实验1 一元函数的图形
实验库1：一元函数微分学2
实验一 一元函数微积分学实验2 极限与连续（基础实验）实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.1、作散点图例2.1 (教材 例2.1) 分别画出坐标为)10,,2,1(),4,(),,(3222 =+i i i i i i 的散点图, 并画出折线图. 分别输入命令t1=Table[i^2,{i,10}]; g1=ListPlot[t1,PlotStyle->PointSize[0.02]]; g2=ListPlot[t1,PlotJoined->True];Show[g1,g2]; t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}];g1=ListPlot[t2,PlotStyle->PointSize[0.02]]; g2=ListPlot[t2,PlotJoined->True];Show[g1,g2]; 则分别输出所求图形.例2.2 画出前25个素数的散点图. 输入命令Table[Prime[n],{n,25}];ListPlot[Table[Prime[n],{n,25}],PlotStyle->PointSize[0.015]];则分别输出所求图形.2、数列极限的概念例2.3 观察数列}{n n 的前100项变化趋势. 输入命令t=N[Table[n^(1/n),{n,1,100}]]; ListPlot[t,PlotStyle->PointSize[0.015]];则分别输出所求图形. 从图中可看出, 这个数列似乎收敛于1.下面我们以数值的方式来说明这一变化趋势. 输入以下语句, 并观察其数值结果.m=2;xn=0;For[i=1,i<=1000,i+=50,If[Abs[xn-1]>10^(-m),xn=N[n^(1/n),20]]]; Print[i, " ",xn];设该数列收敛于),0(1≥+=u u A 不妨取,102-=u 下面考察n n 与A 的接近程度. 输入以下Mathematica 语句.u = 10^9(-2); A = 1 + u; m = 5; n = 3; an = Sqrt[3]; While[Abs[A-an] >= 10^(-m), n++; an = N[n^(1/n)]]; Print[" n=", n, " an=", an, "|A-an|=", Abs[A - an]]; 结果表明: 当01.1,651==n a n 时, n a 与2101-+的距离小于.105-例2.4 观察Fibonacci 数列的变化趋势.Fibonacci 数列具有递推关系,,1,12110--+===n n n F F F F F 令1+=n nn F F R . 输入命令fn1=1;fn2=1;rn=1; For[i=3,i<=14,i++,Fn=fn2+fn1;fn2=fn1;fn1=fn;rn=N[fn2/fn1,20];dn=rn-rn1; rn1=rn;Print[i, " ", fn1, " ", rn, " ",dn]];其中第二列给出了Fibonacci 数列的前14项, 第3列给出了n R 的值, 由第4列可以看出, .01→--n n R R 我们也可以用散点图来观察Fibonacci 数列的变化趋势如图所示, 输入命令Clear[f]; f[n_]:= f[n-1]+f[n-2];f[0]=1;f[1]=1;fab20=Table[f[i],{i,0,20}];ListPlot[fab20,PlotStyle ->PointSize[0.02]]; Infab20=Log[fab20];ListPlot[Infab20,PlotStyle-> PointSize[0.02]];则输出所求散点图.为了更好地观察数列的变化趋势, 我们可以利用Mathematica 的动画功能来进一步观察数列随着n 的增大的变化趋势.例2.5 通过动画观察当∞→n 时数列21n a n =的变化趋势.输入Clear[tt];tt={1,1/2^2,1/3^2}; Do[tt=Append[tt,N[1/i^2]];ListPlot[tt,PlotRange->{0,1},PlotStyle->PointSize[0.02]],{i,4,20}]则输出所求图形动画. 从图中可以看出所画出的点逐渐接近于x 轴.例2.6 研究极限.1512lim 33++∞→n n n输入Print[n, " ", Ai, " ",0.4-Ai];For[i=1, i<=15, i++,Aii=N[(2 i^3+1)/(5 i^3+1),10]; Bii=0.4-Aii; Print[i, " ", Aii, " ", Bii]]则输出n Ai 0.4-Ai 1 0.5–0.1 2 0.414634 –0.0146341 3 0.404412 –0.00441176 4 0.401869 –0.00186916 5 0.400958 –0.000958466 6 0.400555 –0.000555042 7 0.40035 –0.00034965 8 0.400234 –0.000234283 9 0.400165 –0.000164564100.40012–0.00011997611 0.40009 –0.000090144212 0.400069 –0.0000694364 13 0.400055 –0.000054615 14 0.400044 –0.0000437286 150.400036–0.0000355534观察所得数表. 第一列是下标n . 第二列是数列的第n 项,151233++n n 它与0.4越来越接近. 第三列是 数列的极限0.4与数列的项的差, 逐渐接近0.再输入fn=Table[(2 n^3+1)/(5 n^3+1),{n,15}]; ListPlot[fn,PlotStyle->{PointSize[0.02]}]则输出散点图. 观察所得散点图, 可见表示数列的点逐渐接近于直线.4.0=y注:命令For 的格式见项目二中实验1的基本命令.3、函数的极限例2.7 在区间]4,4[-上作出函数xx xx x f --=339)(的图形, 并研究)(lim x f x ∞→ 和 ).(lim 1x f x →输入命令Clear[f];f[x_]=(x^3-9x)/(x^3-x); Plot[f[x],{x,-4,4}];则输出)(x f的图形. 从图可猜测 )(lim ,9)(lim 1x f x f x x →→=不存在.例2.8 观察函数x x x f sin 1)(2=当+∞→x 时的变化趋势. 取一个较小的区间[1, 10], 输入命令f[x_]=Sin[x]/x^2;Plot[f[x],{x,1,20}];则输出)(x f 在这一区间上的图形. 从图中可以看出图形逐渐趋于0. 事实上, 逐次取更 大的区间, 可以更有力地说明当+∞→x 时, .0)(→x f作动画: 分别取区间]100,10[,],20,10[],15,10[ 画出函数的图形, 输入以下命令:i=3;While[i<=20,Plot[f[x],{x,10,5*i},PlotRange->{{10,100},{-0.008,0.004}}];i++]则输出17幅图, 点黑右边的线框, 并选择从前向后的播放方式播放这些图形, 可得函数x x x f sin 1)(2=当∞→x 时变化趋势的动画, 从而可以更好地理解此时函数的变化趋势. 例2.9 考虑函数.arctan x y = 输入Plot[ArcTan[x],{x,-50,50}]则输出该函数的图形. 观察当∞→x 时, 函数值的变化趋势.分别输入Limit[ArcTan[x],x->Infinity,Direction->+1] Limit[ArcTan[x],x->Infinity,Direction->-1]输出分别为2π与.2π- 考虑函数.sgn x y =分别输入Limit[Sign[x],x->0,Direction->+1] Limit[Sign[x],x->0,Direction->-1]输出分别为-1与1.4、两个重要极限例2.10 考虑第一个重要极限.sin lim0xxx →输入Plot[Sin[x]/x,{x,-Pi,Pi}]则输出函数xxsin 的图形. 观察图中当0→x 时, 函数值的变化趋势. 输入 Limit[Sin[x]/x,x->0]输出为1, 结论与图形一致.例2.11 研究第二个重要极限.11lim xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→输入Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity]输出为e. 再输入Plot[(1+1/x)^x,{x,1,100}]则输出函数xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限.11lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→4、无穷大例2.12 考虑无穷大. 分别输入Plot[(1+2 x)/(1-x),{x,-3,4}] Plot[x^3-x,{x,-20,20}]则分别输出两个给定函数的图形. 在第一个函数的图形中,1→x 时函数的绝对值无限增大,在第 二个函数的图形中,∞→x 时函数的绝对值在无限增大. 输入Limit[(1+2x)/(1-x),x->1]Mathematica 输出的是-∞. 这个结果应该是右极限.例2.13 考虑单侧无穷大. 分别输入Plot[E^(1/x),{x,-20,20},PlotRange->{-1,4}] Limit[E^(1/x),x->0,Direction->+1] Limit[E^(1/x),x->0,Direction->-1]则输出所给函数的图形、左极限0和右极限值∞. 再输入Limit[E^(1/x),x->0]Mathematica 的输出仍然为∞.这又是右极限（同上例）. 因此在没有指明是左右极限时, 命令Limit 给出的是右极限.例2.14 输入Plot[x+4*Sin[x],{x,0,20 Pi}]则输出所给函数的图形. 观察函数值的变化趋势. 当∞→x 时, 这个函数是无穷大. 但是, 它并不是单调增加. 于是, 无穷大并不要求函数单调.例2.15输入Plot[x*Sin[x],{x,0,20 Pi}]则输出所给函数的图形.观察图中函数的变化趋势. 这个函数无界, 但是, 当∞→x 时, 这个函数不是无穷大. 即 趋向于无穷大的函数当然无界, 而无界函数并不一定是无穷大.5、连续与间断例2.16 考察函数x x f sin )(=在5=x 处的连续性.选取几个},{n x 考察当5→n x 时, n x sin 的变化趋势, 依次取,11ln ,1)1(5,155nn n n n n x n x n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=+=当∞→n 时, 他们的极限均为5.输入命令g1 = ListPlot[Table[Sin[5 + 1/n], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]; g2 = ListPlot[Table[Sin[5 + (-1)^n/Sqrt[n]], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];g3 = ListPlot[Table[Sin[5*n*Log[(1 + 1/n)]], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1]];g = Show[g1, g2, g3];则输出相应的)sin ,(n n x x 的散点图. 由图可看出它们趋于同一极限值.例2.17 观察可去间断. 分别输入Plot[Tan[x]/x,{x,-1,1}] Plot[(Sin[x]-x)/x^2,{x,-Pi,Pi}]则输出所给函数的图形. 从图可见，0=x 是所给函数的可去间断点.11例2.18 观察跳跃间断. 分别输入Plot[Sign[x],{x,-2,2}]Plot[(E^(1/x)-1)/(E^(1/x)+1),{x,-2,2}]则分别输出所给函数的图形. 从图可见，0 x 是所给函数的跳跃间断点.12例2.19 观察无穷间断. 分别输入Plot[1/(1-x^2),{x,-3,3}]则输出所给函数的图形. 从图可见，0=x 是所给函数的跳跃间断点.例2.20 观察振荡间断. 分别输入Plot[Cos[1/x],{x,-Pi,Pi}]则输出所给函数的图形. 从图可见，0=x 是所给函数的跳跃间断点. 再输入Limit[Sin[1/x],x->0]Mathematica4.0输出为Interval[{-1,1}]. 读者可猜测这是什么意思.例2.21 有界量乘以无穷小. 分别输入Plot[x*Sin[1/x],{x,-Pi,Pi}] Limit[x*Sin[1/x],x->0]则分别输出所给函数的的图形和所求极限0. 因为无穷小乘以有界函数得无穷小.13例2.22观察无穷间断. 输入Plot[Tan[x],{x,-2Pi,2Pi}]则输出函数x y tan =的图形. 从图可见,0=x 是所给函数的跳跃间断点.例2.23 观察振荡间断. 输入Plot[Sin[1/x],{x,-Pi,Pi}]则输出函数x1sin 的图形. 从图可见,0=x 是所给函数的跳跃间断点.再输入Limit[Sin[1/x],x->0]则输出为Interval[{-1,1}]. 表示函数极限不存在,且在-1与1之间振荡.。
一元、二元函数图像绘制
⼀元、⼆元函数图像绘制⽬录概述本篇博客主要是在上⼀篇的基础上，进⼀步说明“函数”在函数式编程中的重要作⽤。
强调了函数和普通类型⼀样，可以赋值、存储、传参以及作为另外函数的返回值。
本⽂附带了⼀个Demo，该Demo可以将任意字符串函数表达式解析之后⽣成对应的函数（⼀元、⼆元以及三元），如果你输⼊的是⼀元或者⼆元函数表达式，则可以绘制出相应的函数图像。
⼀元函数图像为平⾯曲线，⼆元函数图像为⽴体曲⾯。
看下图：函数表达式中只识别X、Y、Z三个⾃变量。
字符串表达式解析字符串解析是重点。
怎样去识别⼀串字符串函数表达式呢？如x^2+sin(x)*cos(y)。
之后怎样去计算函数值呢？其实原理很简单，由于每个函数表达式中包含的有效符号是有限的，如X、Y、Z、+、-、*、/以及⼀些函数诸如log、sin、cos等等，只要我们将这些有效符号均识别筛选出来之后，再根据这些符号的优先级别⽣成⼀个函数语法树即可。
如上图所⽰，使⽤⼀个“树结构”去存储最终的语法树。
最后带⼊X、Y（⼆元）求得函数值。
表达式解析这块难点是语法树的构建和最终求值。
语法树的构建有点复杂，⼤家可以参见源码；最终求值的原理是，判断当前符号（节点）是单⽬运算符号（如cos、sin、负号等）还是双⽬运算符号（如+ - * /等），如果是单⽬运算⽐如cos函数，则先计算⼦节点（只有⼀个⼦节点）的值，然后将得到的值进⾏cos运算（Math.Cos(⼦节点的值)）；相反，如果是双⽬运算符⽐如+符号，那么先计算左⼦节点和右⼦节点的值，最后将两个值进⾏+操作（左⼦节点的值+右⼦节点的值），依次递归计算得到最终的函数值。
图像绘制图像绘制这块就⽐较简单了。
根据前⼀步得到的语法树，我们可以创建出对应的⼀元函数、⼆元函数以及三元函数（委托的形式）。
事先定义的委托结构如下：/// <summary>/// ⼀元函数/// </summary>/// <param name="x"></param>/// <returns></returns>public delegate double UnaryFunction(double x);/// <summary>/// ⼆元函数/// </summary>/// <param name="x"></param>/// <param name="y"></param>/// <returns></returns>public delegate double BinaryFunction(double x,double y);/// <summary>/// 三元函数/// </summary>/// <param name="x"></param>/// <param name="y"></param>/// <param name="z"></param>/// <returns></returns>public delegate double MultiFunction(double x,double y,double z);很简单就可以看出，⼀元函数接收⼀个参数，返回⼀个值；⼆元函数接收两个参数，返回⼀个值；三元函数接收三个参数，返回⼀个值。
2013年下学期数学实验作业
数学实验与数学建模实验报告学院：专业班级：姓名：学号：完成时间：2014 年1 月6日实验一 图形的画法1. 做出下列函数的图像：（1）)2sin()(22--=x x x x y ，22≤≤-x （分别用plot 、fplot ） （2）22/9/251x y +=（用参数方程）(3) 在同一图形窗口中，画出四幅不同图形（用subplot 命令）：1cos()y x =，2sin(/2)y x pi =-，23cos()y x x pi =-，sin()4x y e =（]2,0[π∈x ）2 作出极坐标方程为)cos 1(2t r -=的曲线的图形.3 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形.4 绘制螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x ,sin 4,cos 4在区间［0，π4］上的图形.在上实验中，显示坐标轴名称。
5 作出函数22y x xye z ---=的图形.6 作出椭球面1194222=++z y x 的图形.(该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ).)7 作双叶双曲面13.14.15.1222222-=-+z y x 的图形.(曲面的参数方程是,csc 3.1,sin cot 4.1,cos cot 5.1u z v u y v u x ===其中参数πππ<<-≤<v u ,20时对应双叶双曲面的一叶, 参数πππ<<-<≤-v u ,02时对应双叶双曲面的另一叶.)8 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u )的图形.9 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形.10 作出锥面222z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形.11用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程. （该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x ） 12. 画出变上限函数⎰xdt t t 02sin 及其导函数的图形.13.迪卡尔曲线)03(13,1333222=-++=+=axy y x tat y t at x 14.蔓叶线)(1,1322322x a x y tat y t at x -=+=+= 15.摆线)cos 1(),sin (t b y t t a x -=-=16.内摆线（星形线）)(sin ,cos 32323233a y x t a y t a x =+==17.圆的渐伸线（渐开线))cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+=18.空间螺线ct z t b y t a x ===,sin ,cos 19.阿基米德线0,≥=r a r ϕ。
数学实验1-3章习题答案
ans =
18.3287
函数的单调区间为：
(1)单调递增区间:-2<x<-1.5326 -0.7315<x<0以及1.5951<x<2;
(2)单调递减区间：-1.5326<x<-0.7315以及0<x<1.5951.
(2)
函数的图形为：
clear
>> fplot('3*x^5-20*x^3+10',[-3,3])
ans =
-3
最值2：
x=1:0.1:3;
>> y=3.*x.^5-20.*x.^3+10;
>> [m k]=max(y)
m =
199
k =
21
>> x(k)
ans =
3
驻点1及相应的二阶导数值：
clear
>> syms x y
>> y=3*x^5-20*x^3+10;
>> yxx=diff(y,x,2);
>> grid on
f=inline('100*acos(1-1/200*(r^2))+r^2*acos(1/20*r)-10*sqrt(r^2-1/400*r^4)-50*pi','r');
>> y=fzero(f,12)
y =
11.5873
3.求解下列非线性方程组在远点附近的根：
clear
>> syms x y z
>> [x y z]=solve('9*x^2+36*y^2+4*z^2-36','x^2-2*y^2-20*z','16*x-x^3-2*y^2-16*z^2',x,y,z)
02-一次函数的图像及性质-教师版
1、 一元一次方程与一次函数（1） 对于一次函数m ，由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=，解这个方程得bx k=-，于是可以知道一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标为(0)b k -，； （2） 若已知一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标bx k =-，其就是一元一次方程0kx b +=的根．2、 一元一次不等式与一次函数（1） 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．（2） 在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．一次函数知识结构知识精讲模块一：一次函数与不等式yx6Oyx-2O 没【例1】 已知一次函数经过(20)A ，和(13)B -，，在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围． 【难度】★【答案】图像如图，2x >． 【解析】图像如图，2x >．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．【例2】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围；（2）求不等式0kx b +≤的解集． 【难度】★【答案】（1）6x <； （2）6x ≥． 【解析】（1）由图像可得：6x <； （2）由图像可得：6x ≥．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．【例3】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于y 轴左侧所有点的横坐标的取值范围； （2）求在这个函数图像上且位于y 轴右侧所有点的纵坐标的取值范围； （3）求2016y x b =-+在y 轴上的截距． 【难度】★【答案】（1）0x <；（2）2y >-；（3）2-． 【解析】（1）由图像可得：0x <； （2）由图像可得：0x >； （3）由图像可得：2b =-∴2016y x b =-+在y 轴上的截距是2-．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，注意分析清楚题目中所要求的结果．例题解析【例4】已知一次函数解析式是132y x=-．（1）当x取何值时，2y=?（2）当x取何值时，2y>?（3）当x取何值时，2y<?（4）当x取何值时，02y<<?【难度】★★【答案】（1）10x=；（2）10x>；（3）10x<；（4）610x<<．【解析】（1）令1322x-=，解得：10x=；（2）令1322x->，解得：10x>；（3）令1322x-<，解得：10x<；（4）令10322x<-<，解得：610x<<．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．【例5】已知函数()31f x x=-+．（1）当x取何值时，()2f x=-?（2）当x取何值时，4()2f x>>-?（3）在平面直角坐标系中，在直线()31f x x=-+上且位于x轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?【难度】★★【答案】（1）1x=；（2）11x-<<；（3）13 x>．【解析】（1）令312x-+=-，解得：1x=；（2）令4312x>-+>-，解得：11x-<<；（3）令310x-+<，解得：13 x>．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．【例6】已知方程20(0)ax a-=>的解为4x=，（1）求出函数2y ax=-与x轴的交点坐标；（2）解不等式20ax-≥．【难度】★★【答案】（1）（4，0）；（2）4x≥．【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：（1）2y ax =- 与x 轴的交点坐标为：（4，0）； （2）20ax -≥的解集为：4x ≥．【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，本题也可由一次函数的图像或者是函数的性质求得最终结果．【例7】 已知一次函数y ax b =+与y mx n =+交于点(34)，，根据其图像回答下列问题：（1）求解不等式组：44ax b mx n +>⎧⎨+≤⎩；（2）求解方程组：y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩；（3）求解不等式：ax b mx n +≤+．【难度】★★★【答案】（1）3x >；（2）34x y =⎧⎨=⎩； （3）3x ≤．【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：（1）由4ax b +>可得：3x >；由4mx n +≤可得：3x ≥； ∴3x >；（2）y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩的解即为两条直线交点坐标，即：34x y =⎧⎨=⎩；（3）ax b mx n +≤+解集为y ax b =+在y mx n =+上方时x 的范围，即3x ≤． 【总结】本题考察了一次函数与方程及不等式的关系，主要是根据图像进行求解．【例8】 当－1≤x ≤2时，函数6y ax =+满足10y <，求出常数a 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】42a -<<．【解析】当0a >时，max 2610y a =+<，解得：2a <； 当0a <时，min 610y a =-+<，解得：4a >-； 当0a =时，66y ax =+=，满足10y <； ∴42a -<<．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意解题时要分类讨论．1、 一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质： 当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．2、 一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限． 把上述条件反过来叙述，也是正确的．（这部分知识概念也可以按照下面表格进行讲解和整理）0b >0b <0b =0k >经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大0k <经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小知识精讲模块二：一次函数的性质【例9】 已知函数：①2y x =-+；② 132y x =+；③ 53y x =；④ 32xy -=；⑤11(1)45y x x =--．在这些函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而减小的函数有_______________． 【难度】★ 【答案】①④．【解析】由一次函数的性质，当0k <时，y 随x 的增大而减小，故选①④． 【总结】本题考察了一次函数的性质．【例10】 已知一次函数(32)1y m x m =-++，函数值y 随自变量x 的值增大，而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限?【难度】★ 【答案】（1）32m >； （2）经过一、二、四象限． 【解析】（1）由已知得：320m -<，解得：32m >； （2）此时10m +>，一次函数经过一、二、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的性质及图像所过的象限．【例11】 已知点(1)A a -，和(4)B b ，在函数13y x m =-+的图像上，试比较a 与b 的大小． 【难度】★ 【答案】a b >．【解析】由已知得：103k =-<，所以y 随x 的增大而减小，∴a b >．【总结】本题考察了一次函数的性质，也可用特殊值法比较大小．【例12】 完成下列填空：（1） 直线25y x =--是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______；（2） 直线7(2)y x =-是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______．例题解析【难度】★【答案】（1）下降，负，二、三、四，-5； （2）上升，负，一、三、四，-14． 【解析】略．【总结】本题考察了一次函数的性质，要熟记不同的情况．【例13】 直线2(1)1y m x m =+++与y 轴的交点坐标是(03)，，且直线经过第一、二、四象限，则该直线与x 轴的交点为__________． 【难度】★★【答案】30)，．【解析】由已知得：21310m m ⎧+=⎨+<⎩， 解得：m = ∴(1)3y x =+．令0y =，解得：3x =，∴与x 轴的交点坐标是：30)，． 【总结】本题考察了一次函数的性质及交点坐标；【例14】 直线2(1)3y m x =--上有两点11()A x y ，和点22()B x y ，，且12x x >，12y y <，则常数m 的取值范围是_______________． 【难度】★★ 【答案】11m -<<．【解析】由已知得：y 随x 的增大而减小， 则210m -<， 解得：11m -<<．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对于一元二次不等式的求解方法．【例15】 已知一次函数y kx b =+的图像是与直线23y x =-平行的直线．（1） 随着自变量x 的值的增大，函数值y 增大还是减小? （2） 直线4y kx =-经过哪几个象限? （3） 直线y kx b =+经过哪几个象限? 【难度】★★【答案】（1）y 随着x 的增大而减小； （2）二、三、四象限； （3）①当0b <时，经过二、三、四象限； ②当0b =时，经过二、四象限； ③当0b >时，经过一、二、四象限．【解析】（1）由已知得：203k =-<，故y 随着x 的增大而减小；（2）∵00k b <<，，经过二、三、四象限； （3）①当0b <时，经过二、三、四象限； ②当0b =时，经过二、四象限； ③当0b >时，经过一、二、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的图像及性质的运用．【例16】 已知直线(21)3y m x m =-+，分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1） 这条直线经过原点； （2） 这条直线经过一二四象限； （3） 这条直线不经过第三象限； （4） 这条直线与2 1.5y x =-+平行． 【难度】★★【答案】（1）0m =； （2）102m <<； （3）102m ≤≤； （4）12m =-． 【解析】（1）由已知得：30m =，解得：0m =； （2）由已知得：21030m m -<⎧⎨>⎩，解得：102m <<；（3）由已知得：21030m m -≤⎧⎨≤⎩，解得：102m ≤≤；（4）由已知得：212m -=-，解得：12m =-．【总结】主要考察了一次函数的性质的运用，本题中要特别注意题干中说的是直线，因此包含了常值函数在里面，从而第（3）小问中k 可以为零．【例17】 函数y ax b =+与y bx a =+的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）．AB CD【难度】★★ 【答案】B【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k 、b 范围写出来，不矛盾即为正确选项， 故选B ．【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式中k 、b 的关系．【例18】 点(1，m )，(2，n )在函数2(963)3(3)y a a x a a =-+-+-≠的图象上，则m 、n 的大小关系是____________． 【难度】★★★ 【答案】m n >．【解析】转化得：2[(31)2]3y a x a =---+-， ∵2(31)20a ---<， ∴y 随x 的增大而减小， ∴m n >．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对比例系数进行配方，从而判定正负性．【例19】 无论p 为何值，除0以外，直线2y px p =+一定经过__________象限． 【难度】★★★ 【答案】二、三．【解析】（1）当0p >时，直线经过一、二、四象限； （2）当0p <时，直线经过二、三、四象限； 故直线一定经过二、三、象限； 【总结】本题考察了一次函数的象限特点．【例20】 不论k 为何值，解析式(21)(3)(11)0k x k y k --+--=表示的函数的图象必过定点，求此定点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】(23)，．【解析】转化得：(21)3110x y k x y ----+= ∵不论k 为何值，图象必过定点， ∴2103110x y x y --=⎧⎨--+=⎩， 解得：23x y =⎧⎨=⎩，∴定点坐标为：(23)，．【总结】本题考察了函数恒过定点的问题，此题型只要令可取任意值的字母系数为零 即可解决．1、一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）中k 、b 的意义： k （称为斜率）表示直线y kx b =+（0k ≠）的倾斜程度；b （称为截距）表示直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴交点是(0,)b ，也表示直线在y 轴上的截距．2、同一平面内，不重合的两直线1(0)a ≠与2(0)a ≠的位置关系： 当1212a a b b =≠，时，两直线平行．当12a a ≠时，两直线相交，交点为方程组1122y a x b y a x b =+⎧⎨=+⎩的解．当12b b =时，两直线交于y 轴上同一点．【例21】 已知一次函数y =kx +b ，y 随x 的增大而增大，且kb <0，指出一次函数的图像经过的象限． 【难度】★★ 【答案】一、三、四；【解析】由已知得：0k >，又kb <0， ∴b <0． ∴一次函数图像经过一、三、四象限．【总结】本题考察了一次函数图像经过的象限的特点．【例22】 若直线1l ：23y x =-与直线2l ：3y x =-+相交于点P ，（1）求P 点坐标；（2）求1l ，2l 与x 轴所围成的三角形的面积； （3）求1l ，2l 与y 轴所围成的三角形的面积； （4）求1l ，2l 与坐标轴所围成的四边形的面积. 【难度】★★【答案】（1）P （2，1）；（2）34； （3）6； （4）274． 【解析】（1）联立：233y x y x =-⎧⎨=-+⎩， 解得：21x y =⎧⎨=⎩， ∴交点坐标为P （2，1）；11b x a y +=22b x a y +=例题解析知识精讲模块三：一次函数的性质的总结与运用（2）易得233y x y x =-=-+与分别与x 轴交于（302，）、（3，0）， ∴1331224S =⨯⨯=；（3）易得233y x y x =-=-+与分别与y 轴交于（03-，）、（0，3）， ∴16262S =⨯⨯=；（4）由题意可知，所求的四边形为图中红色边的四边形，∴1313276322224S =⨯⨯+⨯⨯=．【总结】本题考察了一次函数围成图形的面积，规则图形用公式法，不规则图形用割补法；【例23】 已知：如图，直线PA 是一次函数(0)y x n n =+>的图象，直线PB 是一次函数2(0)y x m m =-+>的图象，其中点Q 是直线PA 与y 轴的交点．（1）用m ，n 来分别表示点P ，A ，B ，Q 的坐标；（2）四边形PQOB 的面积是56，AB ＝2，试求P 点的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式． 【难度】★★【答案】（1）(0)Q n ，，(0)A n -，，(0)2m B ，，2()33m n m nP -+，； （2）14()33P ，， :1PA y x =+， :22PB y x =-+．【解析】（1）易得：(0)Q n ，，(0)A n -，，(0)2mB ，； 联立：2y x n y x m =+⎧⎨=-+⎩， 解得：323m n x m n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴2()33m n m n P -+，；（2）由已知得：212152232622m n n m n +⎧⨯⨯-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：21m n =⎧⎨=⎩，∴14()33P ，， :1PA y x =+， :22PB y x =-+．【总结】本题考察了一次函数与几何的综合，综合性较强，解题时注意认真分析． 【例24】 已知一次函数f (x )=ax +2a +1，当11x -≤≤时，f (x )的值有正有负，求a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】113a -<<-．【解析】由已知得：(1)(1)0f f -⋅<，∴(1)(31)0a a ++<，解得：113a -<<-．【总结】本题考察了一次函数的性质及根据取值范围得到两个函数值的正负，从而求出不等式的解集．【例25】 已知m 为正整数，直线5214x m y -++=和233my x =-+的交点在第四象限，求这两条直线与x 轴围成的三角形的面积． 【难度】★★★【答案】1140S =．【解析】联立5214233x m y m y x -++⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：2307207m x m y +⎧=>⎪⎪⎨-⎪=<⎪⎩，∵交点在第四象限， ∴可解得：322m -<<， 又∵m 为正整数， ∴1m =．∴534x y -+=和213x y -+=两直线交点坐标为：（5177-，） 两直线与x 轴交点坐标为：（305，），（102，）， ∴13111()2527140S =⨯-⨯=．【总结】本题考察了一次函数交点坐标及围成三角形面积的求法．【习题1】已知，直线2(1)2y k x k =-++在y 轴上的截距为4，且y 随x 的增大而增大，则k =_____________．【难度】★ 【答案】2．【解析】∵224k +=，∴22k =， ∴2k =±， ∵10k ->， ∴2k =． 【习题2】若点P (,)a b -在第二象限内，则直线y ax b =-不经过________． 【难度】★随堂检测【答案】第二象限．【解析】由题意可得：00a b>>，，则直线经过一、三、四象限，故不经过第二象限．【总结】本题考察了一次函数图像性质．【习题3】若0bc<，0ab>，则一次函数a cy xb b=--的图像经过第_________象限．【难度】★★【答案】第一、二、四象限．【解析】由题意可得一次函数图像经过一、二、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像的性质．【习题4】已知点A(2)a-，、B(3)b-，在直线(5)2y k x=++上，且a b≥，则k的取值范围是__________．【难度】★★【答案】5k≥-．【解析】∵a b≥，∴y随x的增大而增大，∴50k+≥，∴5k≥-．【总结】本题考察了一次函数的图像的性质及增减性的综合运用．【习题5】根据图中所画的直线1y kx k=--，则一次函数213ky kx k-=+在y轴上的截距为__________，与坐标轴围成的三角形面积为__________．【难度】★★【答案】．【解析】∵211k-=，∴k=由图可知，0k<，∴k=∴213ky kx k-=+=--∴此一次函数在y轴上的截距为【总结】本题考察了一次函数的概念和图像，注意认真分析题目中的条件．【习题6】（1）一次函数(63)24y m x n=-+-不经过第三象限，则m、n的范围是________；（2）直线(63)24y m x n=-+-不经过第三象限，则m、n的范围是_________．【难度】★★【答案】（1）2m >，2n ≥； （2）2m ≥，2n ≥．【解析】（1）∵一次函数图像不经过第三象限，∴630m -<，240n -≥， ∴2m >，2n ≥；（2）∵直线不经过第三象限， ∴630m -≤，240n -≥， ∴2m ≥，2n ≥．【总结】本题考察了函数图像的性质与函数解析式的系数的关系．【习题7】已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：（1）00k b >>，；（2）00k b ><，；（3）00k b <>，；（4）00k b <<，．其中正确的是_________． 【难度】★★ 【答案】（2）、（3）．【解析】画图可知（2）、（3）正确．【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式系数的关系．【习题8】直线111:l y k x a =+，222:l y k x b =+的交点坐标是（1，2），则使1y ＜2y 的x 取值范围是__________【难度】★★ 【答案】1x <．【解析】由图易得1y ＜2y 的x 取值范围是1x <． 【总结】本题考察了学生观察、识图的能力．【习题9】若一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是26x -≤≤，相应的函数值的范围是119x -≤≤，求此函数的解析式，以及其经过哪些象限？【难度】★★★【答案】562y x =-，函数图像经过一、三、四象限；或542y x =-+，函数图像经过一、二、四象限；【解析】由题意易得函数经过点（-2，-11）和（6，9）或者过（-2，9）和（6，-11），∴11296k b k b -=-+⎧⎨=+⎩或 92116k b k b =-+⎧⎨-=+⎩， 解得： 526k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 或 524k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴函数的解析式为：562y x =-，函数图像经过一、三、四象限；或542y x =-+，函数 图像经过一、二、四象限．【习题10】已知方程1(0)ax b a -=<的解为x =（1）求出函数1y ax b =--与x 轴的交点坐标； （2）解不等式10ax b --≥；（3）试求函数1y ax b=--与一次函数2(y x =-的交点坐标．【难度】★★★【答案】（10）； （2）x ≤； （30）． 【解析】观察图像可知．【总结】本题考察了学生对函数的识图能力和与方程的联系．【习题11】如图，直线L ：122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C (04)，，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△COM 的面积S 与点M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标． 【难度】★★★【答案】（1）A （4，0）， B （0，2）；（2）S =8-2t （04t ≤<），S =2t -8 （4t >）； （3）t =2时，M (2，0)； t =6时，M (-2，0)． 【解析】（1）易得A （4，0）， B （0，2）；（2）114422S OM OC t =⋅=-⋅；当04t ≤≤时，82S t =-， 当4t >时，28S t =-；（3）当04t ≤<时，t =2时，M (2，0)； 当4t >时， t =6时，M (－2，0)． 【总结】本题考察了函数的综合应用．【习题12】一个一次函数图象与直线514y x =-平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ， 并且过点(125)--，，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有哪些?【难度】★★★【答案】（3，－20），（7，－15），（11，－10），（15，－5），（19，0）；【解析】设54y x b=+，代入点(125)--，得：5254b-+=-，解得：954b=-，∴该一次函数的解析式为：5954xy-=，转化，得：49541955yx y+==+，∴当y 为5的倍数时，x为整数，∴满足条件的点有：（3，－20），（7，－15），（11，－10），（15，－5），（19，0）．【总结】本题考察了一次函数的图像和性质以及对整数点坐标的理解．【习题13】已知：不论k取什么实数，关于x的函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，试求a、b的值．【难度】★★★【答案】724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【解析】把（1，1）代入，得：211 36k a bk+--=，化简得：(4)(27)0b k a++-=，∵函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，∴40270ba+=⎧⎨-=⎩，解得：724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【总结】本题考察了一次函数恒过点的问题，主要是将问题转化为方程的解为任意实数的问题．课后作业【作业1】已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式___________． 【难度】★【答案】1y x =-+等，不唯一． 【解析】只需要00k b <>，即可． 【总结】本题考察了一次函数的性质．【作业2】（1）已知m 是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图像不经过第二象限，则m 为__________；（2）一次函数(2)43y a x a =-+-的图像与y 轴的交点在x 轴的下方，则a 的取值范围是__________． 【难度】★【答案】（1）3-； （2）34a <． 【解析】（1）由已知，得：4020m m +>⎧⎨+≤⎩， 解得：42m -<<-，∵m 是整数， ∴3m =-；（2）由已知，得：43020a a -<⎧⎨-≠⎩， 解得：34a <．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对图像不经过第几象限的准确理解．【作业3】已知直线2(0)y mx m m =+<．（1）当x 取何值时，0y =？（2）当x 取何值时，0y >？ （3）当x 取何值时，0y <？（4）在m 的取值范围内，直线在平面直角坐标系始终经过哪些象限？ 【难度】★★【答案】（1）2x =-； （2）2x <-； （3）2x >-； （4）二、三、四象限． 【解析】（1）令0y =，解得：2x =-； （2）令0y >，解得：2x <-； （3）令0y <，解得：2x >-； （4）易得：图像经过二、三、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的图像及性质． 【作业4】已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x （2）求解不等式0kx b +≥．【难度】★★【答案】（1）5x >-； （2）5x ≤-．【解析】（1）由图像可得：5x >-； （2）由图像可得：5x ≤-． 【总结】本题考察了一次函数与方程、不等式的关系．【作业5】函数y kx k =+与ky x=(0)k ≠在同一坐标系内的图象可能是（ ）．ABCD【难度】★★ 【答案】C ．【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k,b 范围写出来，不矛盾即为正确选项，故选C ．【总结】本题考察了一次函数与反比例函数的图像．【作业6】已知一次函数2(3)2y m x m =--+，函数值y 随自变量x 的值增大而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限？【难度】★★【答案】（1）3m >； （2）二、三、四象限． 【解析】（1）由已知得：30m -<，解得：3m >；（2）由已知得：00k b <<，，图像经过二、三、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质．【作业7】已知点(3)a A y ，和(3)b B y -，在函数2(3)y m x m =--+的图像上，试比较a y 与b y 的大小．【难度】★★ 【答案】a b y y <．【解析】由已知得：230k m =--<， ∴y 随x 的增大而减小， ∵33>-， ∴a b y y <． 【总结】本题考察了一次函数的性质的运用．【作业8】k 在为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限？ 【难度】★★【答案】322k -<<．【解析】联立：215423k x y k x y +=+⎧⎨=+⎩， 解得：23727k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵交点在第四象限， ∴2307207k k +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩， ∴322k -<<．【总结】本题考察了一次函数的交点坐标问题．【作业9】画出函数32y x =--的图像，利用图像求：（1）方程320x --=的根； （2）不等式320x --≥的解集； （3）当7y ≤时，求x 的取值范围；（4）当11x -≤≤时，求y 的取值范围； （5）求图像与坐标轴围成的三角形的面积； 【难度】★★【答案】（1）23x =-；（2）23x ≤-；（3）3x ≥-； （4）51y -≤≤；（5）23；【解析】（1）23x =-；（2）23x ≤-；（3）当7y =时，3x =-， ∴7y ≤时，3x ≥-；（4）当1x =-时，1y =； 当1x =时，5y =-； ∴当11x -≤≤时，51y -≤≤；（5）1222233S =⨯⨯=． 【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，主要是对函数图像的正确理解．【作业10】已知直线23y mx m m =-++分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1）直线经过(13)，；（2）直线经过原点；（3）直线与1y x =-平行； （4）直线在y 轴上的截距4；（5）直线经过一三四象限．【难度】★★【答案】（1）31m =-或；（2）30m =-或；（3）m =（4）41m =-或；（5）30m -<<． 【解析】（1）代入（1，3）得：233m m m -++=，解得：31m =-或；（2）代入（0，0）得：230m m +=，解得：30m =-或；（3）由已知得：m -=，解得：m = （4）由已知得：234m m +=，解得：41m =-或；（5）由已知得：2030m m m ->⎧⎨+<⎩解得：30m -<<． 【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对直线过原点的正确理解．【作业11】若一次函数(0)y kx b k =+≠，当31x -≤≤时，对应的函数y 值为19y ≤≤，则一次函数的解析式为_____________．【难度】★★★【答案】27y x =+或23y x =-+．【解析】（1）当0k >时，函数经过（－3，1）和（1，9）时，代入两点得：319k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得：27k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为：27y x =+；（2）当0k <时，函数经过（1，1）和（－3，9）时，代入两点得：139k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：23k b =-⎧⎨=⎩图1图2图3∴一次函数的解析式为：23y x =-+，综上，一次函数的解析式为：27y x =+或23y x =-+．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质，注意分类讨论．【作业12】已知2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经 过点(10)C ，，且把△AOB 分成两部分．（1）若把△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 、b 的值； （2）若△AOB 被分成的两部分面积之比为1：5，求k 、b 的值．【难度】★★★【答案】（1）22k b =-=，； （2）1133k b =-=，或1122k b ==，． 【解析】（1）如图1，易得：点C 为OA 中点∴BC 分△AOB 被分成的两部分面积相等∴22y x =-+即22k b =-=，；（2）由已知，得：1163AOB S S ∆∆==， ∴13h =． 1º：如图2，直线经过（0，13） ∴1133y x =-+，11,33k b =-=； 2º：如图3，直线经过（5133，） ∴1122y x =-，11,22k b ==； 综上：1133k b =-=，或1122k b ==，． 【总结】本题考察了一次函数的综合运用，注意当涉及到 面积比时，由于没说清楚哪部分大哪部分小，因此要分类 讨论．。
一次函数的图象和性质(提高)知识讲解
= 300 −900
所以 s2 ＝300 t －900(6<t≤10)．
(2)李明返回时所用的时间为 (2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)． 因此，李明返回时所用的时间为 11 分钟．
【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上 坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．
在直线 l2 上，点 P2 (x2 , y2 ) 为直线 l1 、 l2 的交点．其中 x2 < x1 ， x2 < x3 则（ ）
A． y1 < y2 < y3 B． y3 < y1 < y2 C． y3 < y2 < y1 D． y2 < y1 < y3
【答案】A； 提示：由于题设没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象．观察直
全体实数
过（0， b ）和（ − b ，0）点的一条直线 k
k >0
k <0
b>0
b<0
b>0
b<0
经过一、二、三 经过一、三、四 经过一、二、四 经过二、三、四
位置
象限
象限
象限
象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数 变化规律
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
3. k 、 b 对一次函数 =y kx + b 的图象和性质的影响：
∴k + b =1.
∴当 k = 1 时， b = 2 ， A(−2, 0) ；
3
3
当 k = − 1 时， b = 4 ， A(4, 0) .
一元一次函数图像及性质
第三单元 函数及其图像第13课时 反比例函数教学目标【考试目标】1.了解反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用待定系数法求函数的表达式；2.会画反比例函数的图象，根据反比例函数的图象性质和解析表达式理解其性质；【教学重点】了解反比例函数的概念，以及反比例函数解析式的变形.掌握反比例函数的图象与性质.掌握用待定系数法求反比例函数的解析式.熟悉反比例函数与其他几何图形结合.教学过程体系图引入，引发思考引入真题，深化理解【例1】（2016年锦州）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax-a 与反比例函数 a y x（a≠0）的图象可能是 （C ）【解析】此题中a 的符号不确定，所以要进行分类讨论才能解决此题.当a ＞0时，一次函数y=ax-a 图象必过一、三象限，反比例函数 在一、三象限内，故可以排除A 选项.∵a ＞0，∴-a ＜0，∴一次函数y=ax-a 图象与y 轴交点在原点下方，所以B 不符合题意，C 符合题意.当a ＜0时，一次函数y=ax-a 图象必过二、四象限，反比例函数 图象也在二、四象限，并且-a ＞0，所以一次函数y=ax-a 图象与y 轴交点在原点上方，所以D 选项不符合题意，故选择C 选项. 【考点】考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，利用分类讨论的思想便于解题.【例2】（2016年龙东地区）已知反比例函数 ，当1＜x ＜3时，y 的最小整数值是（A ）A.3B.4C.5D.6【解析】∵6＞0，∴该反比例函数在1＜x ＜3单调递减，此时y 的范围为2＜y ＜6.∴y 的最小整数值是3.故选择A.【考点】考查了反比例函数的增减性.掌握了反比例函数的增减性，此题不难解出.【例3】（2016年通辽）如图，点A 和点B 都在反比例函数 的图象上，且线段AB 过原点，过点A 作x 轴的垂线段，垂足为C ，P 是线段OB 上的动点，连接CP.设△ACP 的面积为S ，则下列说法正确的是（D ）A.S ＞2B.S ＞4C.2＜S ＜4D.2≤S≤4【解析】根据题目可知，S=S △AOC+S △COP ，2S △AOC=k=4，∴S △AOC=2.当点P 在原点O 时，Smin=2.当点P 运动到点B 时，S 最大，此时求出S △COP 的面积即可求出Smax.因为点A 、B 均在反比例函数的图像 上，且线段AB 过原点，根据反比例函数图象的对称 性，可以得到A 、B 两点关于原点对称，所以A 、B 两点纵坐标的绝对值相等，△AOC 与△BOC 可以看作是以OC 为底，不难看出这两个三角形同底等高，，面积相等，∴Smax=2+2=4.∴选择D 选项.【考点】考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的对称性，三角形的面积公式.【例4】【例4】（2016年安徽）如图，一次函数y=kx+b 的图象分别与反比例函数 的图象在第一象限a y x =a y x =a y x =6y x =4y x =a y x =内交于点A （4,3），与y 轴负半轴交于点B ，且OA=OB.（1）求函数y=kx+b 和 的表达式； （2）已知点C （0,5），试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB=MC ，求此时点M 的坐标. 【解析】把点A （4,3）代入函数 得：a=12，∴ . ∵OA=OB ，∴OB=5，∴点B 的坐标为（0，-5）.把B （0，-5），A （4,3）代入y=kx+b 得： 解得 .∴y=2x-5.（2）∵点M 在一次函数y=2x-5上，设点M 坐标为（x ，2x-5），∵MB=MC ，∴ 解得：x=2.5，∴点M 的坐标为（2.5,0）.【考点】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，考查了点到点的距离等.【例5】（2016年重庆）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b （a ≠0）的图形与反比例函数 （k ≠0）的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与y 轴交于C 点，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ，OH=3， 点B 的坐标为（m ，-2）. 求△AOH 的周长； 求反比例函数和一次函数的解析式. 【解析】（1）由OH=3， ，得AH=4. 即A （-4,3）.根据勾股定理得：△AOH 的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12.（2）将A 点坐标代入 （k ≠0），得k=-4×3=-12，反比例函数的解析式为 ；当y=-2时， ，解得x=6，即B （6，-2）.将A 、B 点坐标代入y=ax+b ，得5OA ==25k b =⎧⎨=-⎩543b k b =-⎧⎨+=⎩=4tan 3AOH ∠=5,AO ==1,21a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩462a a b -+⎧⎨+=-⎩1 1.2y x =-+a y x =12y x =k y x =4tan 3AOH ∠=k y x=12y x =-122x -=-一次函数的解析式为【考点】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用待定系数法是解决此题的关键.三、师生互动，总结知识先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：同步导练教学反思同学们对本节内容理解很好，但是对于那些反比例函数与其他知识结合的综合性问题略有欠缺，希望大家下课后能多加练习，巩固知识，提升自己.。
matlab--函数图形绘制实验报告1
实验报告课程名称: 数学实验学院名称: 数学与统计学院班级:姓名:学号:2012-2013 学年第学期数学与统计学院制（二）参数方程作图例2: 画出星形线{ 及旋轮线{ 的图形解: 输入以下命令:%星形线作图t=linspace(0,2*pi,5000);x=2*(cos(t)).^3;y=2*(sin(t)).^3;plot(x,y),grid;结果：%旋轮线作图t=linspace(0,4*pi,5000); x=2*(t-sin(t));y=2*(1-cos(t));plot(x,y),axis equal; axis(0,8*pi,0,5);grid;结果:（三）极坐标方程图形例3:画出四叶玫瑰线的图形。
知其极坐标方程: ρ=acos（2 ）。
解: 取a=5做图。
在命令窗口输入下命令theta=linspace(0,2*pi);r=2*cos(2*theta);polar(theta,r)结果：（四）空间曲面（线）的绘制例4: 绘制双曲抛物面z= 。
解：将其化为参数方程：{ , 编写m文件运行以下命令r=linspace(-4,4,30);s=r;[u,v]=meshgrid(r,s);x=u;y=v;z=(u.^2-v.^2)./4;surf(x,y,z);bix on;结果：（五）空间曲线在坐标平面上的投影曲面和投影柱面例5: 画出螺旋线{ , 在xOz面上的正投影曲线的图形。
解：化为参数方程{ , 运行下列程序t=linspace(-2*pi,2*pi);x=10*cos(t);z=2*t;h=plot(x,z);grid;xlabel('x');ylabel('z');set(h,'linewidth',2);结果：（一）实验分析:（二）在本次实验中我们初步了解了matlab。
（三）学会了一些简单绘图。
（四）在编制中我们要很明确“点乘的重要性”。
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实验1 一元函数的图形
实验目的
1. 学习matlab一元函数绘图命令.进一步理解函数概念.
实验内容
1. 学习matlab命令.
matlab绘图命令比较多，我们选编一些常用命令，并简单说明其作用，这些命令的调用格式，可参阅例题及使用帮助help查找.
表1.1 二维绘图函数
表1.2 基本线型和颜色
表1.3 二维绘图工具
表1.4 axis命令
linspace 创建数组命令，调用格式为:
x=linspace(x1，x2，n)，创建了x1到x2之间有n个数据的数组.
funtool函数工具，在matlab指令窗键入funtool可打开“函数计算器”图形用户界面。
2.绘制函数图形举例.
例1.1.画出y=sinx的图形
解:首先建立点的坐标，然后用plot命令将这些点绘出并用直线连接起来，采用中学五点作图法，选取五点(0，0)、(π/2，1)、(π，0)、(3π/2，-1)、(2π，0). 输入命令:
x=[0，pi/2，pi，3*pi/2，2*pi];y=sin(x);plot(x，y)
这里分号表示该命令执行结果不显示.
可以想象，随点数增加，图形越来越接近y=sinx的图象.例如，在0到2π之间取30个数据点，绘出的图形与y=sinx的图象已经非常接近了。
x=linspace(0，2*pi，30);y=sin(x);plot(x，y)
也可以如下建立该图形.
x=0:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x，y)
还可以给图形加标记、格栅线.
x=0:0.1:2*pi;
y=sin(x);
plot(x，y，’r—‘)
title(‘正弦曲线’)
xlabel(‘自变量x’)
ylabel(‘函数y=sinx’)
text(5.5，0，‘y=sinx’)
grid
上述命令第三行选择了红色虚线，第四行给图加标题“正弦曲线”，第五行给x轴加标题“自变量x”，第六行给y轴加标题“函数y=sinx”，第七行在点(5.5，0)处放置文本“y=sinx”，第八行给图形加格栅线.
例1.2.画出y=2x和y=(1/2)x的图象.
解:输入命令:
x=-4:0.1:4;y1=2.^x;y2=(1/2).x;plot(x，y1，x，y2);
axis([-4，4，0，8])
matlab允许在一个图形中画多条曲线.plot(x1，y1，x2，y2，x3，y3)指令绘制y1=f(x1)、y2=f(x2)等多条曲线.matlab自动给这些曲线以不同颜色.
例1.3.画出y=arctanx的图象.
解:输入命令:
x=-20:0.1:20;y=arctan(x);
plot(x，y，[-20，20]，[pi/2，pi/2]，[-20，20]，[-pi/2，-pi/2])
grid
从图上看，y=arctanx是有界函数，y=±π/2是其水平渐近线.
例1.4.在同一坐标系中画出y=sinx，y=x，y=tanx的图象.
解:输入命令:
x=-pi/2:0.1:pi/2;y1=sin(x);y2=tan(x);
plot(x，x，x，y1，x，y2)
axis equal
axis([-pi/2，pi/2，-3，3])
grid
从图上看，当x>0时，sinx<x<tanx，当x<0时，sinx>x>tanx，y=x是y=sinx 和y=tanx在原点的切线，因此，当|x|很小时，sinx≈x，tanx≈x.
例1.5.画出y=10x-1及y=lg(x+1)的图形.
解:输入命令:
x1=-1:0.1:2;y1=10.x1-1;x2=-0.99:0.1:2;y2=log10(x2+1);
plot(x1，y1，x2，y2)
从图上看，这两条曲线与我们所知的图象相差很远，这是因为坐标轴长度单位不一样的缘故.y=10^x-1与y=lg(x+1)互为反函数，图象关于y=x对称，为更清楚看出这一点，我们再画出y=x的图象
hold on
x=-1:0.01:2;y=x;plot(x，y，’r’)
axis([-1，2，-1，2])
axis square;hold off
plot语句清除当前图形并绘出新图形，hold on语句保持当前图形.
例1.6.画出心形线r=3(1+cosa)的图象.
解:输入命令:
x=-2*pi:0.1:2*pi;r=3*(1+cos(x));polar(x，r)
例1.7.画出星形线x=3(cost)3，y=3(sinx)3的图象.
解:这是参数方程，可化为极坐标方程.
r =
3
((c o s a)
(2/3)
+(s i n a)
(2/3)
)(3/2)
输入命令:
x=0:0.01:2*pi;
r=3./(((cos(x)).2).(1/3)+((sin(x)).2).(1/3)).(3/2);
polar(x，r)
注意，如果建立r与t的关系，此时t只是参数，不是极坐标系下的极角.
练习
1．画出y=arcsin x的图象
2．画出y=sec x在[0，pi]之间的图象
3．在同一坐标系中画出y=x,y= x2,y=3x,y=x3,y=x 的图象
4．画出f(x)=(1-x) +(1+x) 的图象，并根据图象特点指出函数f(x)的奇偶性。
5．画出y=1+ln(x+2)及其反函数的图象。
6．画出y=321
x及其反函数的图象。