人教版高中数学必修四2.4 平面向量的数量积优质课件
平面向量的数量积：
已知非零向量 a与 b，我们把数量 | a || b | cos叫作 a与 b的
数量积（或内积），记作 a b ，即规定
a b | a || b | cos
其中θ 是 a与 b的夹角， | b | cos (| a | cos )叫做向量 b在 a
方向上（ a在 b方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
解：a·b=5×（－6）+（－7）×（－4） =－30+28 =－2
|a|= 52 72 74 |b|= (6)2 (4)2 52
∴cosθ≈－0.03 θ≈1.6 rad=92°
∴ AB⊥AC ∴ △ABC是直角三角形
设 a, b都是非零向量，a (x1, y1),b (x2, y2)， θ是 a与 的b 夹角，根据向量数量积的定义及坐标表
示可得：
cos a b
x1x2 y1 y2
| a || b |
x12 y12 x22 y22
例6.设 a (5, 7), b (6, 4)，求 a b及 a、b间的 夹角θ 。 （精确到1º）
由向量数量积的定义，试完成下面问题：
(1)a b a b ___0____ .
证明向量 垂直的依据
(2)若 a 与 b 同向,a b __| a__||_b_| _； 若 a 与 b 反向,a b __|_a_|_| b_|_； a a _|_a_|2__ . | a | a a
B
| OB1 || b | cos
bθ OaAB1数量积的几何意义：
数量积 a b 等于 a 的长度 | a |与 b在 a 的方向上的
投影 | b | cos 的乘积。
B
b
θ O
aA
B1
练习：下列选项正确的是 （ ）
A.若 a b 0(a 0)，则 b 0； B.若 a b b c(b 0)，则 a c； C.对任意向量 a, b, c，总有 (a b)c a(b c)； D.对任意向量 a, b ，总有 | a b | a b.
但（a·b)c ≠ a(b·c),
例2.我们知道，对任意 a,b R，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a, b,是否也有下面类似的结论？
(1)(a
b)2
2
a
2a b
2
b ;
(2)(a
b)(a
思考：等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
要注意的是：
1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量， 符号由cosθ的符号确定； 2、两个向量的数量积称为内积，写成a·b;与代 数中的数a·b不同，书写时要严格区分； 3、在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但在数 量积中，若a≠0，且a·b=0,不能推出b=0。因为 其中cosθ有可能为0 4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc得 a=c.但是有a·b=b·c不能得a=c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos
b
θ O
aA
B1
数量积的几何意义：
数量积 a b 等于 a 的长度 | a |与 b在 a 的方向上的
投影 | b | cos 的乘积。
B
b
θ O
aA
B1
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正， 什么时候为负呢？
b)
2
a
2
b.
(3) (a b)3 (a)3 3(a)2 b 3a (b)2 (b)3
例3.已知 | a | 6,| b | 4， a 与 b的夹角60º， 求 (a 2b) (a 3b),| a b。|
例4.已知 | a | 3,| b | 4，且 a与 b不共线，k为何值时， 向量 a kb 与 a kb互相垂直。
O A1 c B1 C
| c || a | cos1 | c || b | cos2
ca cb
(a b) c a c b c
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
(3)(a b) c a c b c.
| OA1 || a | cos1 | A1B1 || AB2 || b | cos2
| OB1 || OA1 | | A1B1 |
A
a
B2
2
bB
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2
1
c (a b) | c || a b | cos
小结
向量数量积计算时, 一要算准向量的模, 二要找准两个向量的夹角。
2.4.2平面向量数量积的
坐标表示、模、夹角
目标导学：
1、掌握向量数量积的坐标表达式，会进行 向量数量积的坐标运算。
2、能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量 的垂直关系。
平面向量的数量积：
2.若 a (x1, y1),b (x2, y2 )，则
a b _x_1_x2___y_1_y_2 __0__ .
例5.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状， 并给出证明。
解： ∵AB =（2－1，3－2）=（1，1） AC =（－2－1，5－2）=（－3，3） ∴AB·AC =1×（－3）+1×3=0
思考：已知是非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2，)
怎样用 a与 b的坐标来表示 a b。
a b x1x2 y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.
1.若 a (x, y) ，则 | a |2 __x_2 __y_2 __;| a | ___x_2 __y_2__ . 若表示 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别是 (x1, y1), (x2 , y2 )，则 a _(_x2___x_1,_y_2___y_1_) _; | a | _(_x_1__x_2_)_2__(_y_1___y_2 )_2.
B
a
b
当θ= 180º时， a与 b反向；
a
b
b
θ
O
a
A
当θ= 90º时， a与 b垂直，记作 a 。b
a b
问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
F
θ s
W | F || s |cos 其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.
2.4.1 平面向量的数量积的物 理背景及其含义
目标导学：
1、能运用数量积表示两个向量的夹角， 计算向量的长度；
2、会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系。
向量的夹角：
已知两个非零向量 a和 b，作 OA a，OB b ，
则∠AOB= θ(0º≤θ≤180º)叫做向量 与a 的b夹角.
当θ= 0º时， a与 b同向；
已知非零向量 a与 b，我们把数量 | a || b | cos叫作 a与 b的
数量积（或内积），记作 a b ，即规定
a b | a || b | cos
其中θ 是 a与 b的夹角， | b | cos (| a | cos )叫做向量 b在 a 方向上（ a在 b方向上）的投影.
2 10
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
(3)(a b) c a c b c.
(a b) c a c b c
如图可知：
| OB1 || OB | cos | a b | cos
(3) | a b | __≤__ | a || b | .(填 或 )
注：常记 a a 为 a 2 。
(a)2 | a |2
例1.已知 | a | 5,| b | 4， a 与 b的夹角θ =120º， 求 a b。
解： a b | a || b | cos
=5 4 cos120 5 4 ( 1)
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人教版高一数学必修四2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(共23张PPT)
解： a
b
a
3
b
a
a
a
b
6
b
b
2 2
a a b 6 b
2
2
a a b cos 6 b
62 6 4 cos 60 6 42 72
例 5 .已 知 |a| 3 ,|b|4 ,当 且 仅 当 k为 何 值 时 ， 向 量 a kb 与 a kb 互 相 垂 直 ？
a b a b 0
其中θ是 a 与 b 的夹角。
定义理解： a·b= |a| |b| cosθ
(1)a ·b不能写成 a×b ,a×b 表示向量的另一种运 算．
(2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号
由夹角 决定；
当0 9时0，
ab 0
当 90 时， 当90 1时80，
ab 0
ab 0
a
与
b
夹角
120,求
a b .
解：a • b |a||b|cos
5 4 cos120
5 4( 1)
10
2 cos a • b
| a || b |
已知 a
5, b
4且
a
b
10
,求
a
与
b
的夹角
.
平面向量的数量积的几何意义
B
a • b a • b • cos
b
O
a B1 A
作OA a，OB b，过点B作 BB1垂直于直线OA，
如图可知： (ab)cacbc
|O B 1 | |O B |c o s |a b |c o s
|OA1||a|cos1
|A 1 B 1| |A B 2| |b|c o s2
人教A版高中数学必修4 精选优课课件 2.4 平面向量的数量积(通用)(共21张PPT)
教学程序设计：回顾向量的线性运算
复习回顾,温故知新 线性运算的研究方法 创设情境,导入新课 物理背景——功 向量的夹角 探究活动,形成概念 数量积的定义 数量积的几何意义 探究性质 数量积的物理意义
巩固练习,归纳小结
二、探究数量积的概念 功：一个力F作用于一个物体，力的方向与
前进方向有一个夹角 ，则力使物体位移S W=|F||s|cos 所做的功___________ F
s
W=|F||s|cos
• • • • • • 1这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量， ②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④是 。 2你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
三、新课
1.概念:
b B b a
(1)夹角:
b OA= a， 两个非零向量 a ，，作
B
b O a A
a ·b =| a || b |cos
定义说明
也不能用 ×代替
记法a ·b 中间的“ · ”不可以省略，
小组活动
思考：向量的数量积运算与线性运算的 结果有什么不同？影响数量积大小的因 素有哪些？ 注意
两个向量的数量积是一个数量，而不是 向量. 讨论，并完成下表：
的范围
0°≤
2. “重点教学过程” 的反思
相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化， 为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量 积结果的因素并完成表格，其次通过数量积的几何意义的 探究，使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变” 特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生 尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义， 同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质是数量积 概念的延伸，教材中这方面的内容都是以探究的形式出现， 为了让学生很好的完成这个探究活动，我始终按照先创设 一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生 或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练 习的结论推广得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时 也培养了学生由特殊到一般的思维品质和创新的意识。
复习回顾,温故知新 线性运算的研究方法 创设情境,导入新课 物理背景——功 向量的夹角 探究活动,形成概念 数量积的定义 数量积的几何意义 探究性质 数量积的物理意义
巩固练习,归纳小结
二、探究数量积的概念 功：一个力F作用于一个物体，力的方向与
前进方向有一个夹角 ，则力使物体位移S W=|F||s|cos 所做的功___________ F
s
W=|F||s|cos
• • • • • • 1这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量， ②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④是 。 2你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
三、新课
1.概念:
b B b a
(1)夹角:
b OA= a， 两个非零向量 a ，，作
B
b O a A
a ·b =| a || b |cos
定义说明
也不能用 ×代替
记法a ·b 中间的“ · ”不可以省略，
小组活动
思考：向量的数量积运算与线性运算的 结果有什么不同？影响数量积大小的因 素有哪些？ 注意
两个向量的数量积是一个数量，而不是 向量. 讨论，并完成下表：
的范围
0°≤
2. “重点教学过程” 的反思
相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化， 为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量 积结果的因素并完成表格，其次通过数量积的几何意义的 探究，使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变” 特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生 尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义， 同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质是数量积 概念的延伸，教材中这方面的内容都是以探究的形式出现， 为了让学生很好的完成这个探究活动，我始终按照先创设 一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生 或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练 习的结论推广得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时 也培养了学生由特殊到一般的思维品质和创新的意识。
高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积1全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
12/12
高中数学 必修4
1/12
问题情境
【提出问题】：向量运算有向量加法、减法、数乘， 那么向量与向量能否“相乘” 呢？
2/12
学生活动
【提出问题】：物理学中，物体所做功计算方法：
W | F || S | cos
（其中 是 F 与 S
夹角.)
F
S
3/12
建构数学
【提出问题】：求功运算中能够抽象出什么样数学运算？ 1.向量夹角
号所决定；实数与向量积是一个向量；
②两个向量数量积称为内积，写成 a b ；今后要学到两个向量外积 a × b ，而 a b 是两个向量数量积，书写时要严格区分．
符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
③零向量与任一向量数量积是0 ；
④在实数中，若 a 0，且 a b 0 ，则 b 0 ；不过在数量积中，若
a 0，且 a b = 0 ，不能推出 b = 0 .因为其中cos有可能为0；
5/12
3.数量积性质：
设a 、b 都是非零向量， 是a 与 b 夹角,则
① cos a b （|a ||b|≠0）
| a || b |
②当a与 b 同向时，a b | a || b |；
；பைடு நூலகம்
当a与 b 反向时，a b | a || b |； 尤其地： a a | a |2或 | a | a a ；
（1） 1350 ；
（2）a ∥ b ； （3）a ⊥b
9/12
变式： 已知 | a | 3 ，| b | 3，| c | 2 3，a b c 0，
求 a b b c c a ．
10/12
巩固深化，反馈矫正
11/12
高中数学 必修4
1/12
问题情境
【提出问题】：向量运算有向量加法、减法、数乘， 那么向量与向量能否“相乘” 呢？
2/12
学生活动
【提出问题】：物理学中，物体所做功计算方法：
W | F || S | cos
（其中 是 F 与 S
夹角.)
F
S
3/12
建构数学
【提出问题】：求功运算中能够抽象出什么样数学运算？ 1.向量夹角
号所决定；实数与向量积是一个向量；
②两个向量数量积称为内积，写成 a b ；今后要学到两个向量外积 a × b ，而 a b 是两个向量数量积，书写时要严格区分．
符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
③零向量与任一向量数量积是0 ；
④在实数中，若 a 0，且 a b 0 ，则 b 0 ；不过在数量积中，若
a 0，且 a b = 0 ，不能推出 b = 0 .因为其中cos有可能为0；
5/12
3.数量积性质：
设a 、b 都是非零向量， 是a 与 b 夹角,则
① cos a b （|a ||b|≠0）
| a || b |
②当a与 b 同向时，a b | a || b |；
；பைடு நூலகம்
当a与 b 反向时，a b | a || b |； 尤其地： a a | a |2或 | a | a a ；
（1） 1350 ；
（2）a ∥ b ； （3）a ⊥b
9/12
变式： 已知 | a | 3 ，| b | 3，| c | 2 3，a b c 0，
求 a b b c c a ．
10/12
巩固深化，反馈矫正
11/12
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
解析(jiě xī)： A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 答案： B
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
第六页，共3式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时， 则可得|a|2＝x2＋y2；
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
2020-2021学年人教版必修四数学课件2.4平面向量的数量积(二)
| b | cos 0
数量积a b等于 | a | 与投影 | b | cos的乘积。
练习
• P119 练习 3
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2.
a bab 0
2
a
|
a
|2
可用来求向量的模
3.投影
作业
• A.小结 • B.P121 A3
a
|
a
|2
(1) | a | 2，
2
a
22 4
(2) | a | 10，
2
a
102 100
(3) | a | 8，
2
a a 82 64
2
(4)a
4，
|
a
|2
2
a
4
,| a |
42
2
(5)a
7，
|
a
|2
2
a
7
,| a |
7
求向量模的方法
数量积运算律
• 经验证，数量积满足如下运算率
(1)a b b a
(2)( a) b (a b) ( a) b
(3)(a b) c a c b c
常用公式
(1)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
2
2
(2)(a b) (a b) a b
例题Байду номын сангаас
已知 | a | 6,| b | 4,a与b的夹角为60，求
a
b，
2
a
,
2
b,
(a 2b) (a 3b),
时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， （ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
人教数学必修四2.4《平面向量的数量积》课件
2. 4 平面向量的数量积问题提出1.向量的模和夹角分别是什么概念? 当两个向量的夹角分别为0。
, 90° , 180°时，这两个向量的位置关系如何?2•任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律•由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.探究（一）：平面向量数量积的背景与含义如图，一个物体在力F的作用下产生位移s,且力F与位移s的夹角为0 ,F那么力F所做的功W是多少?。
W= | F | | s I cos0功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功” 称为向量F与s “数量积” •一般地，对工命零向量a与方的数量积是指什么？对于两个非零向量Q与方，设其夹角为e，把丨a I I b I cos 0叫做a与方的数量积（或内积），记作即那么a •方的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？0・a=0对于两个非零向量Q与方，其数量积0“何时为正数？何时为负数？何时为零？对于两个非零向 量a 与方，设箕夹角为0, 那么丨a I cos 0的几何意 义如何？ o对于两个非零向量a与方，设其夹 角为9 , I a I cos 0叫做向量a 在方方向 上的投影•那么该投影一定是正数吗？向 量方在a 方尙上的藏影是存么？不一定；|方| cosO.Z B a cos 0 A 】根据投影的概念，数量积a・b= | b I cosO的几何意义如何?数量积。
・方等于a的模与方在a方向上的投影丨I cos 0的乘积，或等于方的模与a在方方向上的投影| a | cos。
的乘积，探究（二）:平面向量数量积的运算性质设a 与方都是非零向量，若a丄方，贝妝力等于多少？反之成立吗？当a与方同向时，a•方等于什么？当a与方反向时，a•方等于什么？特别地，a・a等于什么？当a与方同向时，a・b= \ a \ \ b \ ；当a与方反向时，a・b = — | a \ I方I ；a*a=a2= \ a \ \ a \ =Ja^a .刊与肌是什么关系？为什么? 对于实数入，（加）•方有意义吗？它可以转化为哪些运算？I a ・b I与 系如何？为什b I 的大小关对于向量a, b 9 c, （a+“c 有意 义吗？它与a ・c+Zrc 相等吗？为什么？ A对于非零向量a, b, c 9 （a •方）・c 有意义吗？ （a-b ）-c 与a •（方・c ）相等吗？为 什么？(a 9b)9c^a 9(b 9c)对于非零向量a, b, c9若a・b=a・c,男B么方=c吗？思考9：对于向量a, b9等式@+方）2= 0+2a •方+方2和（a +方）（a —方）=0—方2是否成立？为什么？对于向量a, b9如何求它们的夹角0? 理论迁移a xb cosq = a\\b\例1已知丨a | =5, I b I =4, a与方的夹角为120。
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积第2课时教学课件新人教A版必修4
(1)字母表示下的运算． 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与 向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】 本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐 标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10， 求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10， 解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝ ＝－ －24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入 坐标运算表达式求解．
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】 本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐 标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10， 求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10， 解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝ ＝－ －24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入 坐标运算表达式求解．
高中数学复习平面向量的数量积人教版必修4ppt课件
C→B＝(1，－1)，cos∠ACB＝|CC→→AA|·|CC→→BB|＝－417
17 .
【互动探究】
列向量的数量积中最大的是( A )
→→
A.AB·AC →→
→→ B.AB·AD 图 8－2－1 → →
1．如图 8－2－1，在边长为 1 的D.正AB六·A边F形 ABCDEF 中，下 C.AB·AE
例 4：已知 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中 0<α<β<π. (1)求证：a＋b 与 a－b 互相垂直； (2)若 ka＋b 与 a－kb 的长度相等，求 β－α 的值(k 为非零的 常数)．
解题思路：本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充
要条件 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 与三角函数的综合运用．
正解：点 P 在直线 y＝2x 上，所以点 P 坐标为(a,2a)，P→A＝ (－1－a,1－2a)，P→B＝(3－a,3－2a)，向量P→A与P→B夹角为钝角的 充要条件是P→A·P→B<0，并且 P、A、B 三点不共线.P→A·P→B＝(－1 －a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)＝5a2－10a，
【互动探究】 4．已知 AD 是△ABC 的中线，A→D＝λA→B＋μA→C(λ、μ∈R)． (1)求 λ＋μ 的值； (2)若∠A＝120°，A→B·A→C＝－2，求|A→D|的最小值．
解：(1)∵B、D、C 三点共线，∴λ＋μ＝1. (2)∵A→D＝12(A→B＋A→C)，∴|A→D|2＝14|A→B＋A→C|2＝14(|A→B|2＋|A→C|2 ＋2A→B·A→C)＝14(|A→B|2＋|A→C|2－4)． ∵A→B·A→C＝－2，∴|A→B|·|A→C|＝4，∴14(|A→B|2＋|A→C|2－4)≥14 (2|A→B|·|A→C|－4)＝14(2×4－4)＝1. ∴|A→D|的最小值是 1.