勾股定理逆定理同步测试题
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．不能确定2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：153．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．2，3，4C．，3，4D．1，，34．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm5．下列五组数：①4、5、6；②0.6、0.8、1；③7、4、25；④8、15、17；⑤9、40、41，其中是勾股数的组数为（）A．2B．3C．4D．56．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（）A．B．C．3D．或8．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．17m B．18m C．25m D．26m9．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（）A．10海里B．20海里C．30海里D．40海里二．填空题10．勾股数为一组连续自然数的是．11．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝时，∠C＝90°．12．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．14．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部m处．15．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．16．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为．17．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝，c＝．18．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得AE长为0.9米，则梯子底端点B移动的距离为米．三．解答题19．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．20．如图，点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝，求证：∠ACE＝90°．21．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．22．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）求证：BD⊥CB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD＝S四边形ABCD，求P的坐标．参考答案一．选择题1．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．2．解：b2﹣c2＝a2则b2＝a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形；∠C＝∠A﹣∠B，则∠B＝∠A+∠C，∠B＝90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C＝9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．3．解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、（）2+32＝42，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．4．解：这根木棒最长＝＝5（cm），故选：B．5．解：①42+52≠62，故不是勾股数；②0.6、0.8、1不都是正整数，故不是勾股数；③72+42≠252，故不是勾股数；④82+152＝172，故是勾股数；⑤92+402＝412，故是勾股数；其中勾股数有2组，故选：A．6．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．7．解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，∴BC＝＝＝．故选：A．8．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故选：A．9．解：如图所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×1.5＝18（海里），AC＝16×1.5＝24（海里），∴∠BAC＝∠1+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形，∴BC＝＝＝30（海里）．故选：C．二．填空题10．解：设中间的数是x，那么前面的一个就x﹣1，后面的一个就是x+1，根据题意（x﹣1）2+x2＝（x+1）2，解得：x＝0（舍去）或x＝4；4﹣1＝3，4+1＝5；故答案为：3、4、5．11．解：∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，∴（k﹣1）2+32＝k2，解得：k＝5，故答案为：5．12．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行，故答案为：北偏东50°．13．解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．14．解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．15．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．16．解：∵52+122＝132，∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，∴此三角形的面积为×5×12＝30．17．解：在32＝4+5中，4＝，5＝；在52＝12+13中，12＝，13＝；…则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．18．解：在直角△ABC中，已知AB＝2.5米，BC＝0.7米，∴AC＝＝＝2.4米，在直角△CDE中，已知DE＝AB＝2.5米，AE＝0.9米，∴CE＝AC﹣AE＝1.5米，∴CD＝＝＝2米，∴BD＝2米﹣0.7米＝1.3米故答案为：1.3．三．解答题19．解：连接AC，如图，，在Rt△ABC中，AB＝24 m，BC＝7 m，∴AC＝＝25 m，在△ADC中，CD＝15 m，AD＝20 m．AC＝25 m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．（2）由（1）知△ADC为直角三角形，∠D＝90°，∴S△ADC＝＝150 m²，∵S△ABC＝m²，∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234 m²．20．证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝＝＝．在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，∴CE＝＝＝2，∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65，∴AE2＝AC2+CE2，∴△ACE是直角三角形，AE是斜边，∴∠ACE＝90°．21．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．22．（1）证明：连接BD．∵AD＝4m，AB＝3m，∠BAD＝90°，∴BD＝5m．又∵BC＝12m，CD＝13m，∴BD2+BC2＝CD2．∴BD⊥CB；（2）四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝×3×4+×12×5＝6+30＝36（m2）．故这块土地的面积是36m2；（3）∵S△PBD＝S四边形ABCD，∴•PD•AB＝×36，∴•PD×3＝9，∴PD＝6，∵D（0，4），点P在y轴上，∴P的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．。
《17.2 勾股定理的逆定理》同步训练卷(3)
《17.2 勾股定理的逆定理》同步训练卷（3）一、选择题（共10小题）1．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（）A．6B．2.4C．8D．4.82．一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米．如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动（）A．9米B．15米C．5米D．8米3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：154．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）A．3＜h＜4B．3≤h≤4C．2≤h≤4D．h＝45．下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2B．1.5，2，2.5C．7，24，25D．6，12，13 6．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则它的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a＝7，b＝24，c＝25B．a＝5，b＝13，c＝12C．a＝1，b＝2，c＝3D．a＝30，b＝40，c＝508．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25B．6，8，10C．9，12，15D．3，4，69．下列各组数是勾股数的是（）A．3，4，5B．1.5，2，2.5C．32，42，52D．，，10．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A．a＝15，b＝8，c＝17B．a＝9，b＝12，c＝15C．a＝7，b＝24，c＝25D．a＝3，b＝4，c＝7二、填空题（共5小题）11．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元钱．12．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．13．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为．14．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是．15．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数；11，；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝，……，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为．三、解答题（共5小题）16．我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？17．如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．18．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；（2）求AC长．20．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同时8，6，10也为勾股数组，记为（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15，8，17）．（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；（2）若设勾股数组中间的数为2n（n≥2，且n为整数），根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．。
人教版数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理同步练习(解析版)
17.2 勾股定理的逆定理1．下列命题的逆命题是真命题的是 ( )A ．对顶角相等B ．正方形的四个角都是直角C ．两直线平行，同位角相等D ．菱形的对角线互相垂直 2．下列定理有逆定理的是 ( )A ．直角都相等B ．同旁内角互补，两直线平行C ．同位角相等D ．全等三角形的对应角相等3．下列各组数是三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组数是 ( )A ．3，4，5B ．6，8，10C ．1.5，2，2.5D ．543，，4.若一个三角形的三边长之比为8：15：17，则它为________三角形．5．如图17-2-1．以△ABC 的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为________.6．如图17-2-2，四边形ABCD 中，∠C=90º，BD 平分∠ABC ，AD=3，E 为AB 上一点，AE=4，ED=5，求CD 的长．7．下列四组数：(1)0.6，0.8，1；(2)5，12，13；(3)8，15，17；(4)4，5，6．其中勾股数的组数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4能力提升全练1．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 ( )A ．∠A =∠C-∠B B ．a:b:c=2:3:4C ．a ²=b ²-c ²D ．a=34，b=45，c=12．如图17-2-3，四边形ABCD 中，AB=4 cm,BC=3 cm,CD=12 cm, DA=13 cm ，且∠ABC=90º，则四边形ABCD 的面积为( )A ．6 cm²B ．30 cm²C ．24 cm²D ．36 cm² 3．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a ²c ²-b ²c ²=a ⁴-b ⁴，试判断△ABC 的形状． 解：∵a ²c ²-b ²c ²=a ⁴-b ⁴，①∴c²(a²-b²)=(a²-b²)(a²+b²),②∴c²=a²+b²．③∴△ABC为直角三角形，④(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号__________；(2)错误的原因是________________________________________________________；(3)本题正确的结论是____________________________________________________. 三年模拟全练一、选择题1．F列四组线段中，可以构成直角三角形的是 ( )A．1.5，2，2.5 B．4，5，6C．2，3，4 D．1，2，32．下列各组数中，是勾股数的为 ( )A．1，1，2 B．1.5，2，2.5C．7，24，25 D．6，12，133．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A．乙客轮用20分钟到达点B，若A、B两点的直线距离为1000 m，甲客轮沿着北偏东30º的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 ( )A．南偏东60º B．南偏西60º C．北偏西30º D．南偏西30º二、填空题4．三角形的三边长为a，b，c，且满足(a+b)²=c²+2ab，则这个三角形是_________．三、解答题5．如图17-2-4，每个小正方形的边长都为1．(1)求四边形ABCD的面积与周长；(2)∠DAB是直角吗？五年中考模拟一、选择题1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12 2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米二、填空题3．如图17-2-5，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．则∠ACB 的大小为_______.核心素养全练1．王老师在一次“探究性学习”课中设计了如下数表：(1)请你分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n （n ＞1）的代数式表示a 、b 、c ；(2)猜想：以a 、b 、c 为边长的三角形是不是直角三角形，请证明你的猜想．2．如图17-2-6，南北线MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以13海里／时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇曰密切注意，反走私艇A和走私艇C 的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里，反走私艇B 和走私艇C 的距离是12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？3．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形， 理解：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？________（填“是”或“不是”）；②若某三角形的三边长分别为1、7、2，则该三角形________（填“是”或“不是”）奇异三角形． 探究：在Rt △ABC 中，两边长分别是a 、c ，且a ²=50，c ²=100，则这个三角形是不是奇异三角形？请说明理由， 拓展：在Rt△ABC中，∠C=90º，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a²：b²：c²．17.2 勾股定理的逆定理1．C“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是平行线判定定理，所以逆命题是真命题．2．B“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”，选项A错误；“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”，选项B正确；“同位角相等”的逆命题是“相等的角是同位角”，选项C错误；“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“角对应相等的三角形是全等三角形”，选项D错误，故选B．3．D ∵3²+4²=5²，∴此三角形是直角三角形，选项A不合题意；∵6²+8²=10²,∴此三角形是直角三角形，选项B不合题意；∵1.5²+2²=2.5²,∴此三角形是直角三角形，选项C不合题意；()()()222543≠+,∴此三角形不是直角三角形，选项D符合题意，故选D．4.答案直角解析设三边长分别为8k，15k，17k( k＞0)，则(8k)²+(15k)²=289k²=(17k)²，由勾股定理的逆定理，可判断此三角形为直角三角形．5．答案直角三角形解析由题意得S₁+S₂=S₃，即222212121212121⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛ABACBCπππ,∴BC²+AC²=AB²,∴△ABC为直角三角形．6．解析∵AD=3,AE=4,ED=5,∴AD²+AE²=ED²．∴∠A=90º,∴DA⊥AB．∵∠C=90º,∴DC⊥BC．∵BD平分∠A BC,∴CD=AD=3．7．B(1)中各数不全是正整数；(2)中5²+12²=13²；(3)中8²+15²=17²；(4)中4²+5²≠6²．故有2组勾股数．1.B A．由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180º，可求得∠C=90º，故△ABC 为直角三角形；B．不妨设a=2，b=3，c=4，此时a²+b²=13，而c²=16，即a²+b²≠c²，故△ABC 不是直角三角形；C ．由条件可得到a ²+c ²=b ²，满足勾股定理的逆定理，故△ABC 是直角三角形；D ．由条件有a ²+c ²=2222451625143b =⎪⎭⎫ ⎝⎛==+⎪⎭⎫ ⎝⎛，满足勾股定理的逆定理，故△ABC 是直角三角形．故选B ． 2.C 连接 AC, ∵∠A BC=90º,AB=4 cm,BC=3 cm,∴AC=5 cm,∵CD=12 cm,DA=13 cm,AC ²+CD ²=5²+12²=169=13²=DA ²,∴△ADC 为直角三角形，∴S 四边形ABCD =S △ACD - S △ABC=21AC •CD-21AB •BC =21×5×12-21×4×3=30-6=24(cm ²).故四边形ABCD 的面积为24 cm ²．故选C ．3．答案 (1)③ (2)不能确定a ²-b ²是不是0 (3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形解析 ∵c ²(a ²-b ²)=(a ²-b ²)(a ²+b ²)，∴(a ²-b ²)[c ²-(a ²+b ²)]=0，∴a ²-b ²=0或c ²-(a ²+b ²)=0，即a=b 或a ²+b ²=c ²，∴三角形为等腰三角形或直角三角形，故从第③步开始错误，其原因是不能确定a ²-b ²是不是0． 一、选择题1．A 根据勾股定理的逆定理判断，求出两短边的平方和与最长边的平方，判断是否相等即可．1.5²+2²=2.5²．即三角形是直角三角形，故此选项正确．故选A ． 2．C A ∵1²+1²≠2²，∴不是勾股数，此选项错误； B ．1.5和2.5不是正整数，此选项错误；C .∴7²+24²=25²，且7，24，25是正整数，∴是勾股数，此选项正确；D ．∵6²+12²≠13²，∴不是勾股数，此选项错误，故选C ．3.A 如图，∵甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，∴甲客轮走了40×15=600(m)，乙客轮走了40×20=800(m)．∵A 、B 两点间的直线距离为1000 m ，又∵600²+800²=1000²，∴∠A OB=90º, ∵甲客轮沿着北偏东30º的方向航行， ∴乙客轮沿着南偏东60º的方向航行，故选A ．二、填空题4．答案 直角三角形解析化简（a+b ）²=c ²+2ab ，得a ²+b ²=c ²，所以该三角形是直角三角形. 三、解答题5·解析(1)四边形ABCD 的面积为25-1-21×1×5-21×1×4-21×1×2-21×2×4=14.5， 周长为AB+BC+CD+AD=2617532026175++=+++．(2)∠D AB 是直角．理由如下：连接BD ，∴AB ²+AD ²=5+20=25,BD ²=25.∴AB ²+AD ²=BD ². ∴△ABD 是直角三角形，且∠D AB 是直角. 一、选择题1.A 根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形的三边长必须满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．∵3²+4²=5²，∴长为3，4，5的三条线段能组成直角三角形．故选A ．2．A 将里换算成以米为单位，则三角形沙田的三边长分别为2.5千米．6千米，6.5千米，因为2.5²+6²=6.5²，所以这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5千米和6千米，所以S=21×6×2.5=7.5（平方千米），故选A ． 二、填空题 3．答案 90º解析在网格中，由勾股定理得AC=183322=+，BC=324422=+．AB=507122=+， ∴AC ²+BC ²=AB ²．∴由勾股定理的逆定理，知△ABC 为直角三角形，且∠A CB=90º. 1．解析(1)由题表可以得出： n=2时．a=2²-1,b=2×2,c=2²+1；n=3时，a=3²-1,b=2×3,c=3²+1； n=4时，a=4²-1,b=2×4,c=4²+1； ……∴a=n ²-1，b=2n ，c=n ²+1（n ＞1，且n 为自然数）． (2)以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形， 证明：∵a ²+b ²=(n ²-1)²+4n ²=n ⁴+2n ²+1, c ²=(n ²+1)²=n ⁴+2n ²+1, ∴a ²+b 2=c 2．∴以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形． 2．解析 设MN 与AC 相交于E ，则∠B EC=90º， ∴AB ²+BC ²=5²+12²=13²=AC ².∴△ABC 为直角三角形，且∠A BC=90。
《17.2勾股定理的逆定理》同步练习测试及答案解析
《17．2勾股定理的逆定理》同步练习测试及答案解析（第1课时）A．3，4，5 B．6，8，10 C，2， D．5，12，13 C．如果，那么D．等边三角形的三个角都等于600C的逆命题是:如果，那么；3．已知三角形三边长为，如果，则的形状是（）．A．以为斜边的直角三角形B．以为斜边的直角三角形C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形解析：将式子左边变形得: ，因为，，，所以，，，即，，，又因为，所以，所以是以为斜边的直角三角形．解析：因为，所以该三角形为直角三角形且两条直角边分别为5cm、12cm，所以面积=．5．已知为的三边长，且满足，则它的形状为．解析：因为式子可变形为即，所以或，即或，所以为直角三角形或等腰三角形．6．有下列判断：①△ABC中，，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C＝900，则；③若△ABC中，，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则，以上判断正确的是（填序号）．解析：根据勾股定理的逆定理，一个三角形中两条较小边长的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形，①中三边大小关系未知，或有可能成立，故①是错误的；根据勾股定理②是正确的；③中可变形为，④中变形为即，所以③和④都正确；所以正确的序号是②③④．7．已知是的三边长，根据下列条件，判断是不是直角三角形．解析：①∵a＞c＞b，，∴∵b＞c＞a，，∴8．在中，，，，其中是正整数，且．试判断是否是直角三角形．答案: 是直角三角形．解析：因为是正整数，且，,所以，，即，因为，又因为，所以，所以是直角三角形．《17．2勾股定理的逆定理》同步练习测试及答案解析（第2课时）一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的代号填在题后的括号内）．1．下列四组数据：①8，17，17；②9，12，15；③1．2；1．5，2；④7，24，25，其中是勾股数的有（）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组A．∠A=∠B－∠C B．a:b:c=1::2C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．A选项中关系式∠A=∠B－∠C变形为∠A+∠C=∠B,因为∠A+∠C+∠B=180°,所以求得∠B=90°,所以△ABC为直角三角形；B选项中设，则即，所以为直角三角形；C选项中设的度数分别为，则，，所以，,，所以不是直角三角形；D选项变形为，所以为直角三角形．故答案是C．分别8,8,16，④中三边长平方分别为10,13,17，⑤中三边长平方分别为13,13,26，⑥中三边长平方分别为10,13,17．由勾股定理的逆定理可知①③⑤是直角三角形，由勾股定理可知②④⑥均不是直角三角形．答案：或5．解析：当斜边长为4时，第三边长=；当第三边是斜边时，第三边长=．解析：小明所走的三段路程看成是三条线段，三条线段围成一个三角形且三边长度分别是80m，60m，100m，因为，所以这个三角形是直角三角形，所以小明向东走80m后，又走60m的方向是与原方向垂直的方向，所以答案是向南或向北．6．已知的三边分别为，且，，，则的形状是．解析：，，，，即，又因为，所以，所以为直角三角形．7．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．答案：．解析：连接，将题目中不规则的四边形面积转化成两个直角三角形的面积差．连，∵∴∵，,∴∴∴这块地的面积为．8．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东600方向，以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？，，∵，∴∴∴。
勾股定理的逆定理练习题(超经典含答案)
3．【答案】A
【解析】A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
A．5B．6C．7D．8
11．下列命题中，命题为真命题的是
A．对顶角相等B．若a=b，则|a|=|b|
C．同位角相等，两直线平行D．若ac2<bc2，则a<b
12．如图所示的一块地，∠ADC=90°， ， ， ， ，求这块地的面积 为
A．54m2B．108m2C．216m2D．270m2
13．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2=DE2，则∠A的度数为__________．
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误．故选A．
20．【答案】A
【解析】∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．
∴四边形ABCD的面积是6．
18．【解析】（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=
在Rt△ADB中，由勾股定理得BD= ．
勾股定理逆定理 12题附答案
勾股定理逆定理 12题附答案一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18－2－4 图18－2－5 图18－2－63.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.二、综合·应用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.图18－2－89.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18－2－910.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC 是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；②错误的原因是______________ ；③本题的正确结论是_________ _.11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD 的面积.图18－2－10参考答案一、基础·巩固1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.由A 得有一个角是直角；B 、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选D.2.解：过D 点作DE ∥AB 交BC 于E, 则△DEC 是直角三角形.四边形ABED 是矩形，∴AB=DE.∵∠D=120°，∴∠CDE=30°. 又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022=- cm.∴AB=3551022=- cm.3.思路分析：因为△ABC 是Rt △，所以BC 2+AC 2=AB 2,即S 1+S 2=S 3，所以S 3=12，因为S 3=AB 2,所以AB=32123==S .4.思路分析：分别计算EF 、CE 、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：∵E 为AB 中点，∴BE=2.∴CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.同理可求得,EF 2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25.∵CE2+EF2=CF2,∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.5.思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°.在△BDC中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边.∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,∴△ABC是直角三角形.二、综合·应用7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.8.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.∴△ABC是直角三角形.9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10, OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10, ∴OA2+AB2=O B2.∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：①(B) ②没有考虑a=b 这种可能，当a=b 时△ABC 是等腰三角形；③△ABC 是等腰三角形或直角三角形.11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a 、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a 2－10a+25+b 2－24b+144+c 2－26c+169=0,配方并化简得,(a －5)2+(b －12)2+(c －13)2=0.∵(a －5)2≥0,(b －12)2≥0,(c －13)2≥0.∴a －5=0,b －12=0,c －13=0.解得a=5,b=12,c=13.又∵a 2+b 2=169=c 2,∴△ABC 是直角三角形.12.思路分析：（1）作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)在△DEC 中，3、4、5为勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）,∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.∵DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形.又∵EC=EB=3,∴△DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.在△BDA 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,∴△BDA 是直角三角形.它们的面积分别为S △BDA =21×3×4=6;S △DBC =21×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.。
勾股定理逆定理练习题
CAD 第6题1．在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的图形的面积是 2．已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在Rt △ABC 中，若ACBCAB ＝4，则下列结论中正确的是（ ）A ．∠C ＝90°B ．∠B ＝90°C ．△ABC 是锐角三角形D ．△ABC 是钝角三角形4．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ） A ．仍是直角三角形 B ．不可能是直角三角形 C ．是锐角三角形 D ．是钝角三角形 4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．如图，一电线杆A B 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 约为1.732，结果保留三个有效数字）（ ）A ．5.00米B ．8.66米C ．17.3米D ．5.77米6．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD=2BD ，AC=6，BC=3，则BD 的长为（ ） A ．3 B ．12C ．1D ．4 7、△ABC 的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（ ）A ．a=41，b=40，c=9B ．a=1.2，b=1.6，c=2C ．a=12，b=13，c=14 D ．a=35，b=45，c=1 8、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）9．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A ．若a=b ，则a 2=b 2B ．全等三角形的周长相等C ．若a=0，则ab=0D ．有两边相等的三角形是等腰三角形 10．下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组11．如果△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是______三角形，_____=90°，• 这个定理叫做_______． 12、一个命题成立，那么它的逆命题_______成立 3、△ABC 中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．13．已知两条线段的长为3cm 和2cm ，当第三条线段的长为 cm 时，这三条线段能组成一个直角三角形.14．一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．15．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当他把绳子的下端拉开5m•后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________．16．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______． 17．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 13. 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．这棵树在折断之前有__________米.14、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .15、已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 16、如图1,在四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ＝8，DC ＝6，CB ＝24，AB ＝26.则四边形ABCD的面积为____________.17、如图3所示的一块地，已知AD ＝4m ，CD ＝3m ， AD ⊥DC ，AB ＝13m ，BC ＝12m ，则这块地的面积是__________2m . 18、1.判断由下列各组线段a 、b 、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.（1）a ＝6.5，b ＝7.5，c ＝4；（2）a ＝11，b ＝60，c ＝61； （3）a ＝38，b ＝2，c ＝310；BCA第5题图图3ABCD（4）a ＝433，b ＝2，c ＝414；19、如图3，AD=7，AB ＝25，BC ＝10，DC ＝26，DB ＝24，求四边形ABCD 的面积.19、如图4，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9. (1)求DC 的长. (2)求AB 的长.(3)求证: △ABC 是直角三角形.20、已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC ，∠DAB=30°，求BC 的长．CABD 图4CABD图。
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列几组数据中，不能作为直角三角形的三条边的是（）A．1，2，B．3，4，5C．1，，D．4，12，13 2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝5，AC＝，则下列说法正确的是（）A．△ABC是锐角三角形B．△ABC是直角三角形且∠C＝90°C．△ABC是钝角三角形D．△ABC是直角三角形且∠B＝90°3．如果将直角三角形的三条边长同时扩大10倍，那么得到的三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定4．下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，8，9B．6，8，10C．5，12，14D．3，4，65．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠A＝45°6．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（）A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m7．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（）A．B．C．D．8．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△P AB，则∠P AB+∠PBA的度数是（）A．30°B．45°C．50°D．60°二．填空题9．一个三角形的三边长为8cm、17cm、15cm，则其面积为cm2．10．如图，已知∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝．11．如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm，则能放进木箱中的直木棒最长为cm．12．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为．13．如图，露在水面上的鱼线BC长为6m，钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，若BB'的长为2m，则钓鱼竿AC的长为m．14．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．15．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC（∠ABC＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知AB＝8米，BC＝6米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．16．图是屋架设计图的一部分，点E、F分别为斜梁AB、AC的中点，D为横梁BC的中点，EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，若AB＝AC＝6m，∠BAC＝120°，则EM+AD+FN 等于m，四边形AEDC的周长为m．三．解答题17．如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．18．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的＝空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，BC＝12m，CD＝13m（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？19．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．20．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了5海里．货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B 处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．21．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺）将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索OB的长度．22．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？23．如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以16海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．（1）如图1，若反走私艇A和走私艇C的距离是10海里，A、B两艇的距离是6海里；反走私艇B测得距离C艇8海里，若走私艇C的速度不变，则再过多少小时它会进入我国领海？（2）如图2，若反走私艇A和走私艇C的距离是12海里，A、B两艇的距离是8海里，反走私艇B测得距离C艇10海里，发现走私艇C时，反走私艇B便立即沿领海线MN 对走私艇C进行拦截．若要使拦截成功，假设走私艇C的速度不变，那么反走私艇B的速度至少应为多少海里/时？（结果中若有根号，则保留根号）．参考答案一．选择题1．解：A、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；C、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；D、42+122≠132，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．故选：D．2．解：在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝，∴AC2＝34，AB2+BC2＝9+25＝34，∴AC2＝AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，故选：D．3．解：设原直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则a2+b2＝c2，∵三条边长同时扩大10倍为10a，10b，10c，∴（10a）2+（10b）2＝100a2+100b2＝100（a2+b2）＝100c2，∴（10c）2＝100c2，∴（10a）2+（10b）2＝（10c）2，∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大10倍，那么得到的三角形是直角三角形，故选：C．4．解：A、72+82≠92，故不是勾股数，故选项不符合题意；B、62+82＝102，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；C、52+122≠142，故不是勾股数，故选项不符合题意；D、32+42≠62，故不是勾股数，故选项不符合题意．故选：B．5．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．6．解：设BO＝xm，依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m．在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2，在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，解得：x＝1.5，∴AB＝＝2.5（m），即梯子的长度AB为2.5m，故选：A．7．解：选项A如图：A、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+42＝17，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；选项B如图：B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；选项C如图：C、∵AB2＝22+22＝8，AC2＝22+22＝8，BC2＝16，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；选项D如图：D、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A．8．解：延长AP到点C，连接BC，如右图所示，由图可得，∠CPB＝∠P AB+∠PBA，PC＝＝，BC＝＝，PB＝＝，∴BC2+PC2＝PB2，CP＝CB，∴△BCP是等腰直角三角形，∴∠CPB＝45°，∴∠P AB+∠PBA＝45°，故选：B．二．填空题9．解：∵82+152＝172，∴此三角形是直角三角形，∴此直角三角形的面积为：×8×15＝60（cm2）．故答案为：60．10．解：∵∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，∴AC＝＝，∵AD＝CD＝1，12+12＝（）2，AD2+CD2＝AC2，∴∠D＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．11．解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，∴CB＝5cm，∵AC＝12cm，∴AB＝＝13（cm），∴空木箱能放的最大长度为13cm，故答案为：13．12．解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，故可得第⑤组勾股数是14，48，50．故答案为：14，48，50．13．解：设AB′＝xm，∵AC′＝AC，∴AB′2+B′C′2＝AB2+BC2，∴x2+82＝（x+2）2+62．解得x＝6，∴AB＝8m，∴AC＝＝＝10（m），故答案为：10．14．解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：（x+0.5）2＝x2+22，解之得：x＝3.75，∴湖水的深度为3.75尺．故答案为：3.75．15．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8米，BC＝6米，∴AC＝＝＝10（米），∴BC+AB﹣AC＝6+8﹣10＝4（米），∴他们踩坏了10米的草坪，只为少走4米的路，故答案为：10，4．16．解：∵AB＝AC＝6m，∠BAC＝120°，D为横梁BC的中点，∴∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠DAC＝60°，∵点E、F分别为斜梁AB、AC的中点，EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，∴AE＝AD＝AB＝3m，FN＝EM＝BE＝AB＝1.5m，∴△AED是等边三角形，∴EM+AD+FN＝3+1.5+1.5＝6（m），∵AD＝3m，AC＝6m，∴DC＝＝3（m），∴四边形AEDC的周长为：3+3+3+6＝（12+3）m．故答案为：6，（12+3）．三．解答题17．解：如图，连接AC，∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，∴AC＝＝5，∴S△ACD＝6，在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴Rt△ABC的面积＝30，∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24．18．解：（1）连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，则S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC＝×4×3+×12×5＝36（平方米）；（2）需费用36×300＝10800（元）．19．解：小汽车已超速，理由如下：根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC＝＝＝32（米），∵小汽车1.5秒行驶32米，∴小汽车行驶速度为76.8千米/时，∵76.8＞60，∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）．20．解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得4x﹣3x＝5．解得x＝5，∴4x＝20，3x＝15，∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）由题可得，AB＝15×2＝30，AC＝20×2＝40，BC＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴客船航行的方向为北偏东10°方向．21．解：设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．则秋千绳索的长度为14.5尺．22．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，∴AB＝＝＝15（m），∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），∴BD＝＝＝6（m），∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．答：此时游船移动的距离AD的长是9m．23．解：（1）由题意，AC＝10海里，AB＝6海里，BC＝8海里，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°．由面积法得AC•BE＝AB•BC，即10BE＝6×8，∴BE＝．在Rt△BEC中，CE＝＝，∵艇C的速度为16海里/时，∴所求的时间为÷16＝，答：再过小时艇C会进入我国领海．（2）由题意，AC＝12海里，AB＝8海里，BC＝10海里，设CE＝x，由勾股定理，得AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，即82﹣（12﹣x）2＝102﹣x2，解得x＝，∴CE＝＝7.5，再由勾股定理，得BE＝＝（海里）设反走私艇B的速度为y海里/时，则＝，解得y＝．检验可知y＝是方程的解，且适合题意．答：反走私艇B的速度至少应为海里/时．。
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勾股定理逆定理的应用检测题
一、选择题（24分）
1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）.
A．2，3，4 B．5，7，9 C．8，15，17 D．200，300，400
2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）
3．三角形的三边长a、b、c，满足22
+=+,则这个三角
a b c ab
()2
形是( ) .
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
4．下列结论错误的是（）
A.三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；
B.三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；
C.三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形；
D.三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形．
5．在同一平面上把三边BC＝3、AC＝4、AB＝5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（）.
A.12
5 B.13
5
C.5
6
D.24
5
6．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱在去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个( )角.
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
7．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；
③32、42、52；④3a、4a、5a（a＞0）；⑤22
m n
-、2mn、22
m n
+（m、n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）
A．5组 B．4组 C．3组 D．2组
8．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
二、填空题（24分）
1．在△ABC中，若222
+=，则∠A＋∠C＝______度.
AB BC AC
2.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .
3．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
4.如图1,在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC
＝6，CB＝24，AB＝26.则四边形ABCD的面积为
____________.
5. 如图2所示，一架5米长
的消防梯子斜靠在一竖直的墙AC
上，梯足（点B）离墙底端（C点）
的距离为3米，如果梯足内移米至
点B1处，则梯子顶端沿墙垂直上移_______米.
6．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
7．如图3所示的一块地，已知AD＝4m，CD＝3m， AD⊥DC，AB ＝13m，BC＝12m，则这块地的面积是
__________2m.
8. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数：
，， .
三、解答题
1．一个零件的形状如图3所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图4所示，这个零件符合要求吗（10分）
2．已知：如图，△ABC中，AB=5cm，BC=3 cm，AC=4cm，CD ⊥AB于D，
求CD的长及△ABC的面积；（10分）
3．如图5，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少（10分）
4
．如图6，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度（10分）
5．如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．（10分）
6．已知△ABC的三边为22
m n
-,2mn
+,22
m n
（1）当m=2,n=1时，△ABC是否为直角三角形并说明理由．（2）当m=3,n=2时，△ABC是否为直角三角形并说明理由．（3）对于m、n为任何正整数时（m＞n），你能说明△ABC为直角三角形吗（10分）
7．如图5，已知正方形ABCD中，F是DC的中点，E
BC．求证：EF⊥
AF．（12为BC的上一点，且EC＝1
4
分）
堂堂清试题
一、选择题（每小题3分，共15分）
1．如图1，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
2．已知，如图2，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长
方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）．A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
二、填空题（每题3分，共15分）
1．如图4，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，
由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积
分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于
2. 观察下列表格：
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b
＝，c＝
4．（20分）如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两
艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5
海里；反走私艇B测得离C艇的距离是12
海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什
么时间进入我国领海。