高一数学(人教A版)必修4课件： 平面向量基本定理
[答案] 实数 λ 与向量 a 的积 λa |λa| λ>0 相反
2．若|a|＝5，b 和 a 的方向相反，且|b|＝7，则 a＝( A. 5 7 B．－ 5 7 C. 7 5 D．－ 7 5
)b.
[答案] B
→ 3． 如图所示， 是△ABC 的边 AB 上的中点， D 则向量CD等 于( ) → 1→ A．－BC＋ BA 2 → 1→ B．－BC－2BA → 1→ C.BC－2BA → 1→ D.BC＋ BA 2
④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①② C．③④ [分析] B．②③ D．② 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1
与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的惟一性求解．
[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于 ②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定， 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③， 当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B.
[答案] A
新课引入
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌 曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们 不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有 7 个基本音符：
Do Re Mi Fa Sol La Si， 所有的乐谱都是这几个音符的巧妙 组合，音乐的奇妙就在于此． 在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 自主预习 阅读教材 P93－94 回答下列问题．
数学人教A版 ·必修4
第二章
2.3.1 平面向量基本定理
温故知新 1．上节课已经学习过向量的数乘，所谓向量的数乘为 ________，记为________，它的长度与方向规定如下： (1)________＝|λ||a|； (2)当________时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时， λa 的方向与 a 的方向________．
→ → 在▱ABCD中，设 AC ＝a， BD ＝b，试用基底{a、b}表示 → → AB、BC. [分析] 本题实质是平面向量基本定理的应用．通过观察
图形，直接寻找向量之间的关系，可以看作转移法；也可利 → → → → 用方程思想，直接用 AB 、 BC 表示a、b，然后将 AB 、 BC 看作 → → 未知量，利用方程思想，解得AB、BC.
命题方向3
有关向量夹角的计算
已知两个非零向量a与b的夹角为60° ，试求下列向
量的夹角：(1)a与－b；(2)2a与3b. [分析] 首先作出相应向量，然后依据向量夹角的定义求 解．
[解析]
(1)由向量夹角的定义，作出a与b的夹角，如图
①，向量a与－b的夹角为120° . (2)如图②，向量2a与3b的夹角为60° .
(2)垂直：如果向量a和b的夹角是________，我们就说向 90° 量a与b垂直，记作 a⊥b .
试指出图中向量的夹角．
[解析] → → ①∠AOB＝θ为两向量OA与OB的夹角；
→ → ②OA与OB的夹角为0° ，两向量同向； → → ③OA与OB的夹角为180° ，两向量反向； → → ④两向量OA与AB的夹角为θ.
→ → 则AB＝BD， → → ∴∠DBC为向量AB与BC的夹角． ∵∠DBC＝120° ， → → ∴向量AB与BC的夹角为120° . (2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC， → → ∴AE与EC的夹角为90° .
探索延拓创新
命题方向4 综合分析与解决问题的能力
→ → 如图，在△OAB中，OA＝a，OB ＝b，M、N分别 → 1 → 1 → → 是边OA、OB上的点，且OM ＝ a，ON ＝ b，设AN 与BM 相交 3 2 → 于点P，用向量a、b表示OP.
规律总结：解决此类问题时，应先作出图形，明确要求 的角，然后结合图形求出角度．
如图，已知△ABC是等边三角形．
→ → (1)求向量AB与向量BC的夹角； → → (2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．
[解析]
(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60° . 如下图，延长AB至点D，使AB＝BD，
规律总结：根据平面向量基底的定义知此类问题可转化 为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一 组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底.
命题方向2
用基底表示向量
→ → 已知OA ＝a，OB ＝b，C为线段AO上距A较近的一
个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、 → b表示OD的表达式为( )
m－1＝－λ ∴ 1 ，消去λ得m＋2n＝1. n＝2λ 1 → → → 而CM＝OM－OC＝m－4a＋nb，
①
1 1 → → → CB＝OB－OC＝b－ a＝－ a＋b， 4 4 → → ∵C、M、B三点共线，∴CM＝μCB， 1 1 m－ ＝－ μ 4 4 ，消去μ即4m＋n＝1. ∴ n＝μ
1 31－m＝n ∵a、b不共线，∴ 11－n＝m 2 → 1 2 ∴OP＝5a＋5b.
1 ⇒n＝ ， 5
→ 1→ → 1→ 在△OAB中，OC＝ OA，OD＝ OB，AD与BC交于点M， 4 2 → → → 设OA＝a，OB＝b，试以a、b为基底表示OM. [分析] → 先用平面向量基本定理设出 OM ＝ma＋nb，分别
[错因分析] 在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1 ＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2 共线的情况加以考虑． [思路分析] 当e1∥e2时，a∥e1，又因为b＝2e1，所以b∥ e1.又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，则a∥e1.又因为b＝2e1， 所以b∥e1.又因为e1≠0，故a与b共线．
1 ③∵e1－2e2＝－ (4e2－2e1)，∴e1－2e2 与 4e2－2e1 共线， 2 即 e1－2e2 与 4e2－2e1 不可作为一组基底； ④设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
1－λ＝0， ∴ 1＋λ＝0，
无解，
∴e1＋e2 与 e1－e2 不共线，即 e1＋e2 与 e1－e2 可作为一组 基底．
[分析]
该题目不能直接通过向量的加、减及数乘运算确
定λ1，λ2，可以引进参数，利用“表示方法的唯一性”确定参 数，进而确定λ1、λ2.
[解析]
→ → → → → → ∵OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，
→ → → → → → → 设MP＝mMB，NP＝nNA，则OP＝OM＋mMB 1 1 1 ＝3a＋m(b－3a)＝3(1－m)a＋mb. 1 → → → 1 OP＝ON＋nNA＝2b＋n(a－2b) 1 ＝ (1－n)b＋na. 2
设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ． ________．(写出所有满足条件的序号)
[答案] ③
[解析]
①设
λ＝1， e1＋e2＝λe1，则 1＝0，
1 A. (4a＋3b) 9 1 C.3(2a＋b)
1 B. (9a＋7b) 16 1 D.4(3a＋b)
[解析]
→ → → → 1→ ∵OD＝OC＋CD＝OC＋ CB 3
2→ 1→ → 1 → → ＝OC＋3(OB－OC)＝3OC＋3OB 4→ 1→ 1 ＝9OA＋3OB＝9(4a＋3b)，∴选A.
无解，
∴e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底； ②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则
1＋2λ＝0， 2＋λ＝0，
无解，
∴e1－2e2 与 e2－2e1 不共线，即 e1－2e2 与 e2－2e1 可作为 一组基底；
1．平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个________向量，那么对于 不共线 这一平面内的任意向量 a， 有且只有一对实数 λ1， 2， a＝λ1e1 λ 使 ＋λ2e2，其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向
基底 量的一组_______．
[破疑点](1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯 一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而 零向量的分解式是唯一的，即 0＝λ1e1＋λ2e2，且 λ1＝λ2＝0. (2)于对固定的 e1、e2(向量 e1 与 e2 不共线)而言，平面内任 一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只 要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
→ → 1→ 1 1 [解析] BA＝a－b，BM＝ BA＝ a－ b， 6 6 6 → → → 1 5 → OM＝OB＋BM＝6a＋6b，OD＝a＋b， → → → 1→ 1→ 2→ 2 2 ON＝OC＋CN＝2OD＋6OD＝3OD＝3a＋3b， → → → 1 1 MN＝ON－OM＝2a－6b.
[解析]
方法一：如图，设AC、BD相交于点O，
→ → 1 → 1→ 1 则有AO＝OC＝2a，BO＝2BD＝2b， 1 → → → → → 1 ∴AB＝AO＋OB＝AO－BO＝ a－ b， 2 2 1 → → → 1 BC＝BO＋OC＝2a＋2b.
→ → 方法二：设AB＝x，BC＝y， → → → AB＋BC＝AC 则有 → → → AD－AB＝BD
→ → → → 表示出AM 、AD 、CM 、CB 后，再利用共线向量的条件列出方 程组，从而确定m，n的值．
[解析]
→ → → → 设OM ＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM ＝OM －OA ＝
1 → → → 1 (m－1)a＋nb，AD＝OD－OA＝2b－a＝－a＋2b， → → ∵A、M、D三点共线，∴AM＝λAD，
2．若|a|＝5，b 和 a 的方向相反，且|b|＝7，则 a＝( A. 5 7 B．－ 5 7 C. 7 5 D．－ 7 5
)b.
[答案] B
→ 3． 如图所示， 是△ABC 的边 AB 上的中点， D 则向量CD等 于( ) → 1→ A．－BC＋ BA 2 → 1→ B．－BC－2BA → 1→ C.BC－2BA → 1→ D.BC＋ BA 2
④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①② C．③④ [分析] B．②③ D．② 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1
与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的惟一性求解．
[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于 ②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定， 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③， 当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B.
[答案] A
新课引入
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌 曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们 不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有 7 个基本音符：
Do Re Mi Fa Sol La Si， 所有的乐谱都是这几个音符的巧妙 组合，音乐的奇妙就在于此． 在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 自主预习 阅读教材 P93－94 回答下列问题．
数学人教A版 ·必修4
第二章
2.3.1 平面向量基本定理
温故知新 1．上节课已经学习过向量的数乘，所谓向量的数乘为 ________，记为________，它的长度与方向规定如下： (1)________＝|λ||a|； (2)当________时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时， λa 的方向与 a 的方向________．
→ → 在▱ABCD中，设 AC ＝a， BD ＝b，试用基底{a、b}表示 → → AB、BC. [分析] 本题实质是平面向量基本定理的应用．通过观察
图形，直接寻找向量之间的关系，可以看作转移法；也可利 → → → → 用方程思想，直接用 AB 、 BC 表示a、b，然后将 AB 、 BC 看作 → → 未知量，利用方程思想，解得AB、BC.
命题方向3
有关向量夹角的计算
已知两个非零向量a与b的夹角为60° ，试求下列向
量的夹角：(1)a与－b；(2)2a与3b. [分析] 首先作出相应向量，然后依据向量夹角的定义求 解．
[解析]
(1)由向量夹角的定义，作出a与b的夹角，如图
①，向量a与－b的夹角为120° . (2)如图②，向量2a与3b的夹角为60° .
(2)垂直：如果向量a和b的夹角是________，我们就说向 90° 量a与b垂直，记作 a⊥b .
试指出图中向量的夹角．
[解析] → → ①∠AOB＝θ为两向量OA与OB的夹角；
→ → ②OA与OB的夹角为0° ，两向量同向； → → ③OA与OB的夹角为180° ，两向量反向； → → ④两向量OA与AB的夹角为θ.
→ → 则AB＝BD， → → ∴∠DBC为向量AB与BC的夹角． ∵∠DBC＝120° ， → → ∴向量AB与BC的夹角为120° . (2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC， → → ∴AE与EC的夹角为90° .
探索延拓创新
命题方向4 综合分析与解决问题的能力
→ → 如图，在△OAB中，OA＝a，OB ＝b，M、N分别 → 1 → 1 → → 是边OA、OB上的点，且OM ＝ a，ON ＝ b，设AN 与BM 相交 3 2 → 于点P，用向量a、b表示OP.
规律总结：解决此类问题时，应先作出图形，明确要求 的角，然后结合图形求出角度．
如图，已知△ABC是等边三角形．
→ → (1)求向量AB与向量BC的夹角； → → (2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．
[解析]
(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60° . 如下图，延长AB至点D，使AB＝BD，
规律总结：根据平面向量基底的定义知此类问题可转化 为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一 组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底.
命题方向2
用基底表示向量
→ → 已知OA ＝a，OB ＝b，C为线段AO上距A较近的一
个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、 → b表示OD的表达式为( )
m－1＝－λ ∴ 1 ，消去λ得m＋2n＝1. n＝2λ 1 → → → 而CM＝OM－OC＝m－4a＋nb，
①
1 1 → → → CB＝OB－OC＝b－ a＝－ a＋b， 4 4 → → ∵C、M、B三点共线，∴CM＝μCB， 1 1 m－ ＝－ μ 4 4 ，消去μ即4m＋n＝1. ∴ n＝μ
1 31－m＝n ∵a、b不共线，∴ 11－n＝m 2 → 1 2 ∴OP＝5a＋5b.
1 ⇒n＝ ， 5
→ 1→ → 1→ 在△OAB中，OC＝ OA，OD＝ OB，AD与BC交于点M， 4 2 → → → 设OA＝a，OB＝b，试以a、b为基底表示OM. [分析] → 先用平面向量基本定理设出 OM ＝ma＋nb，分别
[错因分析] 在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1 ＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2 共线的情况加以考虑． [思路分析] 当e1∥e2时，a∥e1，又因为b＝2e1，所以b∥ e1.又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，则a∥e1.又因为b＝2e1， 所以b∥e1.又因为e1≠0，故a与b共线．
1 ③∵e1－2e2＝－ (4e2－2e1)，∴e1－2e2 与 4e2－2e1 共线， 2 即 e1－2e2 与 4e2－2e1 不可作为一组基底； ④设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
1－λ＝0， ∴ 1＋λ＝0，
无解，
∴e1＋e2 与 e1－e2 不共线，即 e1＋e2 与 e1－e2 可作为一组 基底．
[分析]
该题目不能直接通过向量的加、减及数乘运算确
定λ1，λ2，可以引进参数，利用“表示方法的唯一性”确定参 数，进而确定λ1、λ2.
[解析]
→ → → → → → ∵OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，
→ → → → → → → 设MP＝mMB，NP＝nNA，则OP＝OM＋mMB 1 1 1 ＝3a＋m(b－3a)＝3(1－m)a＋mb. 1 → → → 1 OP＝ON＋nNA＝2b＋n(a－2b) 1 ＝ (1－n)b＋na. 2
设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ． ________．(写出所有满足条件的序号)
[答案] ③
[解析]
①设
λ＝1， e1＋e2＝λe1，则 1＝0，
1 A. (4a＋3b) 9 1 C.3(2a＋b)
1 B. (9a＋7b) 16 1 D.4(3a＋b)
[解析]
→ → → → 1→ ∵OD＝OC＋CD＝OC＋ CB 3
2→ 1→ → 1 → → ＝OC＋3(OB－OC)＝3OC＋3OB 4→ 1→ 1 ＝9OA＋3OB＝9(4a＋3b)，∴选A.
无解，
∴e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底； ②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则
1＋2λ＝0， 2＋λ＝0，
无解，
∴e1－2e2 与 e2－2e1 不共线，即 e1－2e2 与 e2－2e1 可作为 一组基底；
1．平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个________向量，那么对于 不共线 这一平面内的任意向量 a， 有且只有一对实数 λ1， 2， a＝λ1e1 λ 使 ＋λ2e2，其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向
基底 量的一组_______．
[破疑点](1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯 一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而 零向量的分解式是唯一的，即 0＝λ1e1＋λ2e2，且 λ1＝λ2＝0. (2)于对固定的 e1、e2(向量 e1 与 e2 不共线)而言，平面内任 一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只 要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
→ → 1→ 1 1 [解析] BA＝a－b，BM＝ BA＝ a－ b， 6 6 6 → → → 1 5 → OM＝OB＋BM＝6a＋6b，OD＝a＋b， → → → 1→ 1→ 2→ 2 2 ON＝OC＋CN＝2OD＋6OD＝3OD＝3a＋3b， → → → 1 1 MN＝ON－OM＝2a－6b.
[解析]
方法一：如图，设AC、BD相交于点O，
→ → 1 → 1→ 1 则有AO＝OC＝2a，BO＝2BD＝2b， 1 → → → → → 1 ∴AB＝AO＋OB＝AO－BO＝ a－ b， 2 2 1 → → → 1 BC＝BO＋OC＝2a＋2b.
→ → 方法二：设AB＝x，BC＝y， → → → AB＋BC＝AC 则有 → → → AD－AB＝BD
→ → → → 表示出AM 、AD 、CM 、CB 后，再利用共线向量的条件列出方 程组，从而确定m，n的值．
[解析]
→ → → → 设OM ＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM ＝OM －OA ＝
1 → → → 1 (m－1)a＋nb，AD＝OD－OA＝2b－a＝－a＋2b， → → ∵A、M、D三点共线，∴AM＝λAD，
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人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件
a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表 示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
• 资料及报纸
• 谢谢观看！
•
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
新人教版数学必修4同步课件：平面向量基本定理
(方法 2)因为������������ = ������������ + ������������,
而������������
=
1 2
������������
=
1 2
(������������
−
������������ ),
所以������������
=
������������
+
1 2
(������������
分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.
解(1)(方法 1)如图,因为������������ = ������������ + ������������, ������������ = ������������ + ������������, 所以 2������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������.
的其他向量的基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④ D.③④
解析∵������������ 与������������ 不共线,������������ 与������������ 不共线,∴①③可以作为基底,
其他两组分别共线,故不可以,选 B.
答案B
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理的应用
2.3.1 平面向量基本定理
-1-
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否是 平面向量基本定理
基底.培养数学抽象及逻辑推理素养. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表 示平面向量.培养数学抽象、数学运算素养. 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定 义.培养数学运算、数学抽象素养.
2.3.1平面向量基本定理课件(新人教A版必修4)
⑴向量的加法：
B
b
⑵向量的加法：
a
C
ab
O
a
平行四边形法则
b
B
b
O
A
a-b
ab
B
O
A a 三角形法则
已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a, b
表示 AM, AN .
B
M N
解： AM AB BM A D b 1 AB BC 2 AN AD DN 1 1 1 AB AD AD DC AD AB 2 2 2 1 1 b a a b 2 2
=
二、向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
, 则 ( 0 180 ) AOB OB b
B
b
O
a
A
叫做向量
a和 b
夹角的范围：00 ,180
a
O
的夹角． 注意:两向量必须 是同起点的 0
B
a
A B b
b
0
b B
180
a
C
设 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，
a 是这一平面内的任一向量， 问：与 a e1 , e2 之间有怎样的关系？
M C
e1
a
e2
A
O
N
B
OM 1 e1 ON 2 e2
a OM ON 1 e1 2 e2
平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2.
B
b
⑵向量的加法：
a
C
ab
O
a
平行四边形法则
b
B
b
O
A
a-b
ab
B
O
A a 三角形法则
已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a, b
表示 AM, AN .
B
M N
解： AM AB BM A D b 1 AB BC 2 AN AD DN 1 1 1 AB AD AD DC AD AB 2 2 2 1 1 b a a b 2 2
=
二、向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
, 则 ( 0 180 ) AOB OB b
B
b
O
a
A
叫做向量
a和 b
夹角的范围：00 ,180
a
O
的夹角． 注意:两向量必须 是同起点的 0
B
a
A B b
b
0
b B
180
a
C
设 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，
a 是这一平面内的任一向量， 问：与 a e1 , e2 之间有怎样的关系？
M C
e1
a
e2
A
O
N
B
OM 1 e1 ON 2 e2
a OM ON 1 e1 2 e2
平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2.
高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
第三十三页，共59页。
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
高一数学必修4课件：2-3-1平面向量基本定理
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
→ 如图， 作OA＝a，
→ OB＝b，且∠AOB＝60° ， 以 OA、OB 为邻边作▱OACB， → → → → → → → → 则OC＝OA＋OB＝a＋b， ＝OA－OB＝a－b， ＝OA＝ BA BC a.
第二章 2.3 2.3.1
②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那 么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③， λ1λ2 当 ＝0 或 μ1μ2＝0 时不一定成立，应为 λ1μ2－λ2μ1＝0.故选 B.
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ． ________．(写出所有满足条件的序号)
第二章 2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[分析]
应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量 e1
与 e2 不共线和平面内向量 a 用基底 e1、e2 表示的惟一性求解．
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[特别提醒]
→ → (1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ， 但由向
→ → 量夹角的定义可知OA与BO的夹角不是 θ，而是 π－θ.
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [答案] 2
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．