9.14公式法(2)-完全平方公式
公式法(2) 完全平方公式 —初中数学课件PPT
3．(1)当m＋n＝3时，m2＋2mn＋n2＝ ___9____ ； (2)若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2＝ _1______
4．把下列多项式因式分解： (1)－3x2－12＋12x； 解：原式＝－3(x2－4x＋4) ＝－3(x－2)2；
(2)3ax2＋6axy＋3ay2；
解：原式＝3a(x2＋2xy＋y2)
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.将这
样的三项式写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2
± 2ab
+b2 =(a ± b)²
首2 ±2×首×尾 +尾2 (首±尾)2
归纳：两个数的平方和加上(或减去)这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
14.3.2公式法（2）
1.什么是因式分解？ 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ （1）提公因式法； （2）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2ab b2
ab 2 a2 2ab b2
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( x)²+2·( x )·( 2)+( 2 )²=( x + 2 )² 2.m²-6m+9=( m)²- 2·(m) ·( 3)+( 3 )²=( m - 3)² 3.a²+4ab+4b²=( a )²+2·( a) ·( 2b )+( 2b )²=( a + 2b )²
公式法(2)-完全平方公式
教 和 学 手 策 段 略
1. 教学重点 2. 教学难点 3. 教学手段
能辨认完全平方公式，并正确运用完全平方公式分解因式。
教学程序和内容 一、复习提问
教师活动 1.上节课学习了公式法进行因 式分解，用的是哪个公式？ 练习：把下列各式分解因式： 4 2 (1)ax －ax 4 4 (2)16m －n . 2. 除了平方差公式之外，还有 哪些公式? 完全平方公式： 2 2 2 (a+b) =a +2ab+b , 2 2 2 (a－b) =a －2ab+b 1、观察思考： 因式分解的完全平方公式： 2 2 2 a +2ab+b =(a+b) , 2 2 2 a －2ab+b =(a－b) 公式的特征： 公式左边是两个数 的平方和， 加上(或者减去)这两 个数的积的 2 倍， 右边是这两个 数的和(或者差)的平方的形式， 利用这个公式， 可以把具有平方 差特征的多项式分解因式． 部分组成， 其中的两部分是两个 式子(或数)的平方， 并且这两部 分的符号都是同号， 第三部分是 上面两个式子(或数)的乘积的 二倍， 符号可正可负， 像这样的 式子就是完全平方式.要用完全 平方公式进行因式分解， 关键是 判断一个式子是否为完全平方
课 题 教 学 目 标
9.1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(2)公式法
课
型
新授
1.情感，价值 2.知识，技能 3.过程，方法
1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握 运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2.理解完全平方式的意义和特点，形成判断能力. 3．形成全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，进一步体会“把一个代数 式看作一个字母”的换元思想。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解
假设方程的两个解是x1和x2，那么根据求根公式的推导，可以得到
完全平方公式的一般形式如下：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
首先，将 ax^2+bx+c=0 变形为 x^2 + (b/a)x + c/a = 0。
然后，将方程右侧的常数项移动到方程左侧，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
接着，我们将方程左侧的平方项和一次项组合成一个完全平方，即(x + (b/2a))^2 = (1/4a^2)(b^2 - 4ac)。
继续变形，得到x + (b/2a) = √((b^2 - 4ac)/(4a^2))。
再将方程左侧的二次项系数变为1，即 x = -b/(2a) ± √((b^2 -
4ac)/(4a^2))。
最后，简化形式，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
通过上述推导过程，我们得到了完全平方公式。
使用这个公式，可以
快速而准确地求解一元二次方程的解。
需要注意的是，完全平方公式适用于任意实数系数的二次方程。
但在
实际应用中，可能会遇到无实数解或有重复解的情况。
因此，在使用完全
平方公式求解一元二次方程时，需要根据情况进行判断和处理。
沪教初一数学知识点整理
11.1 平移 1. 将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为 平移 2. 图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小相等。图形平移后，图 形的大小、形状都不变。 3. 平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。
11.2 旋转 1. 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。 这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2. 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对 应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小 和形状没有改变。
9.5 合并同类项 1. 所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。 2. 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。一个多项式合并后含有几项，这个多 项式就叫做几项式。 3. 把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。 4. 多项式的同类项可以运用交换率、结合律、分配率合并。 9.6 整式的加减 1. 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“-”号， 去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号。
9.17 同底数幂的除法 1. am ÷an=am-n(m、n是正整数且m>n, a ≠0).同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 任何不等于零的数的零次幂为1，即a0=1(a ≠0). 9.18 单项式除以单项式 1. 两个单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的自 母，则连同它的指数作为商的一个因式。 9.19 多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
公式法—完全平方公式 ppt课件
口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍中间放.
典例精析 例4 把下列各式因式分解 （1）3ax2＋6axy＋3ay2 解：(1)原式=3a(x2 ＋2xy ＋y2)
= 3a(x＋y) 2
若多项式中有公因式，应 先提取公因式，然后再进
一步分解因式。
（2） -x2-4y2＋4xy 解：(2)原式=-（x2+4y2-4xy ）
当堂检测
1、下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2、已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是____1____． 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为____±__4_____ ．
归纳总结
完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式， 且符号相同，中间项为这两个数或两个式子积的2倍．
典例精析
例3 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ；
乘法公式
①平方差公式 ②完全平方公式
新课讲授 把乘法公式 (a+b)2= a2+2ab+b2 ， (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2 ， a2-2ab+b2=(a-b)2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.
完全平方公式概念
完全平方公式概念完全平方公式又称为二次函数，是数学中最常用的一种函数形式。
它的具体描述可以表述为y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c是未知的实数。
这种函数也称为二次多项式函数，它是由三次项（也被称为平方项）、二次项（也被称为一次项）和常数项组成。
它的特点是x的次幂最高级只有2次，而且只有一个正系数。
完全平方公式有很多应用，它可以用来帮助我们计算数学形状的体积、面积和周长等值，还可以用来解决一些不等式或不定方程。
比如我们想解决一个不等式x2-4x+4>0，那么我们可以把它表示为y=x2-4x+4，然后再用完全平方公式解决： y=(x-2)2，这时候不等式变成了(x-2)2>0，解决后得到x>2，这就是我们所要求的解。
此外，完全平方公式还可以用来解决一些计算机科学问题，如图像变换，信号处理，几何算法等。
比如在通过完全平方公式缩放图片时，它可以帮助我们较快地计算出图像缩放的比例。
而在信号处理领域，完全平方公式也可以帮助我们提取信号的正确信息。
完全平方公式也可以用来解决一些实际的问题，比如在物体受力时，我们可以通过它来计算出物体的受力情况，以及决定物体折射什么样的变形程度。
另外，在金融领域，完全平方公式也可以用来分析投资回报率。
完全平方公式涉及到的概念非常丰富，它的用处也是十分广泛的，在许多数学领域都有它的身影。
它的应用不仅仅限于上述几个领域，在很多其他领域也有应用。
比如，它可以用于建筑学，电子学，物理学，地质学，医学等各个领域。
通过完全平方公式，我们可以更好地解决各个领域的问题，从而使我们的生活更加便利。
完全平方公式是一种强大的数学工具，它不仅仅是一种抽象的概念，而是一种实际的应用，可以用来解决许多实际问题。
只要我们掌握了它的基本原理，就可以使用它来解决各种实际问题，这样我们就可以发挥它的强大作用，促进生活的发展。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解首先，让我们来看一个简单的例子，以帮助我们理解完全平方公式的原理和应用。
假设我们要求解方程x²+6x+9=0的根。
我们可以使用完全平方公式将其转化为一个完全平方的形式。
进一步展开左边的表达式，我们可以发现它可以写成一个完全平方的形式，即(x+3)²=0。
这个方程的解可以直接得到为x=-3通过这个例子，我们可以看到完全平方公式的使用，并且可以发现这种转化后的形式更容易求解。
接下来，我们来推导一下完全平方公式的原理。
假设我们有一个二次方程x² + bx + c = 0。
我们可以利用完全平方公式将其转化为一个完全平方。
首先，我们可以将方程写成一个完全平方加上一个常数：x² + bx + c = (x + d)² + e。
展开右边的表达式，我们可以得到x² + 2dx + d² + e = x² + bx + c。
通过对比系数，我们可以得到2d=b，d²+e=c。
根据第一个等式，我们可以解出d=b/2将d带入第二个等式，我们可以得到(b/2)²+e=c，将e移项得到e=c-(b/2)²。
综上所述，我们可以轻松地将一个二次方程转化为一个完全平方加上一个常数的形式。
此外，使用完全平方公式还可以帮助我们更好地理解二次函数的性质。
二次函数的图像是一个抛物线，而完全平方公式可以将其转化为一个完全平方，从而更清晰地展示出抛物线的特性，如顶点、对称轴等。
在工程学和物理学等应用中，完全平方公式也有重要的作用。
例如在机械结构设计中，我们可以利用完全平方公式求解最小的轴心距离，以保证结构的稳定性。
总之，完全平方公式是一种重要的数学工具，它不仅可以帮助我们更快地求解平方根，还可以简化计算过程，帮助我们更好地理解数学和解决实际问题。
通过熟练掌握和灵活运用完全平方公式，我们可以更高效地解决数学问题，并在学习和工作中取得更好的成绩和效果。
完全平方公式知识点
完全平方公式知识点完全平方公式是高中数学中常用的一个重要公式，它在解决二次方程相关问题时起到了关键作用。
它的形式为：若a是实数，那么二次方程ax^2+bx+c=0的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
完全平方公式的应用范围很广泛，涉及到解方程、求根、求解问题等多个方面。
接下来我们将从不同角度来讲解完全平方公式的相关知识点。
一、完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导过程相对简单，我们可以通过配方法将二次方程化简为完全平方的形式，从而得到该公式。
具体推导过程如下：对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过配方法将其化简为(a·x^2+b·x+c)=a(x^2+(b/a)·x+(c/a))=a((x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+c/a)=a(x+(b/2a))^2+(c-b^2/4a)。
由此可得，原二次方程的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
二、完全平方公式的含义和应用完全平方公式的含义在于，它可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式，使得求解过程更加简便。
在实际应用中，完全平方公式常被用来求解二次方程的根，解决与二次方程相关的各种问题。
1. 求解二次方程的根完全平方公式可以帮助我们求解任意形式的二次方程的根。
通过将二次方程化简为完全平方的形式，我们可以直接得到方程的解。
2. 求解几何问题在几何问题中，完全平方公式也有重要的应用。
例如，求解一个矩形的对角线长度时，我们可以将其转化为一个二次方程，并利用完全平方公式求解。
3. 解决实际问题完全平方公式不仅仅在数学问题中有应用，它还可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，在物理学中，通过将一些物理量表示为二次方程的形式，再利用完全平方公式求解，可以得到一些有用的结果。
三、完全平方公式的注意事项在应用完全平方公式时，我们需要注意以下几点：1. 判断二次方程是否适合使用完全平方公式。
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二、完全平方式
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
1、回答：下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
问题3：分解因式（）
(1)4a 9a
2
4
ห้องสมุดไป่ตู้
(2) (x 1) (x 1)
2
2 2 2
2
4a 9a
2 2
4
a (4 9a ) a (2 3a)(2 3a)
因式分解时，先考虑提取公 因式，再考虑其它方法.
2
(x 1) (x 1) (x 1 x 1)(x 1x 1)
2 2 2
左边是多项式
第二关：探究新知
形如
a 2ab b 或 a 2ab b 的多项式,
2 2 2 2
叫做完全平方式. 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法. 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式 用完全平方公式分解因式的关键是： 判断一个多项式是不是一个完全平方式.
= -[x2-2· x· 2y+(2y)2]
= - (x-2y)2
三、新知识或新方法运用
例: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 =3a(x2+2xy+y2) =(a+b)2-2· (a+b)· 6+62 =3a(x+y)2 =(a+b-6)2.
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为 什么 (1) a2－4a+4;
(2)1+4a2; (3) 4b2+4b－1 ;
(4)a2+ab+b2.
2.分解因式： (1) x2+12x+36; (3) a2+2a+1; (2) －2xy－x2－y2; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3;
16x2+24x+9= (4x)2+ 2· 4x· 3 +32
a· b + b2 a2 + 2 ·
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
=(4x+3)2.
三、新知识或新方法运用
例:
分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
(6) －3x2+6xy－3y2.
四、小结
1：如何用符号表示完全平方公式？ a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？
完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
2 2 2 2
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
2
2.填写下表
多项式
是否是完 全平方式
a 、 b各 表示什么
a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1
表示为：
a 2 2ab b 2 x 2 2 x 3 32
表示为 (a b) 或 (a b)2 形式
a表示：2x+y (2x y)2 2 (2x y) 3 32 b表示：3
(2 x y 3) 2
3、请补上一项，使下列多项式成为 完全平方式
2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
1.因式分解要彻底，直到不能分解为止. 2.在分解过程中还要有整体和换元思想.
第二关：探究新知
问题：整式乘法中的完全平方公式是怎样的？
(a b) a 2ab b
2
2
2
(a b) a 2ab b
2
2
2 右边是整式的积
因式分解中的完全平方公式：
a 2ab b (a b) (a b)(a b) 2 2 2 a 2ab b (a b) (a b)(a b)
2
x2 6x 9
是 是 不是 不是
( x 3) 2 (2 y 1) 2
4 y2 4 y 1
1 4a 2
x2 x 1 2 4
(2 y)2 2 (2 y) 1 12
4 y 2 12xy 9x 2 (2x y) 6(2x y) 9
2
不是 是
2 2
1 2 ab b 4 a _______ 4 4 2 2 4 y 5 x 2 x y ______
2
三、新知识或新方法运用
例:分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2· 4x· 3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
9.14公式法-完全平方公式
Factorizing
第一关：知识回顾
问题1：整式乘法中的平法差公式是怎样的?
答案: (a b)(a b)
a b
2
2
问题2：因式分解中的平法差公式是怎样的? 答案：
a b (a b)(a b)
2 2
你能熟练的运用平方差公式进行因式分解吗？
第一关：知识回顾