初中数学竞赛专题分类解析第四讲：平行四边形和梯形讲义
平行四边形和梯形
平行四边形和梯形一、平行四边形平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特征。
在数学和几何学中，学习平行四边形的性质和应用是非常重要的。
1. 定义和特征平行四边形是一个四边形，其中相对的两边是平行的，并且相对的两条边相等。
平行四边形的定义可以表述如下：•两对相对边平行：即AB || CD，AB || CD，且AB ≠ CD。
•两对相对边相等：即AB = CD，AD = BC。
2. 性质和公式平行四边形具有以下性质和公式：•相对角相等：平行四边形的相对角相等，即∠A = ∠C，∠B =∠D。
•对角线分割成等长的线段：平行四边形的对角线交于O点，且AO = OC，BO = OD。
•对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即AO = OC = BO = OD。
•面积公式：平行四边形的面积可表示为S = 底边长 × 高，其中高指的是从底边到对顶边的垂直距离。
3. 应用平行四边形的性质和特征在实际生活中有许多应用。
以下是其中几个常见的应用场景：•建筑设计：平行四边形的结构稳定性使其在建筑设计中被广泛应用，例如桥梁、楼房等。
•工程测量：在工程测量中，平行四边形的性质可以用于测量地面的倾斜度以及其他距离和角度的测量。
•图像处理：在图像处理中，平行四边形的性质可以用于图像的纠偏、校正和变形处理。
二、梯形梯形是一种特殊的四边形，具有一些与平行四边形相似的性质。
了解梯形的定义和特征对于数学和几何学的学习是很重要的。
1. 定义和特征梯形是一个四边形，其中有两条平行边，称为底边和顶边，其他两条非平行边称为腰边。
梯形的定义可以表述如下：•有两条平行边：即AB || CD，且AB ≠ CD。
•有两条非平行边：即AD ≠ BC。
2. 性质和公式梯形具有以下性质和公式：•相邻角补角为180°：梯形的相邻内角的补角之和为180°，即∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠D = 180°。
平行四边形和梯形课件
特性
1
平行四边形的特性
对边平行，对角线互相平分，且对角线长度相等。
2
梯形的特性
一组对边平行，两组底角分别相等，两组顶角分别相等。
3
平行四边形和梯形的相同点和不同点
两者的相同点在于对边平行，不同点在于梯形有一组非平行边长度不等，而平行 四边形的四边长度相等。
计算公式
平行四边形的面积计算
面积 = 底边长 x 高度。如果只知道对角线长 度和夹角度数，则面积 = 1/2 x 对角线1长度 x 对角线2长度 x sin(夹角度数)。
要点
• 理解平行四边形和梯形的定义和特性 • 熟练掌握平行四边形和梯形的面积和
周长计算公式 • 学会在实际应用中灵活使用平行四边
形和梯形的知识
平行四边形和梯形课件
这里是平行四边形和梯形的精美课件，带你轻松理解这两个形状的定义、特 性、计算公式以及应用举例。准备好了吗？马上开始吧！
定义
平行四边形
四边形的对边两两平行，就是平行四边形。包括长方形、正方形、菱形和斜的四边形。
梯形
至少有一组对边平行，且非平行边长度不等，就是梯形。包括等腰梯形和非用梯形原理，设计高耸的天际线和流线型建筑外形。
2 科学研究
通过平行四边形的性质分析分子结构，进一步研究物质的性质。
3 地理测量
测量斜坡的高度和倾斜角度，就需要应用梯形的面积计算。
结论和要点
结论
平行四边形和梯形是学习基础几何知识的重 要形状。深入理解它们的定义、特性和计算 公式有助于巩固几何基础，同时有助于应用 到日常生活和学习中。
梯形的面积计算
面积 = (上底边长 + 下底边长) x 高度 ÷ 2。如 果只知道两个底角的度数和一条斜边的长度， 则面积 = 1/2 x 斜边长度 x 上下底边差的一半 x sin(底角度数之差的一半)。
平行四边形和梯形知识点归纳
平行四边形和梯形知识点归纳1.平行四边形的定义及性质平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。
以下是平行四边形的一些性质：-对角线相互平分-对角线相等-相邻角互补（和为180度）-同位角相等-任意一对相邻内角互补-对边相等2.平行四边形的判定方法判定一个四边形是否为平行四边形可以使用以下方法：-两组对边分别平行-对角线互相平分-一组对边相等且对角线互相分割成相等的部分3.梯形的定义及性质梯形是指至少有一对对边平行的四边形。
以下是梯形的一些性质：-底边平行-顶角互补（和为180度）-一对对边相等的梯形为等腰梯形-高线平行于底边且等于底边长度乘以高线对应的比例4.梯形的判定方法判定一个四边形是否为梯形可以使用以下方法：-一对对边平行-一对对边相等且没有其他平行边-底边长度与高线长度成比例5.平行四边形和梯形的应用5.1平行四边形的应用平行四边形的性质和判定方法在几何学的各个分支中常常被应用，例如：-在解决平面图形的计算问题中，我们经常会遇到平行四边形的形状，通过了解平行四边形的性质和判定方法，可以更快地解决问题。
-在建筑和土木工程中，平行四边形的形状常常出现，例如建筑物的立面图等。
了解平行四边形的性质可以帮助我们更好地设计和构建建筑物。
5.2梯形的应用梯形也在几何学的各个领域中被广泛应用，例如：-在计算梯形的面积时，我们可以通过将梯形分割成平行四边形和直角三角形，从而简化计算。
-在图形的投影中，梯形的形状常常出现，通过了解梯形的性质，可以更好地理解和分析图像的特点。
结论平行四边形和梯形是几何学中重要的概念，它们具有独特的性质和判定方法。
通过了解这些知识点，我们可以更好地理解和应用于实际问题中。
在解决几何学问题时，熟练掌握平行四边形和梯形的性质和判定方法是非常重要的。
希望通过本文库文档的详细介绍，您对平行四边形和梯形有了更深入的理解。
平行四边形和梯形的认识ppt课件
如图,在平行四边形中,已知AB=8, 周长等于24,求其余三条边的长。
D
C
A
B
8
25
一个等腰梯形的周长是68厘米， 上底长12厘米，腰长10厘米， 下底长多少厘米？
26
√ 2.长方形、正方形也是平行四边形。 （ ）
3.有一组对边平行的四边形是梯形。 （X ）
4.两组对边分别平行的图形，叫做平行四边形。
（ X）
15
5、用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
（ ∨）
6、两个高相等的平行四边形形状一定完全相同。
（ ×）
7、等腰梯形是轴对称图形。 （ ∨ ）
16
二
数一数下. 图中有多少个平行四边形．
17
从下面的图中你能找出几个平行四边形,几个梯形?
1 2
3
4
平行四边形有 （ 4 ）个 梯形有（ 2 ）个。
18
从下面的图中你能找出几个平行四边形? 几个梯形？
平行四边形有 （ 5 ）个。 梯形有（ 9 ）个。
19
四．
（１）在平行四边形上剪一刀，使剪下的两
个图形都是梯形。
你们认识吗？怎么分类？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
1
第一类： 第二类：
第三类：
2
3
由四条线段围成的封闭图形 ， 叫做四边形。
4
四边形有什么特点？
不规则四边形
5
6
两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形。
7
同学们太棒了！
长方形和正方形的 两组对边也分别平 行,所以它们是特殊 的平行四边形。
（２）在梯形纸上剪一刀，使剪下的两 个图形有一个是平行四边形。
初中数学竞赛讲座第四讲：平行四边形和梯形讲义
初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形一、基础知识：1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转 180 度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形3） 梯形：梯形问题 转化、分割、拼接 三角形或者平行四边形问题二、例题分析例 1、如下左图,在等腰△ABC 中,延长边 AB 到点 D ,延长边 CA 到点 E ,连 接 DE ,恰有 AD=BC=CE=DE ,求∠BAC 的度数。
例 2、如上右图,在 RT △ABC 中,∠ACB 是直角,CD⊥AB 于 D,AE 平分∠ ABC,交 CD 于 K,F 在 BE 上且 BF=CE,求证：FK ⫽AB 。
例 3、如下左图,△ABC 内部一点 P ,满足∠PBA=∠PCA ,作平行四边形 PBQC , 求证：∠QA B=∠PAC 。
例4、如上右图,已知A、B 是两个定点,C 是位于直线AB 某一侧的一个动点, 分别以AC、BC 为边,在△ABCDE 外部作正方形CADI、CBEF,求证无论C 点在什么位置上,DE 的中点M 的位置不变。
例5、如下左图,梯形ABCD 中,AB⫽CD,BC⊥CD,AB=2,CD=4,点E 是BC 上的一个动点,连接并延长EA 到点F,使得EF:AE=2:1,连接并延长ED 到点G,使得EG:ED=3:2,以EF 和EG 为临边作平行四边形EFHG,连接EH 交AD 于点P,1）求EH 的最小长度；2）求证：P 是定点。
例6、如上右图,四边形ABCD 中,点E、F 分别在边AB、CD 上,连接BF、CE 交于点P,连接AF、DE 交于点Q,若四边形EQFP 是平行四边形,求证：四边形ABCD 是梯形。
例 7、如下图,等腰梯形ABCD,对角线AC 与BD 交于点O,M 、N 分别为腰AB 和CD 上的点,且AM=CN,连接MN 分别交BD、AC 于点P、Q,求证：MP=QN。
三、练习题1、如下左图,在锐角△ABC 中,作高BD 和EC,过B、C 分别作ED 的垂线BF和CG,求证：EF=DG2、如上右图,在直角梯形ABCD 中,∠A和∠B是直角,AB=2,点P 为AB 的中点,连接PC、PD,若∠PDC 也是直角,就△PCD 面积的最小值。
初三数学复习教案平行四边形与梯形的性质与判定
初三数学复习教案平行四边形与梯形的性质与判定一、平行四边形的性质与判定1. 平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边是平行的四边形。
具体而言，如果一个四边形的对边两两平行，则它可以被称为平行四边形。
2. 平行四边形的性质（1）对边相等：平行四边形的对边长度相等。
（2）对角线相交：平行四边形的对角线相交于一点，并且这个交点将对角线分为两条相等的线段。
（3）同位角相等：平行四边形的内角与外角以及同位角之间互相相等。
（4）对角矩形：如果一个平行四边形的所有内角都是直角，则它可以被称为对角矩形。
3. 平行四边形的判定（1）对边相等判定：如果一个四边形的对边长度相等，则它是一个平行四边形。
（2）对角线比例判定：如果一个四边形的两条对角线被一条直线分成比例相等的线段，则它是一个平行四边形。
二、梯形的性质与判定1. 梯形的定义梯形是指有两个平行边的四边形，这两个平行边被称为梯形的底边，而两个非平行边被称为梯形的腰。
2. 梯形的性质（1）底角相等：梯形的两个底角相等。
（2）腰角相等：梯形的两个腰角相等。
（3）对腰异侧角互补：梯形的对腰异侧角互为补角。
（4）对角矩形：如果一个梯形的两个连续内角互为补角，则它可以被称为对角矩形。
3. 梯形的判定（1）底边平行判定：如果一个四边形的两个非平行边被一条直线分成比例相等的线段，则它是一个梯形。
（2）腰长比例判定：如果一个四边形的两个非平行边长度成比例，则它是一个梯形。
总结：平行四边形和梯形是初三数学中重要的几何概念。
通过了解平行四边形和梯形的性质与判定方法，我们可以更好地理解和应用这些概念，解决与其相关的数学问题。
在做题和复习时，我们应该熟练掌握平行四边形和梯形的定义、性质和判定方法，灵活运用于解题过程中。
这样可以提高我们的数学解题能力，更好地应对考试和学习中的数学难题。
了解平行四边形和梯形的性质
了解平行四边形和梯形的性质平行四边形和梯形是初中数学中的基本几何概念。
它们具有一些独特的性质和规律，对于我们深入理解几何形状的特点和应用具有重要意义。
本文将介绍平行四边形和梯形的定义、性质及相关的数学定理。
1. 平行四边形的性质平行四边形是由四条边和四个角组成的几何形状，具有以下性质：1.1 对边平行性质平行四边形的对边两两平行，即任意一对相对的边都是平行的。
1.2 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点将对角线分成两等分。
1.3 同底角性质平行四边形的对边平行，所以同一边上的两个相邻内角和是180度。
1.4 同位角性质平行四边形的对边平行，所以对应的内角是相等的。
2. 梯形的性质梯形也是由四条边和四个角组成的几何形状，具有以下性质：2.1 底边平行性质梯形的底边是两边中较长的边，梯形的两个底边是平行的。
2.2 上底角性质梯形的两个上底角是相等的。
2.3 下底角性质梯形的两个下底角是相等的。
2.4 对角线性质梯形的对角线互相平分，即对角线的交点将对角线分成两等分。
3. 相关定理在研究平行四边形和梯形的性质时，还有一些重要的定理需要了解：3.1 平行四边形的性质定理如果一个四边形的对边是平行的并且相等，则这个四边形是平行四边形。
3.2 梯形的性质定理如果一个四边形有两个边是平行的，那么这个四边形是梯形。
3.3 梯形的中线定理在梯形中，两个中线的长度相等，且平行于底边。
3.4 万能定理如果一个四边形的一对对边是平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
总结：通过了解平行四边形和梯形的定义、性质，我们可以更深入地理解这两种几何形状的特点。
平行四边形的对边平行，对角线互相平分，同位角相等；梯形的底边平行，对角线互相平分，上底角相等，下底角相等。
同时，还有一些相关的数学定理可以应用于求解问题。
掌握这些知识，有助于我们在解题过程中灵活运用几何概念，提高数学能力。
认识平行四边形与梯形
认识平行四边形与梯形平行四边形和梯形是几何学中常见的两种特殊四边形。
它们具有独特的性质和特点，在数学中起到重要的应用和作用。
本文将介绍平行四边形和梯形的定义、性质以及它们的区别。
一、平行四边形平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。
下面给出平行四边形的定义和性质。
1. 定义平行四边形的定义是：具有两组对边分别平行的四边形。
2. 性质（1）相对边相等：平行四边形的对边长度相等。
（2）相对角相等：平行四边形的对角线所夹的角相等。
（3）同位角相等：同位角是指相邻并位于同一边的两个内角，平行四边形的同位角相等。
（4）对角线的交点连线是平分线：对于平行四边形ABCD，其对角线AC和BD的交点O，连接OA、OB、OC、OD，这四条线段互相平分。
（5）对边平行：平行四边形的对边互相平行。
二、梯形梯形是指具有一对平行边的四边形。
下面给出梯形的定义和性质。
1. 定义梯形的定义是：具有一对平行边的四边形。
2. 性质（1）底角相等：梯形的两个底角相等。
（2）顶角相等：梯形的两个顶角相等。
（3）对边平行：梯形的对边互相平行。
（4）对角线的交点连线是中位线：对于梯形ABCD，其对角线AC 和BD的交点O，连接OA、OB、OC、OD，这四条线段相互平分。
三、平行四边形与梯形的区别尽管平行四边形和梯形都是具有平行边的四边形，但它们的不同之处在于：平行四边形的对边长度相等，而梯形的两个底角和两个顶角相等。
以ABCD为例，若AB∥CD，BC∥AD，且AB=CD，BC ≠ AD，则ABCD是平行四边形，反之若两个底角相等，两个顶角相等，但底边和顶边不平行，则ABCD是梯形。
四、总结平行四边形和梯形是几何学中的两个重要概念。
平行四边形具有对边平行、相对边相等、同位角相等和对角线互相平分等性质；而梯形具有对边平行、底角相等、顶角相等和对角线互相平分等性质。
通过对它们的认识和理解，我们能更好地应用它们解决实际问题。
通过本文的学习，我们对平行四边形和梯形有了更深入的了解。
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初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形
2018/4/7
一、基础知识：
1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转180度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
3）梯形：梯形问题转化、分割、拼接
三角形或者平行四边形问题
二、例题分析
例1、如下左图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连
接DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数。
例2、如上右图，在RT△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，AE平分∠ABC，交CD于K，F在BE上且BF=CE，求证：FK?AB。
例3、如下左图，△ABC内部一点P，满足∠PBA=∠PCA，作平行四边形PBQC，求证：∠QAB=∠PAC。
例4、如上右图，已知A、B是两个定点，C是位于直线AB某一侧的一个动点，分别以AC、BC为边，在△ABCDE外部作正方形CADI、CBEF，求证无论C点
在什么位置上，DE的中点M的位置不变。
例5、如下左图，梯形ABCD中，AB?CD，BC⊥CD，AB=2，CD=4，点E是BC上的一个动点，连接并延长EA到点F，使得EF:AE=2:1，连接并延长ED到点G，使得EG:ED=3:2，以EF和EG为临边作平行四边形EFHG，连接EH交AD于点P，1）求EH的最小长度；2）求证：P是定点。
例6、如上右图，四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连接BF、CE交于点P，连接AF、DE交于点Q，若四边形EQFP是平行四边形，求证：
四边形ABCD是梯形。
例7、如下图，等腰梯形ABCD，对角线AC与BD交于点O，M 、N分别为腰AB和CD上的点，且AM=CN，连接MN分别交BD、AC于点P、Q，求证：
MP=QN。
三、练习题
1、如下左图，在锐角△ABC中，作高BD和EC，过B、C分别作ED的垂线BF
和CG，求证：EF=DG
2、如上右图，在直角梯形ABCD中，∠A和∠B是直角，AB=2，点P为AB的
中点，连接PC、PD，若∠PDC也是直角，就△PCD面积的最小值。
3、如下左图，在直角梯形ABCD中，∠A和∠B是直角，AD=1，AB=2，BC=3，若P为AB边上任意一点，延长PD至点E，使得DE=2PD，再以PE、PC为边
作平行四边形PCQE，求对角线PQ长的最小值。
4、如上右图，在梯形ABCD中，AB?CD，BD=BC，CA=CD，∠ADB=30度，
求证：∠DBC是直角。
5、如下左图，在梯形ABCD中，AD?BC，ABFG和DCHM都是正方形，NE垂
直平分AD，求证：GN=MN。
6、如上右图，梯形ABCD中，AD?BC，且BC=2AD，作CE⊥AB，EC上有一点P，满足BP=CP，连接AP、ED，∠ABP=∠ADE，求证：AP⊥AD。
7、如下图，梯形ABCD中，AD?BC，且AB=CD，将△ABC绕着点C旋转一定的角度，得到△ ，求证：、、的中点共线。