三角函数与复数专题训练
三角函数测试题
三角，向量及复数综三角合测试题一， 选择题1，复数,1,21i z i z +==那么复数21z z ⋅在复平面上的对应点所在象限是 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2，平面向量a 与b 的夹角为 ︒60，且,1,2==b a 则b a3-= ( )A5 B 7 C 19 D 53，△ABC 的外接圆的圆心为1，若,0=++C O B A A O 且,B A A O =则=⋅B C A C ( )A23B 3C 3D 324，在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD=E ,60︒是BC 的中点，则=⋅E A C A( )A333+ B 29 C3 D495，△ABC 中，,3222bc a c b +=+则=--)sin(cos sin 2C B C B （ ）A 33B 23C 22D 216，若满足条件AB=3，C=3π,的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围 ( )A ()2,1B ()3,2 C()2,3 D ()2,27,设函数())0(sin )3sin(>++=w wx wx x f π相邻两条对称轴间的距离为2，则()1f = ( )A23 B 23- C 23 D 23- 8，若,542sin ,532cos-==αα则角θ的终边所在的直线为 ( ) A 0247=+y x B 0247=-y x C 0724=+y x D 0724=-y x9,已知函数=+=y x x y ,cos sin ,cos sin 22x x 则下列结论正确的是 ( )A 两个函数的图像均关于点()0,4π-成中心对称 B 两个函数的图像均关于直线4π-=x 成轴对称C 两个函数在区间()4,4ππ-上都是单调递增函数D 两个函数的最小正周期相同10，函数()ϕπ+=x y sin 的部分图像如图所示，设p 是图像的最高点，A,B 是图像与x 轴的交点，则tan ∠=APB （ ）A 8B 81C 78D 87二，填空题11，若复数,,sin cos ,342121R z z i z i z ∈⋅+=+=θθ则=θtan _____________12，在△ABC 中，,21,2,1===ABC S AC AB 则=BC _______________ 13，已知正方形ABCD 的边长为1，则=-D B B A2______________14，若θθ,53sin =为第二象限角，则=θ2tan _______________ 15，已知函数()x f 满足下面关系:),2()2(ππ-=+x f x f 当(]π,0∈x 时，(),cos x x f -=给出下列命题:① 函数()x f 为周期函数 ② 函数()x f 是奇函数 ③ 函数()x f 的图像关于y 轴对称 ④ 方程()x x f lg =的解的个数是3， 其中正确命题的序号是_______________三，解答题16，(本题12分) 在△ABC 中，已知c B b aconB =-sin ()1 若,6π=B 求A ()2 求B A sin sin +的取值范围17，(本题12分) 已知向量)3,1()),2cos(),2(sin(=++=b x x aθθ，函数()b a x f ⋅=为偶函数，且[]πθ,0∈，()1 求函数()x f 的解析式；()2 设()1),2,0(=∈x f x π，求x 的值18，(本题12分) 已知函数(),233cos 33cos 3sin2-+=x x x x f ()1 求()x f 的最小正周期及对称中心；()2 若()π,0,21cos ∈≥x x ，试求x 的范围及此时函数()x f 3的值域；19，（本题13分） 在△ABC 中,若,1=⋅=⋅C B A B C A B A()1 求证:B A = ()2 求边长c的值，()3 若6=+C A B A,求△ABC 的面积；20，（本题13分） 已知向量(),)(),23,(cos ),1,(sin m n m x f x n x m⋅+==-= ()1当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f y =的值域 ()2 锐角三角形ABC ,若,10232,27,245=⎪⎭⎫ ⎝⎛==B f b c a 求边c a ,；21，（本题13分） 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知,6km AC AB ==现计划在BC 边上的高AO 上一点P 处建造一个变电站，记P 点到三个村庄的距离之和为y ；()1 若∠,α=PBO 把y 表示成α的函数关系式；()2变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小?2。
三角函数 平面向量 复数
（求 数 （的 区 ； ２ 函 厂）增 间 ） ｚ
ｆ（０ ６ ２ ０ ）＋ ｆ ２ ０ ）＋ ｆ ２ ０ ） ＋ ｆ ２ ０ ） ＝ （ ０ ７ （０ ８ （０９
４ ．已知 厂（ ） Ａｓ （ ｘ ｚ ＝ ｉ ｏ ＋ ）（ ｎ ａ Ａ＞ ０ ｏ ０ ，＞ ， Ｊ
（
） ．
Ｉ
丌
Ｉ ４ ． ３ 一 － ． 一 ， － ｓ ｓ － ５
）・ 的值 为
．
— —
一 ０则 （ ＋ ，
（ ）ｓ ｚ＜ 旦ｚ Ａ ｉ ｎ
（ ｃ）ｓｎ ＜ ４ｚ ２ ｉｚ
（ ） ｓ ＞ Ｂ ｉ
７＂ ｌ
三、 解答 题
， ●●●， 、●●【
＋ 商 ， 则
．
— —
必 考 基 础 题 训 练
米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米
４ ．若 （ｉ ｏ ｚ ２ ｓ ＋ｃ ｓ） 一 ＋２ ， ｎ ～ ０∈ （ ， ） ｏ ，
Ａ 组
则 ｔｎ 一 ａ０
．
— —
１复数（十｛）的 ． １ 值是（ ） ．
（ Ａ）一 ８ （ Ｂ）８ （ ｃ）一 ８ （ ｉ Ｄ）８ ｉ
ＡＡＢ 的边 长是 （ Ｃ
（ Ａ）２
（ ４ Ｂ）
求 ：１ （ ）函数 厂 ｚ （ ）图像 的对 称 中心 的 坐标 ；
） ．
Ａ
Ｂ ／
Ｃ
Ｚ Ｊ
（ ３ ｃ）
＼
（ ５题 ） 第
（号 Ｄ ）
二 、 空题 填
１ ．设 “一 ｌｇ ｔｎ ０ ， ｏ ＋ ａ ７ 。 ｂ— ｌｇ ｓ ２ 。 ｏ ￣ ｉ ５ ，ｃ一 ｎ
高考数学第四章三角函数平面向量与复数第26讲三角形中的三角函数考点集训文人教A版
2．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，且 a>b，则 B ＝( )
π
π
2π
5π
A.6
B.3
C. 3
D. 6
【解析】∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，∴根 据正弦定理可得 sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝12
即 sin(A－B)＝0. 因为 A，B∈(0，π)，所以 A－B∈(－π，π)，所 以 A－B＝0， 所以 a＝b，即ba＝1.
(2)因为
sin
A＝13，且
A
为锐角，所以
cos
A＝2
2 3.
所以 sin C＝sin(π－2A)＝sin 2A＝2sin Acos A＝
4 9
2，
cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝－1＋2sin 2A＝
B组
1．在△ABC 中，已知 A 是三角形的内角，且 sin A ＋cos A＝35，则△ABC 一定是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定三角形的形状
【解析】将 sin A＋cos A＝35>0 左右两边同时平方 得 1＋2sin Acos A＝295，解得 2sin Acos A＝－1265<0， 所以 sin A>0，cos A<0，因此角 A 为钝角，三角形为 钝角三角形，故选 A.
【答案】A
2．在△ABC
中，“csoins
AA＝22csoins
C＋cos C－sin
AA”是“角
A，B，C 成等差数列”的( )
三角函数与复数专题训练
专题四 三角函数与复数【考点聚焦】考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；【自我检测】1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α，180ºα±,90ºα±,270ºα±,360º－α，k 360º+α(k ∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限.3． 两角和与差的三角函数：sin(α±β)=_______________________;cos (α±β)=________________________;tan (α±β)=_________________________. 4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan 2α=_____________.5． 半角公式：sin 2α=_______，cos 2α=_______,tan 2α=________=________=______.6． 万能公式sin α=_____________,cos α=_____________,tan α=_____________. 7． 三角函数的图象与性质：问题1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式. 例1．（05天津理）要得到y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度思路点拨：将)42sin(2π+=x y 化为)42cos(2π-=x y ，再进行变换.解答：变换1：先将)42c o s (2π-=x y 的图象向左平移8π个单位，得到x x y 2c o s 2]4)8(2c o s [2=-+=ππ的图象，再将x y 2cos 2=的图象的横坐标缩短到原来的2倍得到x y cos 2=.变换2：先将)42c o s (2π-=x y 的图象的横坐标缩短到原来的2倍，得到)4c o s (2π-=x y 的图象，再将)4c os(2π-=x y 的图象向左平移4π个单位，得到x y c os 2=.由上可得，应选C.演变1：函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10坐标代入即可.问题2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号例2：已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin22sin322++-的值.思路分析：将sin x -cos x =51平方，求出sin x cos x 的值，进而求出（sin x -cos x ）2，然后由角的范围确定sin x -cos x 的符号. 解法一：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）x xx xx xxx x xxx sin cos cos sin 1sin 2sin2cot tan 2cos2cos2sin2sin3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x 解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin2sin322++-x xx xx xsin cos cos sin 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等①②基本知识，以及推理和运算能力. 演变1：已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求.点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解. 例3：设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像.思路点拨：正弦y =sin x 的图象的对称轴为直线)(2Z k k x ∈+=ππ，其对称轴与x 轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x 值. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得 .,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 演变3：已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.问题4：“拆项”与“添项”的问题“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例4：（1）求8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++的值； （2）已知：41)2tan(,52)tan(=-=+πββα，求：)4tan(απ+的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7º、15º、8º，发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º，故可将7º拆成15º－8º；同理在第（2）题中απ+4可以拆成两角差，即)4()(πββα--+.解：（1）8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++＝8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(+-+-＝15cos 8cos 15sin 8cos＝tan15º=30sin 30cos 1-=32-(2) ∵απ+4=)4()(πββα--+∴tan(απ+4)=tan[)4()(πββα--+]＝)4tan()tan(1)4tan()tan(πββαπββα-++--+＝415214152⨯+-＝223点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.演变4：求20cos 20sin 10cos 2-的值.点拨与提示：10º＝30º－20º.点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解. 专题小结1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等．对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．2．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断．3．解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式．要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能 【临阵磨枪】 一、选择题1．已知f (cos x )=cos3x ，则f (sin30º)的值为（ ）A 0B 1C －1 D232．（2006年辽宁卷）A B C 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q,则角C 的大小为 (A)6π(B)3π(C)2π(D)23π3．（2006年安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-4．把函数)3sin 3(cos 22x x y -=的图象适当变动，就可得到y =－sin3x 的图象，这种变动可以是（ ）A 沿x 轴向右平移4πB 沿x 轴向左平移4πC 沿x 轴向右平移12πD 沿x 轴向左平移12π5．已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A ，B ，O 为坐标原点，当 7．函数y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)的最大值为（ ） A211 B 213 C 7 D 88．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．2π9．在△ABC 中，若ba b a B A +-=-2tan ，其中a,b 分别是∠A ，∠B 的对边，则△ABC是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形 10．函数y =23cos32sin 212+-=x x y 的最小正周期为（ ） A 2π B π C 2πD4π二、填空题11 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=______12 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________14．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin （nx ）在[0，nπ]上的面积为n2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题15 不查表求值：.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒16 （2006年安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=-（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形A B C ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= .（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B .19 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1．C 提示：1180cos )60(cos )30(sin -=︒=︒=︒f f2 B 提示：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B.3．C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=.4．D 提示：)]12(3sin[)43sin(ππ--=--=x x y 5．B 提示∠AOB ＝60º，｜z 2|=2|z 1|=4，3260sin ||||2121=︒⋅=∆z z S AOB6．B 提示：)]23sin()23[cos(2sin 2πθπθθ-+--=i z ，∵02sin ,2223<-<<θπθπ，).3(21arg ,2230πθππθ-=∴<-<Z7．C 提示：y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)＝3sin(x +20º)+5sin[(x +20º)＋60º] ＝7)20sin(7)20cos(235)20sin(211≤+︒+=︒++︒+ϕx x x 8．D 提示：θθθθθθc os sin 2121)sin 1)(cos 1(21cos 21sin 211-=-----=∆OAB S11sin 224θ=-， 当2θπ=即2πθ=时，面积最大.9．D 提示：由正弦定理得：2cos2sin22cos 2sin 2sin sin sin sin 2tanB A B A B A B A Ba B A ba b a B A -++-=+-=+-=-＝2cot2tanB A B A +-，∴02tan =-B A 或12cot =+B A ∴02=-B A 或22π=+B A∴A ＝B 或A ＋B ＝90º 10．D 提示：)22sin(23232cos 232sin 21π-=+--=x x x y ，则π=T11．247 提示 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯-126556 提示 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π3 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=+=⨯+-⨯-=+⋅-++⋅--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈=-∴βαβππαβππαβππαπβππαβαβπβπππβππβπα即 13．1-32i 提示：设z =a +b i,由(3+2i)(a +b i)=3(a +b i)+3+2i,得3a -2b =3a +3,2a +3b =3b +2,∴a =1,b =32-.14．π+32,34 提示：由题意得：，，x y 34232]320[3sin =⨯=上的面积为在π 上的图象在]343[1)3sin(πππ，x y +-=为一个半周期结合图象分析其面积为π+32.15 答案 216．解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求.（Ⅱ）225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6-17．解：原方程化简为i i z z z-=++1)(2,设z =x +y i(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2x i=1－i ，∴ x 2+y 2=1且2x =－1,解得x =－21且y =±23, ∴原方程的解是z =-21±23i .18． 解：（Ⅰ）∵1m n ⋅=∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12sin cos 122A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-=∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--=-811+=19 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t=32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤tx =32-t2m ax 0.5m in 0.50.50.514410248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M x t t tt t M ty M M y t x ∴===≤=+++====>∴======-当且仅当即在时是减函数时此时【挑战自我】设a,b ,c 为△ABC 的三边，a ≤b ≤c ，R 是△ABC 的外接圆半径，令f =a+b －2R-8R 2sin2sin2sinC B A ，试用C 的大小来判定f 的符号.解：f =2R （sinA+sinB －1－42sin2sin2sin C B A ）＝2R[2sin )2cos2(cos212cos2sin 2C AB A B AB AB --++--+]＝4R 2sin 2cos 42)2sin 2(sin 2cos C C R R C A B A B -+--+-π＝4R 2sin 42)2sin2(sin 2cos 2C R R CCA B +----π＝2R )2sin2cos2cos2)(2sin2(cosC C A B C C ----由a ≤b ≤c ，得A ≤B ≤C ，所以0＜B －A ＜B ＋A ，因此2cos 2cosC A B >-，2sin 2cos2cosC A B A B =+>-，所以2sin 2cos 2cos2C C A B +>-故当f >0时，2sin 2cos C C >，则0＜C ＜2π当f ＝0时，2sin2cos C C =，则C ＝2π当f ＜0时，2sin2cosC C <，则C ＞2π【答案及点拨】演变1：由图得2,84T T =∴=,由T=2πω,得4πω=,在y =sin(4x πϕ+)中令x =1,y =1,得242k ππϕπ+=+,24k πϕπ=+,得4πϕ=,选(C)演变2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α=，即57cos sin =α-α ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sincos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin212cos 257解得53sin ,259sin2±=α=α即由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且，故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α，以下同解法一.演变3：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(πππ--++=⋅=x x x x b a x f21t a n t a n 122)222221tan 1tan 222sincos2cos1222x x x x x x x x x x +-=++⋅-+=+-x x cos sin +==)4sin(2π+x .所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为,2π]4,0[)(π在x f 上单调增加，[,]42ππ上单调减少.演变4：∵10º＝30º－20º，∴原式＝︒︒-︒︒+︒︒=︒︒-︒-︒20cos 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 220cos 20sin )2030cos(2＝2cos30º=3.演变5：原方程可化为022)5()2(2=-++-+i x i x i△＝[]i i i i i i 188241024)22)(2(4)5(2=+-+=-+-+-.而18i 的平方根为)1(3i +±，所以方程的根为)2(2)1(352,1i i i x ++±+=，∴i x x 5351,221-==.演变6：提示：∵｜z 1+z 2｜=|z 1－z 2|（y 1y 20≠），∴|1||1|2121-=+z z z z .即21z z 在复平面内对应的点到（－1,0）、（1,0）的距离相等，∴21z z 对应的点在虚轴上，即21z z 为纯虚数.演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案。
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
复数的指数与三角形式练习题
复数的指数与三角形式练习题介绍：本文将为您提供一系列关于复数的指数和三角形式的练习题。
通过解答这些题目，您将能够加深对复数指数和三角形式的理解，并提升相关计算的技巧。
每道题后会给出详细的解答，以便您检查自己的答案。
让我们开始吧！题目一：计算以下复数的指数形式并将其写作 a+bi 的形式：1. 4e^(πi/3)2. -2e^(5πi/6)3. 7e^(-πi/4)解答一：1. 4e^(πi/3) = 4(cos(π/3) + isin(π/3)) = 4(cos(π/3) + i*sin(π/3)) = 4(1/2 + i√3/2) = 2 + 2i√32. -2e^(5πi/6) = -2(cos(5π/6) + isin(5π/6)) = -2(cos(5π/6) + i*sin(5π/6)) = -2(-√3/2 + i/2) = √3 - i3. 7e^(-πi/4) = 7(cos(-π/4) + isin(-π/4)) = 7(cos(-π/4) + i*sin(-π/4)) =7(√2/2 - i√2/2) = 7√2/2 - 7i√2/2 = 7/√2 - 7i/√2 = 7√2/2 - 7√2i/2题目二：将下列复数从指数形式转换为三角形式：1. 3 + 3i2. -5 - 5i3. 2√2 + 2√2i解答二：1. 3 + 3i = 3(1 + i) = 3√2(cos(π/4) + i*sin(π/4))2. -5 - 5i = 5(-1 - i) = 5√2(cos(5π/4) + i*sin(5π/4))3. 2√2 + 2√2i = 4(cos(π/4) + i*sin(π/4))题目三：计算下列复数的乘法，并将结果化简为 a+bi 的形式：1. (1 + i)(2 - 3i)2. (3 + 4i)(5 - 2i)3. (-2 + i)(-3 - 4i)解答三：1. (1 + i)(2 - 3i) = 2 - 3i + 2i - 3i^2 = 2 - i + 3 = 5 - i2. (3 + 4i)(5 - 2i) = 15 - 6i + 20i - 8i^2 = 15 + 14i + 8 = 23 + 14i3. (-2 + i)(-3 - 4i) = 6 + 8i - 3i + 4i^2 = 6 + 5i + 4 = 10 + 5i题目四：计算下列复数的除法，并将结果化简为 a+bi 的形式：1. (5 + 3i) / (2 - i)2. (6 + 8i) / (3 + 4i)3. (-4 + i) / (-1 - 3i)解答四：1. (5 + 3i) / (2 - i) = [(5 + 3i)(2 + i)] / [(2 - i)(2 + i)] = (10 + 17i) / (5) = 2 + 3.4i2. (6 + 8i) / (3 + 4i) = [(6 + 8i)(3 - 4i)] / [(3 + 4i)(3 - 4i)] = (50 + 6i) / (25) = 2 + 0.24i3. (-4 + i) / (-1 - 3i) = [(-4 + i)(-1 + 3i)] / [(-1 - 3i)(-1 + 3i)] = (-7 + 11i) / (10) = -0.7 + 1.1i题目五：计算下列复数的幂，并将结果化简为 a+bi 的形式：1. (2 + i)^22. (3 - 4i)^33. (-1 + 2i)^4解答五：1. (2 + i)^2 = (2 + i)(2 + i) = 2^2 + 2i + 2i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i2. (3 - 4i)^3 = (3 - 4i)(3 - 4i)(3 - 4i) = (3^3 - 4(3^2)i + 4(3^2)i -4^2i^2)(3 - 4i) = (27 + 48i + 48i - 64i^2)(3 - 4i) = (27 + 96i + 64)(3 - 4i) = 91 + 96i - 128i - 172i^2 = 219 - 32i3. (-1 + 2i)^4 = (-1 + 2i)(-1 + 2i)(-1 + 2i)(-1 + 2i) = (-1^4 + 4(-1^3)(2i) + 4(-1)(2i)^3 + 8i^4)(-1 + 2i) = (1 - 8i - 4(8i) - 16)(-1 + 2i) = -271 + 30i结语：通过这些练习题，您已经复习了复数的指数和三角形式，并掌握了相关的计算方法。
《复数的三角表示》考点讲解复习与同步训练
《7.3 复数的三角表示》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3；（2.【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）4cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）553cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）12+； （2）1i -.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）sin )i ππ+； （2）11116cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）44cossin 33i ππ⎫+⎪⎭； （4）338cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3．（将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）2i ； （2）-2i ；（3）1；（4）.考法二 复数的辅角【例2】复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（ ） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79π【一隅三反】1.复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π2．若复数1z =--（i 为虚数单位），则arg z 为（ ） A ．120︒-B ．120°C ．240°D ．210°3．把复数z 1与z 2对应的向量OA OB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A ．，34πB ．3,4πC ．,4πD ．,4π考法三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（122cos sincos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos15sin1522i ︒︒⎛⎫+⨯-+⎪⎝⎭；（3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭；（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭.【一隅三反】 1． cosisin3cos isin 2266ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．32 B ．32 C ．32-+ D ．32-2． ()()9cos3isin33cos2isin 2ππππ+÷+=（ ）A ．3B ．3-CD ．3．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．22i + B ．22-C ．22-+ D ．22-- 4．算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.《7.3 复数的三角表示》考点讲解答案解析考法一 复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3；（2.【答案】（1）11113cosisin 66ππ+⎫=⎪⎭（2）77cos isin244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭【解析】（1）r ==因为与3对应的点在第四象限，所以()11arg 36π=，所以11113cos isin 66ππ+⎫=⎪⎭.（2）2r ==.对应的点在第四象限，所以)7arg 4π=，77cosisin 244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭. 【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式. （1）4cosisin33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）553cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）2+（2）i 22-- 【解析】（1）4cosisin4cos 4sin i 3333ππππ⎛⎫⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭144i 222⎛=⨯+⨯=+ ⎝⎭. （2）55553cos isin3cos 3sin i 33i 44442222ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+⨯-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）12+； （2）1i -.【答案】（1）作图见解析;1cos sin 233i ππ+=+（2）作图见解析;771cos sin44i i ππ⎫-=+⎪⎭【解析】（1）复数122i +对应的向量如图所示，则11,cos 2r θ===.因为与12+对应的点在第一象限，所以1arg 23π⎛⎫+=⎪⎝⎭.于是1cos sin 233i ππ+=+.（2）复数1i -对应的向量如图所示，则2r θ====. 因为与1i -对应的点在第四象限，所以7arg(1)4i π-=.于是771cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角θ不一定取主值.例如cos sin 44i ππ⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦也是1i -的三角形式.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）sin )i ππ+； （2）11116cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）44cossin 33i ππ⎫+⎪⎭； （4）338cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）-（2）3i （3）22--（4）8i -【解析】（1）sin )10)i i ππ+=-+⋅=-（2）111116cos sin 636622i i i ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）441cossin 332222i ππ⎫⎫+=--=--⎪⎪⎭⎭. （4）338cossin 8(0)822i i i ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 3．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）2i ； （2）-2i ；（3）1；（4）. 【答案】（1）11114cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）332cos sin 22i ππ⎛⎫+⎪⎝⎭；（3）552cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4sin )i ππ+【解析】（1）∵4r ==，cos 2θ=，1sin 2θ=-，又[0,2)θπ∈，∴116πθ=，∴111124cos sin 66i i ππ⎛⎫-=+⎪⎝⎭. （2）∵2r，cos 0θ=，sin 1θ=-，又[0,2)θπ∈，∴32πθ=， ∴3322cos sin 22i i ππ⎛⎫-=+⎪⎝⎭.（3）∵2r ==，1cos 2θ=，sin θ= 又[0,2)θπ∈，∴53πθ=，∴5512cos sin 33i ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.（4）∵r =cos 1θ=-，sin 0θ=，又[0,2)θπ∈，∴θπ=.∴sin )i ππ=+.考法二 复数的辅角【例2】复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（ ） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79π 【答案】D 【解析】5577sin cos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π.故选：D【一隅三反】1.复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π 【答案】C【解析】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cossin )332Z i O OZ ππ=+=+2111()2222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ= 23πθ∴=故选：C2．若复数1z =--（i 为虚数单位），则arg z 为（ ） A ．120︒- B ．120°C ．240°D ．210°【答案】C【解析】由1z =--，得复数z 对应的点在第三象限，且1cos 2θ=-，所以arg 240z ︒=.故选：C.3．把复数z 1与z 2对应的向量OA OB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A．，34πB．3,4π C ．22,4i π--D ．22,4i π-+【答案】B【解析】由题可知1255cossincos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()11122222z ⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， )()()1111122i z i i i ---∴====++-， 可知1z 对应的坐标为(，则它的辐角主值为34π.故选：B.考法三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（122cos sin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos15sin1522i ︒︒⎛⎫+⨯-+ ⎪⎝⎭； （3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭；（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭.【答案】（1）6-；（2）22i -+；（3）1122i -+；（4）44--【解析】（122cossincos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭226cos isin 6(cos sin )63333i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. （2）()112cos15sin1522i i ︒︒⎛⎫+⨯-+ ⎪⎝⎭332cos sin cos sin 1212244i i ππππ⎛⎫⎫=+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33cos isin 124124ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦551cos sin6622i i ππ⎛⎫⎫=+=-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭22=-+.（3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭55332cos sincos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦5353cos sin3434i ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦1111cos sin1212i ππ⎫=+⎪⎭cos sin 1212i ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭44⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1122i =-+.（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭ 55cos sincos sin 3333i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦55cos isin3333ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦44cos sin 233i ππ⎫=+⎪⎝⎭1222⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭44i =--. 【一隅三反】 1． cosisin3cos isin 2266ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．32 B ．32 C ．32-+ D ．32-【答案】C 【解析】cosisin3cos isin 3cos isin 22662626ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2233cos isin3322ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭.故选：C 2． ()()9cos3isin33cos2isin 2ππππ+÷+=（ ）A ．3B ．3-CD ．【答案】B【解析】()()9cos3isin33cos2isin 2933ππππ+÷+=-÷=-.故选：B 3．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．22i + B ．22i - C ．22-+ D ．22i -- 【答案】C 【解析】()()1cos30sin 302cos60sin 602i i ︒+︒⨯︒+︒⨯()3cos45sin 45i ︒+︒ ()()123cos 306045sin 3060452i =⨯⨯︒+︒+︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦ ()3cos135sin135i =︒+︒322i ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭22=-+. 故选：C.4．计算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【答案】（1）-4，几何解释见解析 （22i +，几何解释见解析 （3）1)1)i -++-，几何解释见解析 （4）14+，几何解释见解析【解析】（1）原式(cos sin )4(10)4i ππ=+=⨯-+=-.几何解释：设1222cos sin,cos sin 3333z i z i ππππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎭⎭，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转3π，再将其长度伸长为原来的4,辐角为π的 向量OZ ，则OZ 即为积124z z ⋅=-所对应的向量.（2）原式()2cos 75sin 75222i ︒︒⎫=+⨯-⎪⎪⎝⎭())2cos 75sin 75cos315sin 3152︒︒︒︒=+⨯+)1cos390sin 3902i i ︒︒⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭.几何解释：设())12112cos 75sin 75,cos315sin 31522z i z i ︒︒︒︒=+=-=+， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短、辐角为6π 的向量OZ ，则OZ 即为积1222z z ⋅=+所对应的向量.（3）原式55334cossin cos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦1111cos sincos sin 12121212i i ππππ⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭1)1)i ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭. 几何解释：设()1554cos300sin 3004cos sin 33z i i ππ︒︒⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，233cos sin44z i ππ⎫=+⎪⎭作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ， 然后把向量1OZ 绕原点0按顺时针方向旋转34π，再将其长度，得到一个长度为1112π的向量OZ ，则OZ即为121)1)z i z =-+所对应的向量. （4）原式22cossin 2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111cos sin 23322244i i ππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.几何解释：设1122cos sin ,2cos sin 223333z i z i ππππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ绕原点0按顺时针方向旋转3π，再将其长度缩短为原来的12， 得到一个长度为12，辐角为3π的向量OZ ，则OZ即为1214z z =+所对应的向量.《7.3 复数的三角表示（精练）》同步练习【题组一 复数的三角表示】 1．将复数4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（ ）A ．4B ．-4C ．4iD ．4i -2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）6； （2）1+i ； （3）1； （4）12i ；3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； （3）155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）77cossin 55i ππ+； （5）2cos sin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4．把下列复数表示成代数形式：（1）cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭；（2）11118cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （3）9(cos sin )i ππ+ （4）446cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）22i -； （2）20； （3）33i --.6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）-5i ；（2）-10；（3）1-+；（4i -.7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量： （1）4； （2）i -；（3）2i ；（4）12--.【题组二 复数的辅角】1．下列各角不是复数3i -的辐角的是（ ） A ．6π-B ．116πC ．4πD ．356π2．复数sin 45icos45︒︒-的辐角主值是（ ） A ．45︒ B ．135︒C ．225︒D ．315︒3．复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是（ ）A ．34π B ．4π C ．34π-D ．4π-4．复数z =，则arg z =_______ .【题组三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】 1． cos sincos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -2． ()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．6iB ．6iC ．6i -D ．6i -3． ()4cos sin 2cos sin33i i ππππ⎛⎫+÷+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1+B ．1C ．1-+D ．1--4．()22cos60isin60÷︒+︒=（ ）A ．122+ B ．122- C ．122i + D ．122i - 5．计算： （1）3cossin3cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++⎪⎪⎭⎭； （3）2210cos sin 5cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（4）3312cos sin 6cos sin 2266i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6．计算： （1）8cossin2cos sin 6644i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 602i ︒︒︒︒+⨯+； （4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+.7．计算：（1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2))cos150sin150cos225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦； （3）2cossin44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭； （4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦.【题组四 综合运用】1．（多选）任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数2． 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ix e cos isin x x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①i πe 10+=；②20191122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；③i i 2cos e e x x x -=+；④i i 2sin e e x x x -=-.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①②D ．①③3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i z e i π=-，则||z =（ ）.A B ．1C D ．4．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.5．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.6．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 7.一般的，复数都可以表示为()cos sin z r i θθ=+的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，那么()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭______.（结果表示为a bi +，,a b ∈R 的形式）《7.3 复数的三角表示（精练）》同步练习答案解析【题组一 复数的三角表示】1．将复数4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（ ）A ．4B ．-4C ．4iD ．4i -【答案】D 【解析】4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()401i =+-⎡⎤⎣⎦4i =-故选：D.2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）6； （2）1+i ； （3）1； （4）12i ；【答案】（1）6(cos0sin 0)i +,画向量见解析 （2cossin44i ππ⎫+⎪⎭,画向量见解析 （3）552cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,画向量见解析 （4）55cos sin 66i ππ+,画向量见解析 【解析】（1）6对应的向量如答图中1OZ ，6,cos 1,sin 0r θθ===，又[0,2)θπ∈，0,66(cos0sin 0)i θ∴=∴=+.（2）1i +对应的向量如答图中2OZ ，2,cos r θθ===又[0,2),4πθπθ∈∴=1cos sin 44i i ππ⎫∴+=+⎪⎭.（3）1-对应的向量如答图中3OZ112,cos ,sin 2r θθ=+===，又5[0,2),3πθπθ∈∴=，5512cos sin 33i ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（4）12i +对应的向量如答图中4OZ ，11,cos 2r θθ===，又5[0,2),6πθπθ∈∴=，155cos sin2266i i ππ∴-+=+.3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（3）155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）77cossin 55i ππ+； （5）2cossin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【答案】（4）是三角形式；（1）（2）（3）（5）不是三角形式. （1）177cossin 244i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）144cos sin 233i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）1cos sin 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（5cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭. 【解析】（1）中间是“-“号，不是三角形式.1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=177cos sin 244i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）括号前面是负数，不是三角形式，1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=144cos sin 233i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1cos sin 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）是三角形式．（5）括号内前后两个角不相等，不是三角形式，2cossin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭4．把下列复数表示成代数形式：（1）cossin44i ππ⎫+⎪⎭； （2）11118cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）9(cos sin )i ππ+ （4）446cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）33i +；（2）4i ；（3）9-；（4）3--.【解析】（1）原式33i ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭；（2）原式18422i i ⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭；（3）原式9(10)9i =⨯-+=-；（4）原式16322⎛⎫=⨯--=-- ⎪ ⎪⎝⎭.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）22i -； （2）20； （3）33i --.【答案】（1）77cossin 44i ππ⎫+⎪⎭；（2）20(cos0sin 0)i +；（3）55cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭【解析】解：（1）∵r ==cos θ=，sin θ=， 又[0,2)θπ∈，∴74πθ=，∴7722cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭；（2）∵20r ==，cos 1θ=，sin 0θ=， 又[0,2)θπ∈，∴0θ=， ∴2020(cos0sin0)i =+；（3）∵r ==cos θ=，sin θ=， 又[0,2)θπ∈，∴54πθ=，∴5533cossin 44i i ππ⎫--=+⎪⎭． 6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）-5i ； （2）-10；（3）1-+；（4i -.【答案】（1）335cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）10(cos sin )ππ+；（3）222cos sin 33i ππ⎛⎫+⎪⎝⎭；（4）11112cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵5r ==，cos 0,sin 1θθ==-，又[)0,2θ∈π，∴32πθ=，∴3355cos sin 22i i ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭；（2）∵10r ==，cos 1θ=-，sin 0θ=， 又[)0,2θ∈π，∴θπ=，∴1010(cos sin )i ππ-=+；（3）∵2r ==，1cos 2θ=-，sin θ=又[)0,2θ∈π，∴23πθ=，∴2212cos sin 33i ππ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭；（4）∵2r ==，cos 2θ=，1sin 2θ=-，又[)0,2θ∈π，∴116πθ=11112cos sin 66i i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：（1）4； （2）i -；（3）2i ；（4）12--. 【答案】（1）44(cos0sin0)i =+；作图见解析（2）33cossin 22i i ππ-=+；作图见解析（3）24cos sin66i i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；作图见解析（4）144cos sin 2233i ππ--=+;作图见解析【解析】（1）44(cos0sin0)i =+；（2）33cossin 22i i ππ-=+；（3）24cos sin 66i i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（4）144cos sin233i ππ--=+.14,2,2i i --分别对应向量1234,,,OZ OZ OZ OZ ，如图所示.【题组二 复数的辅角】1．下列各角不是复数3i -的辐角的是（ ） A ．6π-B ．116πC ．4πD ．356π【答案】C【解析】∵6r ==，cos θ=，1sin 2θ=-，∴辐角主值116πθ=，故可以作为复数3i 的辐角的是1126k ππ+，k ∈Z . ∴当1k =-时，11(2)66πππ+-=-； 当0k =时，1111066ππ+=； 当2k =时，1135466πππ+=； 故选：C ．2．复数sin 45icos45︒︒-的辐角主值是（ ） A ．45︒ B ．135︒C ．225︒D ．315︒【答案】D【解析】∵1r ==，cos θ=，sin 2θ=-， ∴辐角主值315θ︒=， 故选：D ． 3．复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是（ ）A ．34π B ．4π C ．34π-D ．4π-【答案】B【解析】由辐角主值的定义，知复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是4π.故选：B.4．复数z =arg z =_______ .【答案】2π【解析】z == 2= 413i =+ i = 复数z 在复平面内，对应点的坐标为()0,1，点()0,1在y 轴上，所以arg 2z π=，故答案为：2π.【题组三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】 1． cos sincos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -【答案】C【解析】cos sin cos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 6363i ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cossin22i ππ=+i =故选：C.2． ()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．6iB ．6iC ．6i -D ．6i --【答案】D【解析】()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒()()12cos 60150sin 60150i =︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()12cos210sin 210i =︒+︒1122i ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭6i =-故选：D.3． ()4cos sin 2cos sin33i i ππππ⎛⎫+÷+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13i + B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】C【解析】4(cos sin )2cos sin 33i i ππππ⎛⎫+÷+ ⎪⎝⎭2cos sin 33i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222cos sin 33i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1=-+故选：C.4． ()22cos60isin60÷︒+︒=（ ）A ．12+ B ．122- C ．122i + D 12i 【答案】B【解析】()()22cos60sin602cos0sin0i i ÷︒+︒=︒+︒÷()2cos60sin60i ︒+︒()()cos 060sin 060i =︒-︒+︒-︒()()1sin 60cos 6022i i =-=︒-+-︒. 故选：B. 5．计算： （1）3cossin3cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++⎪⎪⎭⎭；（3）2210cossin 5cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（4）3312cossin 6cos sin 2266i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【答案】（1）9i ； （2）； （3）1+； （4）1--.【解析】（1）原式33cos sin 9cos sin 9363622i i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）原式cos sin 2424i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦33cos sin4422i i ππ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎭⎭=；（3）原式1022cos sin 2cos sin 5333333i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1212⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；（4）原式1233cos sin 62626i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4412cos sin213322i ππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6．计算： （1）8cossin2cos sin 6644i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 60i ︒︒︒︒++； （4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+.【答案】（1）i +（2）4i （3（4）30- 【解析】（1）8cossin2cos sin 6644i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5582cos sin 16cos sin 64641212i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦16i ⎫==+⎪⎪⎝⎭； （2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4545131324cos sin 8cos sin 363666i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18422i i ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 602i i ︒︒︒︒+⨯+()())cos 24060sin 24060cos300sin 30022i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+++=+⎣⎦12⎫=-=⎪⎝⎭； （4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i i i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+()()()32cos 1854sin 18545cos108sin108i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯+++⨯+⎣⎦()()6cos72sin725cos108sin108i i ︒︒︒︒=+⨯+()()()65cos 72108 sin 7210830cos180 sin 180i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯+++=+⎣⎦30(10)30i =-+⋅=-.另解（4）题还可以这样解：原式()()325cos 1854108sin 1854108i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯⨯+++++⎣⎦()30cos180sin180i ︒︒=+30(10)i =-+⋅30=-.7．计算： （1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2))cos150sin150cos225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦； （3）2cos sin 44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭；（4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦.【答案】（1）22--（2）3344-+-34）144i -+【解析】（1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦72722cos sin 4343i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13132cos sin2cos sin 12121212i i ππππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24422i ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭；（2))cos150sin150cos 225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦()()cos 150225sin 150225i ︒︒︒︒⎤=-+-⎦)cos75sin 75i ︒︒⎫=-=-=⎪⎭；（3）2cossin44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭2(cos 0sin 0)cos sin 44i i ππ⎛⎫=+÷+ ⎪⎝⎭2cos 0sin 044i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos sin 24422i ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦3322cos sin2cos sin 2233i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13232155cos sin cos sin 22323266i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111224i i ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 另解第（3）题还可以这样解：原式222⎛⎫=÷+⎪⎝⎭222⎛⎫- ⎪=⎝⎭⎝⎭=.第（4）题还可以这样解：原式12222i ⎡⎤⎛⎫=-÷⨯-+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=14i =+. 【题组四 综合运用】1．（多选）任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数【答案】AC【解析】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z ri θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cossin332z i ππ=+=，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.2． 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ix e cos isin x x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①i πe 10+=；②20191122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；③i i 2cos e e x x x -=+；④i i 2sin e e x x x -=-.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①②D ．①③【答案】A【解析】因为i πcos in 1e s i ππ=+=-，故i πe 10+=，故①正确.()()i -i cos sin ,cos sin e e cos sin x x x i x x i x x i x =+=-+-=-，所以i i e e 2cos x x x -+=，i i e e 2sin x x i x --=，故③正确，④错误.而201920191cos isin 2233ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2019i 673i 3e e cos 673isin 6731ππππ⎛⎫===+=- ⎪⎝⎭.故②正确， 故选：A ．3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i z e i π=-，则||z =（ ）.A B ．1C D ．【答案】C【解析】由题意得，cos sin 1i z e i i i i πππ=-=+-=--，所以||z ==故选：C4．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.【答案】+,34π【解析】由复数乘法的几何意义得1255cos sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又24412cos sin 33z i ππ⎛⎫=--=+⎪⎝⎭144552cos sin cos sin 3333cos sin44i i z i ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+2cos 3sin 344i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1z 的辐角主值为34π 5．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.【解析】由题意得，P 点对应的复数为1i +， 由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ-+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.+. 6．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________.【答案】13+【解析】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：1. 7.一般的，复数都可以表示为()cos sin z r i θθ=+的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，那么()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭______.（结果表示为a bi +，,a b ∈R 的形式）【答案】+cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭33cos sin cos sin 242444i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫+++=+ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦22i ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：+．。
高三数学习题集：复数与三角函数的应用
高三数学习题集：复数与三角函数的应用
在高三数学学习中，复数与三角函数是相当重要的一部分，它们在现实生活和不同学科的应用中起着重要的作用。
下面我们将提供一些关于复数与三角函数应用方面的习题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
1. 复数的应用
题目1：设z1 = 3 + 4i，z2 = 2 - 5i，求z1与z2的和与积。
题目2：已知复数z满足条件 |z - 2 - 3i| = 5，求复数z。
题目3：复数z满足条件 2z - 1 = (3 - 2iz)^2，求复数z。
2. 三角函数的应用
题目1：已知sinθ = -1/2，且θ落在第四象限，求cosθ的值。
题目2：已知tanα = 3/4，且0°< α < 90°，求sinα和cosα的值。
题目3：已知sinθ = -3/5，且θ落在第三象限，求cosθ的值。
此外，复数与三角函数的应用也经常出现在几何题和物理题中，例如旋转变换、交流电流的计算等。
希望同学们通过这些习题，能够熟练掌握复数与三角函数的运算规则，以及灵活应用于不同的数学题目中。
复数与三角函数的应用是高三数学学习的重要内容，也是后续数学学习和考试中的基础知识。
同学们可以多做练习，深入理解相关概念和运算规则。
希望大家在高三数学学习中能够取得好成绩，加油！。
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专题四 三角函数与复数【考点聚焦】考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；【自我检测】1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α，180ºα±,90ºα±,270ºα±,360º－α，k 360º+α(k ∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限.3． 两角和与差的三角函数：sin(α±β)=_______________________;cos (α±β)=________________________;tan (α±β)=_________________________. 4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan 2α=_____________.5． 半角公式：sin 2α=_______，cos 2α=_______,tan 2α=________=________=______.6． 万能公式sin α=_____________,cos α=_____________,tan α=_____________. 7． 三角函数的图象与性质：问题1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式. 例1．（05天津理）要得到y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度思路点拨：将)42sin(2π+=x y 化为)42cos(2π-=x y ，再进行变换.解答：变换1：先将)42c o s (2π-=x y 的图象向左平移8π个单位，得到x x y 2c o s 2]4)8(2c o s [2=-+=ππ的图象，再将x y 2cos 2=的图象的横坐标缩短到原来的2倍得到x y cos 2=.变换2：先将)42c o s (2π-=x y 的图象的横坐标缩短到原来的2倍，得到)4c o s (2π-=x y 的图象，再将)4c os(2π-=x y 的图象向左平移4π个单位，得到x y c os 2=.由上可得，应选C.演变1：函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10坐标代入即可.问题2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号例2：已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin22sin322++-的值.思路分析：将sin x -cos x =51平方，求出sin x cos x 的值，进而求出（sin x -cos x ）2，然后由角的范围确定sin x -cos x 的符号. 解法一：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）x xx xx xxx x xxx sin cos cos sin 1sin 2sin2cot tan 2cos2cos2sin2sin3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x 解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin2sin322++-x xx xx xsin cos cos sin 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等①②基本知识，以及推理和运算能力. 演变1：已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求.点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解. 例3：设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像.思路点拨：正弦y =sin x 的图象的对称轴为直线)(2Z k k x ∈+=ππ，其对称轴与x 轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x 值. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得 .,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 演变3：已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.问题4：“拆项”与“添项”的问题“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例4：（1）求8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++的值； （2）已知：41)2tan(,52)tan(=-=+πββα，求：)4tan(απ+的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7º、15º、8º，发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º，故可将7º拆成15º－8º；同理在第（2）题中απ+4可以拆成两角差，即)4()(πββα--+.解：（1）8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++＝8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(+-+-＝15cos 8cos 15sin 8cos＝tan15º=30sin 30cos 1-=32-(2) ∵απ+4=)4()(πββα--+∴tan(απ+4)=tan[)4()(πββα--+]＝)4tan()tan(1)4tan()tan(πββαπββα-++--+＝415214152⨯+-＝223点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.演变4：求20cos 20sin 10cos 2-的值.点拨与提示：10º＝30º－20º.点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解. 专题小结1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等．对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．2．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断．3．解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式．要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能 【临阵磨枪】 一、选择题1．已知f (cos x )=cos3x ，则f (sin30º)的值为（ ）A 0B 1C －1 D232．（2006年辽宁卷）A B C 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q,则角C 的大小为 (A)6π(B)3π(C)2π(D)23π3．（2006年安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-4．把函数)3sin 3(cos 22x x y -=的图象适当变动，就可得到y =－sin3x 的图象，这种变动可以是（ ）A 沿x 轴向右平移4πB 沿x 轴向左平移4πC 沿x 轴向右平移12πD 沿x 轴向左平移12π5．已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A ，B ，O 为坐标原点，当 7．函数y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)的最大值为（ ） A211 B 213 C 7 D 88．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．2π9．在△ABC 中，若ba b a B A +-=-2tan ，其中a,b 分别是∠A ，∠B 的对边，则△ABC是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形 10．函数y =23cos32sin 212+-=x x y 的最小正周期为（ ） A 2π B π C 2πD4π二、填空题11 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=______12 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________14．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin （nx ）在[0，nπ]上的面积为n2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题15 不查表求值：.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒16 （2006年安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=-（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形A B C ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= .（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B .19 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1．C 提示：1180cos )60(cos )30(sin -=︒=︒=︒f f2 B 提示：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B.3．C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=.4．D 提示：)]12(3sin[)43sin(ππ--=--=x x y 5．B 提示∠AOB ＝60º，｜z 2|=2|z 1|=4，3260sin ||||2121=︒⋅=∆z z S AOB6．B 提示：)]23sin()23[cos(2sin 2πθπθθ-+--=i z ，∵02sin ,2223<-<<θπθπ，).3(21arg ,2230πθππθ-=∴<-<Z7．C 提示：y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)＝3sin(x +20º)+5sin[(x +20º)＋60º] ＝7)20sin(7)20cos(235)20sin(211≤+︒+=︒++︒+ϕx x x 8．D 提示：θθθθθθc os sin 2121)sin 1)(cos 1(21cos 21sin 211-=-----=∆OAB S11sin 224θ=-， 当2θπ=即2πθ=时，面积最大.9．D 提示：由正弦定理得：2cos2sin22cos 2sin 2sin sin sin sin 2tanB A B A B A B A Ba B A ba b a B A -++-=+-=+-=-＝2cot2tanB A B A +-，∴02tan =-B A 或12cot =+B A ∴02=-B A 或22π=+B A∴A ＝B 或A ＋B ＝90º 10．D 提示：)22sin(23232cos 232sin 21π-=+--=x x x y ，则π=T11．247 提示 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯-126556 提示 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π3 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=+=⨯+-⨯-=+⋅-++⋅--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈=-∴βαβππαβππαβππαπβππαβαβπβπππβππβπα即 13．1-32i 提示：设z =a +b i,由(3+2i)(a +b i)=3(a +b i)+3+2i,得3a -2b =3a +3,2a +3b =3b +2,∴a =1,b =32-.14．π+32,34 提示：由题意得：，，x y 34232]320[3sin =⨯=上的面积为在π 上的图象在]343[1)3sin(πππ，x y +-=为一个半周期结合图象分析其面积为π+32.15 答案 216．解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求.（Ⅱ）225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6-17．解：原方程化简为i i z z z-=++1)(2,设z =x +y i(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2x i=1－i ，∴ x 2+y 2=1且2x =－1,解得x =－21且y =±23, ∴原方程的解是z =-21±23i .18． 解：（Ⅰ）∵1m n ⋅=∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12sin cos 122A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-=∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--=-811+=19 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t=32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤tx =32-t2m ax 0.5m in 0.50.50.514410248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M x t t tt t M ty M M y t x ∴===≤=+++====>∴======-当且仅当即在时是减函数时此时【挑战自我】设a,b ,c 为△ABC 的三边，a ≤b ≤c ，R 是△ABC 的外接圆半径，令f =a+b －2R-8R 2sin2sin2sinC B A ，试用C 的大小来判定f 的符号.解：f =2R （sinA+sinB －1－42sin2sin2sin C B A ）＝2R[2sin )2cos2(cos212cos2sin 2C AB A B AB AB --++--+]＝4R 2sin 2cos 42)2sin 2(sin 2cos C C R R C A B A B -+--+-π＝4R 2sin 42)2sin2(sin 2cos 2C R R CCA B +----π＝2R )2sin2cos2cos2)(2sin2(cosC C A B C C ----由a ≤b ≤c ，得A ≤B ≤C ，所以0＜B －A ＜B ＋A ，因此2cos 2cosC A B >-，2sin 2cos2cosC A B A B =+>-，所以2sin 2cos 2cos2C C A B +>-故当f >0时，2sin 2cos C C >，则0＜C ＜2π当f ＝0时，2sin2cos C C =，则C ＝2π当f ＜0时，2sin2cosC C <，则C ＞2π【答案及点拨】演变1：由图得2,84T T =∴=,由T=2πω,得4πω=,在y =sin(4x πϕ+)中令x =1,y =1,得242k ππϕπ+=+,24k πϕπ=+,得4πϕ=,选(C)演变2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α=，即57cos sin =α-α ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sincos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin212cos 257解得53sin ,259sin2±=α=α即由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且，故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α，以下同解法一.演变3：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(πππ--++=⋅=x x x x b a x f21t a n t a n 122)222221tan 1tan 222sincos2cos1222x x x x x x x x x x +-=++⋅-+=+-x x cos sin +==)4sin(2π+x .所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为,2π]4,0[)(π在x f 上单调增加，[,]42ππ上单调减少.演变4：∵10º＝30º－20º，∴原式＝︒︒-︒︒+︒︒=︒︒-︒-︒20cos 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 220cos 20sin )2030cos(2＝2cos30º=3.演变5：原方程可化为022)5()2(2=-++-+i x i x i△＝[]i i i i i i 188241024)22)(2(4)5(2=+-+=-+-+-.而18i 的平方根为)1(3i +±，所以方程的根为)2(2)1(352,1i i i x ++±+=，∴i x x 5351,221-==.演变6：提示：∵｜z 1+z 2｜=|z 1－z 2|（y 1y 20≠），∴|1||1|2121-=+z z z z .即21z z 在复平面内对应的点到（－1,0）、（1,0）的距离相等，∴21z z 对应的点在虚轴上，即21z z 为纯虚数.演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案。