函数的应用(二)专题训练卷(含解析)

函数的应用（二）专题训练卷一、单选题1．（2020·大通回族土族自治县第一完全中学高二期中（文））今有一组实验数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A ．2log v t =B ．12log v t =C ．212t v -=D ．22v t =-2．（2020·山东省高三其他）函数()34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,0 B ．0,1 C ．1,2D ．()2,33.已知f (x )＝1x －ln x 在区间(1,2)内有一个零点x 0，若用二分法求x 0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．64．（2020·山西省太原五中高三月考（理））已知方程ln 112x x =-的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．（2020·上海高一课时练习）某商厦去年1月份的营业额为100万元.如果该商厦月营业额的平均增长率为2%，则该商厦的月营业额首次突破120万元是在去年的( ) A ．9月份B ．10月份C ．11月份D ．12月份6．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）函数()22log 3x f x x =+-的零点所在区间( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 7．（2020·上海高三专题练习）若是方程式的解，则属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，1.25）C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）8．（2020·四川省泸县第一中学高二月考（文））已知函数()()22,22,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()y g x =恰有3个零点，则b 的取值范围是（ ） A ．[]0,2B ．[)0,2C ．(]0,2D ．()0,29．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）已知函数()2,01ln ,0x x f x x x-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞10．（2020·广东省高三其他（文））已知函数2,0,()1(),02x x x f x x ⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩且函数2()(())()g x f x af x =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0][3,)-∞+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,1][2,)-∞-+∞ D ．(,0][2,)-∞+∞二、多选题11．（2019·滨州行知中学高一期末）已知函数()()2222log log 3f x x x =--，则（ ） A ．()43f =-B ．函数()y f x =的图象与x 轴有两个交点C ．函数()y f x =的最小值为-4D ．函数()y f x =的最大值为412．（2020·四川省棠湖中学高三一模（文））已知函数()22log x f x x =+，且实数0a b c >>>，满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x a >C ．0x b <D ．0x c <13．（2019·滨州市博兴县第一中学高一期中）已知函数22,0(),0x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩,若关于x 的方程(())0f f x =有8个不同的实根，则a 的值可能为（ ）. A ．-6B ．8C ．9D ．1214．（2020·山东省济宁一中高三月考）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）. A ．(3)0f =B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点 三、填空题15．（2020·广东省高一月考）函数()1ln 52xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点个数为______. 16．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高二期末）已知函数()2,21,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______．17．（2020·西藏自治区高三二模（文））函数()f x 的定义域为[)1,1-，其图象如图所示．函数()g x 是定义域为R 的奇函数，满足()()20g x g x -+=，且当()0,1x ∈时，()()g x f x =．给出下列三个结论：①()00g =；②函数()g x 在()1,5-内有且仅有3个零点； ③不等式()0f x -<的解集为{}10x x -<<． 其中，正确结论的序号是________． 四、双空题18．（2019·全国高一）用二分法研究函数f(x)＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．19．（2020·广东省高一期末）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．20．（2020·北京市建华实验学校高三月考）科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率B 与该黑体的绝对温度T 的4次方成正比，即4B T σ=，σ为玻尔兹曼常数．而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，B 为纵坐标，以4T 为横坐标，则能够近似得到______（曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式______．21.（2020·河南省高三一模（文））已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()20,f x f x +-=且当()0,1x ∈时，2().f x x =则()1f =_____.()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点共有_____个.五、解答题22．（2020·上海高一课时练习）求证：函数()3221f x x x x =+++的零点有且只有一个，且该零点位于区间()1,0-．23．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知函数21,1,()log , 1.a x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥若(2)1f =-．（1）求a 的值．（2）若函数k x f x g -=)()(有三个零点，求k 的取值范围．24.（2020·上海高三专题练习）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量()mg y 与时间()h t 成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数）.如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量()mg y 与时间()h t 之间的函数关系式为________； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg 以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少时间学生才能回到教室？25．（2019·广东省增城中学高一期中）已知定义在R 上奇函数f (x )在0x ≥时的图象是如图所示的抛物线的一部分.（1）请补全函数f (x )的图象； （2）写出函数f (x )的表达式； （3）讨论方程|f (x )|=a 的解的个数.26．（2020·山东省莱州一中高二月考）某种出口产品的关税税率t ，市场价格x （单位：千元）与市场供应量p （单位：万件）之间近似满足关系式：p ()21()2kt x b --=，其中k ，b 均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． （1）试确定k 、b 的值；（2）市场需求量q （单位：万件）与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2﹣x ．p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．27．（2020·湖北省高一期末）已知函数2()21f x ax x =-+.(Ⅰ)若()f x 的值域为[)0,+∞，求a 的值； (Ⅱ)巳12a ≤，是否存在这祥的实数a ，使函数2()log 4xy f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点.若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.一、单选题1．（2020·大通回族土族自治县第一完全中学高二期中（文））今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A ．2log v t = B ．12log v t =C ．212t v -=D ．22v t =-【答案】C 【解析】由表可知：v 随着t 的增大而增大；所以B 不适合；对于A:22log 1.992,log 230.3,log 42;≈≈=所以A 不接近；对于C 22221,9913141 5.111.5,4,7.5,12.52222----≈==≈,26.12118.2.2-≈C 接近；对于D:2 1.992 1.98,2324,2426,2 5.128.2,2 6.12210.24.⨯-=⨯-=⨯-=⨯-=⨯-=D 不接近；故选C2．（2020·山东省高三其他）函数()34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,0 B ．0,1 C ．1,2D ．()2,3【答案】C 【解析】3()4f x x x =+-，易知函数单调递增，(0)40f =-<，(1)20f =-<，(2)20f =>,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选：C.3.已知f (x )＝1x －ln x 在区间(1,2)内有一个零点x 0，若用二分法求x 0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f (32)＞0，区间长度|2－32|＝0.5＞0.2，分二次，f (74)＞0，区间长度|2－74|＝0.25＞0.2，分三次f (158)＜0，区间长度|74－158|＝18＜0.2，所以最多分三次可以使x 0的近似值达到精确度0.2.4．（2020·山西省太原五中高三月考（理））已知方程ln 112x x =-的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】由题意，设函数()ln 211f x x x =+-，则()120f x x'=+>恒成立， 即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()3ln32311ln350f =+⨯-=-<，()4ln 42411ln 430f =+⨯-=-<，()5ln52511ln510f =+⨯-=->，由零点存在性定理可知，函数()f x 的零点在区间()4,5，即()04,5x ∈， 又()0,1x k k ∈+，*k N ∈，所以4k =. 故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）某商厦去年1月份的营业额为100万元.如果该商厦月营业额的平均增长率为2%，则该商厦的月营业额首次突破120万元是在去年的( ) A ．9月份 B ．10月份 C ．11月份 D ．12月份【答案】C 【解析】由题，x 月份的营业额为()110010.02,1,2,3...11,12x x -+=，故超过120万元的月份满足()110010.02120x -+≥，即11.02 1.2x -≥， 1.02log 1.2110.2x ≥+≈.故月营业额首次突破120万元是在去年的11月份. 故选：C6．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）函数()22log 3xf x x =+-的零点所在区间( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B 【解析】由题意，可得函数在定义域上为增函数，()2f 12log 1310=+-=-<，()22f 22log 235320=+-=-=>，所以()()120f f <，根据零点存在性定理，()f x 的零点所在区间为()1,2 故选B ．7．（2020·上海高三专题练习）若是方程式的解，则属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，1.25）C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）【答案】D 【解析】设()lg 2,(2)lg 20;f x x x f =+-=>71(1.75)lg1.750.25lg 44f =-=-，14447725014102560,10,4=<⨯=∴<则1471111(1.75)lg1.750.25lg lg100.44444f =-=-<-<-=属于区间（1.75，2）,故选D8．（2020·四川省泸县第一中学高二月考（文））已知函数()()22,22,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()y g x =恰有3个零点，则b 的取值范围是（ ） A ．[]0,2 B ．[)0,2 C ．(]0,2 D ．()0,2【答案】D 【解析】当22x -≤时，0x ≥；当22x ->时，0x <，所以()()222,0222,0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨--<⎪⎩，即()2,0224,2,0x x f x x x x x ≤≤⎧⎪-=->⎨⎪<⎩，画出()2f x -的图像如下图所示，要使函数()y g x =恰有3个零点，则y b =与()2f x -的图像有3个交点，由图可知，b 的取值范围是()0,2.故选：D9．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）已知函数()2,01ln ,0x x f x x x-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】令()0g x =可得()f x x a =+，作出函数()y f x =与函数y x a =+的图象如下图所示：由上图可知，当1a ≥时，函数()y f x =与函数y x a =+的图象有2个交点， 此时，函数()y g x =有2个零点. 因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞. 故选：D.10．（2020·广东省高三其他（文））已知函数2,0,()1(),02x x x f x x ⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩且函数2()(())()g x f x af x =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0][3,)-∞+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,1][2,)-∞-+∞ D ．(,0][2,)-∞+∞【答案】C 【解析】函数2,0,()1(),02x x x f x x ⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩的图象，如图所示.当2()(())()0g x f x af x =-=时，有()0f x =或()f x a =，故由题可知，函数()0f x =时有一个零点，函数()f x a =时有一个零点，则实数a 的取值范围为(,1][2,)-∞-+∞， 故选：C .二、多选题11．（2019·滨州行知中学高一期末）已知函数()()2222log log 3f x x x =--，则（ ） A ．()43f =-B ．函数()y f x =的图象与x 轴有两个交点C ．函数()y f x =的最小值为-4D ．函数()y f x =的最大值为4【答案】ABC 【解析】A 选项：2222(4)(log 4)log 433f =--=-，正确；B 选项：因为222()(log )2log 3,(0,)f x x x x =--∈+∞，令()0f x =得：22(log 1)(log 3)0x x +-=，即得2log 1x =-或2log 3x =，所以12x =或8x =， 即()f x 的图像与x 有两个交点，正确.C 选项：因为22()(log 1)4,(0,)f x x x =--∈+∞，所以当2log 1x =，即2x =时，min ()4f x =-，正确.D 选项：由上可知，()f x 没有最大值. 所以答案为ABC.12．（2020·四川省棠湖中学高三一模（文））已知函数()22log xf x x =+，且实数0a b c >>>，满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x a >C ．0x b <D ．0x c <【答案】ABC 【解析】由函数的单调性可得，函数()22log xf x x =+在()0,∞+为增函数，由()()()0f a f b f c <， 则()()()f a f b f c ，，为负数的个数为奇数， 对于选项A B C ，，，选项可能成立对于选项D ，当0x c <时，函数的单调性可得：()()()000f a f b f c >>>，， 即不满足()()()0f a f b f c <，故选项不可能成立，故选：ABC 13．（2019·滨州市博兴县第一中学高一期中）已知函数22,0(),0x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩,若关于x 的方程(())0f f x =有8个不同的实根，则a 的值可能为（ ）. A ．-6 B ．8 C ．9 D ．12【答案】CD 【解析】当0a ≤时, ()0f x =仅0x =一根,故(())0f f x =有8个不同的实根不可能成立. 当0a >时, 画出图象,当(())0f f x =时, 1()2f x a =-,2()0f x =,3()f x a =又(())0f f x =有8个不同的实根,故1()2f x a =-有三根,且22224a a y x ax x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭. 故2284a a a ->-⇒>.又2()0f x =有三根, 3()f x a =有两根,且满足20a a a <⇒>.综上可知,8a >.故选：CD14．（2020·山东省济宁一中高三月考）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）. A ．(3)0f =B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点 【答案】ABD 【解析】:A 令3x =-，则由()()()63f x f x f +=+，得()()()()33323f f f f =-+=， 故()30f =,A 正确；:B 由()30f =得：()()6f x f x +=，故()f x 以6为周期．又()f x 为偶函数即关于直线0x =对称，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，B 正确；:C 因为当1x ，[]20,3x ∈，12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-成立，故()f x 在[]0,3上为增函数， 又()f x 为偶函数， 故在[]3,0-上为减函数， 又周期为6．故在[]9,6--上为减函数， C 错误；该抽象函数图象草图如下：:D 函数()f x 周期为6，故()()93f f -=- ()()390f f ===，故()y f x =在[]9,9-上有四个零点， D 正确． 故答案为：ABD ． 三、填空题15．（2020·广东省高一月考）函数()1ln 52xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点个数为______. 【答案】1 【解析】由于函数ln 5y x =+是增函数，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以，函数()1ln 52xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为增函数，又5151102e f e ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f >，由零点存在定理可知，函数()y f x =有且只有一个零点，且该零点位于区间51,1e ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：1.16．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高二期末）已知函数()2,21,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】()0,1 【解析】()2,21,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩可画函数图象如下所示：因为关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，即函数()y f x =与函数y k =有两个不同的交点，从函数图象可得01k <<时，函数()y f x =与函数y k =有两个不同的交点， 故()0,1k ∈ 故答案为：()0,117．（2020·西藏自治区高三二模（文））函数()f x 的定义域为[)1,1-，其图象如图所示．函数()g x 是定义域为R 的奇函数，满足()()20g xg x -+=，且当()0,1x ∈时，()()g x f x =．给出下列三个结论：①()00g =；②函数()g x 在()1,5-内有且仅有3个零点； ③不等式()0f x -<的解集为{}10x x -<<． 其中，正确结论的序号是________． 【答案】①③【解析】因为函数()y g x =是奇函数，所以()()g x g x =--，又()()20g x g x -+=，所以()()2g x g x -=-，即()()2g x g x +=， 所以，函数()y g x =的周期为2.对于①，由于函数()y g x =是R 上的奇函数，所以，()00f =，故①正确； 对于②，()()20g x g x -+=，令1x =，可得()210g =，得()10g =，所以，函数()y g x =在区间[]1,1-上的零点为0和1.因为函数()y g x =的周期为2，所以函数()y g x =在()1,5-内有5个零点，分别是0、1、2、3、4，故②错误；对于③，令t x =-，则需求()0f t <的解集，由图象可知，01t <<，所以10x -<<，故③正确. 故答案为：①③. 四、双空题18．（2019·全国高一）用二分法研究函数f(x)＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________． 【答案】(0,0.5) f(0.25) 【解析】因为f(x)＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．19．（2020·广东省高一期末）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (1,3](4,)+∞【解析】由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)+∞.20．（2020·北京市建华实验学校高三月考）科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率B 与该黑体的绝对温度T 的4次方成正比，即4B T σ=，σ为玻尔兹曼常数．而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，B 为纵坐标，以4T 为横坐标，则能够近似得到______（曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式______．【答案】射线 B 为纵坐标，以8T 为横坐标. 【解析】（1）因为4B T σ=，σ为玻尔兹曼常数．B 为纵坐标，以4T 为横坐标，因为40x T =≥，所以(0)B x x σ=≥，所以曲线是一条射线； （2）由于曲线的形状类似y x =B 为纵坐标，以8T 为横坐标，故答案为：B 为纵坐标，以8T 为横坐标.故答案为：（1）射线；（2）B 为纵坐标，以8T 为横坐标.21.（2020·河南省高三一模（文））已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()20,f x f x +-=且当()0,1x ∈时，2().f x x =则()1f =_____.()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点共有_____个.【答案】0 5 【解析】由()()20,f x f x +-=令1x =，则()()110,f f +=解得()10f =； 由()()20,f x f x +-=则()()2f x f x -=-，又因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()2f x f x -=-，所以()f x 是以2为周期的函数，()g x 的零点个数，即函数()y f x =与lg y x =的交点个数，在同一坐标系中作出两函数图像：由图可知两函数有5个交点， 即函数()g x 的零点共有5. 故答案为：5 五、解答题22．（2020·上海高一课时练习）求证：函数()3221f x x x x =+++的零点有且只有一个，且该零点位于区间()1,0-． 【答案】证明见解析. 【解析】任取1x 、2x R ∈，且12x x <，则()()()()3232121112222121f x f x x x x x x x -=+++-+++()()()32221212122x x x x x x =-+-+-()()()()()221211*********x x x x x x x x x x x x =-+++-++-()()22121122122x x x x x x x x =-+++++()()()()222121************x x x x x x ⎡⎤=-++++++⎢⎥⎣⎦，12x x <，120x x ∴-<，()()()22212121111110222x x x x ++++++>，()()12f x f x ∴<， 则函数()3221f x x x x =+++在R 上为增函数， 又()11f -=-，()010f =>，由零点存在定理可知，函数()3221f x x x x =+++的零点有且只有一个，且该零点位于区间()1,0-.23．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知函数21,1,()log , 1.a x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥若(2)1f =-．（1）求a 的值．（2）若函数k x f x g -=)()(有三个零点，求k 的取值范围． 【答案】（1）12a =（2）10k -<< 【解析】（1）x≥1，log a 2=-1，12a =； （2）函数f （x ）的图象如图所示，∵函数g （x ）=f （x ）-k 有三个零点， ∴-1＜k ＜024.（2020·上海高三专题练习）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量()mg y 与时间()h t 成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数）.如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量()mg y 与时间()h t 之间的函数关系式为________；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg 以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少时间学生才能回到教室？【答案】（1）0.110,00.11,0.116t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）0.6 【解析】（1）观察图象，当1010t时是直线， 10y t ∴=． 当110t 时，图象过(0.1,1)， ∴1101()16t y -=， ∴含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为：110110,01011(),1610t t t y t -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩． （2）由题意可得10.254y <=，因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克， 学生也不能进入教室，所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即110111640.1t t -⎧⎛⎫⎪< ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩，解得0.6t >，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．25．（2019·广东省增城中学高一期中）已知定义在R 上奇函数f (x )在0x ≥时的图象是如图所示的抛物线的一部分.（1）请补全函数f (x )的图象；（2）写出函数f (x )的表达式；（3）讨论方程|f (x )|=a 的解的个数.【答案】（1）答案见解析；（2）2224,0()24,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（3）答案见解析. 【解析】（1）补全f (x )的图象如图所示：（2）当0x ≥时，设2()(1)2f x a x =--，由f (0)=0得，a =2，所以此时，22()2(1)224f x x x x =--=-.当x <0时，−x >0，所以22()2()4()24f x x x x x -=---=+①又f (−x )=−f (x )，代入①得2()24f x x x =-- 综上可得，2224,0()24,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩. （3）方程|f (x )|=a 的解的个数，即函数|f (x )|的图象和直线y =a 的交点个数，函数y =|f (x )|的图象如图2所示，由图象可得，当a <0时，方程无解；当a =0时，方程有三个解；当0<a <2时，方程有6个解；当a =2时，方程有4个解；当a >2时，方程有2个解.26．（2020·山东省莱州一中高二月考）某种出口产品的关税税率t ，市场价格x （单位：千元）与市场供应量p （单位：万件）之间近似满足关系式：p ()21()2kt x b --=，其中k ，b 均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． （1）试确定k 、b 的值；（2）市场需求量q （单位：万件）与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2﹣x ．p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．【答案】(1) b ＝5，k ＝1； (2)500%【解析】（1）由已知可得：()()2210.75(5)10.75(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴()()()()2210.755010.7571k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩， 解得：b ＝5，k ＝1（2）当p ＝q 时，21-)(-5)22t x x -=（ ∴（1﹣t ）（x ﹣5）2＝﹣x ⇒t ＝1()25xx +=-112510x x++-， 而f （x ）＝x 25x+在（0，4]上单调递减，∴当x ＝4时，f （x ）有最小值414， 此时t ＝112510x x ++-取得最大值5； 故当x ＝4时，关税税率的最大值为500%27．（2020·湖北省高一期末）已知函数2()21f x ax x =-+.(Ⅰ)若()f x 的值域为[)0,+∞，求a 的值；(Ⅱ)巳12a ≤，是否存在这祥的实数a ，使函数2()log 4x y f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点.若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ) 1a =；(Ⅱ)存在，11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】(Ⅰ)函数()f x 的值域为[)0,+∞，则()20240a a >⎧⎪⎨∆=--=⎪⎩，解得1a =. (Ⅱ)由222()log 23log 04x y f x ax x x =-=-+-=， 即2223log ax x x -+=令2()23g x ax x =-+，2()log h x x =，x ∈[]1,2，原命题等价于两个函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点.(1)当0a =时，()23g x x =-+在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增， 而g (1)=1>0=h (1)，g (2)=-1<1=h (2)，∴函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点.(2)当0a ＜时，()g x 图象开口向下，对称轴为10x a=＜，()g x 在[]1,2上递减， 2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点， 当且仅当(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩即112a -≤≤. ∴10a -≤＜(3)当102a ≤＜时，()g x 图象开口向上，对称轴为12x a=≥，()g x 在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点，(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩即112a -≤≤，∴1 02a≤＜.综上，存在实数11,2a⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使函数2()log4xy f x=-于在区间[]1,2内有且只有一个点.。