解三角形的应用 角度、高度问题
解三角形角度、高度问题
第 2 课时 角度、高度问题学习目标 1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念 .2.掌握测量高度的常见方法 .3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题 . 知识点一 测量仰角 （或俯角 ） 求高度问题思考 如图， AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，如果能测出点 C ，D 间的距离 m 和由 C 点，D 点观察 A 的仰角， 怎样求建筑物高度 AB ？ （已知测角仪器的高是h)在 Rt △AEC 中，AE ＝ ACsin α，AB ＝AE ＋h. 梳理 问题的本质如图，已知 ∠AEC 为直角，CD ＝m ，用 α，β，m 表示 AE 的长，所得结果再加上 h.知识点二 测量方向角求高度答案 解题思路是：在△ 所以 msin β sin α－βACD 中， AC ＝ m sin β sin α－ β.思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行A 处时测得公路北侧远处一山顶驶，到D 在北偏西 75 °的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山顶在北偏西 65°的方向上，仰角为 8°，怎样求此山的高度 CD?5sin 15 °BC ＝5s s i i n n 1105 ，°°再在 Rt △DBC 中求 DC ＝BCtan 8.° 梳理 问题本质如图，已知三棱锥 D －ABC ，DC ⊥平面 ABC ，AB ＝m ，用 α，β，m ，γ表示DC 的长 .1.在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针 .(× )2.在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.(√ )类型一 测量仰角 (或俯角 )求高度问题 例 1 如图所示， D ，C ，B 在地平面同一直线上， DC ＝10 m ，从 D ，C 两地测得 A 点的仰角分别为 30°和 45°，则 A 点离地面的高 AB 等于 ( )解析 方法一 设 AB ＝x m ，则 BC ＝x m.答案 先在△ ABC 中，用正弦定理求A.10 mC.5（ 3－1） m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 (仰角 )求高度 答案 D B.5 3 m D.5（ 3＋1） m∴BD ＝（10＋x） m.解得 x ＝5（ 3＋1） m.∴A 点离地面的高 AB 等于 5( 3＋1) m.方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝ 180°－ 135°－ 30°＝ 15°.∴AB ＝ACsin 45 ＝°5( 3＋1) m.反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形 .(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的 垂足在同一条直线上，观测者一直向 “目标物 ”前进.跟踪训练 1 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 35°，沿倾斜角为 20°的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 65°，则山的高度为 m.( 精确到 1 m)答案 811解析 如图，过点 D 作 DE ∥AC 交 BC 于E ， 因为 ∠DAC ＝20°， 所以 ∠ADE ＝160°， 于是 ∠ADB ＝360°－160°－ 65°＝135°.又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以 ∠ABD ＝30°.在 △ABD 中，由正弦定理，得ADsin ∠ ADB 1 000×sin 135 °AB ＝ ＝ ＝ 1 000 2(m).sin ∠ ABD sin 30 °在 Rt △ABC 中，BC ＝ABsin 35 ≈°811(m).答 山的高度约为 811 m.类型二 测量方向角求高度问题例 2 如图所示， A ，B 是水平面上的两个点，相距 800 m ，在 A 点测得∴tan ∠ADB ＝ AB ＝ x ＝ 3.DB 10＋ x 3由正弦定理，得 AC ＝·sin ∠ ADC10 ·sin 30 ＝° 20·sin 30 ＝° sin 15 ° 6－ 2山顶 C 的仰角为 45°，∠ BAD ＝120°，又在 B 点测得∠ ABD＝45°，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度解由于 CD⊥平面 ABD，∠CAD ＝45°，所以 CD＝AD.因此只需在△ABD 中求出 AD 即可，在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，AB AD 由＝， sin15 °sin 45 °2800× 得 AD＝AB si·n s i1n545°＝°6－22＝800( 3＋1)(m).4即山的高度为 800（ 3＋1） m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“ 目标物” ，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题跟踪训练 2 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B的正东＝45°，则塔 AB 的高是（）A.10 mC.10 3 m考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案 D 解析在△BCD 中， CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝ 15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，方向上，测得点A 的仰角为 60°，再由点C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置D ，测得∠ BDCB.10 2 mD.10 6 mBC CD 由正弦定理，得 sin ∠BC BDC ＝sin ∠CDDBC ，又∠ABC ∈（0°，60°），∴∠ ABC ＝45°， ∴ B 点在 C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝ 90°＋ 30°＝120°，BD CD在 △BCD 中，由正弦定理得 BD ＝ CD ，sin ∠ BCD sin ∠ CBD∴ 缉私船沿北偏东 60°的方向行驶BC ＝ 10sin 45 °＝°10 2（m ）. 在 Rt △ABC 中， tan 60 ＝° AB ， BC，AB ＝ BC ×tan 60 ＝°10 6（m ）. 类型三 航海问题例 3 如图， 在海岸 A 处发现北偏东 45°方向， 距 A 处 （ 3－1）海里的 B 处 有一艘走私船 .在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处2 海里的 C 处的我方缉私 船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜 .问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求 出所需时间 .考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获 （在 D 点 ）走私船，则 CD ＝ 10 3t ，BD＝10t ，在 △ABC 中，由余弦定理，有 ＝（ 3－ 1）2＋ 22－ 2（ 3－ 1） ·2·cos 120 ＝°6. ∴ BC ＝ 6.又 ∵ BC sin A AC， sin ∠ABC ， sin ∠ABC ＝ AC ·si n A 2·sin 120 ° ＝ 2， 2， ∴ sin ∠ BCD ＝ BD ·sin ∠ CBD CD 10t ·si n 120 10 3t1. 2. 又∵∠BCD ∈（0 °， 60°）， ∴∠ BCD ＝ 30°，又在 △BCD 中， ∠ CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠ D ＝30°，∴BD ＝BC ，即 10t ＝ 6.∴t ＝ 106小时 ≈15分钟 .∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟 . 反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角 （方向角 ），二要弄清不动点 （三角形顶点 ），然后根 据条件，画出示意图，转化为解三角形问题 跟踪训练 3 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B 处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行 驶，已知甲船的速度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进， 才能最快与乙船相遇？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示 .设经过 t 小时两船在 C 点相遇， 则在 △ABC 中，BC ＝ at （海里 ），AC ＝ 3at （海里 ），B ＝90°＋ 30°＝120°，由 BC ＝ AC ，得 sin ∠ CAB sin BBCsin B at ×sin 120 sin ∠ CAB ＝ AC ∵0°<∠CAB<60°，∴∠ CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝ 60°－ 30°＝30°，∴ 甲船应沿着北偏东 30°的方向前进，才能最快与乙船相遇1. 某公司要测量一水塔 CD 的高度，测量人员在地面选择了 A ，B 两个 观测点，且 A ，B ， C 三点在同一直线上，如图所示，在 A 处测得该水 塔顶端 D 的仰角为 α，在 B 处测得该水塔顶端 D 的仰角为 β. 若 AB ＝3 ＝ 2 ＝ 1， ＝ 3＝ 2， 3ata,0<β<α<2π，则水塔 CD 的高度为（) A. asin α－ βsin αA. sin βasin β sin α－β答案在△ ABC 中，由正弦定理得 sin A 3B 0 ＝°sin A 1C 35 ， ∴AC ＝ 100 2.AC＝ CD sin θ＋ 90° sin 153.一架飞机在海拔 8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为 ___ m.（精确到 0.1 m ）考点 解三角形求宽度题点 已知高度、俯角 （仰角 ）求宽度答案 5 856.4 B.asin αsin β sin α－ β C. sin α D. sin α－ βsin β考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 B解析 根据题意知，在 △ABD 中，∠ ADB ＝ α－ β，由正弦定理， 得 sin αs A in D β，即 AD sin β在 Rt △ACD 中， CD ＝ADsin asin αsin β α＝ . sin α－ β 2. 如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45°，若 CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为 θ，则 cos θ等于（A. 3 2B. 22C. 3－ 1D. 2－ 1考点 解三角形求角度题点 解三角形求角度解析在 △ADC 中， ∴ cos θ＝sin(θ＋90°)＝ AC ·sin 15 CD asinasin α－4.甲、乙两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°， 则甲、乙两楼的高分别是 ___________ .考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度答案 20 3米， 403 3米3解析 甲楼的高为 20tan 60 °＝20× 3＝20 3（米）， 乙楼的高为 20 3－20tan 30 ＝°20 3－20× 33＝403 3(米).5. _____________________________________ 某船开始看见一灯塔在南偏东 30 °方向，后来船沿南偏东 60 °的方向航行 45 km 后，看见该 灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 _________________________ km.考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离答案 15 3解析 设灯塔位置为 A ，船的初始位置为 O ，船的终止位置为 B ， 由题意知 ∠ AOB ＝ 30°， ∠OAB ＝ 120°，则∠OBA ＝30°，所以由正弦定理，得 AB ＝ 15 3，即此时船与灯塔的距离是 15 3 km.1.在研究三角形时， 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐， 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算 方式 .2. 测量底部不可到达的建筑物的高度问题 .由于底解析宽＝8 000 tan 30 8 000 tan 45 ＝5 856.4(m).a,0<β<α<2π，则水塔 CD 的高度为（)部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题、选择题 1.为了测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为 30°，塔基的 俯角为 45°，那么塔 AB 的高为 （ 3A.20 1＋ 3 m C.20（1＋ 3） m 考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 A 2.在某个位置测得某山峰仰角为 θ，对着山峰在地面上前进 600 m 后测得仰角为 2θ，继续在 地面上前进 200 3 m 以后测得山峰的仰角为 4θ，则该山峰的高度为 （ ）A.200 mB.300 mC.400 mD.100 3 m 考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 B解析 如图， △BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝ 600 m ， BC ＝ DC ＝ 200 3 m.在 △BCD 中，由余弦定理可得6002＋ 200 3 2－ 200 3 22× 600× 200 3 ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°， 4θ＝60°. 在 Rt △ABC 中， AB ＝ BCsin 4θ＝200 3× 23＝ 300(m) ， 故选 B. 3.海上有 A ，B 两个小岛相距 10 n mile ，从 A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从 B 岛望 C 岛 和 A 岛成 75°的视角，则B ，C 间的距离是 （）解析 塔的高度为 cos 2θ＝D.3020tan 30 °＋20tanA.10 3 n mileB.103 6 n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 D 解析 在△ ABC 中， C ＝180°－60°－75°＝45°.BC AB BC 10 由正弦定理，得 ＝ ， ∴ ＝ ， sin A sin C sin 60 °sin 45 °解得 BC ＝5 6 n mile. 4.已知两座灯塔 A ，B 与海洋观察站 C 的距离相等， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°， 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( )A. 北偏东 10°B. 北偏西 10°C.南偏东 10°D.南偏西 10°考点 三角形中角度的求解 题点 三角形中角度的求解 答案 B解析 如图，因为 △ ABC 为等腰三角形，45°，灯塔B解析如图所示，BC＝ 3h， AC＝h，∴AB＝ 3h2＋ h2＝2h（米）.45°，此人沿南偏东 40°方向前进 10 m 到 D，6.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°，塔顶仰角为测得塔顶 A 的仰角为 30°，则塔高为（）A.15 mB.5 mC.10 mD.12 m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案 C解析如图，设塔高为 h，在 Rt △AOC中，∠ACO＝45°，则 OC＝OA＝ h.在 Rt △AOD 中，∠ADO＝30°，则 OD ＝ 3h.在△OCD 中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得 OD 2＝OC2＋CD2－ 2OC ·CD cos∠ OCD ，即（ 3h）2＝h2＋102－2h×10×cos 120 ，°∴h2－5h－50＝0，解得 h＝10 或 h＝－ 5（舍）.即塔高为 10 m.7.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 °的方向直线航行， 30 分钟后到达 B处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是（）A.10 2 海里B.10 3 海里C.20 3 海里D.20 2 海里考点解三角形求距离题点测量俯角（仰角）求距离答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中， AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC＝ AB ， sin 30 ＝°sin 45 ， 解得 BC ＝10 2.8.要测量河流一侧某建筑物的高度，在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点，在甲、乙两点 分别测得该建筑物顶点的仰角为 45°，30°，在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两解析在△ABC 中，由余弦定理，得地连线所成的角为 120°，甲、 A.100 2 m C.200 3 m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 (仰角 )求高度 答案 D 解析 由题意画出示意图， 设高 AB ＝h ，在 Rt △ ABC 中， 在 Rt △ABD 中， 由已知得 BD ＝ 3h. 在 △BCD 中，由余弦定理 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos ∠BCD ，得 乙两地相距 500 m则该建筑物的高度是 ( )B.400 m D.500m 由已知得 BC ＝h. 答案 3π 4考点 解三角形求距离 题点 测量俯角 （仰角 ）求距离 答案 3 2＋ 6 20解析 在△ ABC 中， ∠BCA ＝60°， ∠ABC ＝75°－60°＝15°，AC ＝0.1 km ，cos ∠ ACB ＝ 32＋ 2 2 2－ 29 2 ＝ 2× 3×2 2 ＝ 2. 2 3π 因为∠ACB ∈（0，π），所以 ∠ACB10.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D ，测得∠ BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点 C 测 得塔顶A 的仰角为 60°，则塔高 AB ＝ 米 . 考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝ 180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理，得 BC＝ CDsin∠ BDC ＝ sin ∠ CBD所以 BC ＝3s 0in si n 1 3350 ＝°°15 2.在 Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝15 2×tan 60 ＝ 15 6（米 ）.11.如图， A ，B ， C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔 顶 .测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点 的仰角均为 60°，AC ＝0.1 km.若 AB ＝ BD ，则 B ，D 间的距离为 km.由正弦定理，得 sin ∠AB BCA ＝sin ∠AC ABC ，所以 AB ＝0.1sin 60sin°3 2＋ 6 20 (km) ， 又因为 BD ＝ AB ，所以 BD ＝3 22＋06(km).三、解答题 12. 如图所示，在地面上共线的三点 A ，B ， C 处测得一建筑物的仰角分别为 30°，45°，60°，且 AB ＝ BC ＝ 60 m ，求建筑物的高度 .考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 解 设建筑物的高度为 h ，由题图知， ∴在△PBA 和 △PBC 中，分别由余弦定理，22260 ＋2h － 4h 得cos ∠PBA ＝， ①2× 60× 2h2 242∵∠ PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋ cos ∠ PBC ＝0.③由①②③ ，解得 h ＝30 6或 h ＝－ 30 6（舍去 ），即建筑物的高度为 30 6 m. 13. 甲船在 A 处，乙船在 A 的南偏东 45°方向，距 A 有 9海里的 B 处，并以 20 海里/时的速度 沿南偏西 15°方向行驶，若甲船以 28海里 /时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示，设用 t 小时甲船能追上乙船，且在 C 处相遇 .在△ABC 中， AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，2 2 2由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BCcos ∠即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t× －21，2 3 9128t2－60t－27＝0，∴t＝或 t＝－(舍∴ 甲船用43小时能最快追上乙船四、探究与拓展14.______________________ 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 m 后，望见塔在东北方向，最大仰角为 30°，则塔高为__________________________ m.考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案10 3－33解析如图所示，若沿途测得塔的设 AE 为塔， B 为塔正东方向一点，沿南偏西 60 °前进 40 m 到达 C 处，即 BC＝40，∠ CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ ACB＝15°.AC BC在△ABC 中，＝，sin∠ ABC sin∠CAB即AC＝40，∴AC ＝20 2.sin 30 °sin 135 °在△ABC 中，由面积公式知1121×BC×AG＝12×BC×AC×sin∠ACB. AG＝AC×CB×sin∠ACBBC＝ AC × sin ∠ ACB＝ 20 2sin 15 ，∴ AG＝20 2sin(45 °－ 30°)＝20 2 22× 23－22×12＝ 10（ 3－ 1）.在 Rt △AEG 中，∵ AE＝ AG tan∠AGE ，∴AE＝ 10（ 3－ 1）× 33＝10－1033，∴ 塔高为 10－1033 m.15.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 3千米有一条北偏东 60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？考点解三角形的实际综合应用题点解三角形的实际综合应用解如图所示，考点为 A，检查开始处为 B ，设检查员行驶到公路上 C， D 两点之间时收不到信号，即公路上两点到C，考点的距离为 1 千米 .在△ABC 中，AB＝ 3（千米），AC＝ 1（千米），∠ ABC＝ 30°，由正弦定理，得 sin∠ACB＝sin A C30×°AB＝23，∴∠ ACB＝ 120°（∠ ACB ＝60°不合题意），∴∠ BAC＝ 30°，∴ BC＝AC ＝1（千米）.在△ACD 中，AC＝AD＝1，∠ACD ＝60°，∴△ ACD 为等边三角形，∴CD＝1（千米）. ∵B1C2×60＝5，∴在BC 上需 5分钟，CD 上需 5分钟.∴最长需要 5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少 5 分钟才算合格1所以∠CBA ＝21(180 °－80°)＝50°，60°－50°＝ 10°，故选 B.5.从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30 °，看正南方向有一只船俯角为则此时两船间的距离为 ( )A.2h 米B. 2h 米C. 3h米D.2 2h 米考点解三角形求距离题点测量俯角 (仰角 )求距离答案 A2 2 23h2＝h2＋5002＋h×500，解得 h＝500(m)( 负值舍去 ).故选 D.、填空题9.如图所示为一角槽，已知 AB⊥AD ，AB⊥BE，并测量得 AC＝3 mm，BC＝2 2 mm，AB＝ 29 mm，则∠ ACB＝________ .考点解三角形求角度题点解三角形求角度。
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。
第一章1.2第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题
得20＝BP，∴BP＝20 3. 13
22
栏目
导引
第一章 解三角形
在△BPC 中，BC＝30×80＝40， 60
由已知，∠ PBC＝ 90°， ∴PC＝ BP2＋BC2 ＝ （20 3）2＋402 ＝20 7(海里)． ∴P，C 间的距离为 20 7海里．
栏目 导引
第一章 解三角形
易错警示
实际应用问题中忽视隐含条件致误
2 ＝ 84t2－240t＋400 ＝2 21t2－60t＋100.
栏目 导引
第一章 解三角形
(2)当 t>2 时，如图(2)， 在△APQ 中，AP＝8t，AQ＝10t－20， ∴PQ＝ AQ2＋AP2－2AQ·APcos 60° ＝2 21t2－60t＋100， 综合(1)(2)可知， PQ＝2 21t2－60t＋100(t≥0)， ∴当 t＝30＝10时，PQ 最小．
栏目 导引
第一章 解三角形
解析：在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.
由sinA1B5°＝sinA4D5°，得
AD＝ABs·ins1in5°45°＝8060－×
2 2 2
4
＝800( 3＋1)(m)．
∵CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝800( 3＋1) m.
栏目 导引
第一章 解三角形
[解] 如图，设缉私艇 t 小时后在 D 处追上走私船①，则 BD＝10t n mile，CD＝10 3 t n mile.1 分 ∵∠BAC＝45°＋75°＝120°，2 分 ∴在△ABC 中，由余弦定理得： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC＝ 6.4 分
新课标2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第2课时高度角度问题课件新人教A版必修5
『规律总结』
航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解
决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标
在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．
〔跟踪练习 3〕 导学号 54742139 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50° 的方向，距小岛 A 12 n mile 的 B 处，发 现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西 10° 西方向行驶， 测得其速度为每 小时 10 n mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后 截获该走私船？(参考数据：sin38° ≈0.62)
3．在点 A 处观察一物体的视角为 50° ，请画出示意图. 导学号 54742132
[解析] 如图所示．
4．(2016· 浙江诸暨第一中学期中)为了测量河对岸的塔 AB 的高度，先在河岸 上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，此时测得塔顶 A 的仰角为 60° .再由点 C 沿北偏东 15° 方向走了 20m 到达点 D，测得∠BDC＝45° ，则塔 AB 的高度为 导学号 54742133 ( A ) A．20 6m C．20 2m B．20 3m D．20m
10m 导学号 54742131 30° ，斜坡 AB 的长度是________. 坡角 α 等于________
3 [解析] 由题意知，坡比 i＝tanα＝ . 3 ∵0° <α<90° ，∴坡角 α＝30° . 又∵坡高 BC＝5m， BC 5 ∴斜坡长 AB＝ ＝ ＝10m. sinα sin30°
命题方向3 ⇨测量角度问题
如图所示，当甲船位于 A 处时，获悉在其正东方向相距 20n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救． 甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏 西 30° ， 相距 10n mile 的 C 处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前 往 B 处救援(角度精确到 1° )？ 导学号 54742138
解三角形的实际应用举例—高度、角度问题 课件
【变式练习】 3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离
堤足1.2 m的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地 方，求堤对地面的倾斜角α. (精确到0.01°）
解：棒、石堤及地面构成一钝角三角形，其钝角大小为 180°-α. 由余弦定理得， cos（180°-α）= 1.22 + 2.82 - 3.52
113.15，
根据正弦定理,
BC sinCAB
= AC ， sinABC
sinCAB=
BC
sin ABC AC
=
54.0sin137° 113.15
0.325
5，
所以，∠CAB = 1.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行， 需要航行113.15n mile.
解：在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°-15°=10°. 根据正弦定理，
BC = AB ， sinA sinC
正确转化为 数学模型
BC=
AB sin sin C
A
=
5 sin 15 sin10
7.452
（4 km）
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m).
答：山的高约为1 047米.
把测量数据代入上式，得
BD = 27.3cos501' sin 5440' sin（5440' 501'）
.
=
27.3cos501' sin sin 439'
5440'
177.（4 m）
CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m).
答：山的高度约为150米.
第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：高度、角度问题(68页)
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思考感悟
1．“视角”是“仰角”吗？
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第一章 1.2 第2课时
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提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角 度．如图所示，视角60° 指的是观察该物体上下两端点时， 视线的张角．
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第一章 1.2 第2课时
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2．方位角的范围是(0° ，180° )吗？
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第一章 1.2 第2课时
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AB 在Rt△ABE中，tan∠AEB＝ ，AB为定值，若要使仰 BE 角∠AEB最大，则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB＝ 30° . 在Rt△BED中，∠BDE＝180° －135° －30° ＝15° ， ∴BE＝BD· sin∠BDE＝20 2sin15° ＝10( 3－1) (m)． 在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10( 3 －1)tan30° ＝ 10 3 (3－ 3)(m)． 10 ∴塔的高度为 3 (3－ 3) m.
标方向线为止的水平角 叫方位角． ______________________
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第一章 1.2 第2课时
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(3)如图(1)所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距 离，AB代表坡面距离．
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如图(2)所示，把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫
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第一章 1.2 第2课时
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典例导悟
类型一 [例1] 底部不可到达的高度问题 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40
解直角三角形经典题型应用题
解直角三角形经典题型应用题1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到：$x^2 + 3^2 = 2^2$化简得：$x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$由于x是高度，因此应该为正数。
但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。
这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{h}{50}$化简得：$h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx28.87$因此，这个高楼的高度约为28.87米。
3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？解：设河宽为w，根据三角函数，得到：$tan(45) = \frac{w}{20}$化简得：$w = 20\times tan(45) = 20$因此，河宽为20米。
4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。
又根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{3x}{y}$$tan(60) = \frac{2x}{y}$化简得：$x = y\times tan(30) = y\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}$ $x = y\times tan(60) = y\cdot\sqrt{3}$解得：$y = 6\sqrt{3}$因此，田地的面积为6x² = 1080平方米。
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跟踪训练2
如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C
在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15° 方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是
A.10 m C.10 3 m
B.10 2 m D.10 √ CD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命
以10 3 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，
从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获
走私船？并求出所需时间.
解答
反思与感悟
解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动
点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.
梳理
问题本质如图，已知三棱锥D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，
用α，β，m，γ表示DC的长.
[思考辨析 判断正误]
1.在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针.( × )
2.在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面
内的射影.( √ )
题型探究
类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题
1 2 3 4
√
asin αsin β B. sinα－β asin α D. sinα－βsin β
5
解析
答案
2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一
建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山
顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度
为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为
示AE的长，所得结果再加上h.
知识点二
测量方向角求高度
思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路
上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处
一山顶D在北偏西75°的方向上，行驶5 km
后到达B处，测得此山顶在北偏西65°的方
向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?
答案
先在△ABC 中，用正弦定理求 BC＝
5sin 15° . sin 10°，再在 Rt△DBC 中求 DC＝BCtan 8°
如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑 物高度AB？(已知测角仪器的高是h)
答案
AC m 解题思路是：在△ACD 中，sin β＝ sinα－β.
msin β 所以 AC＝ ， sinα－β
在Rt△AEC中，AE＝ACsin α，AB＝AE＋h.
梳理
问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α，β，m表
顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D
点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
解答
反思与感悟
此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的
平面，观测者两次观测点所在直线不经过 “ 目标物 ” ，解决办法是 把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解 三角形问题.
例1 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两
地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于
A.10 m C.5( 3－1) m
B.5 3 m D.5( √ 3＋1) m
解析 答案
反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.
(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次
BC CD 由正弦定理，得 ＝ ， sin∠BDC sin∠DBC
10sin 45° BC＝ sin 30° ＝10 2(m).
AB 在 Rt△ABC 中，tan 60° ＝BC，AB＝BC×tan 60° ＝10 6(m).
类型三 航海问题
例3 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处( 3－1)海里的B处有
θ，则cos θ等于
3 A. 2 2 B. 2 C. 3－1 √ D. 2－1
1
2
3
4
5
解析
答案
3.一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸
5 856.4 m.(精确到0.1 m) 俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________
8 000 8 000 解析 宽＝ － ＝5 856.4(m). tan 30° tan 45°
观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”
前进.
跟踪训练1
某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为
20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的
高度为____ 811 m.(精确到1 m)
解析
答案
类型二 测量方向角求高度问题
例2 如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山
1
2
3
4
5
解析
答案
4.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望
40 3 20 3米， 米 乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________. 3
解析 甲楼的高为 20tan 60° ＝20× 3＝20 3(米)，
3 40 3 乙楼的高为 20 3－20tan 30° ＝20 3－20× ＝ (米). 3 3
跟踪训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里 的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 3 a海里，问甲船应沿着什么 方向前进，才能最快与乙船相遇？
解答
达标检测
1.某公司要测量一水塔 CD 的高度，测量人员在地面选择了 A ，B 两个观测 点，且 A，B，C 三点在同一直线上，如图所示，在 A 处测得该水塔顶端 D π 的仰角为 α，在 B 处测得该水塔顶端 D 的仰角为 β.若 AB＝a,0<β<α< ，则 2 水塔 CD 的高度为 asinα－βsin α A. sin β asinα－βsin β C. sin α
解三角形的应用 角度、高度问题
学习目标
1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念.
2.掌握测量高度的常见方法.
3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等
角度问题.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
测量仰角(或俯角)求高度问题
如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，