(完整版)极坐标与参数方程知识点、题型总结(可编辑修改word版)

⎨y ' = ⋅ y,(> 0). 0

⎩ 极坐标与参数方程知识点、题型总结

一、伸缩变换：点 P (x , y ) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

: ⎧x ' = ⋅ x,(> 0), 的作用下，点 P (x , y ) 对应到点 P '(x ', y ') ，称伸缩变换 ⎩

一、

1、极坐标定义：M 是平面上一点， 表示 OM 的长度，是∠MOx ，则有序实数实 数对(,) , 叫极径，叫极角；一般地，∈[0, 2) ， ≥ 0 。，点 P 的直角坐标、 极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)

⎧x = cos ⎨ ⎧2 = x 2

+ y 2

⎪ 2、直角坐标⇒ 极坐标

y = sin 2、极坐标⇒ 直角坐标⎨tan = y

(x ≠ 0)

⎩ ⎪⎩ x

3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点 M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为 M (ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方

程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ 2－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的

⎧x = f (t ),

坐标 x , y 都是某个变数t 的函数⎨ y = g (t ),

并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确

定的点 M (x , y ) 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x , y 的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方

程叫做普通方程。

（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程

x = x 0 + t cos

1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：

（t 为参数）

y = y 0 + t sin

（1） 其中参数 t 的几何意义：点 P （x 0，y 0），点 M 对应的参数为t ，则 PM =|t|

(2)直线上 P 1 , P 2 对应的参数是t 1, t 2 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝

t 1＋t 2 2－4t 1t 2.

+ = + = {

) 4 x = x 0 + at 直线的一般参数方程：

（t 为参数）若 a y = y 0 + bt

的几何意义成立，否则，不成立。

（2）

圆心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：

2

+ b 2

= 1 ，则上面（1）、（2）中

x = x 0 + r cos

y = y 0 + r s in

（为参数）

x 2 （3） 椭圆 a 2 y 2 y 2 b 2 1（或 a 2 x 2

b 2 1）：

x = a cos x = b cos

y = b s in

（ 为参数） （或

）

y = a sin

x = 2 pt 2

（4） 抛物线 y 2 = 2 px

：

（t 为参数，p ＞0）

y = 2 pt

题型归类：（1） 极坐标与直角坐标的互相转化

（2） 参数方程与普通方程互化 (3)

利用参数方程求值域

参数的几何意义

一、极坐标方程与直角方程的互化，求极坐标方程：方法：代公式 1．已知某圆的极坐标方程为

2

- 4 2cos(

-

+ 6 = 0 4

（I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；

（II ）

若点 P (x , y ) 在该圆上，求 x + y 的最大值和最小值．6,2

2 极坐标方程4⋅sin 2 = 5 表示的曲线是（

） 抛物线

2

⎛

⎫

2 3、直线的极坐标方程为

sin + ⎪ =

⎝ ⎭ ，则极点到该直线的距离是

2

4、极坐标方程

2

cos - = 0 转化成直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 0或x = 1

二、参数方程与普通方程的互化

1、参数方程⇒ 普通方程：方法;消参, 普通方程⇒ 参数方程：代公式

⎧⎪x = 2t - 2-t

5、方程⎨ ⎪⎩ y = 2t

（t 为参数）表示的曲线是（

）

+ 2-t

2

2

3 2 ⎨ y = sin , ⎪ ⎩

⎩ ⎪ A. 双 曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆

⎧

x = 1 + 1 t ,

6. 已知直线 : ⎨ 2

⎪ y = t .

⎩ 2

(t 为参数), 曲线C 1 : ⎧x = cos , ⎩ （为参数）.

（Ⅰ）设 与C 1 相交于 A , B 两点,求| AB | ；1

（Ⅱ）若把曲线C 上各点的横坐标压缩为原来的 1 倍,纵坐标压缩为原来的

3

倍,得

1

2

2 6 (

- 1) 到曲线C 2 ,设点 P 是曲线C 2 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值. 4

7. 曲线 C ： ⎧x = c os

⎧ x =

曲线 D ： 2

t - 2 (t 。 ⎨ y = sin ( 为参数） ⎨ ⎪ y = 2 t ⎩ 2

为参数）

（1） 指出曲线 C 、D 分别是什么曲线？并说明曲线 C 与 D 公共点人的个数。 （2） 若把曲线 C 、D 上各点的纵坐标压缩为原来的 1

倍，分别得到曲线 C1、D1，请

2

写出曲线 C1、D1 的参数方程，说明其公共点的个数和曲线 C 、D 公共点是否相同？ 2、普通方程化为参数方程

8. 直线l 过点 P (1,1) ，倾斜角

= ，（1）写出l 的参数方程；

6

（2）直线l 与圆

⎧x = 2 cos 为参数）相交于 A 、B 两点，求| PA | | PB | 。

⎨

y = 2 s in ( x 2 2

9. 点P(x,y) 为椭圆

+ y 3

= 1上一点，求（1） S = x + y 的范围；

（2）若 x + y + a ≥ 0 垣成立，求 a 的范围。

2

⎪