考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷32(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷32 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设则F(x)在x=0处( )
A．极限存在但不连续。
B．连续但不可导。
C．可导。
D．可导性与a有关。
正确答案：D
解析：即F(x)在x=0处的可导性与a有关。所以选D。 知识模块：一元函数积分学
2． 设f(x)=∫0xf(t)dt则( )
A．F(x)在x=0处不连续。
B．F(x)在(一∞，+∞)内连续，但在x=0处不可导。
C．F(x)在(一∞，+∞)内可导，且满足F’(x)=f(x)。
D．F(x)在(一∞，+∞)内可导，但不一定满足，F’(x)=f(x)。
正确答案：B
解析：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外的其他点都连续，且x=c为f(x)的跳跃间断点。又设F(x)=∫cxf(t)dt，则：①F(x)在[a，b]上必连续；②当x∈[a，b]且x≠c时，F’(x)=f(x)；③F’(C)必不存在，且F+’?=f(c+)，F-’(C)=f(c-)。直接利用上述结论(本题中的c=0)，可知选项B正确。 知识模块：一元函数积分学
3． 设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )
A．∫0x[f(t)一f(一t)]dt
B．∫0xt[f(t)+f(一t)dt
C．∫0xf(t2)dt
D．∫0xf(t)2dt
正确答案：B
解析：取f(x)=x，则相应的均为奇函数，故不选A、C、D。应选B。 知识模块：一元函数积分学
4． 如图1-3-1，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周。设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：结合定积分的几何意义，可知 知识模块：一元函数积分学
5． 设函数若反常积分∫0+∞f(x)dt收敛，则( )
A．α＜一2
B．α＞2
C．一2＜α＜0
D．0＜α＜2
正确答案：D
解析：根据反常积分的收敛性判断，将已知积分分解为 知识模块：一元函数积分学
6． 设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性( )
A．仅与m的取值有关。
B．仅与n的取值有关。
C．与m，n的取值都有关。
D．与m，n的取值都无关。
正确答案：D
解析：显然x=0，x=1是该积分的两个瑕点，因此有对于等价于．因为m，n均为正整数，有收敛。对于的瑕点x=1，当时而积分显然收敛，因此积分也是收敛的。 知识模块：一元函数积分学
7． 曲线y=e-xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为( )
A．一∫03πe-xsinxdx
B．∫03πe-xsindx
C．∫0πe-xxsinx－∫π2πe-xsinxdx+∫2π3πe-xsinxdx
D．∫02πe-xsindx一∫2π3πe-xsindx
正确答案：C
解析：当0≤x≤π或2，π≤x≤3π时y≥0，当π≤x≤2π时y≤0.所以y=e-xfsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积为∫0πe-xsinxdx－∫π2πe-xsinxdx+∫2π3πe-xsinxdx。故选C。 知识模块：一元函数积分学
8． 曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围成的平面图形的面积可表示为( )
A．一∫02x(x一1)(2一x)dx。
B．∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12x(x一1)(2一x)dx。
C．一∫01x(x-1)(2－x)dx+∫12x(x-1)(2－x)dx。
D．∫02x(x一1)(2一x)dx。
正确答案：C
解析：由于所求平面图形在x轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查B、C选项中的每一部分是否均为正即可，显然C正确。事实上，S=∫02｜y｜dx=∫02｜x(x一1)(2一x)｜dx=∫01x(x一1)(2一x)｜dx+∫12｜x(x一1)(2一x)｜ax=一∫01z(x-1)(2－x)dx+∫12x(x-1)(2－x)dx。 知识模块：一元函数积分学
9． 如图1-3_2，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf’(x)dx等于( )
A．曲边梯形ABOD面积。
B．梯形ABOD面积。
C．曲边三角形ACD面积。
D．三角形ACD面积。
正确答案：C
解析：因为∫0axf’(x)dx=∫0axdf(x)=xf(x)｜a－∫0af(x)dx=af(A)一∫0af(x)dx，其中af(A)是矩形ABOC的面积，∫0af(x)dx为曲边梯形ABOD的面积，所以上∫0axf’(x)dx为曲边三角形ACD的面积。 知识模块：一元函数积分学
10． 由曲线(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由曲线y=f(x)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得故选B。
知识模块：一元函数积分学
11． 由曲线y=1一(x一1)2及直线y=0围成图形(如图1—3—3)绕y轴旋转一周而成的立体体积V是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：按选项，要把曲线表示成x=x(y)，于是要分成两部分则V是以下两个旋转体的体积之差： 知识模块：一元函数积分学
12． 曲线r=aebθ的(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选A。 知识模块：一元函数积分学
13． 半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度ρ=1。若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：如图1—3一7所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相应的小横条所受压力微元 知识模块：一元函数积分学
填空题
14． =__________。
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
15． 当a＞0时，=__________。
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
16． =__________。
正确答案：
解析：令x=tant，则dx=sec2tdt，于是 知识模块：一元函数积分学
17． 已知曲线y=f(x)过点，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=________。
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
18． =__________。
正确答案：一4π
解析： 知识模块：一元函数积分学
19． =__________。
正确答案：
解析：令x一1=sint，则 知识模块：一元函数积分学
20． =__________。
正确答案：0
解析： 知识模块：一元函数积分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21． 计算
正确答案：使用分部积分法和换元积分法。 涉及知识点：一元函数积分学
22． 设f(x)=∫-12e-y2dy，计算I=∫13f(x)dx。
正确答案：f’(x)=一e-(x-1)2，由分部积分公式可得 涉及知识点：一元函数积分学
23． 设f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx。
正确答案：由题意 涉及知识点：一元函数积分学
24． 已知f’(2)=0及∫02f(x)dx=1，求∫02f’’(2x)dx。
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
25． 设f(x)连续可导，F(x)=∫0xf(t)f’(2a一t)dt。证明：F(2a)一2F(A)=f2(A)-f(0)f(2a)。
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
26． 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明
正确答案：连续利用分部积分法有 涉及知识点：一元函数积分学
27． 设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。
正确答案：证明：必要性：设φ(A)=∫aa+1f(x)dx一∫01(x)dx，由题设φ’(A)=f(a+l)一f(A)=0，则φ(A)=c(常数)。设a=0，则c=φ(0)=0，那么上∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx。充分性：在∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(0)=0，故f(x)以l为周期。 涉及知识点：一元函数积分学
28． 计算
正确答案：利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 涉及知识点：一元函数积分学
计算下列反常积分(广义积分)。
29．
正确答案：由于x2—2x=(x一1)2—1，因此为去掉被积函数中的根号，可令x一1=sect则有 涉及知识点：一元函数积分学
30．
正确答案：采用分解法与分部积分法，由于，故可将被积函数分解，并用分部积分法有 涉及知识点：一元函数积分学
31． 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(π)=0。又因为0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx，所以存在±∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为仍．与∫0πF(x)sinxdx=0矛盾，但当ξ∈(0，π)时，sinπ≠0，故F(ξ)=0。由以上证得，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0，再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0。 涉及知识点：一元函数积分学
32． 设f(x)在[0，+∞]连续，且证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。
正确答案：作函数F(x)=f(x)+x，有所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使∫01F(x)dx=(1一0)F(A)＜0，即F(A)＜0。又因为所以，由极限的保号性，存在b＞a，使，即F(B)＞0。因此，由介值定理，至少存在一个ξ∈[a，b]c(0，+
考研数学二(填空题)模拟试卷152(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷152 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3为标准形．
正确答案：f=9y32 涉及知识点：行列式
2． 若a＞0，b＞0均为常数，则＝_______．
正确答案：； 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=
正确答案：n-m 涉及知识点：行列式
4． =______
正确答案：2
解析： 知识模块：函数、极限、连续
5． 已知A，B，C都是行列式值为2的3阶矩阵，则=___________?
正确答案：
解析：根据行列式按行(列)展开法则，得 知识模块：行列式
6． 设，其f(χ)可导且f′≠0，则＝_______．
正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学
7． 由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成平面图形的面积为_______．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
8． 已知向量组α1=(1，2，—1，1)T，α2=(2，0，t，0)T，α3=(0，—4，5，t)T线性无关，则t的取值为_________。
正确答案：(—∞，+∞)
解析：由于向量的个数与维数不一样，因此不能用行列式去分析，而要用齐次方程组只有零解，或矩阵的秩等于n来分析向量组的无关性。A=(α1，α2，α2)=由于对任意的t，R(A)=3恒成立，所以向量组α1，α2，α3必线性无关，因此t∈(—∞，+∞)。 知识模块：向量
9． 设曲线y=lnx与y=相切，则公共切线为______
正确答案：
解析：设当x=a时，两条曲线相切，由得a=e2．两条曲线的公共切线为y-lne2=
考研数学二(选择题)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷90 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但非等价无穷小
正确答案：D
解析：先改写其中，则。故选D。 知识模块：函数、极限、连续
2． 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( )
A．ln3—1。
B．一ln3—1。
C．一ln2—1。
D．ln2—1。
正确答案：C
解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。故选C。 知识模块：一元函数微分学
3． 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )
A．C=P—1AP
B．C=PAP—1
C．C=PTAP
D．C=PAPT
正确答案：B
解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。 知识模块：矩阵
4． 设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A．2．
B．一1．
C．．
D．一2
正确答案：D
解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选
D． 知识模块：一元函数微分学
5． 对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( )
考研数学二(解答题)模拟试卷110(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷110 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 有30个零件，其中20个一等品，10个二等品，随机地取3个，安装在一台设备上，若3个零件中有i(i=0，1，2，3)个二等品，则该设备的使用寿命(单位：年)服从参数为λ=i+1的指数分布，试求：(1)设备寿命超过1年的概率；(2)若已知在该设备上的两个零件安装后使用寿命超过1年，则安装在该设备上的3个零件均为二等品的概率．
正确答案：设Bi表示“3个零件中有i个是二等品”(i=0，1，2，3)，令A表示“设备的寿命超过1年”，以X表示“设备的使用寿命”．
解析：设备的使用寿命受所取零件中所含二等品的个数影响，所含二等品的个数有四种情况，可以设Bi表示“3个零件中有i(i=0，1，2，3)个是二等品”，作为完备事件组，利用全概率公式和贝叶斯公式计算所求概率． (1)
P(A｜B0)=P{X＞1＞B0}=∫1+∞edx=e-1． 同理可求P(A｜B1)=e-2，P(A｜B2)=e-3，P(A｜B3)=e-4． 从而P(A)=0．281×e-1+0．222×e-2+0．222×e-3+0．275×e-4≈0．1495． (2)由贝叶斯公式，所求概率为P(B3｜A)=≈0．034． 知识模块：概率论与数理统计
2． 求极限。
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 设y=sin4x，求y(n)．
正确答案：y=(1-2cos2xcos22x)=(1+cos4x)， 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算
4． 证明：方程xa=lnx(a＜0)在(0，+∞)内有且仅有一个根．
正确答案：令f(x)=xa一lnx，f(x)在(0，+∞)连续，因为f(1)=1＞0，所以f(x)在(0，+∞)内至少有一个零点，即方程xa=lnx在(0，+∞)内至少有一个根．因为f’(x)=axa-1一＜0，所以f(x)在(0，+∞)内严格递减，故f(x)在(0，+∞) 内有且仅有一个零点，从而方程xa=lnx在(0，+∞)内有且仅有一个根． 涉及知识点：高等数学
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编10 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (87年)设，其中f(x)连续，s＞0，t＞0，则I的值
A．依赖于s，t．
B．依赖于s,t,x．
C．依赖于t,x不依赖于s．
D．依赖于s不依赖于t．
正确答案：D
解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选(D)． 知识模块：一元函数积分学
2． (88年)设f(x)与g(x)在(一∞，+∞)上皆可导．且f(x)＜g(x),则必有
A．f(-x)＞g(一x)
B．f’(x)＜g’(x)
C．
D．∫0xf(t)dt＜∫0xg(t)dt
正确答案：C
解析：由于f(x)和g(x)在(-∞，+∞)上皆可导，则必在(一∞,+∞)上连续，则
知识模块：一元函数积分学
3． (88年)由曲现(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析： 知识模块：一元函数积分学
4． (89年)曲线y=cosx与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为
A．
B．π
C．
D．π2
正确答案：C
解析： 知识模块：一元函数积分学
5． (90年)设函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，则d[∫f(x)dx]等于
A．f(x)
B．f(x)dx
C．f(x)+C
D．f’(x)dx
正确答案：B
解析：d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx 知识模块：一元函数积分学
6． (90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)等于
A．一e-xf(e-x)一f(x)
B．一e-xf(e-x)+f(x)
C．e-xf(e-x)一f(x)
D．e-xf(e-x)+f(x)
正确答案：A
解析：由于F(x)=-∫0xf(t)dt则 F’(x)=一f(e-x)e-x一f(x)，故应选(A)． 知识模块：一元函数积分学
考研数学二(填空题)模拟试卷107(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷107 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =__________。
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
2． =__________。
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
3． 已知Dn=，若Dn=anDn－1+kDn－2，则k=________．
正确答案：1
解析：从而k=1． 知识模块：行列式
4． 设y＝sinχ2，则＝_______．
正确答案：
解析：用微分之商来求． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
5． 设y=(1＋sinx)x，则dy｜x=π=__________。
正确答案：一πdx
解析：运用等价转换y=(1+sinx)x=exln(1＋sinx)，于是y’=exln(1＋sinx)．[ln(1+sinx)+x．]，因此dy｜x=π=y’(π)dx=一πdx。 知识模块：一元函数微分学
6． 设f(x)连续，则=_______
正确答案：f(x)
解析： 知识模块：一元函数微分学
7． 函数f(x)=｜4x3一18x2+27｜在区间[0，2]上的最小值为___________，最大值为_________．
正确答案：0；27
解析：令φ(x)=4x3一18x2+27，则所以φ(x)在[0，2]单调递减，φ(0)=27，φ(2)=一13，利用介值定理知，存在唯一x0∈(0，2)，φ(x0)=0．且
f(0)=27,f(0)=0,f(2)=13．因此f(x)在[0，2]上的最小值为0，最大值为27． 知识模块：一元函数微分学
8． 设f(χ)＝，则f(n)(χ)＝_______．
正确答案：
解析：令f(χ)＝ 解得A＝3，B＝－2，即 知识模块：导数与微分
9． 设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=_____.
正确答案：
考研数学二(填空题)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷100 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 若f(x)=是(-∞，+∞)上的连续函数，则a=_______．
正确答案：1
解析： 知识模块：函数、极限、连续
2． [x]表示不超过x的最大整数，则=______。
正确答案：2
解析：因为，所以当x＞0时，；当x＜0时，。又由，利用夹逼准则可知，。 知识模块：函数、极限、连续
3． 设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(5)+∫05f(t)dt=______．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
4． 求由方程2χ2＋2y2＋z2＋8χz－z＋8＝0所确定的函数z＝f(χ，y)的极值点_______．
正确答案：(－2，0)为极小点，(，0)为极大点 涉及知识点：多元函数微积分
5． 设y=sinx2．则=________．
正确答案：
解析：用微分的商来求． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
6． 设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量△x=0．05时，函数增量△的线性部分为0．15，则f’(1)=_________．
正确答案：
解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)= 知识模块：一元函数微分学
7． =__________.
正确答案：2
解析：运用洛必达法则， 知识模块：一元函数微分学
8． 设y=则y’=___________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数微分学
9． =________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
10． =_______
正确答案：ln︳2x+3︳+5ln︳x-3︳+C
解析：因为 知识模块：一元函数积分学
11． 设f(x)连续，且f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+|x|)，则f’(1)=________．
考研数学二(解答题)模拟试卷223(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷223 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设x的概率密度为f(x)=，F(x)是x的分布函数，求Y=F(x)的分布函数和概率密度。
正确答案：由已知条件， 当x＜1时，F(x)=0； 当1≤x＜8时，F(x)=． 当x≥8时，F(x)=1；综合上述讨论．可得Y的取值范围为[0，1]，当y＜0时，FY(y)=0；y≥1时，FY(y)=1；0≤y＜1时，FY(y)=P{Y≤y}=P{F(x)≤y}=P{一1≤y}=F((y+1)3)=y
解析：本题考查随机变量函数Y=F(X)的概率分布，由于没有直接给出函数的表达式，需要先确定F(x)=∫-∞x(t)dt的具体形式，再求Y=F(X)的分布函数． 知识模块：概率论与数理统计
2． 设.
正确答案：． 涉及知识点：一元函数积分学
3． 已知f(x)=x2一x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)．
正确答案：令∫02f(x)dx=A，∫01f(x)dx=B，则f(x)=x2一Ax+2B，两边在[0，2]上积分得 涉及知识点：高等数学
4． f(x)在(一∞，+∞)上连续，=+∞，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．
正确答案：令F(x)=f(x)一x0，则F(x)在(一∞，+∞)上连续，且F(x)＜0，b＞x0，使得F(b)＞0，于是由零点定理知x2∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，从而得f[f(x1)]=f(x0)=f[f(x2)]． 涉及知识点：一元函数微分学
5． 设n阶矩阵(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．
正确答案：当b=0或n=1时，A=E，于是A的特征值为λ1=…=λn=1，任意非零列向量均为特征向量；对任意n阶可逆矩阵P，均有P一1AP=E．下面考虑b≠0且n≥2的情形．由得A的特征值为λ=1+(n—1)b，λ=…=λ=1一b．(1)对于λ1=1+(n一1)b，考虑齐次线性方程组(λ1E一A)x=0，对λ1E－A施以初等行变换，得解得基础解系为ξ1=(1，1，…，1)T，所以A的属于λ1的全部特征向量为k1ξ1=k(1，1，…，1)T (k1为任意非零常数)．对于λ2=…=λn=1一b，考虑齐次线性方程组(λ2E一A)x=0．对λ2E-A施以初等行变换，得解得基
考研数学二(填空题)模拟试卷101(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷101 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导且在x=0处连续，则a=_________
正确答案：3
解析：由因为g(x)在x=0处连续，所以a=3． 知识模块：函数、极限、连续
2． =_____________.
正确答案：e9
解析：化为指数函数求极限，则有 知识模块：函数、极限、连续
3． 对数螺线，ρ＝eθ在点(ρ，θ)＝处的切线的直角坐标方程为_______．
正确答案：； 涉及知识点：一元函数微分学
4．
正确答案：1 涉及知识点：一元函数积分学
5． ＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
6． 已知当x→0时，(1+ ax2)一1与cosx 一1是等价无穷小，则常数a=________．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
7． 设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ③如果存在n阶矩阵A，使得Aα1，Aα2，Aα3，Aα4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关． ④如果α1=Aβ1，α2=Aβ2，α3=Aβ3，α4=Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．其中成立的为________．
正确答案：①，③，④．
解析：①直接从定理3．2得到．②明显不对，例如α3不能用α1，α2线性表示，而α3=α4时，α3，α4都不能用α1，α2线性表示但是α1，α2，α3，α4线性相关．③容易用秩说明：Aα1，Aα2，Aα3，Aα4的秩即矩阵(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)的秩，而(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=A(α1，α2，α3，α4)，由矩阵秩的性质④，r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)≤r(α1，α2，α3，α4)．Aα1，Aα2，Aα3，Aα4无关，秩为4，于是α1，α2，α3，α4的秩也一定为4，线性无关．④也可从秩看出：A可逆时，r(α1，α2，α3，α4)=r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=4． 知识模块：向量组的线性关系与秩
考研数学二真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；
；
；
，
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数在(-∞,+∞)内
(A) (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“”型极限，直接有
,
在处无定义，
且所以是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(3)设函数().若
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】易求出
再有
于是，存在此时. 当，，
=
因此，在连续。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数的图形如右图所示，
则曲线的拐点个数为 A O B
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。 的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷61(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷61 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设，则( )
A．I1＞I1＞。
B．I1＞＞I2。
C．I2＞I1＞。
D．I2＞＞I1。
正确答案：B
解析：因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有，从而可见有I1＞I2，又由，I2＜知，故选B。 知识模块：一元函数积分学
2． 设f(x)=∫0π(ecost—e—cost)dt，则( )
A．f(x)=f(x+2π)。
B．f(x)＞f(x+2π)。
C．f(x)＜f(x+2π)。
D．当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)。
正确答案：A
解析：由题意f(x+2π)一f(x)=∫xx+2π(ecost一e—cost)dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得f(x+2π)一f(x)=∫—ππ(ecost—e—cost)dt=2∫0π(ecost—e—cost)dt 2∫0π(ecosu+e—cosu)du，因此f(x+2π)—f(x)=0。故选A。 知识模块：一元函数积分学
3． 设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )
A．∫0xtf(t)一f(一t)dt
B．∫0xtf(t)+f(一t)dt。
C．∫0xf(t2)dt。
D．∫0x[f(t)]2dt。
正确答案：B
解析：取f(x)=x，则相应的∫0xt[f(t)—f(—t)]dt=∫0x2t2dt=x3，∫0xf(t2)dt=∫0xt2dt=x3，∫0x[f(t)]2dt=∫0xt2dt=x3，均为奇函数，故选B。 知识模块：一元函数积分学
4． 曲线y=e—xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为( )