空间向量及其线性运算课件0
AC; (1 ＝
(2) AB AD AA AC AA AC CC1 AC1 1 1
例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
（3）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，必有 AC AC1 ； 1
a a、满足| a || b |，则 b ； b
满足 m n, n p ，则
（4）若空间向量 m n p 、 、
m p
；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ A.1 B.2 C.3
例如:
a
3a
3a 即： (a b) a b （ ） a a a ( )a ( )a
共线向量亦称平行向量
平面共线向量定理的内容， 对空间向量也是成立的。
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
练习：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、 MA－MB
它们一定是：
A
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
A
D
B
C
课堂检测3
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C D
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D
B
C
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
C ）
D.4
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 ( 4) AB AD CC1 2
D A B A1 G C D1 B1 C1
(1) p xa yb p 与 a 、 共面 ; b (2) p 与 a 、 共面 p xa yb b ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
练习2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) AC AB1 AD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD) 2( AD AB AA1 )
2AC1
p 与两不共线向量 a ， b
反过来，对空间任意两个不共线的向量 a ， ，如 b 果 p x yb，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系？
C b A aB
p
P
xa, yb分别与a， b共线，
xa, yb都在a， b确定的平面内
并且此平行四边形在， a b确定的平面内，
D G
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2 ＝BM MG MB MG
B
M
C
课堂检测3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
D1 A1 B1 C1
x 2.
A
D B
C
AB
长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
a b a
向量减法的三角形法则
ka ka
(k>0) (k<0)
向量的数乘
思考：空间任意两个向量是否都可以平移到
同一平面内？为什么？
复习回顾：平面向量
一：空间向量的基本概念
平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
a
空间向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
a e2 e1
e 由平面向量基本定理知，如果 e1， 2
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 ， a 只有一对实数1 2 使 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p x yb
D.既不共线又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， xOA ＋ OB ＋ OC ,则x OM 3 3 的值为：D
A. 1
B. 0
C. 3
1 D. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
存在唯一实数对（x , y） 使得AP x AB y AC , OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
C b A a B
C'
p
P
O
例4: B 1.下列命题中正确的有：
2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线
AP t AB
OP xOA yOB( x y 1)
p xa yb在a， b确定的平面内即p与a， , b共面
b 2.共面向量定理：如果两个向量 a ， 不共线， ， 共面的充要条件是 则向量 p 与向量 a b
存在实数对x,y使
p xa yb
C b A a B
p
P
3.空间四点P、A、B、C共面
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
课堂检测3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
加法交换律 a b b a
加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A A1 D1 B1 C1
D B
C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
四、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
三、空间向量的数乘运算
a 仍然是一个向量.
⑴当 ⑵当 ⑶当
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
0 时, a 与向量 a 的方向相同; 0 时, a 与向量 a 的方向相反; 0 时, a 是零向量.
中点公式：
1 若P为AB中点, 则 OP OA OB 2
B
P A O
五、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
B
b
O
A
a
O′
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
内，成为同一平面内的两个向量。
说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们。
(2) AB AD AA AC AA AC CC1 AC1 1 1
例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
（3）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，必有 AC AC1 ； 1
a a、满足| a || b |，则 b ； b
满足 m n, n p ，则
（4）若空间向量 m n p 、 、
m p
；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ A.1 B.2 C.3
例如:
a
3a
3a 即： (a b) a b （ ） a a a ( )a ( )a
共线向量亦称平行向量
平面共线向量定理的内容， 对空间向量也是成立的。
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
练习：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、 MA－MB
它们一定是：
A
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
A
D
B
C
课堂检测3
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C D
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D
B
C
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
C ）
D.4
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 ( 4) AB AD CC1 2
D A B A1 G C D1 B1 C1
(1) p xa yb p 与 a 、 共面 ; b (2) p 与 a 、 共面 p xa yb b ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
练习2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) AC AB1 AD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD) 2( AD AB AA1 )
2AC1
p 与两不共线向量 a ， b
反过来，对空间任意两个不共线的向量 a ， ，如 b 果 p x yb，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系？
C b A aB
p
P
xa, yb分别与a， b共线，
xa, yb都在a， b确定的平面内
并且此平行四边形在， a b确定的平面内，
D G
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2 ＝BM MG MB MG
B
M
C
课堂检测3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
D1 A1 B1 C1
x 2.
A
D B
C
AB
长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
a b a
向量减法的三角形法则
ka ka
(k>0) (k<0)
向量的数乘
思考：空间任意两个向量是否都可以平移到
同一平面内？为什么？
复习回顾：平面向量
一：空间向量的基本概念
平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
a
空间向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
a e2 e1
e 由平面向量基本定理知，如果 e1， 2
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 ， a 只有一对实数1 2 使 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p x yb
D.既不共线又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， xOA ＋ OB ＋ OC ,则x OM 3 3 的值为：D
A. 1
B. 0
C. 3
1 D. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
存在唯一实数对（x , y） 使得AP x AB y AC , OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
C b A a B
C'
p
P
O
例4: B 1.下列命题中正确的有：
2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线
AP t AB
OP xOA yOB( x y 1)
p xa yb在a， b确定的平面内即p与a， , b共面
b 2.共面向量定理：如果两个向量 a ， 不共线， ， 共面的充要条件是 则向量 p 与向量 a b
存在实数对x,y使
p xa yb
C b A a B
p
P
3.空间四点P、A、B、C共面
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
课堂检测3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
加法交换律 a b b a
加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A A1 D1 B1 C1
D B
C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
四、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
三、空间向量的数乘运算
a 仍然是一个向量.
⑴当 ⑵当 ⑶当
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
0 时, a 与向量 a 的方向相同; 0 时, a 与向量 a 的方向相反; 0 时, a 是零向量.
中点公式：
1 若P为AB中点, 则 OP OA OB 2
B
P A O
五、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
B
b
O
A
a
O′
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
内，成为同一平面内的两个向量。
说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们。
合集下载
【课件】空间向量及其线性运算+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
使 OE OF OG OH k. OA OB OC OD
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
111空间向量及其线性运算课件-2023高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(2)结合律：(a b) c a (b c)，(a) ()a (3)分配律：( )a a a ，(a b) a b
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 AB AD AA' , AB AA' AD 表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律 吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
C
Pα
所以 AP AB AC ，
A
B
即 OP OA (OB OA) (OC OA) ，
化简得 OP (1 )OA OB OC ，
O
所以有 OP xOA yOB zOC (x y z 1) .
1.判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量 AB 与向量B A 的长度相等．
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点） 3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示.
字母表示法：用字母 a ，b 等或者用有向线段的起点与终点字母 AB 表示.
任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数 λ，使得 OP a . 我们把与向量 a 平行的
非零向量称为直线l 的方向向量.
这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的
a
l P
一点和它的方向向量表示，也就是说，直线 可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 AB AD AA' , AB AA' AD 表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律 吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
C
Pα
所以 AP AB AC ，
A
B
即 OP OA (OB OA) (OC OA) ，
化简得 OP (1 )OA OB OC ，
O
所以有 OP xOA yOB zOC (x y z 1) .
1.判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量 AB 与向量B A 的长度相等．
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点） 3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示.
字母表示法：用字母 a ，b 等或者用有向线段的起点与终点字母 AB 表示.
任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数 λ，使得 OP a . 我们把与向量 a 平行的
非零向量称为直线l 的方向向量.
这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的
a
l P
一点和它的方向向量表示，也就是说，直线 可以由其上一点和它的方向向量确定.
第1章 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算课件(共71张PPT)
·
情
课
景
堂
导
小
学
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
结
·
探
提
新 知
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
素 养
合
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
作
课
探 究
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向
时 分
层
释 疑
量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
作 业
难
返 首 页
·
结 提
新
素
知
(2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足O→P＝13O→A 养
合
作
课
探 究
＋13O→B＋13O→C，则点 P 与点 A，B，C 是否共面？
时 分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
17
·
情 景
[提示]
(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成
课 堂
导
小
学 为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
12
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
·
提
新
素
知
养
[提示] 没有关系．
合
作
课
探
时
究
分
层
释
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
自主学习
三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
自主学习
六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件
空间一点 P 位于平面 MAB内
推论1：空间四点 P、M、A、B 共面
引入空间任一点 O ,
存在唯一有序实数对( x , y ) 使 MP x MA y MB
MP OP OM ,
B
可变式为 OP OM x MA y MB.
α
P
M
A
O
又
MA OA OM , MB OB OM
探究思考 1：空间向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
[提示] 没有关系．
3.知识拓展
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
An 1
A1
A1 A2 A2 A3 A3 A4
An
A2
+ An 1 An A1 An
A4
A3
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即 ：
G
F
OF OE OH OE
EF EH
由向量共面的充要条件可知，EH , EF , EG 共面,又
点E ,从而
四点共面.
EH , EF , EG过同一
六.课堂小结
平面向量
类比
空间向量
1.空间向量的概念.
2.空）的概念及空间向量
存在唯一的有序实数对 ( x , y , z ) 使
OP xOA yOB zOM 其中 (x y z 1) .
四.课堂练习
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量 a，b，c，若 a∥b，b∥c，则 a∥c．
(
)
(2)相等向量一定是共线向量．
(
)
(3)三个空间向量一定是共面向量．
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件
O
B
C
O
B
C
向量加法结合律在空间中仍成立
A
A
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
向量加法运算的推广
*
例2
练习：
*
课堂小结（1分钟）
1.空间向量的相关定义：2.空间向量的线性运算法则及运算律：
三角形法则和平行四边形法则
当堂检测（12分钟）
C
问题3 平面向量的加法、减法运算法则是什么？
向量加法的三角形法则
减向量终点指向被减向量终点
导学问题1（2分钟）
阅读课本p2：类比平面向量的定义，你能得到空间向量的相关定义吗？
大小
方向
大小
模
有向线段
点拨运用1（4分钟）
相等
相反
相同
相等
互相平行或重合
共线向量
平行向量
*
练习：（多选）下列关于空间向量概念的命题中，正确的是
BC
导学问题2（5分钟）
阅读课本p3并思考：1.空间向量的线性运算及其法则与平面向量有区分吗？为什么？2.如何借助平行六面体理解空间向量的加法运算的运算律？
加法:三角形法则或平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
成立吗？
点拨运用2（18分钟）
1.1.1空间向量及其线性运算 第一课时（加减数乘）
学习目标（1分钟）
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。2.掌握空间向量的加减数乘运算。
*
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面中既有大小又有方向的量
复习回顾（2分钟）
B
C
O
B
C
向量加法结合律在空间中仍成立
A
A
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
向量加法运算的推广
*
例2
练习：
*
课堂小结（1分钟）
1.空间向量的相关定义：2.空间向量的线性运算法则及运算律：
三角形法则和平行四边形法则
当堂检测（12分钟）
C
问题3 平面向量的加法、减法运算法则是什么？
向量加法的三角形法则
减向量终点指向被减向量终点
导学问题1（2分钟）
阅读课本p2：类比平面向量的定义，你能得到空间向量的相关定义吗？
大小
方向
大小
模
有向线段
点拨运用1（4分钟）
相等
相反
相同
相等
互相平行或重合
共线向量
平行向量
*
练习：（多选）下列关于空间向量概念的命题中，正确的是
BC
导学问题2（5分钟）
阅读课本p3并思考：1.空间向量的线性运算及其法则与平面向量有区分吗？为什么？2.如何借助平行六面体理解空间向量的加法运算的运算律？
加法:三角形法则或平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
成立吗？
点拨运用2（18分钟）
1.1.1空间向量及其线性运算 第一课时（加减数乘）
学习目标（1分钟）
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。2.掌握空间向量的加减数乘运算。
*
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面中既有大小又有方向的量
复习回顾（2分钟）
空间向量及其线性运算课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
k,
OA OB OC OD
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD,
又 AC AB AD
EG OG OE kOC kOA
· )
k AC k ( AB AD
k (OB OA OD OA)
OF -OE OH -OE
1
法2 : AG ( AB AC ) AG AM MG
2
C
巩固练习
6.在立方体AC1中,点E是面
关系？反过来，与有什么位置关系时， = ？
共线向量定理：对任意两个空间向量，( ≠ 0)，//的充要条件是存
在实数λ，使 = .
直线的方向向量
如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对
于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的
充要条件可知，存在实数，使得 = .
的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可
以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
如图示,已知空间向量a , b,以任意点 O为起点,作向量
OA a，
OB b ,我们就可以把它们平移到同一平面 内.
这样就使得所有空间向量问题都可以转变成平面向量解决.
空间向量的线性运算和运算律
问：这个三棱锥会在这三个力的作用下做什么运动？
当这三个力多大时，这个三棱锥会运动？
F
【问题1】
• 1.在这个问题中，我们研究的是力，在数学中，这些力可以
看做是什么量？
• 2.这些量与我们以往学过的有什么不同？
• 3.我们能不能依据以往学过的知识来解决这个空间问题？
【问题2】
1.1.1空间向量及其线性运算 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有 大小 和 方向
的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的 大小 ．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用 有向线段 表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
→
→
终点是 B，也可记作：_____，其模记为____或____．
|a|
随堂练习
1.下列说法正确的是(
)
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
解析:任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,
它与任意向量平行,故B错误;仅知两向量的模相等,无法判断两向量是否共
向量 a 方向 相反；当 λ＝0 时，λa＝ 0；λa 的长度是 a 的长度的 |λ| 倍．
空间向量线性运算的运算律(其中λ，μ∈R)
b＋a
①交换律：a＋b＝_______；
a＋(b＋c)
(λμ)a
②结合律：(a＋b)＋c＝______________，λ(μa)＝_______；
③分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________.
所以 + 1 =
1
2
1
1
3
1
3
2
2
2
2
2
+ + + + = a+ b+ c.
反思感悟 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决
这类问题,要注意两个方面:
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.
(1)定义：在空间，具有 大小 和 方向
的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的 大小 ．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用 有向线段 表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
→
→
终点是 B，也可记作：_____，其模记为____或____．
|a|
随堂练习
1.下列说法正确的是(
)
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
解析:任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,
它与任意向量平行,故B错误;仅知两向量的模相等,无法判断两向量是否共
向量 a 方向 相反；当 λ＝0 时，λa＝ 0；λa 的长度是 a 的长度的 |λ| 倍．
空间向量线性运算的运算律(其中λ，μ∈R)
b＋a
①交换律：a＋b＝_______；
a＋(b＋c)
(λμ)a
②结合律：(a＋b)＋c＝______________，λ(μa)＝_______；
③分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________.
所以 + 1 =
1
2
1
1
3
1
3
2
2
2
2
2
+ + + + = a+ b+ c.
反思感悟 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决
这类问题,要注意两个方面:
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
空间向量及其线性运算ppt课件
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 MA AB BN
23
1 2
OA
2 3
1 2
OA
OB
OA
1 2
BC
1 2
OA
2 3
OB
1 2
OA
1 2
OC OB
1 OA 1 OB 1 OC 633
1 6
a＋
13b＋
1
c3
学习目标
新课讲授
课堂总结
技巧归纳 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算 时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移 获得运算结果.
B b A
AQ M
a
O
λa(λ＜0)
PN
λa(λ＞0)
学习目标
新课讲授
课堂总结
运算律的类比（其中λ，μ∈R）：
平面向量
空间向量
交换律
a＋b=b＋a
a＋b=b＋a
结合律 分配律
(a＋b)＋c = a(＋b＋c) ， (a＋b)＋c =a(＋b＋c) ，
λ(μa) = (λμ)a
λ(μa) = (λμ)a
学习目标
新课讲授
课堂总结
利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形 法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
学习目标
新课讲授
课堂总结