类比、拓展探究题

解：(1)小芳的结论仍成立．
证明如下：如解图1所示，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB．
即 CE⊥AD．
(2)(1)中的结论仍然成立． 选择图 2 证明如下： 连接 AC 交 BD 于点 O，设 CE 交 AD 于点 H，如解图 2 所示． ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ABC，△ACD 都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°. ∵△APE 是等边三角形， ∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，
(1)继续旋转三角形纸片，当 C E ≠A F 时，如图 2，小芳的结论是否成立？若成立，
加以证明；若不成立，请说明理由；
(2)再次旋转三角形纸片，当点 E ，F 分别在 C B ，B A 的延长线上时，如图 3，请 直接写出 D E 与 D F 的数量关系，并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连接 E F ，若△D E F 的面积为 y，C E ＝x，求 y 与 x 的关系式， 并指出当 x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
(2018·江西)在菱形 A B C D 中，∠A B C ＝60°，点 P 是射线 B D 上一动点， 以 A P 为边向右侧作等边△A P E ，点 E 的位置随点 P 的位置变化而变化．
(1)如图 1，当点 E 在菱形 A B C D 内部或边上时，连接 C E ，B P 与 C E 的数量关系 是________，C E 与 A D 的位置关系是________；
系是________；
(2)类比思考
如图 2，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 A B C 换为一般的锐角三 角形，其中 A B ＞A C ，其他条件不变，小明发现的上述结论础上，又作了进一步的探究．向△A B C 的内侧分别作等腰 直角三角形 A B D ，A C E ，其他条件不变，试判断△G M N 的形状，并给予证明．
∵C F ⊥O A ，C G ⊥O B ，且点 C 是∠A O B 的平分线 O M 上一点， ∴C F ＝C G . ∵∠D C E ＝120°，∠F C G ＝120°， ∴∠D C F ＝∠E C G ， ∴△C F D ≌△C G E ，
∴DF＝EG， ∴OF＝OD＋DF＝OD＋EG，OG＝OE－EG， ∴OF＋OG＝OD＋EG＋OE－EG＝OD＋OE，
角形的中位线定理和等量代换，即可得出结论．
解：(1)MG＝NG，MG⊥NG. 连接 BE，CD 相交于点 H，如解图 1 所示． ∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE， ∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠CAD＝∠BAE， ∴△ACD≌△AEB(SAS)， ∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
【解析】 (1)利用 SA S 判断出△A C D ≌△A E B ，得出 C D ＝B E ，∠A D C ＝∠A B E ， 进而判断出∠B D C ＋∠D B H ＝90°，即∠B H D ＝90°，最后用三角形的中位线定理即可 得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法得出 M G ＝N G ，最后利用三
∴OD＋OE＝ 3OC．
(2)(1)中的结论仍然成立． 理由如下： 过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，如解图1.
∴∠O F C ＝∠O G C ＝90°. ∵∠A O B ＝60°， ∴∠F C G ＝120°. 同(1)的方法，得 O F ＝ 23O C ，O G ＝ 23O C ， ∴O F ＋O G ＝ 3O C ．
G E
＝CC
A B
＝
2，
∴线段 A G 与 B E 之间的数量关系为 A G ＝ 2B E .
旋转相似模型——手拉手模型 手拉手模型的定义：平行(或通过旋转后)于三角形的一边所截得的三角形与原三 角形形成的图形．
特殊情况：点 B，E′，F′三点共线
点 C ，E ′，F ′三点共线
类型二 动点引起的探究
(2)连接 CD，BE，相交于点 H，如解图 2 所示． 同(1)的方法，得 MG＝NG，MG⊥NG. (3)△GMN 是等腰直角三角形． 证明如下： 连接 EB，DC，并延长交于点 H，如解图 3 所示． 同(1)的方法，得 MG＝NG，△ABE≌△ADC，
∴∠A E B ＝∠A C D ， ∴∠C E H ＋∠E C H ＝∠A E H －∠A E C ＋180°－∠A C D －∠A C E ＝∠A C D －45°＋ 180°－∠A C D －45°＝90°， ∴∠D H E ＝90°， 同(1)的方法，得 M G ⊥N G . ∴△G M N 是等腰直角三角形．
数量关系，并说明理由；
(2)当∠D C E 绕点 C 旋转到 C D 与 O A 不垂直时，到达图 2 的位置，(1)中的结论
是否成立？并说明理由；
(3)当∠D C E 绕点 C 旋转到 C D 与 O A 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？ 请在图 3 中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段 O D ，O E 与 O C 之间又
∴∠B D C ＋∠D B H ＝∠B D C ＋∠A B D ＋∠A B E ＝∠B D C ＋∠A B D ＋∠A D C ＝ ∠A D B ＋∠A B D ＝90°， ∴∠B H D ＝90°， ∴C D ⊥B E . ∵点 M ，G 分别是 B D ，B C 的中点， ∴M G ∥C D 且 M G ＝12C D ， 同理可得 N G ∥B E 且 N G ＝12B E ， ∴M G ＝N G ，M G ⊥N G ；
类型三 图形形状变化引起的探究 (2018·淄博)
(1)操作发现
如图 1，小明画了一个等腰三角形 A B C ，其中 A B ＝A C ，在△A B C 的外侧分别以 A B ，A C 为腰作了两个等腰直角三角形 A B D ，A C E ，分别取 B D ，C E ，B C 的中点 M ， N ，G ，连接 G M ，G N .小明发现了：线段 G M 与 G N 的数量关系是________，位置关
1．(2018·自贡)如图，已知∠A O B ＝60°，在∠A O B 的平分线 O M 上有一点 C ，将 一个 120°角的顶点与点 C 重合，它的两条边分别与直线 O A ，O B 相交于点 D ，E .
(1)当∠D C E 绕点 C 旋转到 C D 与 O A 垂直时(如图 1)，请猜想 O E ＋O D 与 O C 的
(2)当点 E 在菱形 A B C D 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；
若不成立，请说明理由(选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说明理由)．
(3)如图 4，当点 P 在线段 B D 的延长线上时，连接 B E ，若 A B ＝2 3，B E ＝2 19， 求四边形 A D P E 的面积．
(2)探究与证明 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段 AG与BE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用 正方形CEGF在旋转过程中，当点B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示， 延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝2 2，则BC＝________.
∴△BAP≌△CAE， ∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°. ∵∠CAH＝60°， ∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即 CE⊥AD．
(3)连接 AC 交 BD 于点 O，连接 CE 交 AD 于点 H，如解图 4 所示． 由(2)，知△BAP≌△CAE， EC⊥AD，CE＝BP. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC，
∴EC⊥BC．
∵BC＝AB＝2 3，BE＝2 19， 在 Rt△BCE 中， EC＝ 2 192－2 32＝8， ∴BP＝CE＝8.
∵AC 与 BD 是菱形的对角线， ∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD， ∴BD＝2BO＝2AB·cos 30°＝6， ∴OA＝12AB＝ 3，DP＝BP－BD＝8－6＝2， ∴OP＝OD＋DP＝5. 在 Rt△AOP 中，AP＝ AO2＋OP2＝2 7， ∴S 四边形 ADPE＝S△ADP＋S△AEP＝12×2× 3＋ 43×(2 7)2＝8 3. ∴四边形 ADPE 的面积是 8 3.
解：(2)A G ＝ 2B E .
连接 C G ，如解图所示．
由旋转性质，可知∠B C E ＝∠A C G ＝α.
在 R t△C E G 和 R t△C B A 中，
∵CC
E G
＝cos
45°＝
22，CC
B A
＝cos
45°＝
22，
∴CC
G E
＝CC
A B
＝
2，
∴△A C G ∽△B C E ，
∴AB
类比、拓展探究题
题型二 解答题重难点题型
专题六 类比、拓展探究题
类型一 图形旋转引起的探究 (2018·襄阳)如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥
BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F. (1)证明与推断 ①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：ABGE的值为________；
旋转全等模型——手拉手模型 手拉手模型的定义：两个顶角相等且有公共顶点的等腰三角形形成的图形．(左 手拉左手，右手拉右手)
手拉手模型的三个固定结论： 结论 1：△ABC≌△AB′C′(SAS)，BC＝B′C′.(左手拉左手等于右手拉右手) 结论 2：∠BOB′＝∠BAB′.(用四点共圆证明) 结论 3：AO 平分∠BOC′.(用四点共圆证明)
有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
解：(1)OD＋OE＝ 3OC．
理由如下： ∵OM是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB＝30°. ∵CD⊥OA， ∴∠ODC＝90°， ∴∠OCD＝60°，
∴∠OCE＝∠DCE－∠OCD＝60°. 在Rt△OCD中，OD＝OC·cos 30°＝ 23OC， 同理，可得OE＝ 23OC，