2020届天津市和平区数学高考一模试题
2020年天津市和平区高考数学一模试卷1（含答案解析）
2020年天津市和平区高考数学一模试卷1一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.己知集合A={x\x一2N0},B={0,2,4},贝W n B=()A.{0}B.{2}C. (2,4)D.〔0,2,4}x—y<32.设变量乙y满足约束条件{x+y>1，贝ijz=2x-y的取值范围为()x+3y<3A.[-1,3]B.[-1,6]C.[-1,5]D.[5,6]3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为()I开冬IA.64B.32C.16D.54.己知中，z^=120%a=VH>三角形/4BC的面积为有，且bvc,则c-b=()A.V17B.3C.-3D.-<175.使不等式0VxV2成立的充分不必要条件是()A.0<x<1B.-|<x<1C.-1<x<2D.0<x<26.若a>b,则下列不等式一定成立的是()A.Ina>lnbB.O.3a>0.3dC.潟>潢D.\ja>vT7.己知双曲线亡+=1的离心率为3,有一个焦点与抛物线y=的钱点相同，那么双曲线的m n m渐近线方程为()A.2\f2x+y=0B.x+2\[2y=0C・x±2y=0 D. 2x±y=Q8.已知函数/Xx)= {x—2\nx t x> 1若关于X的方程/(x)=k恰有3个不相等的实根，则实-x2+2x f x V1'数k的取值范困为()A.(2—2/2,1)B.(一8,2—2山2)C. (2—2bi2,+8)D.(1,+co)二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9.若复数雷(b e R)为纯虚数，则b=10.已知直线ax-y+6=0与圆心为C的圆(x+I)2+(y-a)2 =16相交于A、8两点，旦乙ABC是直角三角形，则实数〃等于.11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm).则该几何体的体积(单位：m?)等于___:表面枳(单位：cm?)等于.12. 若函数f(x)=x 3+x 2-l.则f(l) + [/(l)]F =・13. 在菱形 ABCD 中.AB = 2.Z.BAD = 60°. £ 是 AD 的中点，若 2? = AAC 一 而,旦旅•茹=一2,则实数X 的值为.14. 已知正数x 、y 满足j + ：=l,则x + 2y 的最小值是.三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15. 在△ABC 中，内角A, B, C 对边的长分别是“，b, c,已知csinA = \/3acosC .(1) 求内角C ：(2) 若边c = 2.且sinC +sin(B->4) = 2sinM,求△ABC 的面积.16.某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性.公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：己知在全体样本中随机抽取1个.抽到B 组药品有效的概率是0.35.(1) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？分组A 组8组C 组药品有效670a b 药品无效805()C(2) 己知b>425. c>68.求该药品通过测试的概率(说明：若药品有效的概率不小于90%，则 认为测试通过).17.如图，在正四棱柱ABCD-AiBiGD,中，E为DD、的中点，求证:(1)求证：BDi〃平面£AC；(2)平而B DDi1平而4B1C.18.己知｛。
2020届天津市一模数学试题(解析版)
2020届天津市一模数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则R A C B =I （ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}10x x -<< C ．{}01x x << D ．{}11x x -<<【答案】B【解析】求解出集合B ，根据补集定义求得R C B ，利用交集定义求得结果. 【详解】当()1,1x ∈-时，[)20,1x ∈，即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞U{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题，属于基础题.2．若点(),3m 在函数()()121log 1f x x =--的图象上，则πtan 6m =（ ）A B C ．D ．3-【答案】D【解析】将点(),3m 代入函数解析式可求得m ，根据特殊角三角函数值可求得结果. 【详解】由题意知：()121log 13m --=，解得：5m =5tantan 663m ππ∴==-本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够利用点在函数上求得参数的取值，属于基础题.3．若ABC V 的三个内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC V 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得cos 0C <，从而得到三角形为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得：643a b c ==，则34b c =，12a c =由余弦定理可知：222222191416cos 01324224c c c a b c C ab c c +-+-===-<⨯⨯ 又()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．在等比数列{}n a 中，公比为q ，则“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当1q >时，当10a <时，可知等比数列不是递增数列，得不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，当10a <时，01q <<，得不必要条件；综上可得结果. 【详解】当1q >时，若2q =，12a =-，则24a =-，则21a a <，此时等比数列{}n a 不是递增数列∴“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，此时1n n a a +>，即111n n a q a q ->若10a <，则1n n q q -<，此时01q <<∴“等比数列{}n a 为递增数列”是“1q >”的不必要条件；综上所述：“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 本题正确选项：D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数列为递增数列和公比之间的关系.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>>Q ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 取最大值时x 的值为（ ） A ．()3k k Z ππ+∈ B ．()4k k Z ππ+∈ C ．()6k k Z ππ+∈D ．()6k k Z ππ-∈【答案】C【解析】根据()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可求得ϕ的范围；利用()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知()f x 关于6x π=对称，从而可得ϕ的取值；二者结合求得ϕ，代入函数解析式，令()222x k k Z πϕπ+=+∈解出x 即为结果.【详解】由()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭得：()()sin 2sin πϕπϕ+>+，即：sin sin ϕϕ>-sin 0ϕ∴> ()22k k k Z πϕππ∴<<+∈由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭得：()f x 关于6x π=对称 ()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈()6k k Z πϕπ∴=+∈，又()22k k k Z πϕππ<<+∈()26k k Z πϕπ∴=+∈ ()sin 22sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()2262x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、根据函数的最值求解自变量取值的问题，关键是能够判断出函数的对称轴，并能够根据函数值的大小关系得到ϕ的范围.8．在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，设矩形所在平面内一点P 满足1CP =u u u r，记1I AB AP =⋅u u u v u u u v ，2I AC AP =⋅u u u v u u u v ，3I AD AP =⋅u u u v u u u v，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意点P ，都有12I I <D ．对任意点P ，都有13I I <【答案】C【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系，可知P 点轨迹方程为221x y +=；利用坐标表示出12I I -和13I I -，利用y 的取值范围和三角函数的知识可求得结论. 【详解】以C 为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则P 点轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆；()0,2B ，()3,0D ，()3,2A设(),P x y ，则221x y +=()12I I AB AP AC AP AB AC AP CB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()0,2CB =u u u v，()3,2AP x y =--u u u r1224I I CB AP y ∴-=⋅=-u u u r u u u r[]1,1y ∈-Q []246,2y ∴-∈-- 120I I ∴-<，即12I I < ()13I I AB AP AD AP AB AD AP DB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()3,2DB =-u u u r ，()3,2AP x y =--u u u r133924325I I DB AP x y x y ∴-=⋅=-++-=-++u u u r u u u r设()cos ,sin P θθ则()133cos 2sin 55I I θθθϕ-=-++-+，其中2tan 3ϕ=-()[]sin 1,1θϕ-∈-Q ()55θϕ⎡-+∈+⎣即130I I ->，即13I I >综上所述，对于任意点P ，都有12I I <，13I I > 本题正确选项：C 【点睛】本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、填空题9．设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =______．【解析】求解出复数z ，根据模长的定义可求得结果. 【详解】 由题意得：()()3132412122i i i iz i i ----====-+z ∴==【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.10．已知三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______． 【答案】3π【解析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分，其外接球直径为正方体的体对角线长，可得半径和表面积． 【详解】由三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直可知， 该三棱锥为棱长为1的正方体的一角，故球O 的表面积为：3π． 故答案为3π． 【点睛】此题考查了几何体外接球问题，难度不大．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11．若不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解，则实数a 的取值范围是______．【答案】)+∞.【解析】将问题转换为()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点；分类讨论去掉原不等式中的绝对值符号，利用导数求解出()f x 在不同区间内的单调性，从而可得()f x 的图象；由于直线2y ax =-恒过点()0,-2，通过图象可知当直线2y ax =-过)A时为临界状态，求出临界状态时a 的取值，从而得到取值范围.【详解】当(x ∈时，320x x -<，此时不等式为：3222x x x ax -++≤-当)2,4x ⎡∈⎣时，320x x -≥，此时不等式为：3222x x x ax +-≤- 令()322g x x x x =-++，()0,2x ∈，则()2322g x x x '=-++，()0,2x ∈当170,3x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>；17,23x ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝时，()0g x ¢< 即()g x 在170,3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在17,23⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝上单调递减 令()322h x x x x =+-，)2,4x ⎡∈⎣，则()2322h x x x '=+-，)2,4x ⎡∈⎣当)2,4x ⎡∈⎣时，()()24220h x h''≥=+>()h x ∴在)2,4⎡⎣上单调递增由此可得：()()232,0,4f x x x x x =+-∈的图象如下图所示：可知：)2,2A则不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解等价于()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点 Q 直线2y ax =-恒过点()0,-2∴当直线2y ax =-过点A 时为临界状态，此时22a =∴当22a ≥时，不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解本题正确结果：)22,⎡+∞⎣ 【点睛】本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题，通过数形结合的方式来进行求解；其中涉及到利用导数来判断函数的单调性，从而得到函数的大致图象.12．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN⋅u u u u r u u u r的最大值为______．【答案】14【解析】分析：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得AB C ，，的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M N ，的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得2αβ=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．详解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得001020A B C （，），（，），（，），以AB 为直径的半圆方程为2211,0024x y x y -+=（）（＞，＞）， 以AC 为直径的半圆方程为（2211,00x y x y -+=）（＞，＞） ， 设11110222Mcos sin N cos sin BM BN （，），（，），＜，＜，，ααββαβπ++⊥ 可得1110222BM BN cos sin cos sin ααββ⋅=-+⋅=u u u u v u u u v （，）（，）， 即有11022cos cos cos sin sin βαβαβ-++=（）， 即为cos cos cos sin sin ，βαβαβ=+ 即有0cos cosβαβαβπ=-（），＜，＜， 可得αββ-= ，即2αβ= ， 则111 1222AM CN cos sin cos sin ααββ⋅=+⋅-+u u u u v u u u v （，）（，）11112222cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--+++（）2211114222cos cos cos cos cos αββββ=--+=-=--+（），可得102cos ，β-= 即β233ππα==，时， AM CN ⋅u u u u v u u u v 的最大值为14，故答案为14．点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题． 13．已知正实数x ，y 满足141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______． 【答案】94【解析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦，利用基本不等式的性质即可解决． 【详解】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦， 那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++∵()2232342x y x y x y x y +++≥++=1，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=． 故x+y 的最小值为94．故答案为94【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．14．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474.【解析】采用间接法，首先求解出任意安排3节课的排法种数；分别求出前5节课连排3节和后4节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从9节课中任意安排3节共有：39504A =种其中前5节课连排3节共有：33318A =种；后4节课连排3节共有：33212A =种∴老师一天课表的所有排法共有：5041812474--=种本题正确结果：474 【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.三、解答题15．已知向量,14x m ⎫=⎪⎭r，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅r r ． （Ⅰ）求函数()f x 的单增区间； （Ⅱ）若()1f x =，求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （Ⅲ）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()y f A =的范围．【答案】（1）4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）12;（3）31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f （x ）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f （x ）=1，结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值即可； （3）结合正弦定理结合内角和公式，得到fA ．的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．试题解析：（1）21cosπ12cos sin 44222262xx x xx m n v v+⎛⎫⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭，∴()π1262x f x sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，k Z ∈得：4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k Z ∈． ()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k Z ，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）()2cos cos 444x x x f x m n v v =⋅=+．11π1cos sin 22222262x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． ∵()1f x =，∴π1sin 262x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 12sin 3262x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）∵()2cos a c cosB b C -=．由正弦定理得()2sin sin cos sinA C cosB B C -=． ∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=．∴()2sin cos sin A B B C =+． ∵πA B C ++=．∴()sin sin 0B C A +=≠．∴1cos 2B =． ∵0πB <<．∴π3B =．∴2π03A <<．∴πππ6262A <+<，π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 又∵()π1262x f x sin ⎛⎫=++⎪⎝⎭．∴()π1262A f A sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫⎪⎝⎭，．【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如()sin y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可．16．某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计所示．参加人数51520（Ⅰ）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有两名同学参加活动次数恰好相等的概率；（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．【答案】（1）（2）略【解析】(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为…………………………………………4分…………………………………………5分(Ⅱ)由题意知……………………………………6分……………………………………7分……………………………………8分的分布列：0 1 2…………………………………………10分的数学期望:…………12分17．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE. 所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1， 所以AH=22. 在Rt △PAH 中，PH=22PA AH +=32， 所以sin ∠APH=AH PH =13.方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD. 于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以∠PDA=45°. 由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以PE u u u r =（1,0,-2），EC uuu r =（1,1,0），AP u u u r=（0,0,2） 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PEn EC⋅=⋅=u u u u u u u u ru u u r得20,{0,x zx y-=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||n APnAP⋅⋅u u u u ru u u r=22221322(2)1=⨯+-+.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.【考点】线线平行、线面平行、向量法.18．已知椭圆C：2222x ya b＋＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P 作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点421,3⎛⎝⎭、33⎫⎪⎪⎝⎭，求椭圆C的方程；(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求OPuuu r·OEuuu r的值(O是坐标原点)；(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.【答案】（1）2294x y＋＝1.（2）见解析（3）5110222e≤－－【解析】(1)解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝21a，n＝21b，得3219271.4m nm n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，＋＝所以m＝19，n＝14，即椭圆方程为2294x y＋＝1.(2)证明：直线AB：x ya b＋-＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为00,22x y⎛⎫⎪⎝⎭，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为220022x yx⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋y-＝22004x y+，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝24c作差，即直线MN：x0x＋y0y＝24c.因为点P(x0，y0)在直线AB上，得00x ya b＋-＝1，所以x0bx ya⎛⎫⎪⎝⎭＋＋24cby⎛⎫⎪⎝⎭－＝0，即24bx yacby⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，－＝，得x＝－24ca，y＝24cb，故定点E2244c ca b⎛⎫⎪⎝⎭-，，OPuuu r·OEuuu r＝220044b c cx x ba a b⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，＋-，＝24c.(3)解：由直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的焦半距)22a b+＞2c，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜35①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c22a b+≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜135-≤e2＜1，②.35-≤e2＜3551102e≤－－19．已知数列{}n a中，02a=，13a=，26a=，且对3n≥时，有()()1234448n n n na n a na n a---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b满足1n n nb a na-=-，n*∈N，证明数列{}12n nb b+-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记()121!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；122n n n b n -=-⋅；（Ⅱ）()()1121!1n n S n n +=-+++【解析】（Ⅰ）利用已知等式表示出12n n b b +-和12n n b b --，整理可知11222n nn n b b b b +--=-，从而可证得数列{}12n n b b +-为等比数列，根据等比数列通项公式求得122n n n b b +=-；利用配凑的方式可证得数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列通项公式，整理可得n b ；（Ⅱ）将n b 代入1n n n b a na -=-，整理可得：1122nn n n a n a ---=-，利用累乘的方式可求得n a ，进而可得()21!!nn na n n n =⋅++-；采用分组求和的方式，分别对2n n ⋅用错位相减的方法求和，对()1!!n n +-采用裂项相消的方法求和，分别求和后加和即可得到结果. 【详解】（Ⅰ）由题意知：()()()11254144n n n n a n a n a n a +--=+-++-()()11111212232n n n n n n n n n b b a n a a na a n a na ++-+-∴-=-+-+=-++ ()()()1112122221221n n n n n n n n n b b a na a n a a n a n a -------=--+-=-++- ()()()()12111222241222221n n n n n n n n n n a n a n a b b b b a n a n a --+----++--∴==--++-又212110222261242b b a a a a -=--+=-+=-∴数列{}12n n b b +-是以2-为首项，2为公比的等比数列11222n n n b b -+∴-=-⋅ 122n n n b b +∴=-，即11122n nn n b b +-=- ∴数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1012b =为首项，1-为公差的等差数列 ()()111122n n b n n -∴=+-⨯-=- ()112222n n n n b n n --∴=-⋅=-⋅ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1122nn n n n a na ---⋅=-，即：1122nn n n a n a ---=- 则：1122212n n n n a n a -----=--，2233222n n n n a n a -----=--，……，2211222a a -=-左右两侧分别相乘可得：()()1212121!2nn a n n n n n a -=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- ()12!2!n n a n a n ∴-=-= 2!n n a n ∴=+ ()2!21!!n n n na n n n n n n ∴=⋅+⋅=⋅++-令()()()()()2!1!3!2!4!3!1!!1!1n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦()1231122232122n n n B n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯则()23412122232122nn n B n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯()()()1231121222222212212n n n n n n B n n n +++⨯-∴-=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=---则()1122n n B n +=-+()()1121!1n n n n S A B n n +∴=+=-+++【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式的形式、数列求和方法中的分组求和法、错位相减法和裂项相消法.本题的难点是能够对递推关系式进行转化，配凑出等差或等比数列的形式，进而利用等差、等比数列的通项公式来进行求解. 20．已知函数()2112xf x e x kx =---，k ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在R 上是增函数，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）讨论函数()f x 的极值，并说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：函数()f x 有三个零点．【答案】（Ⅰ）(],1-∞；（Ⅱ）当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）利用()0f x '≥得x k e x ≤-；利用导数求得()xg x e x =-的最小值，则()min k g x ≤；（Ⅱ）由（Ⅰ）知(],1k ∈-∞，函数单调递增，无极值；当()1,k ∈+∞，可证得()g x k =有两根，即()0f x '=有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知()1,k ∈+∞且120x x <<；利用1x 和2x 表示k ，代入函数()f x 中，可表示出()1f x 和()2f x ；根据()1f x 和()2f x 设()()21112x h x x e x =-+-，通过导数可验证出()h x 单调递减，进而求得()10f x >，()20f x <，结合()f x 图象可证得结论.【详解】（Ⅰ）由()2112xf x e x kx =---得：()x f x e x k '=-- ()f x Q 在R 上是增函数 ()0f x '∴≥在R 上恒成立即：x k e x ≤-在R 上恒成立 设()xg x e x =-，则()1xg x e '=-当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '> 即()g x 在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()min 01g x g ∴== 1k ∴≤即k 的取值范围为：(],1-∞（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当(],1k ∈-∞时，()f x 在R 上是增函数，此时()f x 无极值； 当()1,k ∈+∞时，令()0f x '=，即()g x k =x →-∞Q 时，()g x →+∞；()01g =；x →+∞时，()g x →+∞()g x k ∴=有两个根，设两根为1x ，2x 且120x x <<可知：()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '< 即()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减()f x ∴在1x x =处取得极大值()1f x ；在2x x =处取得极小值()2f x综上所述：当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()1,k ∈+∞，且120x x <<()1110x f x e x k '∴=--=；()2220x f x e x k '=--=又()()()111122************1111222xx x x f x e x kx e x e x x x e x =---=----=-+- ()()222221112x f x x e x =-+-第 21 页 共 21 页 令()()21112x h x x e x =-+-，则()()1x h x x e '=- 则()0h x '≤在R 上恒成立，即()h x 在R 上单调递减又()00h = (),0x ∴∈-∞时，()0h x >；()0,x ∈+∞时，()0h x <120x x <<Q ()()110f x h x ∴=>，()()220f x h x =<当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞可得()f x 大致图象如下：()f x ∴有三个零点【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用问题，主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题，涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等，对学生的综合运用能力要求较高.。
2020年天津市和平区高考数学一模试卷
2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集{|33I x x =-<<，}x Z ∈，{1A =，2}，{2B =-，0，2}，则()(I A B =⋃ð) A ．{1} B ．{1-，1，2}C ．{2}D ．{0，1，2}2．（5分）“()3k k Z παπ=+∈”是“3tan()6πα-=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()4f x lnx x =+-的零点，则0()(g x = )A ．4B ．5C ．2D ．34．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线2:2(0)y px p Γ=>的准线分别交于A ，B 两点．若双曲线C 的离心率为2，ABO ∆的面积为3，O 为坐标原点，则抛物线Γ的焦点坐标为( ) A ．(2,0)B ．(1,0)C ．2(,0) D ．1(,0)25．（5分）某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，则ξ的数学期望为( )A ．13B ．12C ．23D ．346．（5分）已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是()A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间5[,]88ππ上是减函数C ．函数()f x 的图象关于16x π=对称D ．函数()f x的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 7．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数1x ，212()x x x <都有1212()()f x f x x x >，记251325(0.2),(1),log 3(log 5)a f b f c f ===-⨯，则a ，b ，c 之间的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．（5分）国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( ) A ．378B ．306C ．268D ．1989．（5分）已知圆O 的半径为2，P ，Q 是圆O 上任意两点，且60POQ ∠=︒，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)()OC OP OQ R λλλ=-+∈u u u r u u u r u u u r ，则CA CB u u u r u u u r g 的最小值为( )A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.10．（5分）已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2020||1a i i+=+ ． 11．（5分）若8(x 的展开式中4x 的系数为448-，则实数a = ．12．（5分）已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为 ．13．（5分）函数()f x xlnx a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为 ．14．（5分）若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y +=，则此时2x y += ，233x y x y++的最小值为 ．15．（5分）已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，则(3)log 2563f = ；若方程()f x x a =+在区间[2-，4]有三个不等实根，则实数1a的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（14分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos (cos cos )0C a B b A c ++=．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2a =，2b =．求： （ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．17．（14分）如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==． （Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线:20l x y -+=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OP 的平行线交椭圆与M 、N 两个不同的点，记21PF M S S =V ，22OF N S S =V ，令12S S S =+，求S 的最大值．。
2020届天津市高三高考全真模拟(一)数学试题(解析版)
根据函数的性质排除选项是解题关键.
7．设 a 0.30.6 ， b 0.60.3 ， c 0.30.3 ，则 a，b，c 的大小关系为（
）
A． b a c
【答案】B
B． a c b
C． b c a
D． c b a
【解析】根据指数函数的单调性得出 0.30.6 0.30.3 ，而根据幂函数的单调性得出
A． AE
B． AC
C． DC
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D． BC
【答案】A
【解析】利用 AB, DC 是相等向量及 E 为中点可得正确的选项．
【详解】
因为 1 AB AD AD DE AE ，故选 A． 2
【点睛】 本题考查向量的加法及向量的线性运算，属于容易题． 4．下列命题中错误的是（ ）
2020 届天津市高三高考全真模拟（一）数学试题
一、单选题
1．已知全集U R ，集合 A {x | 2 x 3} , B {y | y 2x1, x 0} ，则 A U B
（）
A．{x | 2 x 0} C．{x | 0 x 1}
2
【答案】B
B．{x | 2 x 1} 2
点睛：抓住两个边界：当直线 1 与 OP 垂直时，弦长|AB|最小；当直线 1 过圆心 O 时，
弦长|AB|最大，从而定出了弦长的变化范围，又弦长为整数，故中间只有一种情况，结
合圆的对称性，不难发现此时有两种情况.
9．已知函数 f (x) 1 m cos 2x (m 2)sin x ，其中1 m 2 ，若函数 f x 的最大值
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定理和化简整理能力，属于中档题．
13． (x 1)7 (x 1)3 的展开式中 x 的系数是__________． 【答案】 4
2020年天津和平区高三一模数学试卷
2020年天津和平区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1.设全集，，，则（ ）．A. B. C. D.2.“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（ ）．A. B. C. D.4.已知双曲线：的两条渐近线与抛物线：的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A.B.C.D.5.某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，．从样本成绩不低于分的学生中随机选取人，记这人成绩在分以上（含分）的人数为，则的数学期望为（ ）．成绩分频率组距A.B.C.D.6.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）．A.函数的最小正周期是B.函数在区间上是减函数C.函数的图象关于对称D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数，，，都有，记，，，则，，大小关系为（ ）．A.B.C.D.8.国际高峰论坛，组委会要从个国内媒体团和个国外媒体团中选出个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）．A.B.C.D.9.已知圆的半径为，，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10.已知为实数，为虚数单位，若复数为纯虚数，则．11.若的展开式中的系数为，则实数．12.已知一个体积为的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体的体积为 ．13.函数的图象在处的切线被圆截得弦长为，则实数的值为 ．14.若，，且，则此时，的最小值为 ．15.已知函数，则；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，共75分）（1）（2）16.在中，内角、、`的对边分别为，，，．求角的大小．若，求：12边长．的值．（1）（2）（3）17.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．求证： 平面．求平面与平面所成锐二面角的大小．求直线与平面所成角的余弦值．（1）（2）18.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．求椭圆的标准方程．设为椭圆上不在轴上的一个动点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为，的面积为，令，求的最大值．（1）12（2）19.数列是等比数列，公比大于，前项和，是等差数列，已知，，，．求数列，的通项公式，．设的前项和为．求．若，记，求的取值范围．（1）20.已知函数，，，且．若函数在处取得极值，求函数的解析式.【答案】解析:∵，∴，∴，即．故选．解析:由三角函数性质得：，∴，，∴，，∴“”是“”的充分必要条件．故选．解析:∵，∴，又∵，∴在上恒成立，∴在上单调递增，又：，，（2）（3）在的条件下，求函数的单调区间．设，为的导函数．若存在，使成立，求的取值范围．A1.C2.D3.∴，即．故选：．解析:双曲线的两条渐近线分别为，设点在轴上方，则，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的焦点坐标为．故选．解析:由图知，则频率为，人数为人，频率为，人数为人，共人，则抽取人分数在分以上人数的分布列为：，，，，B 4.B 5.．解析:．、最小正周期是，故错误；、，时，，故正确；、，，非对称轴，故错误；、向左平移时成立，，故错误．故选．解析:构造函数，则函数单减，，，∵为奇函数，∴，，∵B 6.C 7.∴．故选．解析:两上国媒一个外媒，有种，两个外媒，一个国媒种．共种．故选．解析:由题意可得，∵是圆的任意一条直径，∴，，∴，要求的最小值问题就是求的最小值，由于点满足，两边平方可得，当时，，取得最小值，故的最小值为．D 8.C 9.故选．10.解析:∵为纯虚数，∴，∴，∴．故答案为：．11.解析:二项式，展开式通项为，令，可得，由题意的展开式中的系数为，得．12.解析:由题意，底面正方形的中心，即为半球的球心，连接，，如图：则半球的半径为，∵正方体的体积为，∴该正方体的棱长为，正方形的对角线长为，∴，又，∴，该半球体的体积为．故答案为：．解析:∵函数，，，，∴函数在处切线为，∵圆，，由题意，圆心到直线的距离为，∴，即，解得或．解析:，，，，，，、，，，，，，当且仅当时取等号，故，即的最小值为．或13. ;14. ;15.（1）12（2）（1）解析:由已知及正弦定理得，∴，∴，∵，∴．因为，，，由余弦定理得，∴．由，因为为锐角，所以，，，，，．解析:∵四边形为直角梯形，四边形为矩形，∴ ，，又∵平面平面，且平面平面，（1）．12（2）．．16.（1）证明见解析．（2） ．（3） ．17.（2）（3）∴ 平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则： ， ， ， ， ， ，则 ， ，∵ ， ，∴ 为平面的一个法向量，又∵ ，平面，∴ 平面．设平面的一个法向量为 ，则 ，∵ ， ，∴ ，取 ，得 ，∵ 平面，∴平面一个法向量为 ，设平面与平面所成锐二面角的大小为 ，则 ，因此，平面与平面所成锐二面角的大小为 ．根据()知平面一个法向量为，∵ ，设直线与平面所成角为 ，（1）（2）则 ，∴，因此，直线与平面所成角的余弦值为 ．解析:由题意知：，∴又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆为，且与直线相切，所以．所以，故椭圆的标准方程为．设，，直线：．则直线：，由，得，∴，，∴，∵，∴，∴，因为点到直线：的距离，即为上的高，∴，令，则，，（1）．（2）．18.（1）12（2）．∵，当且仅当时等号成立，即．此时，．解析:设数列的公比为，因为，，可得，整理得，解得（舍）或，所以数列通项公式为，设数列的公差为，因为，，可得，即，解得，所以数列的通项公式为．由等比数列的前项和公式，可得，所以．由①，可得：，所以的前项和：．易知，（1），．12（2）．．19.（1）（2）（3）又∵是关于的单调递增函数，∴．从而．解析:函数的定义域为．，由题知，即，解得，，所以函数．，令得或，令得或．所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是，．∵，,∴，由，得，整理得．存在，使成立，等价于存在使成立．设．则，当时，，此时在上单调递增，（1）．（2）单调递增区间是，，单调递减区间是，．（3）．20.因此．因为存在，使成立，所以只要即可，此时．当时，令，解得，（舍去），（舍去），得，又，于是在上必有零点，即存在，使成立，此时．综上有的取值范围为．。
2020届天津市和平区高三高考一模数学试题(解析版)
2020届天津市和平区高三高考一模数学试题一、单选题1．设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B【解析】{}{}()1246[15]124A B C ⋃⋂=⋂-=，，，，，， ,选B. 【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2．设a ∈R ，则“|a ﹣1|≤1”是“﹣a 2+3a ≥0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别解不等式，利用集合间的包含关系来判断. 【详解】|a ﹣1|≤1，解得：0≤a ≤2，﹣a 2+3a ≥0，解得：0≤a ≤3， ∴“|a ﹣1|≤1”是“﹣a 2+3a ≥0”的充分非必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，通常在判断充分条件、必要条件有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.利用集合间的包含关系判断.3．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】【详解】试题分析：设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即220kx y k -+-==12k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112a -⨯=-，解得2a =，故答案为C.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆybx a =+上,ˆ9b =,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D. 【考点】回归直线恒过样本点的中心(),x y .5．设sin 6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小. 【详解】1sin62a π==Q , 21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f （x ）2x x e e x--=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用()f x 的奇偶性可排除A ，由x ＞0时，f （x ）函数值的正负可排除D ，当x →+∞时，f （x ）函数值变化趋势可排除C. 【详解】根据题意，函数f （x ）2x xe e x--=，其定义域为{x |x ≠0}， 有f （﹣x ）2x xe e x --==-（2x x e e x--）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A ， 又由x ＞0时，有e x ＞e ﹣x ，即有e x ﹣e ﹣x ＞0，则有f （x ）＞0，排除D ，当x →+∞时，f （x ）→+∞，排除C ； 故选：B ． 【点睛】本题考查由解析式确定函数图象的问题，一般做这类题，要牢牢抓住函数的性质，如奇偶性，单调性以及特殊点的函数值等，本题是一道基础题.7．已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1；则c =故选A ．8．已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 在[,0]π-上是增函数【答案】D【解析】根据函数()cos |sin |f x x x =-的性质,逐个判断各选项的真假． 【详解】对于A ，函数()cos |sin |f x x x =-，定义域为R ，且满足()cos()|sin()|cos |sin |()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为定义域R 上的偶函数，A 正确；对于B ，[,0]x π∈-时，sin 0x …，()cos |sin |cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上恰有一个零点是4π-，B 正确； 对于C ，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数，C 正确；对于D ，[,0]x π∈-时，()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上先减后增，D 错误． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法． 9．已知函数()21,70ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，()22g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()()20f m g a -=，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(][),13,-∞-+∞U C ．[]1,3-D ．(],3-∞【答案】C【解析】()22g x x x =-Q ，设a 为实数，()2224,g a a a a R ∴=-∈，224,,y a a a R Q =-∈由函数()21,70,x x f x lnx e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，可得()()276,2,f f e--==-画出函数()21,70,x x f x lnx e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩的图象，由函数()f x 的图象可知，()f x 值域为[]2,6,-Q 存在实数m ，使()()20f m g a -=，22246a a ∴-≤-≤，即13a -≤≤，实数a 的取值范围为[]1,3-，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题10．若复数()13z i i +=-，则z =______.【解析】先通过运算化简3121iz i i-==-+，再利用求模公式求解. 【详解】 因为3121iz i i-==-+，所以z =.【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的模的求法，属于基础题.11．二项式82x ⎛⎝的展开式中，常数项为_____________.（用数字作答） 【答案】112【解析】利用二项式定理的通项公式即可求解． 【详解】 通项公式T r+1()()()r48r 8r8r r r r 388C 2x C 21x ---⎛==- ⎝,令84r3-=0，解得r ＝6 ∴常数项6282==ð112．故答案为112 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，熟记通项公式，准确计算是关键，属于基础题．12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．【答案】4【解析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可. 【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1， ∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ， ∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MB AA B S S ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V S AC --==⨯⨯=⨯⨯=V 4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.三、双空题13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________； 若X 表示摸出黑球的个数，则EX =________． 【答案】35 45【解析】从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是11232563P 105C C C ===n ； X 可取：0,1,2,.()23253P 010C X C ===,()1123256 P 110C C X C ===n ,()22251P 210C X C === 36140121010105EX =⨯+⨯+⨯=, 14．已知a ＞0，b ＞0，当（a +4b ）21ab+取得最小值为_____时，a +b ＝_____． 【答案】854【解析】由a +4b 4ab ≥可得（a +4b ）21116ab ab ab+≥+，再利用一次基本不等式即可，要注意验证等号成立的条件. 【详解】因为a ＞0，b ＞0，所以a +4b 4ab ≥，当且仅当a ＝4b 时取等号， 所以（a +4b ）2≥16ab ， 则（a +4b ）211116216ab ab ab ab ab+≥+≥⋅=8， 当且仅当4116a bab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩即a ＝1，b 14=时取等号，此时取得最小值8，a +b 54=． 故答案为：（1）8；（2）54【点睛】本题考查利用基本不等式求最小值的问题，一般在利用基本不等式求最值时，应尽量避免多次运用，以免等号不能同时成立，本题是一道中档题.15．如图，在等腰ABC V 中，3AB AC ==，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且1DN ME ⋅=-u u u r u u u r，则tan A =__________，AB BC ⋅=u u u r u u u r __________.【答案】43 185- 【解析】,DN ME u u u r u u u r 用基底,AB AC u u u r u u u r表示，根据已知求出cos A ，进而求出tan A ，再将BC uuu r用基底,AB AC u u u r u u u r 表示，即可求出AB BC ⋅u u u r u u u r .【详解】2133DN AN AD AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2133ME AE AM AB AC =-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，21213333DN ME AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r225225cos 41999AB AC AB AC A =⋅--=-=-u u ur u u u r u u u r u u u r34cos ,0,sin 525A A A π∴=∴<<==，sin 4tan cos 3A A A ==，2()AB BC AB AC AB AB AC AB ∴⋅=⋅-=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 231833355=⨯⨯-=-.故答案为：43；185-.【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，也考查了计算求解能力，属于基础题.四、解答题 16．已知函数21()2cos 2f x x x =--． （1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合． （2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值． 【答案】（1）最小值为2-；{|6x x k ππ=-，}k Z ∈；（2）1a =，2b =【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)16f x x π=--，利用正弦函数的图象和性质即可求解． （2）由已知可求sin(2)106C π--=，结合范围0C π<<，可求3C π=，由已知及正弦定理可得2b a =，进而由余弦定理可得223a b ab +-=，联立即可解得a ，b 的值． 【详解】解：（1）23131cos21()sin 2cos sin 2sin(2)12226x f x x x x x π+=--=--=--Q ， ∴当2262x k ππ-=π-，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 的最小值为2-，此时自变量x 的集合为：{|6x x k ππ=-，}k Z ∈（2）f Q （C ）0=， sin(2)106C π∴--=，又0C π<<Q ，112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，可得：3C π=， sin 2sin B A =Q ，由正弦定理可得：2b a =①，又3c =，∴由余弦定理可得：222(3)2cos3a b ab π=+-，可得：223a b ab +-=②，∴联立①②解得：1a =，2b =.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题． 17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,2BC BB ==，12BCC π∠=，AB ⊥侧面11BB C C .（Ⅰ）求直线1C B 与底面ABC 所成角正切值； （Ⅱ）在棱1CC （不包含端点）上确定一点E 的位置， 使得1EA EB ⊥（要求说明理由）； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若2AB =，求二面角11A EB A --的大小.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥，理由见详解；（Ⅲ）二面角11A EB A --的大小为45°. 【解析】方法一：(Ⅰ) 可得1C BC ∠为直线1C B 与底面ABC 所成角，由已知可得1tan C BC ∠的值；（Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥，可得190BEB ︒∠=，即1B E BE ⊥.可得1AB EB ⊥，1EB ∴⊥平面ABE ，1EA EB ⊥；（Ⅲ）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则11//FG A B ，且1112FG A B =，连结11,A B AB ，设11A B AB O ⋂=，连结,,OF OG FG ，可得OGF ∠为二面角11A EB A --的平面角，可得二面角11A EB A --的大小.方法二：(Ⅰ)以B 为原点，1,,BC BB BA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)B C B C ，可得1(1,2,0)C B =--，面ABC 的一个法向量1(0,2,0)BB =u u u r，可得sin θ的值，可得tan θ的值；（Ⅱ）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则(1,,)EA y z =--u u u r，1(1,2,0)EB y =--u u u r ,由11(2)0EA EB y y ⋅=+-=u u u r u u u r，可得y 的值，可得E 的位置；（Ⅲ）可求得面1AEB 的一个法向量1(1,1n =u r，平面11EB A 的一个法向量2(1,1,0)n =u u r,可得二面角11A EB A --的大小.【详解】解：（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -，1C C ⊥平面ABC,∴1C B 在平面ABC 上的射影为CB. ∴1C BC ∠为直线1C B 与底面ABC 所成角，1112,1,tan 2CC BB BC C BC ===∴∠=Q ，即直线1C B 与底面ABC 所成角的正切值为2. （Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥.1111,1CE EC BC B C ====Q ,1145BEC B EC ︒∴∠=∠=， 190BEB ︒∴∠=，即1B E BE ⊥.又AB ⊥Q 平面11BB C C ，1EB Q 平面11BB C C 1AB EB ∴⊥.BE AB B ⋂=Q ，1EB ∴⊥平面ABE,EA ⊂ 平面ABE ，1EA EB ⊥.（Ⅲ）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则11//FG A B ，且1112FG A B =， 1111A B EB FG EB ⊥∴⊥Q ,连结11,A B AB ，设11A B AB O ⋂=，连结,,OF OG FG ，则//OG AE ，且1112OG AE AE EB OG EB =⊥∴⊥Q ， OGF ∴∠为二面角11A EB A --的平面角.111111,22222OG AE FG A B OF BE ======Q ，45OGF ︒∴∠=， ∴二面角11A EB A --的大小为45°.另解：以B 为原点，1,,BC BB BA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)B C B C .（Ⅰ）1(1,2,0)C B =--，面ABC 的一个法向量1(0,2,0)BB =u u u r.设1C B 与面ABC 所成角为θ，则1111sin BB C B BB C B θ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r tan 2θ∴=.（Ⅱ）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则(1,,)EA y z =--u u u r，1(1,2,0)EB y =--u u u r ,由11(2)0EA EB y y ⋅=+-=u u u r u u u r，得1y =，所以E 为1CC 的中点.（Ⅲ）由AB =1(0,0,2),A A ，又(1,1,0)E ,可求得面1AEB的一个法向量1(1,1n =u r，平面11EB A 的一个法向量2(1,1,0)n =u u r,设二面角11A EB A --的大小为θ，则1212|cos |2n n n n θ⋅==u r u u r u r u u r . ∴二面角11A EB A --的大小为45°. 【点睛】本题主要考察线面角的求法，线线垂直的证明及二面角的求法，难度中等，方法二用空间向量求线面角，证线线垂直，求二面角，方法新颖.18．已知点A （12的椭圆C ：22221x y b a +=（a ＞b ＞0）上的一BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值（3）△ABD 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【答案】（1）22124x y +=．（2）见解析（3． 【解析】（1）由已知解方程组222222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩即可；（2）设出直线BD 的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理解决； （3）将△ABD 面积表示成12ABD S BD d ==V ，再利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）∵点A （1）是离心率为2的椭圆C ：22221x y b a +=（a ＞b ＞0）上的一点，∴22222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a＝2，b =c = ∴椭圆C 的方程为22124x y +=．（2）证明：设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线BD 的方程为y t =+，直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD+kAB 121212121111y y t t x x x x -+-+=+=+---- ()12121221x x t x x x x ⎡⎤+-=+⎢⎥-++⎣⎦，（）联立222244024y t x t x y ⎧=+⎪++-=⎨+=⎪⎩，得，∴△＝﹣8t 2+64＞0，解得﹣22＜t ＜22，1222x x t +=-，﹣﹣﹣﹣①，21244t x x -=-----②，将①、②式代入式整理得()1212122221x x t x x x x ⎡⎤+-+=⎢⎥-++⎣⎦0，∴k AD +k AB ＝0，∴直线AB ，AD 的斜率之和为定值．（3）|BD |21(2)=+|x 1﹣x 2|226486382t t -=⨯=-，设d 为点A 到直线BD ：2y x t =+的距离，∴3t d =，∴()22128224ABD S BD d t t==-≤V ，当且仅当t ＝±2时取等号， ∵±2()2222∈-，，∴当t ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为2．【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，涉及到椭圆中的定值问题、存在性问题，考查学生的计算能力，是一道有难度的题.19．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）若0λ>，且对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立，求k 的取值范围.【答案】（1）2nn a =,21n b n =+；（2）()12122n n +-⋅+；（3）(),2-∞.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据条件2432a a a =-可求出q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n a ，再由对数的运算可求出数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和为n S ； （3）利用数列单调性的定义求出数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭最大项的值为32，由题意得出关于λ的不等式23222k λλ-+>对任意的0λ>恒成立，然后利用参变量分离法得出122k λλ<+，并利用基本不等式求出122λλ+在0λ>时的最小值，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由2432a a a =-可得22222a a q a q =-，20a ≠Q ，22q q ∴=-，即220q q --=，0q >Q ，解得2q =，112n n n a a q -∴==. 2212log 12log 221n n n b a n =+=+=+；（2）由（1）可得()212nn n n c a b n =⋅=+⋅，()123325272212n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅L ，可得()()23123252212212n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅L ，上式-下式，得()123132222222212n n n S n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅L ()()()()1111181262126228212221212n n n n n n n n -++++-=+-+⋅=+⋅--+⋅=---⋅-，因此，()12122n n S n +=-⋅+；（3）212n n n b n a +=Q，()()1111123422321122222n n n n n n n n n n b b n n na a ++++++-+++-∴-=-==， n N *∈Q ，120n ∴-<，即1111202n n n n n b b n a a +++--=<，则有11n n n nb ba a ++<.所以，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为1132b a =.由题意可知，关于λ的不等式23222k λλ-+>对任意的0λ>恒成立，122k λλ∴<+.由基本不等式可得1222λλ+≥=，当且仅当12λ=时，等号成立，则122λλ+在0λ>时的最小值为2，2k ∴<， 因此，实数k 的取值范围是(),2-∞. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查错位相减求和法以及数列不等式恒成立问题，涉及数列最大项的问题，一般利用数列单调性的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．已知函数()()()211ln 2ax a f x x x a R =-++-∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）当0a =时，设函数()()g x xf x =，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使得函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）92ln 2(1,]10+. 【解析】（1）求()f x '，当0a =时，求出0f x f x '()>0,'()<的解，进而得到单调区间，求出极小值，最小值；（2）求出()0f x '=的根，对a 分类讨论，求出0f x f x '()>0,'()<的解，即可得出结论；（3）求出(),()g x g x '，得到()g x 在1[,)2+∞单调区间，求出()g x 在[,]m n 的最值，转化为()(2)2g x k x =+-在1[,)2+∞上至少有两个不同的根,m n ，分离参数得到()22g x k x +=+，求出y k =与函数()21()22g x y x x +=≥+图象至少有两交点时，k 的取值范围.【详解】（1）1()1f x ax a x'=-++-， 当0a =时，11()1x f x x x-'=-=， ()0,01,()0,1f x x f x x '<<<'>>，()f x ∴单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，1x ∴=时，()f x 取得极小值，也是最小值， ()f x ∴的最小值为(1)1f =；（2）当0a >时，1(1)(1)()1x ax f x ax a x x--'=-++-=-， 令()0,1f x x '==或1x a=， 若1a =时，()0f x '≤恒成立，函数()f x 单调递减区间是(0,)+∞，若1a >时，11a <，当10x a<<或1x >时，()0f x '<， 当11x a<<时，()0f x '>， 即函数()f x 递减区间是1(0,),(1,)a+∞，递增区间是1(,1)a ，若01a <<时，11a >，当01x <<或1x a>时，()0f x '<， 当11x a<<时，()0f x '>， 即函数()f x 递减区间是1(0,1),(,)a +∞，递增区间是1(1,)a， 综上，若1a =时，函数()f x 的递减区间是(0,)+∞，无递增区间 若1a >时，函数()f x 的递减区间是1(0,),(1,)a +∞，递增区间是1(,1)a， 若01a <<时，函数()f x 的递减区间是1(0,1),(,)a +∞，递增区间是1(1,)a；（3）当0a =时，设函数2()()ln g x xf x x x x ==-，则()2ln 1g x x x '=--，设1()(),()2(0)h x g x h x x x=''=->， 当12x ≥时，()0,()h x g x '≥'为增函数，1()()ln 20,()2g x g g x ∴'≥'=>∴在1[,)2+∞为增函数，()g x ∴在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭上递增，Q 函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，()(2)2,()(2)2g m k m g n k n ∴=+-=+-，()(2)2g x k x =+-在1[,)2+∞上至少有两个不同的根1,,()2m n m n >≥， 即()22g x k x +=+，令2ln 21()()22x x x F x x x -+=≥+，2232ln 4()(2)x x x F x x +--'=+，令21()32ln 4()2G x x x x x =+--≥， 则2(21)(2)1()230,()2x x G x x x x x -+'=+-=≥≥恒成立， ()G x ∴在1[,)2+∞递增，1()0,(1)02G G <=，当1)[1,2x ∈时，()0,()0G x F x <∴'<，当(1,)x ∈+∞时，()0,()0G x F x >'>，所以()F x 在1[,1)2单调递减，在(1,)+∞单调递增，当,()x F x →+∞→+∞，192ln 2(1)(),1210F k F k +∴<≤<≤，即实数k 的取值范围是92ln 2(1,]10+【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值最值，零点，构造函数是解题的关键，考查了分类讨思想及逻辑推理、运算求解能力，属于较难题.。
2020届天津市部分区高考一模数学试题及答案
绝密★启用前2020届天津市部分区高考一模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知a ，b R ∈，若2b ia i i+-=（i 是虚数单位），则复数a bi +是（） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +答案：B根据复数的除法，先得到21a i bi -=-+，根据复数相等，求出参数，即可得出结果. 解：因为()()()21b i i b i a i bi i i i +-+-===-+-， 所以12a b =⎧⎨=⎩，因此12a bi i +=+.故选：B. 点评：本题主要考查复数的除法，以及由复数相等求参数的问题，属于基础题型. 2．设R θ∈，则22ππθ-<是“sin 0θ>”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A根据充分条件与必要条件的概念，以及正弦函数的性质，即可得出结果. 解： 若22ππθ-<，则222πππθ-<-<，即0θπ<<，所以sin 0θ>；若sin 0θ>，则22,k k k Z πθππ<<+∈，不能推出“22ππθ-<”.所以22ππθ-<是“sin 0θ>”的充分不必要条件.故选：A.点评：本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及正弦函数的性质，属于基础题型. 3．已知函数()2ln f x x x ax =+-．若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行，则实数a =（）A ．72B ．2C ．32D ．1答案：D先对函数求导，求得()13f a '=-；再由题意，得到32a -=，求解，即可得出结果. 解：因为()2ln f x x x ax =+-，所以()12f x x a x'=+-，则()13f a '=-； 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行， 所以32a -=，解得：1a =. 故选：D. 点评：本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题，属于基础题型.4．在ABC 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为（） A ．36π B ．12π C ．36 D ．12答案：B根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果. 解：因为在ABC 中，90B ∠=︒，所以BC AB ⊥，若以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所得的几何体是以BC 为高，以AB 为底面圆半径的圆锥，因为3AB =，4BC =， 因此，其体积为：()21123V AB BC ππ=⨯⨯⨯=.故选：B. 点评：本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于基础题型.5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．若分数在区间[)20,40的频数为5，则大于等于60分的人数为（）A ．15B ．20C ．35D ．45答案：C根据分数在区间[)20,40的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数. 解：因为分数在区间[)20,40的频数为5，由频率分布直方图可知，区间[)20,40对应的频率为1(0.010.020.015)200.1-++⨯=， 因此样本容量为5500.1=， 所以，大于等于60分的人数为()500.020.0152035⨯+⨯=. 故选：C. 点评：本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.6．已知函数()25x f x x =+．若131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(3log 5b f =，()0.26c f =．则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>答案：D先根据对数函数与指数函数的性质，得到13310log log 512<<<，0.261>，再根据函数单调性，即可判断出结果. 解：因为113333310log 1log log log 5lo 2g 312=<=<<=，0.261>，函数2x y =与5y x =都是增函数，所以()25xf x x =+也是增函数，因此(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭， 即c b a >>. 故选：D. 点评：本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.7．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心；③142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的结论为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④答案：C先由函数周期性与对称轴，求出函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，根据三角函数的平移原则，正弦函数的对称性与单调性，逐项判断，即可得出结果. 解：因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称，所以2,62k k Z ππωππωϕπ⎧=⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩，解得2,6k k Z ωπϕπ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩， 因为2πϕ<，所以6π=ϕ，因此()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；①将()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度后函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,6x k k π-=π∈Z 得,122k x k Z ππ=+∈，所以其对称中心为：,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故①错； ②由2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，即函数()f x 的对称中心为,0,122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；令512212k πππ-+=，则1k =，故②正确；③sin cos 26624f ππππ⎛⎫+== ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，故③错； ④由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数()f x 的增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．即④正确. 故选：C. 点评：本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的对称性，单调性，周期性等即可，属于常考题型.8．设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ，B ，C ，D四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是（） A．3BC或3D．答案：A先由题意，得到四边形ABCD 为矩形，设点00(,)A x y 位于第一象限，得到004ABCD S x y =矩形；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立，求出22010e x =，再由四边形面积，得到20x =，进而可求出离心率.解：根据双曲线与圆的对称性可得，四边形ABCD 为矩形；不放设点00(,)A x y 位于第一象限，则0000224ABCD S x y x y =⨯=矩形；因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，由00220010b y x a x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2220010b x x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2220210a b x a +=，所以2222010c e a x ==， 又20004412ABCD b S x y x a===矩形，所以203a x b===因此22010e x ==整理得：4291001000e e -+=，解得：2109e =或210e =，所以e =或e = 又0a b >>，所以双曲线的离心率e ===因此3e =. 故选：A. 点评：本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 9．在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，60BAD ∠=︒，8AB =，4CD =．若M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且27AM AE ⋅=，则DM DE ⋅=（） A ．15 B ．10 C ．203D ．5答案：D过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据平面向量的基本定理，根据题意，得到3142AM AB AD =+，设DE tDC =，得到2t AE A AB D =+，再由27AM AE ⋅=，求出14t =；再由向量数量积运算，即可求出结果. 解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，且8AB =，4CD =，所以2AF =， 又60BAD ∠=︒，所以4cos60AFAD ==︒；因为M 为线段BC 的中点， 所以()()111131222242AM AB AC AB AD DC AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭， 又E 为线段CD 上一点，所以存在t R ∈，使得DE tDC =， 则2tAE AD AD DE AB =+=+， 由27AM AE ⋅=得3127422t AB AD A B D A ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22331274824tAB AD t AB AD AD AB ⋅+++⋅=， 即33184cos60641648cos60274824tt ⨯⨯⨯︒+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=， 解得：14t =； 所以()13118428DM DE AM AD AB A A A D AB B D ⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 231131311cos 606484615428321632162AB AD A AB AB AB D ⎛⎫=-⋅=-︒=⨯-⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭故选：D.点评：本题主要考查由向量数量积求参数，以及求平面向量的数量积，熟记向量数量积运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 二、填空题10．已知集合{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，且14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =________．答案：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭根据交集的结果，先求出2m =-，从而得到14n =，再求并集，即可得出结果.解： 因为{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以124m=，解得2m =-；因此14n =. 所以12,,24AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.故答案为：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 点评：本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的并集运算，属于基础题型.11．在522x⎫⎪⎭-的展开式中，5x 项的系数为________（用数字作答）． 答案：80-根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解. 解：因为522x⎫⎪⎭-的展开式的通项为()()5521555222r r rr rrrT C C xx -+-==--，令5552r -=，则3r =， 所以5x 项的系数为()335280C -=-.故答案为：80-. 点评：本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.12．设0a >，0b >，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log a b +的最大值是________． 答案：2根据题意，先得到24b a +=，再由对数运算，以及基本不等式，即可求出结果. 解：因为a 与2b 的等差中项是2， 所以24b a +=，又0a >，0b >，则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤，当且仅当2a b =，即2,a b ==.故答案为：2. 点评：本题主要考查由基本不等式求最值问题，涉及等差数列，以及对数运算，属于常考题型. 13．已知圆()()22:1116C x y ++-=，过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB =l 的方程为________． 答案：280x y -+=根据几何法求弦长的公式，先求出圆心到直线l 的距离，根据点到直线距离公式，列出等式，即可求出直线斜率，进而可求出结果. 解：由题意，圆()()22:1116C x y ++-=的圆心为()1,1-，半径为4r =， 又由题意可知，AB 为弦长，所以圆心到直线l的距离为：d ===设直线l 的方程为：3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，所以d ==d ==24410k k -+=，解得：12k =. 故直线l 的方程为280x y -+=. 故答案为：280x y -+=. 点评：本题主要考查由弦长求直线方程，熟记直线与圆位置关系，以及弦长的求法即可，属于常考题型.14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p ．若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为________． 答案：23；2312. 先根据独立事件的概率计算公式，由题意，求出23p =；结合题意确定X 可能取的值分别为0,1,2,3，求出对应的概率，即可计算期望. 解：因为教师甲恰好答对3个问题的概率是14，所以311424p ⨯⨯=，解得：23p =； 由题意，随机变量X 的可能取值分别为：0,1,2,3；所以3121(0)11142324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231231261(1)111111423423423244P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31231231211(2)11142342342324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31261(3)423244P X ==⨯⨯==，因此，()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：23；2312. 点评：本题主要考查独立事件的概率，以及求离散型随机变量的期望，属于常考题型.15．已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________． 答案：(][),31,-∞--+∞分0x =，0x <，0x >三种情况，结合分离参数的方法，分别求出a 的范围，即可得出结果. 解：由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立； 当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x≤+-， 又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤，即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立， 所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-. 故答案为：(][),31,-∞--+∞.点评：本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，注意利用参变分离把问题转化为函数的最值问题，后者可利用基本不等式求最值，也可以利用二次函数的性质求最值，本题属于常考题型. 三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ba c A +=，c =23a b =．（1）求角C 的大小； （2）求()sin C B -的值．答案：（1）3π；（2. （1）根据正弦定理，诱导公式，以及二倍角公式，得出1sin22C =，进而可求出结果； （2）由（1）的结果，根据余弦定理，求出2b =，3a =，再求出cos B ，sin B ，即可根据两角差的正弦公式求出结果. 解：（1）因为sinsin 2A Ba c A +=，,,A B C 分别为三角形内角， 由正弦定理可得：sin sin sin sin 2CA C A π-=，因为()0,A π∈，故sin 0A ≠， 所以cossin 2sin cos 222C C C C ==， 又0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此2sin 12C =，所以1sin 22C =，因此26C π=即3C π=； （2）由（1）得1cos 2C =，因为7c =，23a b =， 由余弦定理可得：22222229713714cos 231232b b a bc C ab b b +-+-===-=，解得：2b =；所以3a =，因此2222cos 72767a c b B ac +-===，所以221sin 1cos B B =-=，故()3212121sin sin cos cos sin 7272714C B C B C B -=-=⨯-⨯=. 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形，以及三角恒等变换求函数值的问题，属于常考题型.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值答案：（1）证明过程见详解；（2）45；（3）13.（1）先取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ，根据面面平行的判定定理，得到平面//MON 平面ABC ，进而可得//MN 平面ABC ；（2）先由题意，得到11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，分别求出平面BMN和平面1B MN 的一个法向量，根据向量夹角公式，求解，即可得出结果；（3）先设[]1110,1B Pt B C =∈，得到()1,22,0PM t =-，根据空间向量的夹角公式，列出等式求解，即可得出结果. 解：（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直， 以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ，所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-，设二面角1B MN B --的大小为θ， 则1cos cos ,94m nm n m nθ⋅=<>===+， 所以sin θ==； （3）因为P 是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t =-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-， 又直线PM 与平面1MNB所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有2sin cos ,151PM n PM n PM nα⋅=<>====， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.点评：本题主要考查证明线面平行，求二面角，已知线面角求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理与性质，以及二面角，线面角的向量求法即可，属于常考题型.18．已知抛物线2:42C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．答案：（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. （1）根据题意，先得到椭圆焦点坐标，再由2PQ =，得到222b a=，根据焦点坐标得到2222c a b =-=，两式联立，求出24a =，22b =，即可得出结果；（2）先由题意，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，联立直线与椭圆方程，求出点B 坐标，根据对称性，得到M 的坐标，再由直线斜率公式，即可求出结果. 解：（1）因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为())2,0,2,0-，又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2b y a =±，则222b a =，即2b a =①， 又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=. 点评：本题主要考查求椭圆的方程，以及根据直线与椭圆位置关系求直线方程的问题，属于常考题型.19．设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列．已知48a =，322a a =+，12b a =，265b b a +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，求数列{}n c 的前2n 项和．答案：（1）12n na ，2nb n =；（2）2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++⎪⎝⎭. （1）先设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，根据等差数列与等比数列的基本量运算，以及题中条件，求出q 和d ，即可得出通项公式；（2）分别求出奇数项与偶数项的和，再求和，即可得出结果. 解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 由48a =，322a a =+得4422q a a q =+，即2882q q =+，解得：2q ，所以4131a a q==，因此12n n a ，又12b a =，265b b a +=，所以142612262b b b b d =⎧⎨+=+=⎩，解得122b d =⎧⎨=⎩， 因此2n b n =；（2）因为21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，当n 为偶数时，121n n c b n =+=+， 所以2242(341) (222)n n n c c n c n +++++==+；当n 为奇数时，2nn n n c a b n ==⋅，记352113521...123252...(21)2n n M c c c c n --=++++=⋅+⋅+⋅++-⋅①则357214123252...(21)2n M n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②得357212132222222 (22)(21)2n n M n -+-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅()4224682212122122222...2(21)22(21)212n n n n n n -++-=+++++--⋅=+--⋅-()422212122121052(21)2221233n n n n n -++-⎛⎫=+--⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以2110252939n n M +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭， 因此数列{}n c 的前2n 项和为2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++ ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算，以及数列的求和，熟记等差与等比数列的通项公式，以及求和的方法即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 1f x x m x m R =--∈在1x =处取得极值A ，函数()()1x g x f x e x -=+-，其中 2.71828e =…是自然对数的底数．（1）求m 的值，并判断A 是()f x 的最大值还是最小值； （2）求()g x 的单调区间；（3）证明：对于任意正整数n ，不等式2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． 答案：（1）1m =；A 是最小值；（2）单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞；（3）证明过程见详解.（1）先对函数求导，根据题意，得到()10f '=，求出1m =，研究函数单调性，即可判断出结果； （2）对函数()1ln 1x g x ex -=--求导，得到()11x xe g x x--'=，令1()1x h x xe -=-，对其求导，研究其单调性，即可判断函数()1ln 1x g x ex -=--的单调性；（3）先由（1）得1x >时，ln 1x x <-恒成立，令112nx =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，进而求和，即可得出结果. 解：（1）因为()ln 1f x x m x =--，0x >，所以()1m f x x'=-， 又()ln 1f x x m x =--在1x =处取得极值A ， 则()110f m '=-=，即1m =；所以()111x f x x x-'=-=，由()10x f x x -'=>得1x >；由()10x f x x-'=<得01x <<， 所以函数()ln 1f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此()ln 1f x x x =--在1x =处取得最小值，即A 是最小值； （2）由（1）得()11ln 1ln 1x x g x x x e x e x --=--+-=--，所以()1111x x xe g x e x x---'=-=， 令1()1x h x xe-=-，则111()(1)x x x h x e xe x e ---'=+=+，因为0x >，所以1()(1)0x h x x e -'=+>恒成立，因此1()1x h x xe-=-在()0,∞+上单调递增；又(1)0h =，所以，当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>；所以函数()g x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞； （3）由（1）知，()ln 1(1)0f x x x f =--≥=， 所以ln 1x x ≤-，当1x >时，ln 1x x <-恒成立；令112n x =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 因此231111ln 1ln 1ln 1...ln 12222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111111122 (1112222212)n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++==-<-， 即2111ln 1111ln 222n e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评：本题主要考查根据函数极值点求参数，考查求函数单调性，以及导数的方法证明不等式，属于常考题型.。
2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集，，0，，则A. B. 1， C. D. 1，2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数x的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则A. 4B. 5C. 2D. 34.已知双曲线的两条渐近线与抛物线：的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，的面积为，O为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的数学期望为A. B. C. D.6.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是A. 函数的最小正周期是B. 函数在区间上是减函数C. 函数的图象关于对称D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，则a，b，c之间的大小关系为A. B. C. D.8.国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为A. 378B. 306C. 268D. 1989.已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且，AB是圆O的一条直径，若点C满足，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知a为实数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则______．11.若的展开式中的系数为，则实数______．12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为______．13.函数的图象在处的切线被圆C：截得弦长为2，则实数a的值为______．14.若，，且，则此时______，的最小值为______．15.已知函数，则______；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ若，求：边长c；的值．17.如图所示，平面平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，．Ⅰ求证：平面CDE；Ⅱ求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；Ⅲ求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．18.已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别是、，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切．求椭圆C的标准方程；设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点，记，，令，求S的最大值．19.数列是等比数列，公比大于0，前n项和，是等差数列，已知，，，．Ⅰ求数列，的通项公式，；Ⅱ设的前n项和为：求；若，记，求的取值范围．20.已知函数，a，，且若函数在处取得极值，试求函数的解析式及单调区间；设，为的导函数，若存在，使成立，求的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：0，1，，，0，，，1，．故选：B．可以求出集合I，然后进行补集、并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：“”，即，“”是“”的充要条件．故选：C．，化简即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：函数是在时，函数是连续的增函数，，，函数的零点所在的区间为，．故选：C．由函数的解析式可得，，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．即可求得则本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4.答案：B解析：解：双曲线的两条渐近线方程是，又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，即，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，可得，得，抛物线的焦点坐标为，故选：B．求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值，可得所求焦点坐标．本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A，B两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式，有一定的运算量，属于中档题．5.答案：B解析：解：由题意得：，解得，由题意得内的人数为人，内的人数为人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，，则的数学期望．故选：B．由频率分布直方图求出，内的人数为9人，内的人数为3人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、排列组、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：解：函数，函数的周期为：，所以A不正确；，解得：，所以函数在区间上是减函数，所以B正确．时，可得：，所以C不正确；由函数的图象向左平移个单位得到函数，所以D不正确；故选：B．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，单调减区间，对称轴以及函数图象的变换，判断选项的正误即可．本题考查两角和与差的三角函数，函数的图象的对称性，单调性，三角函数的特征的变换，是基本知识的考查．7.答案：A解析：解：构造函数，则函数单调递减，，，，故选：A．构造函数，则函数单调递减，比较变量的大小，即可得出结论．本题考查函数的单调性，考查构造方法的运用，正确构造函数是关键．8.答案：D解析：解：由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式；综上，共有种不同的提问方式．故选：D．先对选出的3个媒体团的构成情况进行分类，再考虑提问顺序，借助于两大原理解决问题．本题主要考查排列、组合的综合应用，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】运用向量的三角形法则和数量积的定义，化简要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方转化为二次函数的最值问题，即可得到所求最小值．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．【解答】解：由题意可得，是圆O的任意一条直径，，，．要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方可得，当时，，取得最小值1，故的最小值为，故选C．10.答案：解析：解：复数为纯虚数，，，解得．又．则．故答案为：．复数为纯虚数，可得，，解得又利用复数模的运算性质即可得出．本题考查了复数的周期性、纯虚数的定义、复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为，则实数，故答案为：．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的系数，再根据的系数为，求出a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．12.答案：解析：解：由正方体的体积为8，可知正方体的棱长为2，作其截面图如图，可得半球体的半径，则其体积故答案为：．由题意画出截面图，结合正方体的体积求出外接球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.答案：或2解析：解：由题意得，所以，．所以切线为：，即．圆C：的圆心为，半径，又因为弦长．所以圆心到直线的距离为．所以到切线的距离为：，解得或2．故答案为：或2．先利用导数表示出函数在处的切线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出a的值．本题考查导数的几何意义和直线与圆的位置关系．涉及直线与圆相交的弦长问题，注意利用垂径定理列方程求解．属于中档题．14.答案：2解析：解：因为，所以，，且x，．．故答案为：2，．先根据已知的等式，找到x，y之间的关系式，然后结合基本不等式的使用条件求出结论的最值．本题考查利用基本不等式求最值的问题，关键是适用条件要把握准，取等号的条件成立．属于中档题．15.答案：81解析：解：函数，；；；若，则，，．若，则，，．，，．设和，则方程在区间内有3个不等实根，、等价为函数和在区间内有3个不同的零点．作出函数和的图象，如图：当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，当直线经过点时，两个图象有4个交点，此时直线为，当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，要使方程在区间内有3个不等实根，则或．故实数的取值范围为：故答案为：81，根据分段函数的解析式得到；即可求出第一问；作出函数和的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．注意第二问是问a的倒数的取值范围．16.答案：解：Ⅰ由已知及正弦定理得分，，，分分Ⅱ因为，，由余弦定理得，分由，分因为B为锐角，所以分，分分解析：利用正弦定理、和差公式化简即可得出．因为，，利用余弦定理即可得出．由，可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出．本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：Ⅰ证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，，，又平面平面BCEF，且平面平面，平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：0，，0，，0，，0，，4，，2，，则，0，．，，为平面CDE的一个法向量．又平面CDE．平面CDE．Ⅱ设平面ADE的一个法向量为，则0，，4，，得1，平面BCEF，平面BCEF一个法向量为，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．Ⅲ根据Ⅱ知平面ADE一个法向量为得1，，，设直线EF与平面ADE所成角为，则因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为．解析：以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．Ⅰ为平面CDE的一个法向量，证明平面CDE，只需证明；Ⅱ求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；Ⅲ求出平面ADE一个法向量为1，，，利用向量的夹角公式，即可求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18.答案：解：由题意可知：椭圆C：焦点在x轴上，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切，即，又椭圆的离心率，解得：，椭圆C的方程为：；由可知：椭圆的右焦点，设，，，丨丨丨丨，设直线MN：，，整理得：，，，，，由，，当且仅当时，即时，取等号，S的最大值．解析：椭圆C：焦点在x轴上，，又椭圆的离心率，解得：，即可求得椭圆C的方程为；由，，丨丨丨丨，设直线MN：，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式可知：，由基本不等式的性质，即可求得S的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查椭圆与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ设数列的公比为，，因为，，可得，整理得，解得舍或，所以数列通项公式为．设数列的公差为d，因为，，即解得，，所以数列的通项公式为；Ⅱ由等比数列的前n项和公式可得，所以；由可得，所以的前n项和．又在上是递增的，．所以的取值范围为解析：Ⅰ先设出等比数列与等差数列的公比与公差，然后利用题设条件列出公差与首项及公比与首项的方程，求出结果代入通项公式即可解决问题；Ⅱ先由Ⅰ中得到的结果求出，再利用分组求和的办法算出；先由前面的结果求出，再利用裂项相消法求出，最后利用数列的单调性求出其取值范围．本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及数列的前n项和的求法，还有利用数列的单调性求取值范围，属于有一定难度的题．20.答案：解；由题意，，由函数在处取得极值，得，即，解得，则函数的解析式为，定义域为，，又对恒成立，令则有，解得，且，即或；同理令可解得或；综上，函数的单调增区间为和，单调减区间为和由题意，则，，由条件存在，使成立得，对成立，又对成立，化简得，令，则问题转化为求在区间上的值域，求导得，令，为二次函数，图象开口向上，，则，又，则，在区间上单调递增，值域为，所以的取值范围是．解析：先求导函数，再由函数在处取得极值，得，代入求解参数a，b，然后利用令和求解函数的单调区间；将代入化简，再求，然后得，令其为0，得，令，则问题转化为求在区间上的值域，利用导数求解．本题考查了导数在函数的单调性和最值求解中的综合应用，属于比较复杂的问题，注意利用转化的思想求解问题．。
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2020届天津市和平区数学高考一模试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集I＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{﹣2，0，2}，则A∪（∁I B）＝（）
A．{1}B．{﹣1，1，2}C．{2}D．{0，1，2} 2．（5分）“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）
A．4B．5C．2D．3
4．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线Γ：y2＝2px （p＞0）的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，△ABO的面积为，O为坐标原点，则抛物线Γ的焦点坐标为（）
A．B．（1，0）C．D．
5．（5分）某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，则ξ的数学期望为（）
A．B．C．D．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）在区间上是减函数
C．函数f（x）的图象关于x＝对称
D．函数f（x）的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
7．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1＜x2）都有
，记，则a，b，
c之间的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b
8．（5分）国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（）
A．378B．306C．268D．198
9．（5分）已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且∠POQ＝60°，AB是圆O 的一条直径，若点C满足＝（λ﹣1）+λ（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.
10．（5分）已知a为实数，i为虚数单位，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则||＝．
11．（5分）若的展开式中x4的系数为﹣448，则实数a＝．
12．（5分）已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为．13．（5分）函数f（x）＝xlnx+a的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为．
14．（5分）若x＞0，y＞0，且，则此时x+2y＝，+的最小值为．
15．（5分）已知函数，则＝；若方
程f（x）＝x+a在区间[﹣2，4]有三个不等实根，则实数的取值范围为．
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（14分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a＝，b＝2．求：
（ⅰ）边长c；
（ⅱ）sin（2B﹣C）的值．
17．（14分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．
（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；
（Ⅱ）求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．
18．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别是
F1、F2，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：x﹣y+2＝0相切．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OP的平行线交椭圆与M、N 两个不同的点，记S 1＝，S2＝，令S＝S1+S2，求S的最大值．
19．（16分）数列{a n}是等比数列，公比大于0，前n项和S n（n∈N*），{b n}是等差数列，已知，，，．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；
（Ⅱ）设{S n}的前n项和为T n（n∈N*）：
（ⅰ）求T n；
（ⅱ）若，记R n＝∁n，求R n的取值范围．
20．（16分）已知函数f（x）＝e x，a，b∈R，且a＞0
（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，试求函数f（x）的解析式及单调区间；
（2）设g（x）＝a（x﹣1）e x﹣f（x），g′（x）为g（x）的导函数，若存在x0∈（1，+∞），使g（x0）+g′（x0）＝0成立，求的取值范围．
2020届天津市和平区数学高考一模试题答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B；2．C；3．C；4．B；5．B；6．B；7．A；8．D；9．C；
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.
10．；11．﹣2；12．；13．﹣6或2；14．2；2+；15．81；（﹣∞，﹣）∪（1}；
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．；17．；18．；19．；20．；。