2020年初中数学竞赛讲义：第11讲-双曲线
双曲线(优秀经典公开课比赛课件).
x2 y2 a2 - b2 =1
,由
{ 题设得
a2+b2=100
a4 =
,
b3
解得a=8,b=6.
∴另一条双曲线方程为
y2 x2 - =1
.
64 36
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【评析】双曲线
x2 y2 - =1
与
36 64
y2 - x2 =1 是一
64 36
对共轭双曲线，一般形式是
x2 a2
y2 - b2
=±1.
因而本题有另一解法，设双曲线方程为
c <
a
6
2.
∴离心率e=
e a
∈(1,
6 ).
2
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考点四 双曲线的综合应用
例4 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F（ 3 ，0），
一条渐近线m：x + y=0，设过点A(-3 ,0)的直线l
的方向向量e=(1,k). 2
2
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a ∥ l，且a与l的距离为 ,求k的值;
，
1+k 2
当k＞
2 时，d＞
2
6.
又双曲线C的渐近线为x± 2 y=0，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于 6.
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 6.
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证法二：假设双曲线C右支上存在点Q（x0，y0）到
直线l的距离为 6 ，
则
{ |kx0 -y0 +3
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l
的距离d1=
b(a-1) a2 +b2
2020届高三第一轮复习讲义【11】-幂函数与双曲线函数
2020届高三第一轮复习讲义【11】幂函数与双曲线函数一、知识梳理： 1. 幂的有关概念(1) 正整数指数幂: ()n n a a a a n *=⋅⋅⋅∈L ?14243个; (2) 零指数幂: 0a =_____________(其中__________);(3) 负整数指数幂: pa -=_______________(其中0a ≠, p *∈¥); (4) 分数指数幂: nma =______________(其中,m n *∈¥, 且m , n 既约).2. 幂的运算性质(1) m n a a ⋅=_____________(0a >, ,m n ∈¡); (2) ()m n a =_____________(0a >, ,m n ∈¡); (3) ()m ab =_____________(0, 0a b >>, m ∈¡). 幂函数的定义 形如k y x =, k 为常数, k 为有理数的函数叫做幂函数.幂函数2y x -= 1y x -= 12y x -=13y x =图像幂函数 12y x =y x =2y x = 3y x = 图像幂函数的性质0k >时, k y x =在[0,)+∞上是增函数; 0k <时, k y x =在(0,)+∞上是减函数.10a ≠1pa m na m n a +mn a m m a b4. 函数(0)ay x a x=+>的图像与性质函数在区间(0,)+∞部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下:(1) 定义域:________________;(2) 奇偶性: ______________; (3) 单调性: 在(0,)+∞中, 在区间上单调递减, 在区间上单调递增;(4) 值域与最值: 在(0,)+∞上时,函数值的取值范围是当时, 取到最小值______.5. 函数(0)ay x a x=+<的图像与性质函数在区间(0,)+∞部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下:(1) 定义域: ________________;(2) 奇偶性: ______________;(3) 单调性: 在_________________________单调递增; (4) 值域与最值: _________________________________;(5) 零点二、基础检测：1. 幂函数()y f x =的图像经过点, 则(8)f =_________.2. 下列函数中, 既是偶函数又是(0,)+∞上的增函数的是答 [ ] A. 43y x =B. 32y x =C. 2y x -= D. 14y x -= 3. 下列命题中, 正确的是答 [ ]A. 当0k =时, 函数k y x =的图像是一条直线B. 幂函数的图像都经过点(0,0)和(1,1)C. 当0k <时且k y x =是奇函数时, k y x =是减函数D. 幂函数的图像不可能过第四象限4. 函数2, [1,2]y x x x=+∈的值域是______________.5. 函数21y x x =+-在定义域(1,]a 上的最小值是, 则实数a 的取值范围是_______________. 6. 函数(0)cy x c x=+≠在[2,)+∞上单调递增, 则实数c 的取值范围是________________.奇函数奇函数 (,0)-∞与(0,)+∞上分别 值域为¡, 无最值 (,0)(0,)-∞⋃+∞(,0)(0,)-∞⋃+∞)+∞)+∞x =x =三、例题精讲：【例1】将下列函数图像的标号, 填入相应函数后面的横线上.(1)32 y x =: _________; (2)43y x=: _________; (3)53y x=: _________; (4)23y x-=: _________.【例2】已知函数221()m my mx---=∈¢在区间(,0)-∞上是减函数, 求m的最大值.解: 即考虑函数22(0)m my x x+-=≠,若函数是奇函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递减,则有220(2,1)m m m+-<⇒∈-,当1m=-时, 222m m+-=-, 是偶函数, 不合题意;若函数是偶函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递增,则有220(,2)(1,)m m m+->⇒∈-∞-⋃+∞,当3m=-时, 224m m+-=, 是偶函数, 符合题意;综上所述, m的最大负整数值为3-.【例3】已知函数23y x-=．（1）画出它的图像；（2）判断它的奇偶性；（3）写出它的单调区间．解：（1）(2) ()f x是偶函数；(3)23y x-=在(),0-∞是增函数，()0,+∞是减函数．A BC D【例4】已知幂函数()()21322p p Z f x x p -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p的值，并写出相应的函数．解：因为()()21322p p f x xp Z -++=∈在()0,+∞是增函数，所以213022p p -++>， 即2230p p --<，解得13p -<<，所以p =0、1、2． 当p =0时，32y x =不是偶函数，故p =0舍去； 当p =1时，2y x =是偶函数，故p =1符合题意； 当p =2时，32y x =不是偶函数，故p =2舍去． 综上p =1，()2y f x x ==． 【例5】已知()()22k k x k Z f x -++=∈满足()()23f f <．（1）求k 的值；（2）是否存在正数m ，使()()()[]121,1,2g x mf x m x x =-+-∈-的值域为174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦？ 若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由．解：（1）由()21924k f x x⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=且()()23f f <，知()f x 在()0,+∞上单调递增，故220k k -++>，12k -<<因此1k =或0；（2）()2f x x =，()()[]2222141121,1,224m m g x mx m x m x x m m -+⎛⎫=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭， 对称轴为112x m =-，则1122m-≥，得12m ≤-，与0m >矛盾，所以m 不存在． 【例6】设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1m n k r 之间的大小关系为________________。
初中数学竞赛专题-第二十九章双曲线的性质及应用
第二十九章 双曲线的性质及应用【基础知识】双曲线具有一般圆锥曲线的性质外,还具有下述有趣性质：性质1双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F ,2F ,其上任意一点()00,P x y 处的两条焦半径长,当0x a≥以时,10PF ex a=+,20PF ex a=-；当0x a≤时,()10PF ex a =-+,()200PF ex a a ex =--=-． 性质2以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切．证明设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,其上任一点()00,P x y ,设两焦点为1F ,2F ,2PF 的中点为M ,中心O 为12F F 的中点,则()101122OM PF ex a ==+,但以实轴为直径的圆222x y a +=与以2PF 为直径的圆的半径之和为()()200111222a PF a ex a ex a +=+-=+,即证． 性质3设1F ,2F 是双曲线()222210x y a b a b -=>>的左、右焦点,点P 是双曲线上异于顶点的任意一点,（I ）12PF PF ⋅的最小值为2b ；（Ⅱ）设122F PF θ∠=,则2122sin b PF PF θ⋅=,且1222cot F PF S b θ=⋅△；（Ⅲ）设12PF F α∠=,21PF F β∠=,则当点P 在双曲线右支上时,1tan cot 221e e αβ-⋅=+；当点P 在双曲线左支上时,1cottan221e e αβ-⋅=+．证明（I ）当P 为双曲线顶点时,即取最小值． （Ⅱ）在12PF F △中,由余弦定理,22212122cos24PF PF PF PF c θ+-⋅⋅=,由122PF PF a -=,有222121224PF PF PF PF a +-⋅=,两式相减,化简即得2212221cos2sin b b PF PF θθ⋅==-． 122121sin 2cot 2PF F S PF PF b θθ=⋅⋅=⋅△． （Ⅲ）P 在右支上时,由122PF PF a -=及正弦定理,有()1212sin sin sin PF PF F F βααβ==+．由等比定理,有()22sin sin sin c a αββα=+-．故()1tancotsin 22sin sin 1tan cot 22c e a αβαβαββα+⋅+===--⋅,故1tan cot 221e e αβ-⋅=+． P 点在左支上时,同理可证．性质4P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上异于顶点的一点,O 是中心,1F ,2F 为其左、右焦点,令OP d =,则22212PF PF d b a ⋅-=-．其证明与椭圆性质8的证明类似．性质5直线0Ax By C ++=与双曲线()222210,0x y a b a b-=±>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b - 2C ±且22220A a B b -≠． 其证明与椭圆性质9的证明类似． 推论直线0Ax By C ++=与双曲线()()()222210,0x m y n a b a b ---=>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b -()2Am Bn C ++．性质6设双曲线的一个焦点为F ,直线l 与过顶点A ',A 的切线相交于M ',M ,则 （1）0FM FM '⋅=⇔直线l 与双曲线相切或l 为双曲线的一渐近线； （2）0FM FM '⋅<⇔直线l 与双曲线相离；（3）0FM FM '⋅>⇔直线l 与双曲线相交（或相交于一点）．证明设双曲线方程()222210,0x y a b a b-=>>,(),0F c ,(),0A a '-,(),0A a ,直线l ：y kx m =+．()(),,FM FM a c m ka a c m ka '⋅=---⋅-+()22222c a m k a =-+-2222m b k a =+-．由22221x y a b y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,得 ()()2222222220a kb x a kmx a m b -+++=．()2222224a b m b a k ∆=+-．（1）222222220000FM FM m b k a m a k b '⋅=⇔+-=⇔=-=⇔∆=或0m =,bk a=±⇔直线l 与双曲线相切或l 为双曲线的一渐近线；（2）222200FM FM m a k b '⋅<⇔<-⇔∆<⇔直线l 与双曲线要离；（3）2222222200FM FM m a k b m a k b '⋅>⇔>-⇔>-≠或222200m a k b >-=⇔∆>或l 平行于双曲线的一渐近线⇔直线l 与双曲线相交（或相交于一点）．性质7设P ,Q 是双曲线()222210x y b a a b -=>>上的两点,O 为中心,若OP OQ ⊥,则22221111a b OPOQ+=-．证明设OP 的倾斜角为α,将其参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入双曲线方程,得2222222cos sin a b t b a αα=-,故22222221cos sin b a a b OPαα-=． 同理,22222221sin cos b a a b OQαα-=．两式相加即证． 注类似地可证明如下结论：（Ⅰ）AB ,CD 是过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>焦点F 的弦,若AB CD ⊥,则（i ）当弦AB ,CD 的端点均在双曲线的同一支或均在两支上时,有2221111a AB CD a b⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；（ii ）当弦AB 与CD 的端点一组在双曲线的同一支上,另一组在两支上时,有2221111a AB CD a b-=-． （Ⅱ）AB 是过双曲线()222210x y b a a b -=>>焦点F 的弦,O 为中心,Q 为双曲线上一点,若OQ AB ⊥,则（i ）当A ,B 在双曲线的两支上时,有2222211a AB ab OQ +=-；（ii ）当A ,B 在双曲线的同一支时,有2222211a ABb aOQ -=-． 性质8过双曲线的一个焦点,（I ）且与双曲线交于同支的弦,以通径为最短,对于大于通径长的任何一个长度L ,在同一支上过焦点可作两条不同的弦；（Ⅱ）且与双曲线交于异支的弦,以其实轴长为最短,对于大于实轴长的一个长度L ,过一个焦点可作两条交于异支的弦．证明设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>．由双曲线的对称性,不妨设弦过双曲线的右焦点,弦的端点分别为()11,A x y ,()22,B x y ,AB L =．当焦点弦为通径时,容易求得22b L a=,且该弦是唯一的．当焦点弦不是通径时,设弦所在直线方程为()y k x c =-,并代入双曲线方程得()2222222222220ba k x a ck x a c k ab -+--=．由此,得22122222a ck x x a k b +=-．（I ）当焦点弦与双曲线交于右支上两点时, 易知222212222222a c ab k ab L AB x x c a a k b ⎛⎫+==+-⋅= ⎪-⎝⎭．于是()()22222b a L k a La b +=-． ①若22b L a <,则220La b -<,①式右边为负数,k 无实数解,即不存在小于通径的同支焦点弦；若22b L a >,则①中k 的两解为k =易知此时bk a>,所以交于右支的弦有两条． （Ⅱ）当焦点弦的端点A ,B 在双曲线异支上时, 易知222212222222a c ab k ab L AB x x c a b a k ⎛⎫+==--⋅= ⎪-⎝⎭． 于是()()22222b L a k a La b-=+． ②若2L a <,则②式右边为负,k 无实数解,即不存在小于实数的交于异支的焦点弦；若2L a =,则0k =,即交于异支的焦点弦以实轴为最短；若2L a >,则②中k 的两解为k =且易知0bk a<<,即交于异支的焦点弦有两条．注由上述性质,可得如下易于操作的结论：（1）若22min 2,b L a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭,则这样的焦点弦不存在；（2）若22min 2,b L a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且双曲线非等轴,则弦唯一；（3）若双曲线等轴,且2L a =,则焦点弦有两条,分别为实轴和通径；（4）若a b <（或b a <）且当222b a L a <<（或222b L a a<<）时,焦点弦有两条,它们都交于异支（或同支）上；（5）若222b L a a =>（或222b L a a=>）,焦点弦有三条,一条为实轴,另两条交于同支（或一条为通径,另两条于异支）上；（6）若22max 2,b L a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭,焦点弦有四条,两条交于同支上,另两条交于异支上．性质9等轴双曲线222x y a -=上点()00,P x y 对弦AB 的张角为直角的充要条件是0AB y k x =-． 性质10设()00,M x y ,双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,对于直线l 的方程00221x x y y a b -=,则（1）当M 在双曲线上时,l 为双曲线的切线；（2）当M 在双曲线外时,l 为双曲线的切点弦直线；（3）当M 在双曲线内时,l 为以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上,这可由第二十五章的性质7推论后的注即得,这里,其实l 为点M 关于双曲线的极线． 【典型例题与基本方法】例1过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A ,B 两点,若实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条,则λ=_____________ （1997年全国高中联赛题）解填4．理由是：首先注意到,过双曲线2212y x -=的右焦点且与右支交于两点的弦,当且仅当该弦与x 轴垂直时,取得最小长度224ba =．（事实上,在极坐标系中,可设双曲线的方程为ρ=,设()1,A ρθ,()()212,0,0B ρθρρ=π+>>,则24413cos AB θ=+=-≥,当2θπ=时,等号成立．其次,满足题设条件的直线恰有三条时,只有两种可能：（i ）与双曲线左、右两支都相交的只有一条,而仅与右支相交的有两条．此时,与双曲线左、右两支都相交的必是x 轴,而其两交点间的距离为22a =．但仅与右支相交的两条的弦长4λ>,这不满足题设条件．（ii ）与双曲线左、右两支都相交的有两条,而仅与右支相交的只有一条,且这条弦必与x 轴垂直（否则,由对称性知仅与右支相交的有两条弦）,此时,4AB λ==,且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件．所以4λ=．例21F ,2F 为双曲线221445x y -=的两个焦点,P 是双曲线上一点,已知2PF ,1PF ,12F F 成等差数列（或12122PF PF F F =+）,且公差大于0．试求12F PF ∠．解由题设,知24a =,245b =,则7c =． 又1222PF PF c =+,则12214PF PF -=．而1224PF PF a -==,从而求得110PF =,26PF =．于是由性质3（Ⅱ）,知22122260sin 1cos2b b PF PF θθ=⋅==-,即得1cos 2θ=-． 从而120θ=︒,即12120F PF ∠=︒．例31F ,2F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点,ab ,直线l 与2F 与x 轴的夹角为θ,tan θ=且22QP PF =∶．求双曲线方程． （1991年全国高考题）解设()1,0F c -,()2,0F c ,在2Rt OQF △中,由tan θ=可得0,Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．于是1116PF c =,256c PF =,223736OP c =．由性质4,有222255373636c c b a -=-,即223b a =,与已知223a b =联立求得21a =,23b =．故所求双曲线方程为2233x y -=．例4求过点()6,7P ,且与双曲线221916x y -=相切的方程．解运用性质5,联立方程670A B C ++=与222916A B C -=消去C ,可得()()359130A B A B ++=．求得53A B =-或139A B =-,因此求得3C B =或53C B =,即所求切线方程为5303Bx By B -++=与135093Bx By B -++=,即5390x y --=与139150x y --=为所求． 例5设点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支异于顶点的一点,1F ,2F 分别为其左、右焦点,试证：12PF F △的1F ∠的内角平分线上的旁心的轨迹方程为：()()()()222c a x c a y c a c x c --+=->．证明设12PF F α∠=,21PF F β∠=,由性质3（Ⅱ）,在12PF F △中,有()1212sin sin sin PF PF F F βααβ==+,即()22sin sin sin a c βααβ=-+,从而亦即tan cot 22c ac aαβ-⋅=+．设1F ∠的内角平分线上的旁心(),Q x y ,则1QF y k x c =+,2QF yk x c=-．由22MF QF ⊥,有12tancot22QF QF k k αβ⋅=⋅,即y y c ax c x c c a-⋅=+-+,故 ()()()()222c a x c a y c a c x c --+=->．例6设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点,过点P 的直线与两渐近线1l ：b y x a =,2l ：by x a =-分别交于点1P ,2P ,设入12P P PP λ=．求证：()12214OP P S ab λλ+=△．证明依题意,设111,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,b P x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(),P x y ,则有121x x x λλ+=+,且121211b bx x y y a a y λλλλ-+==++．即121x x x λλ+=+,①且121x x a y b λλ-=+．② 由①2-②2得()222122241x x a x y b λλ-=+． 即()()()()222222222222122222111444x y x x b xa y ab a bb a b λλλλλλ+++⎛⎫=-=⋅-= ⎪⎝⎭． 从而222221211221221b b b OP OP x x x x x x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222211144b a a b a λλλλ++⎛⎫=+⋅⋅=+ ⎪⎝⎭．故()()12222121222111sin 2241OP P ba S OP OP POP ab b a λλ⋅+=⋅⋅∠=⋅⋅+⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭△ ()214ab λλ+=．【解题思维策略分析】1．注意曲线方程形式的巧设例7过双曲线上任一点P 作倾斜角为α（定值）的直线l 与双曲线两渐近线交于Q ,R ,则PQ PR ⋅为定值．证明双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>,则渐近线方程为0bx ay ±=．设00P x y （，）是双曲线上的点,则过P 的直线l 的参数方程为00cos ,sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数） 由()()00cos sin 0b x t a y t αα+±+=,可得001sin cos bx ay t a b αα+=-+,002sin cos bx ay t a b αα-=-．于是22122222sin cos a b PQ PR t t a b αα⋅=⋅=-（定值）． 例8过双曲线上任一点P 的切线与双曲线两渐近线交于A ,B 两点．求证：点P 是线段AB 的中点,证明设双曲线方程为22221x y a b -=,两渐近线方程为22220x y a b-=．过双曲线上任意一点()11,P x y 的切线方程为11221x x y ya b-=,切线方程与渐近线方程联立消去y ,整理得()22222224211120b x a y x a b x x a b --⋅+=,即22120x x x a -+=．由韦达定理,知AB 的中点的横坐标1x x =,代入切线方程得1y y =,从而AB 的中点坐标为()11,x y 和点P 坐标相同,由此即证． 2．关注以坐标轴为渐近线的等轴双曲线问题例9求双曲线1xy =在第一象限内一支上的一定点(),Q a b 与它在第三象限内一支上的一动点Px y （，）之间的最短距离（以a 的解析式表示）．解当以点Q 为中心,QP 为半径的圆与双曲线()10,0xy x y =<<相切时,QP 达到最小值．此时过点P 的双曲线1xy =（0x <,0y <）的切线与QP 垂直．设切点P 的坐标为()11,x y ,过()11,P x y 的双曲线的切线方程为112y x x y +=（即用112y x x y+代xy ）,故11111y b y x a x ⎛⎫-⋅-=- ⎪-⎝⎭,且111x y =,1a b ⋅=．于是11111111x a x x a x -⋅=-,即211ax =-,从而131x a -=-,131y a -=-．所以()()22211QP x a y b =-+-223112213333a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故322233min QP a a-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 例10设双曲线1xy =的两支1C ,2C 如图29-1,正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．（Ⅰ）求证：P ,Q ,R 不能都在双曲线的同一支上；（Ⅱ）设11P -（，）在2C 上,Q ,R 在1C 上,求顶点Q ,R 的坐标．（1997年全国高中联赛题）（I ）证法1假设P ,Q ,R 在双曲线1xy =的同一支如1C 上,其坐标分别为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,331,x x ⎛⎫⎪⎝⎭．设1230x x x <<<,则直线PQ 的斜率1121k x x =-,直线QR 的斜率2231k x x =-,()2121212123tan 011x x x k k PQR k k x x x --∠==<++． 因此,PQR ∠是钝角,这与PQR △是正三角形相矛盾,故P ,Q ,R 不能都在双曲线1xy =的同一支上． 注由1230x x x <<<,有123y y y >>,于是()()()()()()222222222122313122313PQ QR PR x x x x x x y y y y y y ⎡⎤⎡⎤+-=-+---+-+---=⎣⎦⎣⎦()()()()()()22212231321223132123212322232222220xx x x x x x y y y y y y y x x x x y y y y --++--+=--+--<．即PQR △为钝角三角形．证法2设111,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,Q x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,331,R x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是双曲线1xy =上的三点,易得直线PR 的斜率1131k x x -=,PR 边上的高线方程为()13221y x x x x x -=-．同理,QR 边上的高线方程为()23111y x x x x x -=-． 联立上述两方程得PQR △的垂心1231231,H x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,它显然在双曲线1xy =上．当P ,Q ,R 在双曲线的同一支如1C 上,则1230x x x -<,而H 在另一支2C 上,即H 在PQR △的外部,即PQR △为钝角三角形,故P ,Q ,R 不能都在双曲线的同一支上．（Ⅱ）设Q ,R 的坐标分别为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,这时QR 边上的高线方程为()1211y x x x +=+,它必过线段QR 的中点,因此QR 的中点的坐标满足上述方程,于是有121212111122x x x x x x ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,即()()()121212121120x x x x x x x x -+++=⎡⎤⎣⎦．因10x >,20x >,上式中括号的式子显然大于0,则1210x x -=,即121x x =．于是Q 点的坐标为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,而R 点的坐标为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,这说明Q ,R 关于直线y x =对称．PQ ,PR 所在的直线分别为过P 点与直线y x =交成30︒角的相互对称的两条直线,易见其倾斜角分别为75︒和15︒．不妨设PQ 的倾斜角为75︒,这时它的方程为()1tan 751y x +=︒⋅+,即(()121y x +=+．将其与双曲线方程1xy =联立,解得Q点坐标为(22-+,由对称性知R点的坐标为(22+-．注由（Ⅰ）的证法2,使我们获得如下结论：三个顶点都在同一等轴双曲线上的三角形的垂心也在此双曲线上．由此也启发我们：在处理某些等轴双曲线问题时,可考虑以坐标轴为渐近线的等轴双曲线来讨论． 例11一直角三角形的三顶点在等轴双曲线上．求证：直角顶点处的切线垂直于斜边．证明如图29-2,设等轴双曲线方程为2xy c =,直角三角形ABC 的三顶点在等轴双曲线上,直角顶点,c A ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,其余两顶点1,c B ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22,c C ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线AB ,AC ,BC 的斜率分别为11AB k tt =-,21AC k tt =-,121BC k t t =-．图29-2由AB AC ⊥,有21211t t t =-． 过点A 的切线为22x t y ct +=,此切线斜率为21k t =-,于是21211BC k k t t t ⋅==-,故直角顶点处的切线垂直于斜边．3．借用双曲线知识,求解函数等其他问题 例12求函数3y x =+解令3u x =,0,v v u =≥≥,则y u v =+且221188u v -=．视y 为参数,在uOv 坐标系中,作出直线系v u y =-+及双曲线部分()2210188u v v -=>,如图29-3．图29-3当直线过点()0时,直线在v轴上的截距y =,由切线公式y kx =y =故函数y 的值域是(),⎡-∞+∞⎣∪． 例13求二元函数()()221,1f x y x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭的最小值．（1998年“希望杯”竞赛题） 解因()()221,1f x y x y x y ⎛⎫=-+--- ⎪⎝⎭可看作直线10x y ++=上的点(),1x x --和双曲线1xy =上的点1,y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方式．由作图可知,所求最小值为12．4．注意知识的综合运用例13设直线l ：y kx m =+（其中k ,m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A 、B ,与双曲线221412x y -=交于不同两点C 、D ,问是否存在直线l ,使得向量0AC BD +=．若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由． 解由22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理,得()2223484480k xkmx m +++-=．设()11,A x y ,()22,B x y ,则122834kmx x k +=-+．()()()222184344480km k m ∆=-+->．①由22,1,412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理,得()22232120k xkmx m ----=．设()33,C x y 、()44,D x y ,则34223kmx x k+=-． ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>．②因为0AC BD +=,所以()()42310x x x x -+-=． 此时()()42310y y y y -+-=． 由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 于是20km =或2241343k k -=+-．从而由前一式解得0k =或0m =． 当0k =时,由①、②得m ->m 是整数,所以m 的值为3-,2-,1-,0,1,2,3． 当0m =时,由①、②得k <k 是整数,所以1,0,1k =-． 于是,满足条件的直线有9条． 【模拟实战】习题A1．设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>,两焦点为()1,0F c -,()2,0F c ,点Q 是双曲线右（或左）支上除顶点外任一点,从焦点1F （或2F ）作12F QF ∠的角平分线的垂线,垂足为P ,则P 点的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆（除点(),0a -,(),0a ）．2．求曲线22916144x y +=与22732224x y -=的公切线方程．3．一直线截双曲线()222210,0x y a b a b -=>>于P ,Q 两点,与渐近线交于P ',Q '两点．求证：PP QQ ''=．4．已知双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,离心率53e =,且与直线8160x +-=相切．求双曲线方程．习题B1．已知双曲线C ：()2222211a x a y a a -=>+（）,设该双曲线上支的顶点为A ,且上支与直线y x =-交于P 点,一条以A 为焦点,()0,M m 为顶点,开口方向向下的抛物线通过P 点,且PM 的斜率为k 满足1143k ≤≤．求实数a 的取值范围． 2．已知双曲线222210,0,x y a b a a b-=>>≡()b 上有一定点A ,点P ,Q 为满足PA QA ⊥的异于点A 的任意两点．求证：PQ 过定点．第二十九章 双曲线的性质及应用 习题A1．延长1F P 与2QF 的延长线交于R 点．由Q 在双曲线上,且1F ,2F 为其焦点,则22122F R QR QF QF QF a =-=-=,即212OP F R a ==．反之,可证以原点为圆心,a 为半径的圆（除点(),0a -,(),0a ）上的点满足条件．2．曲线化为标准方程为221169x y +=与221327x y -=．由直线与两曲线相切的充要条件,有222222169,327A B c A B c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩求得5A B C B =⎧⎨=±⎩或5A B C B =-⎧⎨=±⎩ 从而所求公切线方程为50x y +±=与50x y -±=．3．过P ,Q 点分别作两渐近线的垂线PA ,PB ,QC ,QD ,显然PBQ QCQ ''△∽△,则QQ QCPQ PB'='．同理PP PA QP QD '='．由于双曲线上任一点到两渐近线距离之积为定值,即PA PB QC QD ⋅=⋅,故QC PAPB QD=,即QQ PP PQ QP ''='',亦即QQ PP QQ PQ PP QP ''=''''++,故PP QQ ''=． 4．设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>因为2413b e a =-=,可设29a λ=,()2160b λλ=>,所以双曲线方程为221916x y λλ-=．因直线827160x y +-=与其相切,由性质5,有2649281616λλ⋅-⋅=,得2λ=,故所求双曲线方程为2211832x y -=．习题B1．在方程可化为()22221/1x y a a -=-．由1a >知2201a a >-．又()0,1A ,于是以A 为焦点,()0,M m 为顶点开口向下的抛物线方程为()()241x m y m =---．联立y x =-与()22221a x a y a -+=得(),P a a -． 又P 在抛物线上,有()()241a m a m =---．（*）而MP m ak a-=,即有MP m ak a =+并代入()*式,得()24410MP MP ak a k a +--=．因1143MP k ≤≤,且40a >,则关于MP k 的二次方程的判别式()241440a a a ∆=-+⋅⋅>⎡⎤⎣⎦成立．令()()2441f k ak a k a =+--,而此抛物线的对称轴方程为()411242a a k a a --=-=⋅,由1a >,则102aa-<．联立40a >与11043f f ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤,即114441401693a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⋅+--⋅⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤,即17410493a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤,故1247a ≤≤为所求． 2．设()sec ,tan A a b θθ,()11sec ,tan P a b αα,()22sec ,tan Q a b αα,则PQl ：()()()()112112sec tan tan tan sec sec x a b b y b a a αααααα--=--,即PQl ：121212cossincos0222b x a y ab αααααα-++--⋅=．又11cos2sin 2AP b k a αθαθ-=+,22cos2sin 2AQ b k a αθαθ-=+,因此221211cos cos sin 222AP AQk k b a αθαθαθ--+⋅=-⇔⋅+⋅2221212121212sin0cos )cos cos cos )0cos 222222b a b αθααααααααααθθ++--+-⎡⎤⎡⎤=⇔-++-+=⇔⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()222212122222sin sin cos 022cos cos a a b b a b a ab b a a b θααααθθ++++-⋅-=--２．由此式,知直线PQ 恒过定点22222222sec ,tan a b a b a b b a a b θθ⎛⎫++⋅⋅ ⎪--⎝⎭．。
【初中数学课件】双曲线1-抛物线1 ppt课件
x2 y2 1 x 0 答案： 115600 44400
例4、在△ABC中，BC固定，顶点A移动.设|BC|=m， 1 当三个角满足条件|sinC-sinB|= 2sinA时，求A的轨迹方程.
解:以BC所在直线为x轴，线段BC的中点为原点建立 直角坐标系，则B（-m/2,0）C（m/2，0）设A的坐标为 （x,y). 由题设 |sinC-sinB|= 根据正弦定理，得 1 1 |c-b|= m 即|AB-AC|= m 2 2 可知A在以B、C为焦点的双曲线上.
2 2
分析：|MC1|=2+R
|MC2|=8 +R
|MC2|-|MC1|=6
y2 x2 1 y 3 答案： 9 16
例2、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两 点P1、P2的坐标分别为（ 3， 4 2 ）、（ 9 4 ，5），求双 曲线的标准方程。 分析：∵双曲线的焦点在y轴上，∴设方程为
2 2
F1（0，
5 ）、F2（0，
1 5
5 ）
1 4
3)25x 16y 1
2 2
答案：a=
，b=
C= 41 . ，
20
41 F1（ ， 20
0）、F2（ 41 ，0）
20
应用一：
1、点P在双曲线
1或9 若|PF1|=5，则|PF2|=_______________________
x2 y2 1上F1、F2为焦点， 4 9
33已知双曲线的焦距为已知双曲线的焦距为1010双曲线上一点双曲线上一点pp到到f1f1f2f2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于66求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程44已知动点已知动点pp到到f1f15500的距离与到的距离与到f2f25500的距离的差等于距离的差等于66求动点pp的轨迹方程的轨迹方程f2为定点a为常数标准方程焦点坐标f1c0abc关系总结提炼总结提炼xxf1f1f2f2mmyyooxxf1f1f2f2mmyyoo22双曲线的标准方程统一写成双曲线的标准方程统一写成表示焦点表示焦点在在xx轴上的双曲线轴上的双曲线若若a0b0则表示焦点则表示焦点在在33思考题思考题
九年级双曲线知识点
九年级双曲线知识点双曲线知识点双曲线是解析几何中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域。
本文将从定义、性质、方程、图像和应用等方面全面介绍九年级双曲线的知识点。
1. 定义双曲线是指平面上到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。
其中，这两个给定点称为双曲线的焦点，以及距离之差的常数称为双曲线的离心率。
2. 性质（1）双曲线有两条渐近线，渐近线是双曲线的特征之一。
渐近线的方程为y = ±a/x，其中a为双曲线的离心率。
（2）双曲线的对称轴是与渐近线垂直的直线，且通过两个焦点的中点。
（3）双曲线的顶点为离两个焦点的距离之差最小的点，即到两个焦点距离之差等于0的点。
（4）双曲线的离心率大于1，且对称轴为x轴或y轴时打开。
（5）双曲线的方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)为双曲线的顶点。
3. 方程双曲线的方程根据离心率的不同可以分为两种情况：离心率大于1和离心率小于1。
（1）当离心率大于1时，双曲线方程为(x-h)²/a²- (y-k)²/b²= 1，其中a为双曲线的横轴半轴长，b为双曲线的纵轴半轴长。
（2）当离心率小于1时，双曲线方程为(x-h)²/a²- (y-k)²/b²= -1。
4. 图像（1）双曲线的图像通常以对称轴为中心，分别向左右两侧延伸到无穷远处。
（2）离心率的大小会影响双曲线的形状，离心率越大，双曲线越扁平；离心率越小，则双曲线越尖锐。
（3）渐近线是双曲线的特征，它与双曲线的图像趋近于无限远，但永远不会相交。
5. 应用双曲线广泛应用于数学、物理等领域。
（1）在椭圆轨道、矩形双抛物线等天体力学问题中，双曲线常用于描述物体的轨迹。
（2）在电磁场、声波传播等问题中，双曲线也被用于描述波的传播形式。
（3）在工程中，双曲线的特性可以用于设计反射镜和天线等装置。
初中数学竞赛练习第11讲 圆(含解析)
第11讲圆一、模空题I.(2022·福建·九年级统考竞赛〉如1蜀，ABCD为圆。
的内按四边形，且AC..LBD，若AB=IO,CD=8，则阁。
的面积为一一一··B2.(2022·广东·九年级统考竞赛）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图｜如三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt-ABC的斜边βC，］豆角边AB,AC.若以AB,AC为直径的两个半阁的弧长总长度为2π，则以斜边BC为直径的半圆顶积的；最小值为·3.(2018·全国九年级竞赛〉已知D是..ABC内一点，E是AC的中点，AB=6,BC=IO，ζBAD＝ζBCD, LEDC=LABD，则DE＝－A5、』ε豆、C4.(2022谷·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图1～4，在旦角边分别为3和4ti甘直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，因10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，缸，缸，....S10，则S1+S2+S3+... +S10＝一一.,因l国2图3国45.216秋山东泰安·九年级党赛〉如图是“横店影视城”的困弧形门，妙可同学到影视城游玩，很想知边这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的因与水平地丽是相切的，，！也＂＇，（＇�＂＇咀f)cm,BD = 200 c m，且AB,CD与水平地商都是垂直，的根据以上数据，你帮助妙可同学计算这个回弧形门的最高点离地丽的高度是一一一一一6.215秋，山东ilfliifr·九年级党和已知正六边形的边心距为占，ljjl］它的周长是一一一·7.215:f)、山东临沂·九年级党赛〉如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的因心角为120。
’则因锥的母线长是·8. 215秋·山东泰安·九年级竞赛〉如图，直线AB与半径为2的。
初中数学八年级培优讲义-专题11 双曲线_答案
专题11 双曲线例1 （1）连结OB ，则2kS S S S BOE COE BOF AOF ====∆∆∆∆. 所以k =2 （2）作P 1C ⊥OA 于C ，P 2D ⊥OA 2于D ，P 1C =OC ，P 2D =A 1D =A 2D ， 设OA 1 =a ，A 1A 2=b ，所以422=∙aa ，所以a =4. 又因为P 2D ·OD =4，所以422=∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+bb a .则b =4-24， 所以OA 2 = OA 1+A 1A 2 = 4 +4-24=42，则A 2（42，0）. 例2 1 提示：作FG ⊥x 轴于G ，EH ⊥y 轴于H ，则AF =b 2，BE =a 2，1212222=⨯==∙=∙ab b a BE AF例3 （1）k =8（2）可试一试用图2解答：C (1，8)，CFA OAE OCD CDFE AOC S S S S S ∆∆∆∆---=矩形==32-4-4-9=15. （3）因为反比例函数图像是关于原点O 的中心对称图形， 所以OP =OQ ，OA =OB .所以四边形APBQ 是平行四边形，6244141=⨯==∆平行四边形S S POA . 设P 点的坐标为（mm 8,）（m >0且m ≠4），过点P 、A 分别作x 轴的垂线，垂足为E 、F ，∵点P 、A 在双曲线上，∴4==∆∆AOF POE S S . 若0<m <4（如图a ）∵AOF POA PEFA POE S S S S ∆∆∆+=+梯形 ∴6==∆POA PEFA S S 梯形 即 6)4(8221=-+m m）（ 解得：m =2，m =-8(舍去) 若m >4（如图b ）∵POE POA PEFA AOP S S S S ∆∆∆+=+梯形 ∴6==∆POA PEFA S S 梯形 即 6)4(8221=-+m m）（ 解得：m =8，m =-2(舍去)故点P 的坐标是P （2,4）或（8,1）图 a 图b 例4 （1）xy 1=（2）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==121x y x y 得 11=x ，21-2=x （舍去） 从而y =1，∴A （1,1）（3）符合条件的点P 存在，有下列情况（如图）：①若OA 为底，则∠AOP 1=45°，OA =2，由OP 1 =P 1A ，得P 1(1，0)； ②若OA 为腰，AP 为底，则由OP =OA =2，得P 2(-2，0)，P 3（2，0）； ③若OA 为腰，OP 为底，则由AO =AP =2，得OP =2，P 4(2，0)例5 （1）∵k S S BDOF AEOC ==矩形矩形∴=-DOCK AEOC S S 矩形矩形DOCK BDOF S S 矩形矩形-∴CFBK AEDK S S 矩形矩形= ②连AD 、AO 、BC 、BO .∵ AOC ADC S S ∆∆=，BOD BCD S S ∆∆= ∴ BCD ADC S S ∆∆=∴ CD ∥MN .又∵AC ∥DN ，BD ∥CM ，∴四边形ANDC 、BDCM 为平行四边形， ∴AN =DC =BM（2）AN 与BM 仍然相等，证法同（1）.例6 点A 与点B 之间的距离是5，则它们之间的连线是直角三角形的斜边. 设点C （a ，b ），则⎩⎨⎧=-+=+-16)3(942222b a b a ）（ ① ⎩⎨⎧=-+=+-9)3(1642222b a b a ）（ ② 解①得⎩⎨⎧==34b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==25212528b a 所以C 的坐标是（4，3）或（2528，2521-）对应的k 的值是12 或625588-.解②得 ⎩⎨⎧==00b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==25962572b a 因为原点不可能在反比例函数图像上，所以C 的坐标是（2572，2596）对应的k 的值是6256912. 综上所述，k 的值是12或5886912625625-或. A 级1.-22.1、23.<4.y 2>y 1>y 35.x <-1或0<x <26.27.A8.A9.A 10.(1)设A 点坐标为（x ，y )，由32ABOS=，得13||22xy =，|k |=3，k =±3. ∵A 点在第四象限内，∴k =-3，两个函数的解析式分别为3,2y y x x =-=--.（2）由32y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，得1131x y =-⎧⎨=⎩，2213x y =⎧⎨=-⎩，∴A （1，-3），C （-3，1）.设直线AC 与y 轴交于点D ，则D （0，-2）.故112123422AOCS S AOD S COD =+=⨯⨯+⨯⨯=（平方单位）.11.（1）m =6,n =2 (2)y =-2x +8 (3)A (0,8), B (4,0),AE =DF =2,CE =BF =1，又∠AEC =∠DFB =900，故ΔAEC ≌ΔDFB . 12.(1)1111112,2S x y x y =⨯=而点P （x 1，y 1)在ky x=图象上，∴x 1y 1=k ，即S 1=k .同理222122S x y k =⨯=，∴S 1=S 2，又C 1=2（x 1+y 1)=122122(),2()k k x C x x x +=+∴C 2-C 1=22222112112221122()2x k x k x x kx x x kx x x x x +++--=-=⨯ ∵双曲线在第一象限，∴x 1>0，x 2>0.∴x 1x 2>0.又x 1x 22+kx 1-x 12x 2-kx 2=x 1x 2(x 2-x 1)-k (x 2-x 1)=(x 1x 2-k )(x 2-x 1)，且21x x >，当12x x k =1212211221时,C =C ;当x x >k 时,C >C ;当x x <k 时,C <C .（2）设四边形PMON 的周长为C ，则C =2（x +y ）.∵xy =k ，∴2()kC x x =+，这里x ，k 均大于0.2(0,k k x x x -≥∴+≥时，即x =PMON 的周长C 最小，最小值为，此时P .B 级1.-2.-33.144.34- ΔBOC 为等腰直角三角形，OB =OC =1，BC对称性可知AB =CD =2，作AE 垂直x 轴于E ，则AE 232222AC =⨯=，OE =31122-=. 5.①②④6.A7.B8.C9.(1)设B 点（x 0，y 0），S 正方形OABC =x 0y 0=9，x 0=y 0=3，即B （3，3），k =x 0y 0=9. (2)①如图a ，P （m ，n ）在9y x=上，S 矩形OEP 1F =mn =9，S 矩形OAGF =3n .,S =9-3n =92，n =32，m =6，∴P 1(6,32). ②如图a ，同理可得P 2（32，6）. （3）①如图b ，当0<m <3时，S 矩形OEGC =3m ，S =S 矩形OEPF -S 矩形OEGC =9-3m (0<m <3).②如图c ，当m ≥3时，S 矩形OAGF =3n ，S =9-3n =9-27m(m ≥3).10.设P （a ，b ），过E 作ES ⊥x 轴于S ，过F 作FT ⊥y 轴于T ，∴AE 23b =，BF =2FT =2a .∴AE ·BF 23a ab ==.11.（1）336,y 42y x x=+= （2）92MONS =12.（1）E （1，1-a ），F （1-b ，b ） （2）12OEFa b S +-=（3）AOF ∽BOE （4）∠EOF =450。
第11讲 确定实际背景下的反比例函数关系式
第11讲：确定实际背景下的反比例函数关系式二、方法剖析与提炼例1．已知422)1(--+=m m x m y 是反比例函数，则m =______． 【解答】3．【解析】 ∵422)1(--+=m m x m y 是反比例函数，∴m 2-2m -4=-1，且m +1≠0， ∴（m +1）（m -3）=0，且m +1≠0，∴m -3=0，即m =3；故答案是：3．【解法】这道题目属于“定义型” 确定反比例函数关系式的问题．主要考查我们对反比例函数的定义的理解．函数xk y = （k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数，由11-=•==kx xk x k y ，所以反比例函数可以写成1-=kx y 的形式，自变量x 的次数为-1．【解释】反比例函数的比例系数不能为零．反比例函数是函数值y 随着x 的比例变化而反向比例的变化，举个例子如果y=x2，当x 的取值为1，y 为2，当x 变成2，y 变为1．这在函数图像上表现的是y 随x 的增大而减小．如果k =0，那么无论x 怎么变化，都会出现y 值恒为0，即此时函数式右边已经变为一个常数，即y =0．此时的图像是一条直线．所以反比例函数xk y =中，k 不能等于0． 阻R （Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I 与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为（ ）A ．I =B ．I =C ．I =D ．I =【解答】D ． 【解析】观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k ≠0）即可求得k 的值．设反比例函数的解析式为（k ≠0），由图知，函数经过点B （3，2）， ∴2=，得k =6，∴用电阻R 表示电流I 的函数解析式为I =．故选D ．【解法】这道题目属于“一点型” 确定反比例函数关系式的问题．解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法确定反比例函数的比例系数k ，求出函数解析式．【解释】理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，分析出已知什么，求什么．明确题中已经出现的数学等量关系或结合生产、生活实际寻找确定数学等量关系，都涉及到哪些知识，从而理顺数量关系．例3．如图所示，A 为反比例函数图象上的一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ．若△AOB 的面积为3，则反比例函数的解析式是什么？【解答】∵函数图象分布在第二、四象限，∴k <0设A 点坐标为（x ，y ），则S △AOB ＝321=xy ∴k xy =-=6，∴反比例函数的解析式为xy 6-=． 【解法】这道题目属于“面积型” 确定反比例函数关系式的问题．由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察．这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，反比例函数)0(≠=k xk y 的图象有这样一个重要性质：设P 为双曲线xk y =上任意一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，垂足分别为M 、N ，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为S =|PM |×|PN |=|y|×|x|=|xy|=|k | ．从而得：过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k |．【解释】对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论1：在直角三角形ABO 中，面积S =2k结论2：在直角三角形ACB 中，面积为S =2|k |结论3：在三角形AMB 中，面积为S =|k |例4．保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成第2题反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y 与x 之间对应的函数关系式．（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？【解答】（1）当51≤≤x 时，设x k y =，把（1，200）代入，得k =200，即xy 200=， 当x=5时，y=40，当5>x 时，6020)5(2040-=-+=x x y ．（2）当y=200时，2006020=-x ，13=x ，8513=-，8个月，该厂利润达到200万元．（3）对于xy 200=，当y=100时，x=2；对于6020-=x y ， 当y=1008-2=6个月．【解析】（1）y 与x 之间的函数关系式分成51≤≤x 和5>x 两段分别求解．（2）令5>x 的解析式等于200，可以求出经过几个月，利润达到200万元；（3）找出两段函数等于100的x 的值，月份只差就是资金紧张的月份．【解法】这道题目属于“综合型” 确定反比例函数关系式的问题．（1）综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．（2）能通过观察图像得到所求信息，解问题的实际意义及与之相关的数学知识，是解决这类问题的关键．【解释】两个变量之间的函数关系式在自变量取值范围内有的用一个关系是就可以表示，有的则需要两个或两个以上关系式表示，我们称为分段函数，分段函数特点是整个变化过程由不同的阶段组成的，自变量取值的不同使函数不同，自变量取值范围的不同出现的分段．三、能力训练与拓展1．如果以12m 3/h 的速度向水箱进水，5h 可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q （m 3/h ），那么此时注满水箱所需要的时间t （h ）与Q （m 3/h ）之间的函数关系为（ ）A ．t =B ．t =60QC ．t =12﹣D ．t =12+ 2．某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗，如右下图．（1）漏斗口的面积S 与漏斗的深d 有怎样的函数关系?（2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?3．某工厂每月计划用煤Q 吨，每天平均耗煤a 吨．如果每天节约用煤x 吨，那么Q 吨煤可以多用y 天，写出y 与x 的函数关系式为 ．4．如图，长方形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B （－320，5），D是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 ．5．如图，x y =和)0(>=m mx y 的图象与)0(>=k xk y 的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为1S ，2S ，求1S 与2S 有什么关系？6．如图，已知双曲线)0(>=x xk y 经过矩形OABC 的边AB ，BC 的中点F ，E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k = ． 第5题 第6题 第4题。
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第十一讲 双曲线
形如x k y =(0≠k )的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有：
1． 双曲线解析式x
k y =中的系数k 决定图象的大致位置及y 随x 变化的状况．
2．双曲线图象上的点是关于原点O 成中心对称，在k >0时函数的图象关于直线x y =轴对称；在k <0时函数的图象关于直线x y -=轴对称．
3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．
【例题求解】
【例1】 已知反比例函数x
k y =的图象与直线x y 2=和1+=x y 过同一点，则当0>x 时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 (填增大或减小)．
思路点拨 确定k 的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．
注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O 中心称，关于x y ±=轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．
(2)一个常用命题：
如图，设点A 是反比例函数x k y =(0≠k )的图象上一点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，过A 作AC ⊥y 轴于C ，则
①S △AOB =k 2
1； ②S 矩形OBAC =k ．
【例2】 如图，正比例函数kx y = (0>k )与反比例函数x
y 1=的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，连结BC ，若S △ABC 的面积为S ，则( )
A ．S=1
B ．S =2
C ．S=k
D ．S=2k
思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S △AOB 与S △OBC 的关系．
【例3】 如图，已知一次函数8+-=x y 和反比例函数x
k y =(0≠k )的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B ．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)若△AOB 面积S ＝24，求k 的值．
思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；
(2)S △AOB= S △COB S- S △COA ，建立k 的方程．。