高中数学《点到平面距离》教案

课 题：9 8距离 (一)
教学目的：
1.掌握掌握点与平面、直线与平面、平面与平面间距离的概念，并能进行相互转化，通过解三角形知识求出它们的距离
2.培养学生辩证观，简单与复杂之间的转化，空间与平面之间的转化1.了解距离的定义；
3.弄清点到平面、平行直线到平面、平行平面之间的距离的定义；
3.了解以上三种距离的关系和相互转化，并会求这三种距离
教学重点：点到平面、直线到与它平行的平面的距离的求法
教学难点：点到平面、直线到与它平行的平面的距离的求法
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节主要学习点到平面的距离，直线到平面的距离，平面到平面的距离，异面直线的距离和计算 这一节要求学生掌握直线和平面、平面和平面的距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的距离了解异面直线距离的概念和计算
在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 教学过程：
一、复习引入： 1 两个图形1F 与2F 之间距离的概念：
图形1F 内的任一点与图形2F 内的任一点间的距离中的最小值叫做图形1F 与2F 之间距离
如：一直线和一平面相交，这条直线到这个平面的距离等于多少？
两个相交平面的距离是多少？
二、讲解新课：
1.点到平面的距离：
已知点P 是平面α外的任意一点，过点P 作PA α⊥，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面α的距离 即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离）
结论：连结平面α外一点P 与α内一点所得的线段中，垂线段PA 最短
2.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)
如果一条直线l 平行与平面α,则直线l 上的各点到平面的垂线段相等,即各点到α的距离相等；垂线段小于或等于l 上任意一点与平面α内任一点间的距离；
3．两个平行平面的公垂线、公垂线段：
（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线
（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段
（3）两个平行平面的公垂线段都相等
（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长
4．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离
三、讲解范例：
例1 在正方体1AC 中找出表示下列距离的垂线段:
（1）点A 到面1B C 的距离 ；
（2）11B D 到面AC 的距离 ；
（3）点A 到面1BD 的距离 ．
αB A P D C B A l α
例2．如图,已知正三角形ABC 的边形为6cm ,点D 到ABC ∆各顶点的距离都是4cm ,求点D 到这个三角形所在平面的距离
解:设H 为点D 在平面ABC 内的射影,延长AH ,交BC 于E ，
DA DB DC ==,∴HA HB HC ==,
∴即H 是ABC ∆的中心,AE 是边BC 上的垂直平分线，
在Rt BHE ∆中,132BE BC ==
,2cos30
BE BH =
=
2()DH cm ===，
即点D 到这个三角形所在平面的距离是2cm .
例3.如图已知ABCD 是边长为4的正方形,,E F 分别是,AB AD 的中点,GC 垂直于ABCD 所在平面,且2GC =,求点B 到平面EFG 的距离.
解法一:连接,AC BD 交点为O ,
∵,E F 分别是,AB AD 的中点,
∴//EF BD , EF 与AC 的交点为H ,则H 为AO 的中点, AC BD ⊥,∴AC EF ⊥， 连结GH ,∵GC ⊥平面ABCD , ∴GC EF ⊥,∴EF ⊥平面GCH ，
∴平面EFG ⊥平面HCG ,HG 是这两个平面的交线，
作OK HG ⊥交HG 于K ，∴OK ⊥平面HCG ，
∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离
∵正方形ABCD 的边长为4，2GC
=， ∴
AC =
HO =
HC =
∴HG ==
HKO HCG ∆∆，
∴HO GC OK HG ⋅===，即点B
到平面EFG 的距离为11． 解法二：以C 为原点，,,CD CB CG 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,4,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C ，(4,0,0)D ，(2,4,0)E ，(4,2,0)F ，(0,0,2)G
K O H C B
A F E
D G
C
B
设点B 在面GEF 内的射影为(,,)M x y z ，
则GM GE GF λμ=+(2,4,2)(4,2,2)λμ=-+-，
即(,,2)(24,42,22)x y z λμλμλμ-=++--，
∴24x λμ=+，42y λμ=+，222z λμ=--+，
∴(24,424,222)BM λμλμλμ=++---+，
而(2,2,0)EF =-，(2,4,2)GE =-，
∵,BM EF BM GE ⊥⊥，∴0,0BM EF BM GE ⋅=⋅=， 解得：157,1111λμ==-，∴226(,,)111111
BM =
，∴11BM =． 另法：∵(0,4,0)B ， (2,4,0)E ，(4,2,0)F ，(0,0,2)G
设EFG 的方程为：0Ax By Cz D +++= 则240420,6220A B D D D A B D A B C C D ++=⎧⎪++=⇒==-=-⎨⎪+=⎩
取D ＝－6，则A=B=1,C=3
所以EFG 的方程为：360x y z ++-=，
所以点(0,4,0)B 到平面EFG 的距离为：
11d ===. 四、课堂练习： 1已知Rt ABC ∆，斜边BC //平面α，,A α∈,AB AC 分别与平面α成30和45的角，已知6BC =，试求BC 到平面α的距离
解：作1BB α⊥于1B ，1CC α⊥于1C ，则由//BC α，得
11BB CC =，且1CC 就是BC 到平面α的距离，
设1CC x =，连结11,AB AC ，则1130,45BAB CAC ∠=∠=，
∴,2AC AB x ==，在Rt ABC ∆中，6,90BC BAC =∠=，
∴223624x x =+，∴x =BC 到平面α．
2．已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，M 、N 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点． ⑴求证：B 1D 1//平面CMN ．
⑵求点B 1到平面CMN 的距离．
分析：显然有B 1D 1//MN ，所以B 1D 1//平面CMN ．
∴ 点B 1到平面CMN 的距离就是直线B 1D 1到平面CMN 的距离．
∴ 可以考虑求B 1D 1的中点O 到平面CMN 的距离．
解：⑴∵ M 、N 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，∴ MN //B 1D 1．
而 MN ⊂平面CMN ，B
1D 1⊄平面CMN ，∴ B 1D 1//平面CMN ．
⑵连接AC 、A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1于O ，交MN 于E ，则E 是MN 的中
点，且MN ⊥A 1C 1．
∵ AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，MN ⊂平面CMN ，
∴ AA 1⊥MN ．
∴ MN ⊥平面A 1ACC 1．
∴ 平面CMN ⊥平面A 1ACC 1．
在平面A 1ACC 1内作OH 垂直于平面CMN 和平面A 1ACC 1的交线CE
于H ，则OH ⊥平面CMN ．
∴ OH 的长就是点O 到平面CMN 的距离．
由⑴知，OH 的长就是点B 1到平面CMN 的距离．
由Rt △OHE ∽Rt △CC 1E 可得，CE
OE CC OH =1． ∵ a CC =1，a C A E C OE 4241111==
=， a E C CC CE 4
232121=+=，
∴ a OH 3
1 ． ∴ 点B 1到平面CMN 的距离等于a 31
．
说明：①由于点B 1在平面CMN 内的射影不易作出，所以我们就把点B 1平移到点O ，作出点O 在平面CMN 内的射影H ，从而求出点B 1到平面CMN 的距离，这是处理点到平面的距离问题的常用手段．
②对于直线到平面的距离问题，一般取直线上的特殊点向平面上做垂线．
五、小结 ：点到面的距离的概念及求法；直线到与它平行的平面的距离的概念及求法面面距离的概念及求法
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。