2020届高考数学(理)课标版二轮复习训练习题：重难考点专题一第1讲 三角函数的图象与性质
������ 3������
1
2
若2≤ωπ+6< 6 ,则 2ωπ+6≤ 2 ,所以3≤ω≤3.故选 B.
二、填空题
3
7.角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴,终边经过点 P(4,y),且 sin θ=-5,则 tan θ= .
3
答案 -4
3
解析 因为角 θ 的终边经过点 P(4,y),sin θ=-5<0,所以 θ 为第四象限角,所以 cos
3
+
2������ 3
(k∈Z)
[ ] C.
2������������
‒
2������,2������������
3
+
������ 3
(k∈Z)
[ ] D.
2������������
‒
������,2������������
6+Fra bibliotek5������ 6
(k∈Z)
( ) ( ) 答案 B 解法一:因为 f(x)=2
������ ,0
12
在函数
f(x)的图象上,
[ ( ) ] 所以 Asin 2 ×
‒ ������
12
+ ������ =0,
������
������
解得 φ=kπ+6,k∈Z,由 0<φ<π,可得 φ=6.
( ) ( ) 因为
f
������ 12
3
=2,所以
Asin
2×
������ + ������
7������
5������
所以 θ=kπ- 6 (k∈Z),又 0<θ<π,所以 θ= 6 ,
[ ] 所以 f(x)=2sin(2x+π)=-2sin
2x,因为 x∈
‒
������,������
46
,
[ ] 所以 2x∈
‒
������,������
23
,
f(x)∈[-
3,2],
[ ] 所以 f(x)在
C.x=18 D.x=24
答案 D ∵函数 f(x)=2cos(ωx+φ)的图象过点 A(0, 3),∴2cos φ= 3,即 cos
3
������
φ= 2 ,∴φ=2kπ±6(k∈Z).
( ) ������
������
∵|φ|<2,∴φ=±6,由函数
������
f(x)的图象知������<0,又
第三板块 重难考点 师生共研
专题一 三角函数与解三角形
第 1 讲 三角函数的图象与性质
一、选择题
( ) ( ) 1.(2019
晋冀鲁豫名校联考)若
sin
������
+
3������ 2
3
=5,且
α
是第三象限角,则
cos
������ + 2 019������
2
=( )
3
3
A.5
B.-5
4
4
C. 5
( ) 答案 B 因为
ω>0,π<x<2π,所以
������
������
������
ωπ+6<ωx+6<2ωπ+6,又函数
f(x)=sin
������������
+
������ 6
在区间(π,2π)内
( ) ( ) 没有最值,所以函数
f(x)=sin
������������
+
������ 6
在区间(π,2π)上单调,所以
( ) 2.(2019
河北石家庄模拟)已知函数
f(x)=2cos(ωx+φ)
������
>
0,|������|
<
������ 2
的部分图象如图所示,点
A(0,
( ) 3),B
������,0
6
,则函数
f(x)图象的一条对称轴为( )
������
������
A.x=-3 B.x=-12
������
������
{ ������ = 1, 2
与 y=ksin
xcos
������
x=2sin
2x(k>0)的图象重合,所以
‒
������ 2
+
2������
=
2������������(������
∈
������),所以
������
k=2,m=nπ+4(n∈Z),
������
������
又 m>0,所以 m 的最小值为4,故 k+m 的最小值为 2+4,故选 A.
( ) 6.(2019
江西五校协作体试题)若函数
f(x)=sin
������������
+
������ 6
(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,则
ω
的取
值范围是( )
( ] [ ] A.
0, 1
12
∪
1,2
43
( ] [ ] B.
0,1
6
∪
1,2
33
[ ] C. 14,23
[ ] D.
1,2
33
( ) ( ) 解法二:因为 f(x)=2
3������������������������������
2
‒
1������������������������������
2
=-2cos
������������
+
������ 3
,
2������
f(x)的最小正周期为 2π,所以 ω=2������=1,所以
(k∈Z),故选
B.
( ) [ ] 4.若函数 f(x)=
3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于
������,0
2
中心对称,则函数
f(x)在
‒
������,������
46
上
的最小值是( )
A.-1 B.- 3
1
3
C.-2 D.- 2
[ ] ( ) ( ) 答案 B f(x)=2×
5������
即 m 的最大值是18.
( ) [ ] 10.(2019 河南洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)=sin
������������ + ������
6
(ω>0)在区间
‒
������,2������
43
上单调递
增,则 ω 的取值范围是 .
( ] 答案
0,1
2
{ { { ‒ ������������ + ������ ≥ ‒ ������ + 2������������,������ ∈ ������, ������ ≤ 8 ‒ 8������,������ ∈ ������,
解析 (1)f(x)=2 3sin xcos x+cos2x-sin2x
8 ‒ 8������ > 0,������ ∈ ������,
解析 由题意,得
46
2
2������������ + ������ ≤ ������ + 2������������,������ ∈ ������,
3 62
则
������
≤
3
1+
2
3������,������
∈
������,因为
ω>0,所以
������ ,0
12
到其相邻的一条对称轴的距离为���4���,若
f
������ 12
3
=2,则函数
f(x)在
0,������
2
上的最小值为 .
3
答案 - 2
������
2������
解析 由题意得,函数 f(x)的最小正周期 T=4×4=π= ������ ,解得 ω=2.
( ) 因为点
‒
������
2ωπ+6-
������������
+
������ 6
=ωπ<π,从而
������
������ 7������
0<ω<1,则6<ωπ+6< 6 .
������
������ ������
������ ������
1
若6<ωπ+6<2,则 2ωπ+6≤2,所以 0<ω≤6;
������
������ 7������
������,������
6
5������
������
������
,可知 6 ≤3x+3≤3m+3,
( )������
5������ 3
∵f 6 =cos 6 =- 2 ,
[ ]3
∴要使 f(x)的值域是 ‒ 1, ‒ 2 ,
������ 7������ 2������
5������
需要 π≤3m+3≤ 6 ,即 9 ≤m≤18,
( ) f(x)=-2cos
������
+
������ 3
,
������
������
2������
由 2kπ≤x+3≤2kπ+π(k∈Z),得 2kπ-3≤x≤2kπ+ 3 (k∈Z),
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc
限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。
2020高考数学理二轮课标通用题型练：3 大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题
题型练3 大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题题型练第62页一、解答题1.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值. 解:(1)由角α的终边过点P (-35,-45), 得sin α=-45,所以sin(α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45),得cos α=-35, 由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-5665或cos β=1665. 2.在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求A ;(2)求AC 边上的高.解:(1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴B ∈(π2,π),∴sin B=√1-cos 2B =4√37. 由正弦定理,得asinA =bsinB ⇒7sinA =4√37,∴sin A=√32.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴A=π3.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B )=sin A cos B+sin B cos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314.如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵sin C=ℎBC ,∴h=BC ·sin C=7×3√314=3√32,∴AC 边上的高为3√32. 3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA . (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题设得12ac sin B=a 23sinA ,即12c sin B=a3sinA . 由正弦定理得12sin C sin B=sinA3sinA . 故sin B sin C=23.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-12, 即cos(B+C )=-12. 所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bc sin A=a 23sinA ,即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c )2-3bc=9, 得b+c=√33.故△ABC 的周长为3+√33.4.已知函数f (x )=4tan x sin (π2-x)cos (x -π3)−√3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期; (2)讨论f (x )在区间[-π4,π4]上的单调性. 解:(1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2+kπ,k ∈Z}. f (x )=4tan x cos x cos (x -π3)−√3 =4sin x cos (x -π3)−√3=4sin x (12cosx +√32sinx)−√3=2sin x cos x+2√3sin 2x-√3=sin 2x+√3(1-cos 2x )-√3 =sin 2x-√3cos 2x=2sin (2x -π3), 所以,f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z 的单调递增区间是[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z .由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z .设A=[-π4,π4],B={x |-π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k ∈Z},易知A ∩B=[-π12,π4].所以,当x ∈[-π4,π4]时,f (x )在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.5.已知函数f (x )=√3a cos 2ωx 2+12a sin ωx-√32a (ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A 为图象上的最高点,点B ,C 为图象与x 轴的两个相邻交点,且△ABC 是边长为4的正三角形.(1)求ω与a 的值; (2)若f (x 0)=8√35,且x 0∈(-103,23),求f (x 0+1)的值.解:(1)由已知可得f (x )=a (√32cosωx +12sinωx)=a sin (ωx +π3).∵BC=T2=4, ∴T=8,∴ω=2π8=π4.由题图可知,正三角形ABC 的高即为函数f (x )的最大值a ,得a=√32BC=2√3. (2)由(1)知f (x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35, 即sin (π4x 0+π3)=45.∵x 0∈(-103,23),∴π4x 0+π3∈(-π2,π2),∴cos (π4x 0+π3)=√1-(45)2=35, ∴f (x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3) =2√3sin [(π4x 0+π3)+π4]=2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4] =2√3×(45×√22+35×√22)=7√65. 6.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a+b=5,(2a+b )·cos C+c ·cos B=0. (1)若△ABC 的面积为√32,求c ;(2)若点D 为线段AB 的中点,∠ACD=30°,求a ,b. 解:(1)∵(2a+b )cos C+c cos B=0,∴(2sin A+sin B )cos C+sin C cos B=0, 即2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B=0.∴2sin A cos C+sin(B+C )=0,即2sin A cos C+sin A=0. ∵A ∈(0,π),∴sin A ≠0.∴cos C=-12.∵C ∈(0,π),∴sin C=√32. ∴S △ABC =12a ·b sin C=√3ab4=√32.∴ab=2. 在△ABC 中,c 2=a 2+b 2-2ab cos C=(a+b )2-ab=25-2=23,∴c=√23. (2)∵cos C=-12,∴C=120°.又∠ACD=30°,∴∠BCD=90°.记∠ADC=θ,AD=BD=m ,在直角三角形BCD 中,a=m sin θ. 在△ACD 中,msin30°=bsinθ,∴b=2m sin θ.∴b=2a. 又a+b=5,∴a=53,b=103.。
2020版高考数学大二轮复习专题一大题考法课三角函数、解三角形课时训练(2021-2022学年)
三角函数、解三角形错误!未定义书签。
１.(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P 错误!。
（1）求sin(α+π)的值；(２)若角β满足s ｉn(α+β）=513,求c ｏs β的值. 解：(1)由角α的终边过点P 错误!，得s ｉn α＝－错误!。
所以si ｎ(α＋π)=-ｓｉn α=错误!。
(２）由角α的终边过点Ｐ错误!未定义书签。
，得ｃos α=-错误!未定义书签。
由si ｎ(α＋β）＝错误!未定义书签。
，得cos(α＋β）＝±1213。
由β=（α+β）－α，得cos β=cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以ｃos β＝-＼ｆ(５６，65）或cos β＝166５. ２.已知在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ,ｃ,且错误!=错误!未定义书签。
.（1)若错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
,求角A 的大小;(2)若ａ=1,t ａn Ａ=2错误!,求△ABC 的面积．解：(１)由错误!=错误!及正弦定理得si ｎ B (１-2cos A ）=2s ｉn A cos B ，即s ｉn B ＝２ｓin A ｃｏｓ B +2co ｓ Ａs ｉn B =2s ｉｎ(A +B )＝2sin C ，即b ＝2c .又由错误!=错误!未定义书签。
及余弦定理,得cos A =错误!＝错误!未定义书签。
⇒A =错误!。
(2）∵t ａｎ Ａ=２＼ｒ（2），∴ｃos Ａ=错误!未定义书签。
，ｓｉn A ＝错误!。
由余弦定理cos A ＝错误!未定义书签。
，得错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
， 解得c 2=错误!未定义书签。
,∴S △A ＢＣ＝错误!未定义书签。
ｂｃｓin A =c 2ｓｉn Ａ=＼ｆ(3,1１)×错误!＝错误!.3．已知函数f （x )=ｍcos x ＋s ｉn 错误!的图象经过点P 错误!未定义书签。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xy αtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 227．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan =(2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正． (3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______； (3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______；(4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______；(3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o ______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan-=+∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o ．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα， (2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα； ∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα(2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x 原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( ) A ．sin15°－cos15° B ．sin15°＋cos15° C ．－sin15°－cos15° D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12π 2π π Z2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x x x x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立， 即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立， 即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间，2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合 (2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕω B ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕω D ．6π,21-==ϕω解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin =−−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C(2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y列表(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1．【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______． 7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高. 21=∆ABCS ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120°(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a 又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题． 例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ． 法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和bc＝321+，求∠A 和tan B 的值． 解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ． 由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用． 练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( )A ．35 B ．45 C ．55 D ．65 二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A . (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米． 求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα，所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35， 因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0， 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α， 所以原式.52932534-=+-⨯= 练习3－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题5．2 6．2 7．)3π2sin(+=x y 8．]2,89[- 三、解答题9．解：x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2-=+-=＝)4π2sin(2-x . (1)Z ∈+=-k k x ,2ππ4π2，对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π， (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2，即Z ∈+≤≤+k k x k ,8π7π8π3π，f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π7π,8π3π[．10．解：(I)∵⋅+=+=-+=)3π2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f∴f (x )的最小正周期.π421π2==T当1)3π2sin(-=+x 时，f (x )取得最小值－2；当1)3π2sin(=+x 时，f (x )取得最大值2．(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π()().3π2sin(2)(x f x g x x f 又⋅=+=++=∴2cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(xx x x g).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-∴函数g (x )是偶函数．11．解：(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯=a x x a x xx f ωωωω。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档第一部分 考点三 复数
复数考点三一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖南衡阳三模)(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限．第四象限DC．第三象限C答案1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C. 位于第三象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋) ＝5月三模)设复数z 满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5 ．A．1 B5 3 ．D．CB答案i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2 iiziB.1z＋) 则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，(z1i 的虚部为－．为纯虚数z BzA．2211－D．z－C．z＝i ||＝222D答案11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数222221D.，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应的点为x)(则．22221 1)＝＋y1 B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1 ＝＋(CC答案i. y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C. ＝1.∴x 故选＋(y－1)2i|＋|1) 5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－i＋3 ．A．B225555iD－．C．＋i 2222C答案?i15?－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－22222i＋11＋iC.选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，1－2i)则a＝(B5 ．－A．－151D．－C．－33D答案a?1＋2i?2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)552i?1－2i??1＋1－2i?2i1－的实部与虚部互为相反数，2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单112位，则zz＝()21A．－5 B．5i－4．－Di＋4．－C．答案A解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4＝－5.z＝i故选A.2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝() 8．若复数z＝(A．1 B．3D．2 ．4CC答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解析C.，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i 二、填空题表示．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z ________，则复数z．的共轭复数是复数2i－1答案－i2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.i－1答案i201932?＋i＋i－i?1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.2?＋ii?1－1－??i1－i1－1i ix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)＝________.答案－1πiππ2??i2x22isin＋cos??＝－)(ex＋cose解析由＝xisin得＝i1.＝22??．a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i －1点位于第________象限．答案二a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，＝0b＋1??在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，－1a＝b? 2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A 求：Array→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－2i. ，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin α＋sinβ)＝＋i.211313．5?①，α－cosβ＝cos?13?∴12??②β＝.sinα＋sin1322，得2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.1∴cos(α＋β)＝.2一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i ＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2i B．1－2ii－2＋i 2．DC．C答案2i41333＋i＋i?＋i??－i?－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋2?i－1??i＋1?i＋1i＋1－C.i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四象限D C．第三象限B答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数－2112B.对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为1 AB．0 ．－1 D．－1 ．C3D答案．解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z ＝55－zi，则实数a＝()A．4 B．3D．C．2 1C答案34a43a4z3??－－??a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴555555??－z2.＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－1)(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是11i ．Bi A．－2211 ．C．－D22D答案，－1<0a??，故选0<a<1i＋(i)(1＝－因为解析z1＋a＋＝a－1)a，所以即，>0a?D.6．设有下面四个命题：1 ∈z R；，则∈满足p：若复数z R1z2R z R z∈，则∈；满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足R zz2212311－. z R z：若复数p∈，则∈R4) (其中的真命题为，p，ppA．p．B4131．p．CD ，，ppp4232．B答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析2121122112iba－11为真命p R，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋R z＝a＋bi＝bi，所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab221112112211221221为假命题．对，所以pb＝－b/ a＝a，＝－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a3112222111212－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B. ．下面四个命题中，7 ；a，bb∈R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z －2i|z②复数满足|z＋1|2222 z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的性质|202021. i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i) (正确命题的个数是B．0 1 A．3．2 ．DCD答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋z R b∈)，当b≠0时，||i＝z，故正确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点8)m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224 ＝2)＋(＋(y－2)y ＝2 －1)x．B(－xA．(－1)22224 ＋C．(x1)(＋y＋2)＝2 ＝2)＋y(＋1)＋x(．DB答案，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－m2222B.，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝?2－y?＋?1－x?得．二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，且满足(1＋9．________.＝|z|)i是虚数单位，则22答案?－i4?14－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－?1－i1＋??i?1＋i2.2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1－i)＝7＋3i________.＝3－答案10i＋?43i＋?7＋3i??1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝2?ii?1－i??11－＋3.5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的一个复数根，则________.20－答案2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，b＝－43＋2b＋c＝0，????20. bc(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝??|z|z|＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，且实数x2答案－|＋|z|z||2|z－22. ＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋?2－x? z，所以＝＋由于xy22z@＝2－2. z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．－10|. ＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az 若不存在，说明理由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a ＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3?a＋10?，∴?2a＋15?2＋?b?22223. b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az. a，使＋∈R(2)假设存在实数za d≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝?c－dic＋dia?dcaza ＋＋i＋则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc??－??R＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋??add ，－∴＝022adc ＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.＝±53由(1)知c ，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，，＝0m?2?＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝?(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．22①0，1a＋1?＋＝＋?a＋1?－bm???于是②，b?＋mb＝02?a＋1?22，其＝＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，4|PQ|的最小值为4.?＋?PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．。
2019-2020学年度最新人教版高考数学二轮复习：三角函数专题Word版
2019-2020学年度最新人教版高考数学二轮复习：三角函数专题Word 版(附参考答案)本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+nC ．n m 22=D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1 故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
2020版高三数学新课标大二轮增分攻略数学(理) 专题一三角函数与解三角形第一讲 三角函数的图象与性质
第三篇 重点热点、突破篇第一讲 三角函数的图象与性质[高考导航]1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题．2．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质．考点一 同角三角关系式及诱导公式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．1．(2019·广东惠州二调)已知sin x ＋cos x ＝15，x ∈[0，π]，则tan x 的值为( )A ．－34B ．－43C ．±43D ．－34或－43[解析] ∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝125，即1＋2sin x cos x ＝125.∴2sin x cos x ＝－2425<0.∵x ∈[0，π]，∴sin x >0，cos x <0. ∴sin x －cos x >0.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，∴sin x －cos x ＝75. 又知sin x ＋cos x ＝15，∴sin x ＝45，cos x ＝－35，则tan x ＝sin x cos x ＝－43，故选B. [答案] B2．(2019·福州质检)已知P (sin40°，－cos140°)为锐角α终边上的点，则α＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°[解析] ∵P (sin40°，－cos140°)为角α终边上的点，因而tan α＝－cos140°sin40°＝－cos (90°＋50°)sin (90°－50°)＝sin50°cos50°＝tan50°，又α为锐角，则α＝50°，故选B.[答案] B3．(2019·唐山五校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－15 B.15 C.25 D ．－25 [解析] cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝－15.[答案] A4．(2019·河北六校第三次联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.54[解析] ∵方程5x 2－7x －6＝0的两根分别为x 1＝2和x 2＝－35，∴sin α＝－35.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α＝53，故选B. [答案] B5．(2019·云南师大附中月考)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( )A.195B.165C.2310D.1710[解析] 解法一：sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan θ＋tan 2θtan 2θ＋1，将tan θ＝2代入，得原式＝2310，故选C.解法二：tan θ＝2＝21，在平面直角坐标系xOy 中，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上取点P (1,2)，则|OP |＝5，由三角函数的定义，得sin θ＝25，cos θ＝15，所以sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝25＋1525＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝2310，故选C.[答案] C6．(2019·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在单位圆O 上，设∠xOP ＝α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，则x 0的值为________．[解析] ∵点P (x 0，y 0)在单位圆O 上，且∠xOP ＝α，∴cos α＝x 0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴x 0＝cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210. [答案] －210(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．考点二 三角函数的图象及变换1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．2．两种图象变换【例1】 (1)(2019·南昌调研)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度得到 B ．向右平移π2个单位长度得到 C ．向左平移π4个单位长度得到 D ．向右平移π4个单位长度得到(2)(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图象如图所示，则φ＝________.[解题指导] (1)化f (x )为正弦形式→转化为x 上的变化量→确定结果(2)由对称中心及对称轴得周期T→由T ＝2πω得ω→利用f ⎝⎛⎭⎪⎫1112π＝－2及φ的范围得φ值[解析] (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝ sin ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π4，∴只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可得到f (x )的图象．故选C.(2)由T 4＝1112π－23π＝π4，得T ＝π，又知T ＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝－1.∴116π＋φ＝2k π＋32π(k ∈Z )． ∴φ＝2k π－π3(k ∈Z )，又∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3. [答案] (1)C (2)－π3解决三角函数图象问题的策略(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．1．(2019·广东揭阳一模)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标先伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z [解析] 解法一：将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ＋φ，再向左平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ＋ωπ6＋φ＝sin x ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12ω＝1，ωπ6＋φ＝2k π，k ∈Z ，又－π2≤φ<π2，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故选C.解法二：将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C.[答案] C2．(2019·太原3月联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1B.12C.22D.32[解析] 由题图知A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又因为点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象的上升段上，所以－π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，可知在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上，函数f (x )的图象关于x ＝π12对称，因为x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.[答案] D考点三 三角函数的性质1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 角度1：研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性【例2】 (2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 [解题指导]由奇函数确定φ→由伸缩变换确定g (x )的解析式→由g (x )的周期确定ω→由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2确定A[解析] ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π，∴φ＝0，∴f (x )＝A sin ωx ，则g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x .由g (x )的最小正周期T ＝2π，得ω2＝2πT ＝1，∴ω＝2.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝2，故选C.[答案] C角度2：求三角函数的单调区间及最值【例3】 (2019·石家庄二中月考)已知函数f (x )＝(23cos ωx ＋sin ωx )sin ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2＋ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．[解题指导] (1)化简函数解析式→利用周期性和对称性求ω值→写出f (x )解析式→求f (x )单调递增区间(2)由x 范围求出角整体范围→利用f (x )单调性和图象求出值域[解] (1)f (x )＝23cos ωx ·sin ωx ＋sin 2ωx －cos 2ωx ＝3sin2ωx －cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由f (x )图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为π4，知14·2π2ω＝π4，即ω＝1.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 即函数f (x )的值域为[－1,2]．三角函数性质问题的解题策略(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．(2)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A >0，ω<0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝－A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在某一区间的最值时，将ωx ＋φ视为整体，借助正弦函数的图象和性质求解．1．(2019·太原一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称[解析] ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6， ∴A 、C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． [答案] B2．(2019·豫南九校4月联考)已知函数f (x )＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值． [解] (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x － 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |[解析] 对于选项A ，作出y ＝|cos2x |的部分图象，如图1所示，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，且最小正周期T ＝π2，故A 正确．对于选项B ，作出f (x )＝|sin2x |的部分图象，如图2所示，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，且最小正周期T ＝π2，故B 不正确． 对于选项C ，∵f (x )＝cos|x |＝cos x ，∴最小正周期T ＝2π，故C 不正确．对于选项D ，作出f (x )＝sin|x |的部分图象，如图3所示．显然f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.[答案] A2．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π[解析] f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. [答案] A3．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③[解析] f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，故f (x )是偶函数，①正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 单调递减，②不正确； 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，f (x )＝2sin x 有两个零点，当x ∈[－π，0)时，f (x )＝－2sin x 仅有一个零点，故③不正确；当x ≥0时，f (x )＝sin x ＋|sin x |，其最大值为2，又f (x )是R 上的偶函数，故f (x )在R 上的最大值为2，④正确．综上，①④正确，②③不正确．故选C. [答案] C4．(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．[解] (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos2x －32sin2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在6～12或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．专题强化训练(十一)一、选择题1．(2019·菏泽一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A ．－255B ．－55 C.55 D.255[解析] 由题意知cos α＝25＝255，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.[答案] A2．(2019·桂林一模)已知sin(5π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＋2cos α＝( )A.225 B.－25 C ．－2 2 D ．－2[解析] 由sin(5π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得sin α＝－3cos α，所以tan α＝－3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＋2cos α＝22(cos α－sin α)sin α＋2cos α＝22(1－tan α)tan α＋2＝22×4－1＝－2 2.故选C.[答案] C3．(2019·湖南湘中高三联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) [解析] 因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sin φ<0，所以φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56π，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故选C.[答案] C4．(2019·廊坊省级示范性高中联合体联考(一))已知函数f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝－π12对称B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝－π12对称C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝－π6对称D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝－π6对称[解析] f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，3x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，可得函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，又由3x ＋π4＝0，解得x ＝－π12，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称．故选A.[答案] A5．(2019·湖南省四校联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．1，3π4B ．2，π4 C ．π，3π4D ．2π，π4[解析] 由题图知最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以ω＝2πT ＝π，所以f (x )＝2sin(πx ＋φ)，把⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，即π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝3π4，故选C.[答案] C6．(2019·福州质量检测)若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0 [解析] 将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故选A. [答案] A 二、填空题7．(2019·河北沧州模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________.[解析] 设点P (a,2a )(a ≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝yx ＝2，再根据诱导公式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.[答案] 28．(2019·安徽六安一中3月月考)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0<ω<1)在区间(π，2π)内有最值，则ω的取值范围为________．[解析] 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0<ω<1)取最值时，ωx ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3(k ∈Z )，因为f (x )在区间(π，2π)内有最值，所以1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3∈(π，2π)时，k 有解，所以1<1ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋13<2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω<k ＋13，k 2＋16<ω⇒k 2＋16<ω<k ＋13.由k 2＋16<k ＋13得k >－13.当k ＝0时，16<ω<13，当k ＝1时，结合0<ω<1，得23<ω<1，所以ω的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 9．(2019·江西南昌重点中学段考测试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<ω<3，|φ|<π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，则f (π)＝________. [解析]解法一：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－πω12＋φ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5πω12＋φ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－π12ω＋φ＝k 1π，5π12ω＋φ＝k 2π(k 1，k 2∈Z )，两式相减得，12ω＝k 2－k 1(k 1，k 2∈Z )．因为0<ω<3，且k 2－k 1是整数，所以ω＝2.将点⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0看作“五点”中的第一点，则－π6＋φ＝0，所以φ＝π6，满足|φ|<π2.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (π)＝12. 解法二：设f (x )的最小正周期为T ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＝0可得x＝－π12和x ＝5π12是函数f (x )的两个零点，所以k 1·T 2＝512π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π2(k 1∈N )，即T ＝πk 1(k 1∈N )，又知T ＝2π|ω|(ω>0)，所以2πω＝πk 1(k 1∈N )，所以ω＝2k 1(k 1∈N )，又0<ω<3，所以当k 1＝1时，ω＝2.所以f (x )＝sin(2x＋φ)．由f ⎝⎛⎭⎪⎫－π12＝0，得－π6＋φ＝k 2π(k 2∈Z )，所以φ＝k 2π＋π6(k 2∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (π)＝12.[答案] 12 三、解答题10．(2019·北京西城二模)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值． [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z . (2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4. 整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12.因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4； 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，即β＋π4＝π3，即β＝π12.所以β＝π12或β＝3π4.11．(2019·云南曲靖一中模拟)已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若f (x )－m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3恰有一实数根，求m 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＋3sin 2x＋sin x cos x＝2cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x －3cos 2x ＋3sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 故函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象如下．∵f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝0，∴当方程f (x )－m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3恰有一实数根时，m 的取值范围为[－3，0)∪{2}．12．(2019·山东济南一模)已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值．[解] (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋3＝12sin2x －32cos2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )， 故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6.由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， 即0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32≤2＋32.故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.。
2020版高考数学二轮复习第2部分专题1三角函数和解三角形解密高考1三角函数问题重在“变”——变角、变式
母题示例：2019 年全国卷Ⅲ，本小题满分 12 分
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分 本题考查：本题主要考查正弦定
别为 a，b，c，已知 asin A＋2 C＝ 理、诱导公式、三角恒等变换、三
bsin A.
角形的面积公式，考查学生的数学
(1)求 B；
运算、转化与化归等能力，考查学
(2)若△ABC 为锐角三角形，且 c 生的逻辑推理及数学运算等核心
面积，结合第(1)问，选择 S＝12acsin B，注意到条件 c＝1，想到sina A＝
c sin
C，△ABC
为锐角三角形可建不等式．
[规范解答·评分标准] (1)根据题意 asinA＋2 C＝bsin A，得 sin AsinA＋2 C＝ sin Bsin A 因为 0＜A＜π，故 sin A＞0，消去 sin A 得 sinA＋2 C＝sin B,0＜B＜π，0＜A＋2 C＜π，故A＋2 C＝B 或者A＋2 C＋B＝ π，而根据题意 A＋B＋C＝π，A＋2 C＋B＝π 不成立，所以A＋2 C＝B， 又因为 A＋B＋C＝π，代入得 3B＝π，所以 B＝π3.··6 分
故
83＜S△ABC＜
23.故
S△ABC 的取值范围是
83，
23.······12
分
[构建模板·两种思路] 1．利用正、余弦定理求解问题的思路为“角化边”“边化角”
2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构” 升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．
母题突破 1：2019 年昆明模拟 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c,2acos A－ bcos C＝ccos B. (1)求角 A； (2)若 a＝ 3，△ABC 的面积为343，求△ABC 的周长．
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
2020高考数学课标二轮：题型练大专项(一)三角函数、解三角形综合问题 含解析
(1)求ω与a的值;
(2)若f(x0)= ,且x0∈ ,求f(x0+1)的值.
解:(1)由已知可得f(x)=a =asin .
∵BC= =4,
∴T=8,∴ω= .
由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,
得a= BC=2 .
(2)由(1)知f(x0)=2 sin ,
即sin .
∵x0∈ ,∴ x0+ ,
∴cos ,
∴f(x0+1)=2 sin
=2 sin
=2 sin x0+ cos +cos x0+ sin =2 .
2020高考数学课标二轮：题型练大专项（一）三角函数、解三角形综合问题 含解析
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题型练第54页
1.(20xx全国Ⅲ,理18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsinA.
(1)求B;
(1)求sinBcosC的值;
(2)若6cosBsinC= ,a=3,求b+c的最大值.
解:(1)依题意,得 absinC= ,即3bsinAcosC= a,
由正弦定理,得3sinBsinAcosC= sinA.
∵A∈(0,π),∴sinA>0,
∴sinBcosC= .
(2)∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,