13.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝____________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.14.如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG →＝________.答案12a ＋14b ＋14c 解析在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝AB →＋14AC →＋14AD →－12AB→＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14c .15．(多选)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1＝4∶1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则下列选项正确的为()A.AP →＝12(a ＋b ＋c )B.AP →＝12(a ＋2b ＋c )C.AQ →＝12a ＋b ＋cD ．AQ ＝15a ＋15b ＋45c答案AD解析因为P 是CA 1的中点，所以AP →＝12(AA 1—→＋AC →)＝12(AA 1—→＋AB →＋AD →)＝12(a ＋b ＋c )，故A正确，B 错误；因为点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1＝4∶1，所以AQ →＝AA 1—→＋A 1Q —→＝AA 1—→＋15A 1C —→＝AA 1—→＋15(AC →－AA 1—→)＝15AC →＋45AA 1—→＝15(AB →＋AD →)＋45AA 1—→＝15a ＋15b ＋45c ，故C 错误，D 正确．16．在平面四边形ABCD 中，E ，F 分AB →，DC →所成的比为λ，即AE EB ＝DF FC ＝λ，则有EF →＝11＋λAD→＋λ1＋λBC →.(1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD 类似的命题，并加以证明；(2)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点，利用上述(1)的结论表示EF →.解(1)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分AB →，DC →所成的比为λ，即AE EB ＝DF FC ＝λ，则有EF →＝11＋λAD →＋λ1＋λBC →.证明如下：EF →＝EB →＋BC →＋CF →＝11＋λAB →＋BC →＋11＋λCD →＝11＋λ(AD →＋DB →)＋BC →＋11＋λ(CB →＋BD →)＝11＋λAD→＋11＋λDB →＋BC →＋11＋λCB →＋11＋λBD →＝11＋λAD →＋λ1＋λBC →.(2)由(1)的结论可得EF →＝11＋1CB →＋11＋1A 1A —→＝12CB →＋12A 1A —→.。
1.1.1 空间向量及其线性运算
b
D a b
ab
C
A
a
B
4.空间向量的数乘运算: (1)当 0时, a与a同向； (2)当 0时, a与a反向； (3)当 0时, a 0；
a a( 0) a( 0)
(4)|a| |||a|.
注意：当a 0时, =0或a 0. 即 0是a 0的 __充__分__不__必__要__ 条件.
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可 以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等 关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平 面向量的方法解决. 在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了 空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系，一个自然的 想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中 点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题. 在本 章，我们就来研究这些问题.
AB AD AA AB AA AD AC
D′
三个不共面的向量的和与这三个向量的关系： A′ 三个不共面的向量的和就是以这三个不共面
的向量为邻边的平行六面体的对角线所在向量.
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还
D
可以得到: 有限个向量求和，交换相加向量的顺 A 序，其和不变.
C′ B′
C B
教材第5页练习 2.如图,E, F分别是长方体ABCD ABCD的棱AB,CD的中点. 化简下列 表达式，并在图中标出化简结果的向量：
(1) AA CB；(2) AA AB BC；(3) AB AD BD；(4) AB CF .
D′
C′
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
自主学习
三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
自主学习
六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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21
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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20
3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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14
5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
第01讲空间向量及其线性运算
2023暑假新高二第01讲空间向量及其线性运算2023.08【知识梳理】知识点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB 或a。
（要注意印刷体用a ，而手写体为a，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a 3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0 。
规定：0与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =.相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：①当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．知识点二、空间向量的加减法1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．运算律交换律：a b b a+=+ 结合律：()()a b c a b c ++=++要点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n nA A A A A A A A A A -++++= 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；知识点三、空间向量的数乘运算1.定义：实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＞0时，λa 与a 方向相反；当λ=0时，λa=0．λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．如右图所示．2．运算律．分配律：λ(a+b)=λa+λb ；结合律：λ(μa)=(λμ)a ．要点诠释：（1）实数λ与空间向量a 的乘积λa （λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，λa=0；当λ≠0时．若a≠0时，有λa≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义．知识点四、共线定理1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a ∥b ．注意：0与任意向量是共线向量．2．共线向量定理．空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a // 的充要条件是存在实数λ，使b aλ=．要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：注意:b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．3.共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算空间向量是三维空间中的一个重要概念，它具有方向和大小。
在现实生活和科学研究中，我们常常需要对空间向量进行各种数学操作和运算。
本文将介绍空间向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数量乘法以及与数的乘法。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
则两个向量的加法运算可以表示为：A +B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
则两个向量的减法运算可以表示为：A -B = (Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个标量k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。
则向量A与标量k的数量乘法运算可以表示为：kA = (kAx, kAy, kAz)4. 向量与数的乘法向量与数的乘法是指将一个向量的每个分量都与一个相同的数相乘得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个数k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。
则向量A与数k的乘法运算可以表示为：A * k = (Ax * k, Ay * k, Az * k)空间向量的线性运算具有以下几个重要性质：1. 加法交换律对于任意的向量A和B，有A + B = B + A。
2. 加法结合律对于任意的向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 减法与加法的关系向量减法可以看作是加法的逆运算，即A - B = A + (-B)，其中-A表示向量B取相反数得到的向量。
4. 标量乘法分配律对于任意的向量A和标量k、m，有k(A + B) = kA + kB，(k + m)A = kA + mA。
1.1.1空间向量及其线性运算 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(1)定义：在空间，具有 大小 和 方向
的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的 大小 ．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用 有向线段 表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
→
→
终点是 B，也可记作：_____，其模记为____或____．
|a|
随堂练习
1.下列说法正确的是(
)
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
解析:任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,
它与任意向量平行,故B错误;仅知两向量的模相等,无法判断两向量是否共
向量 a 方向 相反；当 λ＝0 时，λa＝ 0；λa 的长度是 a 的长度的 |λ| 倍．
空间向量线性运算的运算律(其中λ，μ∈R)
b＋a
①交换律：a＋b＝_______；
a＋(b＋c)
(λμ)a
②结合律：(a＋b)＋c＝______________，λ(μa)＝_______；
③分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________.
所以 + 1 =
1
2
1
1
3
1
3
2
2
2
2
2
+ + + + = a+ b+ c.
反思感悟 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决
这类问题,要注意两个方面:
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.