弦切角定理及其推论
圆的弦切角定理
圆的弦切角定理
弦切角定理又叫做斜接角定理，它是由现代先驱理论家、著名数学家笛卡尔所提出的
几何定理，它讲述了弦和圆在一起时所形成的夹角大小。
这个定理本质上是一个几何定理，在经典几何学中被广泛使用。
定理的具体内容如下：设弦切线在圆上的作用点分别是A、B，AB是弦切点，AB垂直
线与圆的圆心O相交得到点C，AB点分别延长到P和Q使OP与OQ延长，则OC、OP、OQ
三角形内角的大小依次为：π的一半（90°）OCA弧与APO角，AOC弧与POC角，BOC弧
与QOC角。
证明：AOC为OCB的补角，POC和QOC绕O旋转就变为AOC，而AOC与AB垂直线合成
了直角，故总之，证明弦切角定理的关键是正确建立AOC和AB垂直线，即点C是A、B垂
直线的交点。
由于圆的拉格朗日定义及圆的定义，可得知BOC的中点的P的投影到OA上必是OA的
中点O，故点P必等于点C，从而证明了AB垂直线的交点为点C.
于是，AOC是一个直角，而AOC弧与APO角、AOC弧与POC角、BOC弧与QOC角就是其对应角，因此就可以看出弦切角定理了。
以上就是弦切角定理的证明，弦切角定理一般应用于圆面内不存在直线或点的情况，
这时，计算机就可以采用其求得弦和圆之间的夹角大小。
弦切角定理的证明与推导
弦切角定理的证明与推导弦切角定理的证明与推导弦切角定理是数学的一种定理，这种定理的证明是怎么一回事呢？下面就是啦店铺给大家整理的弦切角定理的证明内容，希望大家喜欢。
弦切角定理示范弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。
过点A作TP的平行线交BC于D则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD∴,∠BOC=2∠TCB证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A∴弧CmA=弧CA∵为半圆(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D弦切角定理介绍弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
(与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的.夹角叫做弦切角。
)顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图所示线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理衍生问题及其证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA∵弧CA为半圆,∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。
则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径∴∠DEA=90°∵AB为圆的切线∴∠BAD=90°∴∠DEA=∠BAD∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(3)圆心O在∠BAC的外部过A作直径AD交⊙O于D，连接CD【弦切角定理的证明与推导】。
弦切角定理圆幂定理之割线相交弦切割线定理
弦切角定理及其应用极点在圆上，一边和圆订交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线 PT 切圆 O 于点 C，BC 、AC 为圆 O 的弦，∠TCB 、∠ TCA 、∠PCA 、∠PCB 都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠ PCA=1/2 ∠ COA= ∠ CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连结 OC， OB, 。
∵∠ TCB=90 ° -∠ OCB∵∠ BOC=180 ° -2 ∠ OCB∴,∠ BOC=2 ∠ TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠ BOC=2 ∠CAB （同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠ TCB= ∠ CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知： AC 是⊙ O 的弦， AB 是⊙ O 的切线， A 为切点，弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种状况：（1）圆心 O 在∠ BAC 的一边 AC 上∵ AC 为直径， AB 切⊙ O 于 A ，∴弧 CmA= 弧 CA∵为半圆 ,∴∠ CAB=90= 弦 CA 所对的圆周角（ 2）圆心 O 在∠ BAC 的内部 . (B点应在A点左边)过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D,若在优弧 m 所对的劣弧上有一点 E那么，连结 EC 、ED 、 EA则有：∠ CED= ∠CAD 、∠ DEA= ∠DAB∴ ∠ CEA= ∠CAB∴ （弦切角定理）（ 3）圆心 O 在∠ BAC 的外面 ,过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D那么∠ CDA+ ∠CAD= ∠ CAB+ ∠ CAD=90 °∴∠ CDA= ∠ CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙ O 中，⊙ O 的切线 AC 、 BC 交与点C ，求证：∠ CAB= ∠ CBA 。
弦切角定理 证明-概念解析以及定义
弦切角定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述弦切角定理是几何学中一个重要的定理，被广泛应用于圆的相关问题中。
根据该定理，如果一个弦切割了一个圆，并且与该圆的切线相交于切点，那么与这个弦相对的角与这个切线相交的角是相等的。
这个定理基于圆的几何性质而推导得出，它不仅具有理论的重要性，还被大量应用于解决实际问题。
无论是在数理推导中，还是在物理、工程等实际应用中，弦切角定理都被广泛运用。
本文将会系统地介绍弦切角定理的定义、证明要点和应用。
在正文部分，我们将详细阐述定理的定义，解释证明该定理所需的关键要点，并通过推理和几何演绎来证明这一定理的正确性。
同时，我们也将结合实际问题，展示弦切角定理在实际中的应用。
结论部分将对弦切角定理的意义进行总结，并回顾全文的主要内容。
通过阅读本文，读者将能够深入了解弦切角定理的定义、证明过程，并能够灵活运用该定理解决与圆相关的问题。
同时，本文也为读者展示了弦切角定理在实际中的重要性和应用价值。
在接下来的章节中，我们将逐步介绍弦切角定理的定义、证明要点以及其在实际问题中的应用。
希望读者通过对本文的阅读和理解，能够对弦切角定理有一个全面而深入的认识，从而在解决相关问题时能够能够灵活运用并取得理想的结果。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：在本文中，我将探讨弦切角定理的证明。
本文分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将对弦切角定理进行概述，介绍其定义、重要性和应用领域。
然后我会详细说明本文的结构以及每个部分的内容。
正文部分将详细介绍弦切角定理的证明。
首先，我将给出弦切角定理的定义，并解释其背后的数学原理。
然后，我会重点讨论证明该定理所需的关键要点。
第一要点将涉及到几何图形的构建和性质推导，第二要点将涉及到角度关系的推理和推导。
通过详细的推导和证明过程，读者将能够全面理解弦切角定理的证明方法。
结论部分将归纳总结弦切角定理的应用和意义。
我将讨论该定理在几何学中的实际应用，以及它对其他几何定理的推导和应用的重要性。
弦切角定理推理过程-概述说明以及解释
弦切角定理推理过程-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：弦切角定理是数学中的一条基本几何定理，它描述了一个圆内切线与弦之间的关系。
通过研究弦切角定理，我们可以深入理解圆与其内切线的几何性质。
本文将详细介绍弦切角定理的定义、推导过程以及应用场景，并展望了其进一步的研究方向。
在几何学中，圆是最基本的几何图形之一，而弦则是圆上的一条线段。
弦切角定理是指当一个线段在圆上截取弦时，与该弦相交的切线与该弦之间的角度相等。
这个定理的重要性在于它提供了切线和弦之间的几何关系，使我们在解决实际问题时能够更加便利和高效。
本文将首先介绍弦切角定理的定义，明确其几何意义和表述方式。
其次，我们将详细推导弦切角定理，从最基本的几何性质出发，逐步推导得出定理的数学表达式。
通过推导过程，我们可以深入理解弦切角定理的本质和原理。
接着，我们将探讨弦切角定理的应用场景。
弦切角定理广泛应用于数学和物理等领域，例如在测量和计算过程中，我们可以利用弦切角定理来求解未知量或优化问题。
此外，弦切角定理还与圆的切线、割线等几何性质密切相关，对于深入理解圆的性质具有重要意义。
最后，我们将总结弦切角定理的重要性，指出它在几何学中的地位和作用。
同时，我们还将探讨弦切角定理的实际应用场景，例如在建筑、地理勘测、机械工程等领域的应用。
同时，对于弦切角定理的进一步研究也是不可忽视的，我们将展望弦切角定理在更广泛领域的应用和深化研究的可能性。
通过本文的阐述，读者将能全面了解弦切角定理的概念、推导过程和应用场景，进一步认识到弦切角定理在数学和实际问题求解中的重要性和实用性。
同时也将对弦切角定理的未来研究方向产生更多的兴趣和思考。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写:文章结构:本文将按照以下结构进行论述：引言、正文和结论。
引言部分将概述本文的研究对象——弦切角定理，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将包含弦切角定理的定义、推导过程和应用。
弦切角定理及推论
弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC 是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于 D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. ∵在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF∥BC. 证明：连DF. AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于 D ∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于 C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.。
九年级数学弦切角定理、相交弦定理浙江版知识精讲
九年级数学弦切角定理、相交弦定理某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：弦切角定理、相交弦定理二. 教学重、难点：重点：正确理解弦切角定理与相交弦定理难点：弦切角定理以及相交弦定理的应用三. 补充：弦切角定理与相交弦定理的知识要点：1. 学习和识别弦切角需注意两个方面（1）顶点在圆上（2）一边与圆相交成弦，另一边与圆相切于顶点．2. 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．3. 相交弦定理：圆内的两条弦相交，则被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB、CD相交于P，则PA·PB=PC·PD．【典型例题】例1. 如图，AB是圆O的弦，P在AB上，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求圆O的半径．解析：由P为AB上一点且已知PA、PB，可联想到相交弦定理，不妨向两方延长OP，分别交圆O于C、D．由相交弦定理：BP·AP=CP·DP又CP=CO+OP ，DP=OD －OP 且CO=DO ．∴BP ·AP=（CO+OP ）（CO －OP ）=CO 2－PO 2 ∴当AB=10，PA=4时，BP=6 又OP=5∴解得CO=7即圆O 的半径为7cm ．例2. 如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 平分∠C ，BD 交AC 于点F ，过A 作圆O 的切线AE 交CB 的延长线于点E 。
求证：①AE//DB ②AE DF AD 2⋅=E解析：AE 切圆O ，ACB EAB ∠=∠∴（弦切角定理） 又ABD DCA ∠=∠A ∠∴是DCB ∠的平分线。
DB //AE ,ABD EAB ∴∠=∠∴ AEDF AD AD AB BCA DCA AD AEDF AB ,DFA ~ABE )(ADB BAE DACDBC E 2⋅=∴=∠=∠=∴∆∆∴∠=∠∠=∠=∠∴ 又弦切角定理例3. 如图，已知圆O 中，AB//CD ，BG 切圆O 于B ，P 为⋂CD 上一点，PA 、PB 交CD 于E 、F 。
【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理
【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理一、弦切角1、定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图：2、弦切角的三种情况（1）圆心在弦切角外；（2）圆心在弦切角的一条边上；（3）圆心在弦切角内；二、弦切角定理及证明定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角；弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。
已知：如图，PQ是圆O的切线，切点为P。
求证：∠APQ=∠ABP，2∠APQ=∠AOP.（1）当圆心在弦切角外部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧优弧PA上任取一点B，连接BP和BA。
∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠POA=180°∴2∠OPA+∠POA=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA+∠APQ=90°∴ ∠OPA=90°-∠APQ∴ 2（90°-∠APQ）+∠POA=180°∴∠POA=2∠APQ∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP（2）当圆心在弦切角的一边上时证明：在非弦切角所夹弧AP上任取一点B，连接AB、PB ∵ AP为直径∴ ∠ABP=90°∵ PQ为圆的切线，OP为半径∴ ∠APQ=90°∴∠APQ=∠ABP∴2∠APQ=∠AOP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）. （3）当圆心在弦切角的内部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧劣弧PA上任取一点B，连接BP和BA。
∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠1=180°∴2∠OPA+∠1=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA=∠APQ-90°∴ 2（∠APQ-90°）+∠1=180°∴ ∠1+2∠APQ=360°∵ ∠1+∠2=360°∴∠2=2∠APQ∴ ∠POA=2∠APQ（这里的∠POA是大于180°的角，是优弧AP所对的圆心角）∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP三、例题例1、已知：如图，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，求∠A．解：由弦切角定理可得，∠DBC=∠A∵ AD=BD∴ ∠A=∠ABD∵ AB=AC∴ ∠ABC=∠ACB=2∠A∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴5∠A=180°∴ ∠A=36°例2、已知：如图，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，求∠CAB的值。
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弦切角定理及其推论
定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.
证明：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90°-∠OCB
∵∠BOC=180°-2∠OCB
∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）
∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
弦切角定理推论：两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。
应用举例：
第一个算出地球周长的人
──埃拉托色尼
2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。
这个人就是古希腊的埃拉托色尼。
埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。
细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。
但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。
他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。
从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。
按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。
埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。
他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。
这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。
埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。
书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。
埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。