一类常见数学问题的考证与探纠(吉大附中：吴普林)

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吉林大学附属中学高中数学必修3教案(人教A版)：第一章算法初步1.2.1输入、输出语句和赋值语句(说

1.2.1输入、输出语句和赋值语句吉林大学附属中学吴普林一、教材分析本节课是高中数学必修3（人教A版）第一章1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句的内容，教学安排1课时。

这节课是第1节算法与程序框图的延伸，同时又是进一步学习算法案例的基础，在内容上承上启下，同时，又是人机交互中最重要的一个环节，在算法学习中有着重要的地位。

程序是算法的精确形式，是计算机可以理解的算法。

通常情况下，解决某个具体问题的算法包含大量烦琐的计算、复杂的作图等操作，而计算机强大的数据处理功能是帮助我们轻松完成这些的有力工具。

因此，学习本节课的一个重要原因是为了借助计算机执行算法。

二、学生学习情况分析1．有利因素对于学生，算法虽是一个有独特特点的全新领域，但在学习本节课之前，在必修1中的二分法等处已有渗透，而且此前几节课学生已经学习了算法的基本思想、算法程序框图和算法的基本逻辑结构。

能够用自然语言叙述算法，能正确画出程序框图，掌握了算法的三种基本逻辑结构，接触了一些常见的算法案例，在此基础上学习本节课可以说内容上的一个自然延伸。

2．不利因素用程序语言来表示算法，对学生的逻辑思维要求较高。

在符号表示上也有同代数表示不同之处（如^324*30=-+），在学习中会有一定的负迁移，尤其是赋值语句中的赋值号y x x“＝”借用代数表示中的等号“＝”，会使学生的认知发生一定的混乱，是一个要对学生原有认知结构进行调整的“顺应”过程，这是学习本节课的不利因素，这也成为本节课学习中的一个难点。

三、教学目标分析课标要求：理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想.1、知识与技能正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构；会写一些简单的程序。

2、过程与方法让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；并能初步操作、模仿。

3、情感态度与价值观增强计算机应用意识，提高学生学习新知识的兴趣。

吉林省吉林大学附属中学2014届高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题Word版含答案

“鹰隼三朝展羽翼，蛟龙一跃上九天”2013－2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试数学学科试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：吴普林审题人：林逸凡注意事项：1．本次考试使用条形码粘贴，学生需认真核对条形码粘贴上的信息，确认无误后粘到答题卡上指定位置；2．客观题填涂必须使用2B 铅笔，且按要求填满填涂点；3．答题内容必须全部书写在答题卡题目规定的答题区域内（每题的答题区域以方框为界）；4．必须保持答题卡的卷面整洁、平整，不得揉、搓或折叠，以免影响扫描效果．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{12}A =，，{|05}B x x =∈<<N ，若A C B ⊆⊆，则满足条件的集合C 的个数为（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1（2）函数()lg(2)f x x =++ （A ）(20)(0)-+∞，，（B ）(2)-+∞，（C ）(21]-，（D ）(1)+∞，（3）若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=（A ）1 （B ）12 （C ）12- （D ）－1（4）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题()()p q ⌝∨⌝表示（A ）甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米（B ）甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米（C ）甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米（D ）甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米（5（A ）两条直线（B ）两条射线（C ）两条线段（D ）一条射线和一条线段（6）已知函数()cos f x x x =－，x ∈R ，若()f x ≥1，则x 的取值范围为（A ）{|}3x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（B ）{|22}3x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（C ）5{|}66x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（D ）5{|22}66x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（7）ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，2sin sin cos a A B b A +=，则b a= （A）（B）（C（D（8）函数()(1)(1)(1)(2)(2)(1)f x x x x x x x =+-+--+-+的两个零点分别位于区间（A ）(11)-，和(12)，内（B ）(1)-∞-，和(11)-，内（C ）(12)，和(2)+∞，内（D ）(1)-∞-，和(2)+∞，内（9）曲线sin sin cos x y x x =+在点1()42M π，处的切线的斜率为（A ）12- （B ）12（C）（D（10） “0a <”是“函数2()||f x ax x =-在区间(0)+∞，上单调递增”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（11）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数(1)y f x =-的大致图象是（B ）（C ）（D ） ()y f x =（12）已知函数()sin 2xf x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题，其中真命题的个数是①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；④函数()()y f x g x =⋅. （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知幂函数()a f x x =的图象过点11()24，，则log 8a = .（14）如图，ABC △中，点D 在BC 边上，且2 2.5AC BC ==，，10.5AD BD ==，，则AB 的长为 .（15）已知αβ，均为锐角，且cos(sin()αβαβ+-=，则2=β . （16）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++.若“[0)x ∃∈+∞，，()1f x a <+”是假命题，则a 的取值范围为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）(本小题满分12分)已知p :|3|2x ->，q :(1)(1)0x m x m ≤－＋－－，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．（18）(本小题满分12分)已知函数()sin()(00)2f x A x x πωϕωϕ=+∈><<R ，，，的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．（19）(本小题满分12分)在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，设S 为ABC △的面积，满足222)S a b c =＋－．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．（20）(本小题满分12分)已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点()P a b ，成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”. （Ⅰ）将函数()sin()244g x x x x ππ=-+--∈R ，的图像向左平移4π个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标；（Ⅱ）求函数22()log 2xh x x-=图像对称中心的坐标；（Ⅲ）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明).（21）(本小题满分12分)已知函数()(1)e x f x x x -=-∈R ，，其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；B CA（Ⅱ）若函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-，求证：当2x >时，()()f x g x >；（Ⅲ）若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：12 4.x x +>请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．（22）(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，锐角ABC △的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D与边AC 的切点.（Ⅰ）求证：A D F E ，，，四点共圆；（Ⅱ）若50C ∠=︒，求DEF ∠的度数.（23）(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)，曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b ϕ>>，为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l θα=：与1C ，2C 各有一个交点．当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；（Ⅱ）设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为11A B ，，当4πα=-时，l 与1C ，2C 的交点分别为22A B ，，求四边形1221A A B B 的面积．（24）(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-.（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2013－2014学年上学期高三年级第一次模拟考试参考答案及评分标准(理科数学)（12）解析：()()()h x f x g x =⋅sin sin 2x x =22cos sin 22x x=，①错误，()h x 是偶函数；②错误，4π即为()h x 的一个周期；F EDC B A③正确，可以验证()(2)0h x h x π+-=恒成立，故(π，0)是()y h x =的图像的一个对称中心；④错误，令t ＝cos 2x，t ∈[－1，1]，则m (t )＝2t (1－t 2)＝2( t －t 3)，令m ′(t )＝2( 1－3t 2)＝0，得=t .当t ＝±1时，函数值为0；当t =时，函数值为当t =时，∴m (t )max()h x二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．（13）3 （14（15）4π （16）87a -≤提示：（16）解析：()y f x =是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为22970()00970a x x x f x x a x x x ⎧+->⎪⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎪⎩，，，，，，又“0x ∃≥，()1f x a <+”是假命题，则0x ∀≥，()1f x a +≥是真命题，当0x =时，1a +0≥，解得1a -≤，①当0x >时，297a x x +-1a +≥，结合均值不等式有6||7a -1a +≥，得85a ≥或87a -≤，②①②取交集得a 的取值范围是87a -≤.三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解析：由题意p ：5x >或1x <，q ：11m x m ≤≤－＋，设{|51}A x x x =><或，{|11}B x m x m =≤≤－＋， ……6分∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ⊂≠， ……10分∴15m >－或+11m <，∴6m >或0m <， ∴实数m 的取值范围(6)(0)+∞-∞，，. ……12分（18）（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题设图象知，周期11π5π2()π1212T =-=，所以2π2Tω==， ……2分因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π5π4π663ϕ<+<，从而5π6＋φ＝π，即π6ϕ=. ……4分又点(0，1)在函数图象上，所以πsin 16A =，得A ＝2， ……6分故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．（Ⅱ）由πππ2π22π262k x k -++≤≤， ……8分得ππππ36k x k -+≤≤，k ∈Z ， ……10分所以函数g (x )的单调递增区间是ππ[ππ]36k k -+，(k ∈Z). ……12分（19）（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题意可知12ab sin C ·2ab cos C ， ……3分所以tan C ＝……4分因为0＜C ＜π，所以C ＝π3. ……6分（Ⅱ）由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A cos A ＋12sin AA ＋π6)． (9)分∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴当A ＋π6＝π2即A ＝π3时， ……11分sin A ＋sin B ......12分（20）（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）平移后图像对应的函数解析式为1()sin g x x x x =+∈R ，， (2)分∵x ∀∈R ，11()()g x g x -=-，∴1()g x 是奇函数，又由题设真命题知，函数()g x 图像对称中心的坐标是(2)4π-，. ……4分（Ⅱ）设22()log 2xh x x-=的对称中心为()P a b ，,由题设知函数()h x a b +-是奇函数.设()()f x h x a b =+-，则22()()log 2()x a f x b x a -+=-+，由不等式2()02()x a x a -+>+的解集{|(2)}x a x a -<<--关于原点对称,得1a =. ……6分此时21()log (11)2(1)xf x b x x -=-∈-+，，. 任取(11)x ∈-，，由()()0f x f x -+=，得1b =-， ……8分所以函数22()log 2xh x x-=图像对称中心的坐标是(11)-，. （Ⅲ）此命题是假命题.举反例说明:函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像，但是对任意实数a 和b，函数()y f x a b =+-，即y x a b =+-总不是偶函数. ……10分修改后的真命题:“函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”. ……12分（21）（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）∵()f x =1x x e-，∴()f x '=2x xe -. (2)分令()f x '=0，解得2x =.∴()f x 在( (3)分∴当2x =时，()f x 取得极大值(2)f =21e . ……4分（Ⅱ）证明：43()(4)x x g x f x e --=-=，413()()()x x x xF x f x g x e e ---=-=-令, ∴()F x '=424422(2)()xx x x x x x e e e e e-+-----=. ……6分当2x >时，2x -＜0，2x ＞4，从而42x e e -＜0， ∴()F x '＞0，()F x 在(2,)+∞是增函数.2211()(2)0,2()().F x F x f x g x e e ∴>=-=>>故当时,成立 ……8分（Ⅲ）证明：∵()f x 在(,2)-∞内是增函数，在(2,)+∞内是减函数. ∴当12x x ≠，且12()()f x f x =，1x ，2x 不可能在同一单调区间内. 不妨设122x x <<，由（Ⅱ）可知22()()f x g x >，又22()(4)g x f x =-，∴22()(4)f x f x >-. ∵12()()f x f x =，∴12()(4)f x f x >-.∵2212,42,2x x x >-<<，且()f x 在区间(,2)-∞内为增函数， ∴124x x >-，即12 4.x x +> ……12分（22）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）由圆D 与边AC 相切于点E ，得90AED ∠=︒， ∵DF AF ⊥，得90AFD ∠=︒， ∴A D F E，，，四点共圆. ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A D F E ，，，共圆，得∠DEF ＝∠DAF ，1()2ADF ABD BAD ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠11(180)9022C C =︒-∠=︒-∠，结合BF ⊥AF ，得∠DEF ＝∠DAF ＝90︒-∠ADF ＝12C ∠，∴12DEF C ∠=∠.由50C ∠=︒得∠DEF ＝25︒. ……10分FE DC BA（23）（本小题满分10分）解析：（Ⅰ）C 1是圆，C 2是椭圆．当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1. ……5分（Ⅱ）C 1，C 2在平面直角标系下的方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ，与C 2交点B 1的横坐标为x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= ……10分（24）（本小题满分10分）解析：（Ⅰ）由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，∴31,35,a a =⎧⎨+=⎩－－解得a ＝2. (5)分（Ⅱ）（解法一）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|＝213,532,21 2.x x x x x <⎧⎪⎨⎪+>⎩--，-，-≤≤，所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5.综上可得，g (x )的最小值为5. ……10分从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．（解法二）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得， ∵f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，∴5m ≤，∴m的取值范围为(－∞，5]． (10)分。

吉林长春吉大附中实验学校数列的概念单元测试题含答案百度文库

一、数列的概念选择题1．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（）A ．18B ．17 C ．131D ．162．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2018a =（）. A ．2B ．12 C ．1-D ．12-3．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（）A ．135B ．141C ．149D ．1555．已知数列{}ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（）A ．13i =，33j =B ．19i =，32j =C ．32i =，14j =D ．33i =，14j =6．已知数列{}n a ，若()12*Nn n n a a a n ++=+∈，则称数列{}na 为“凸数列”.已知数列{}nb为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（） A ．5B ．5-C ．0D ．1-7．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（） A ．89B ．23C ．6481D ．1252438．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（） A ．511B ．513C ．1025D ．10249．3……，则） A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项10．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为（） A ．12020B ．12019C ．11010D ．1100911．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（）A ．81B ．243C ．324D ．21612．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202213．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（）． A ．648B ．722C ．800D ．88214．已知数列{}n a满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（） A ．2015B ．2016C ．1512D ．3025215．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（）A ．92B ．102C ．8182D ．11216．设数列{}n a 的通项公式为2n n a n+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（） A ．6B ．7C ．8D ．917．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个18．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（） A ．2B ．4C ．10D ．1419．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（） A ．6-B ．16-C ．16D ．620．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（） A ．4B ．6C ．8D ．10二、多选题21．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =22．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．223．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 24．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T25．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦26．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =27．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >28．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1230．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（）A ．2490a a +=B ．数列{}n S 中最大值的项是25SC ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列31．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列32．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >33．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <34．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．C解析：C 【分析】根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】因为1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，所以211123a ==+，31131723a ==+，411711527a ==+，51115131215a ==+故选：C 2．B解析：B 【分析】利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】在数列{}n a 中，111n na a +=-，且12a =， 211112a a ∴=-=， 3211121a a =-=-=- ， ()41311112a a a =-=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201867232=⨯+， 2018212a a ∴==.故选：B 【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.3．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．4．D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.20211110112-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.6．B解析：B 【分析】根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-=== ∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =，∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，故选：B. 【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.7．A解析：A由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n nnn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠，所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以91021513a =+=，故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.9．D解析：D 【解析】【分析】根据根号下的数字规律,可知为等差数列.利用等差数列性质求得通项公式,即可判断为【详解】根据数列中的项,…由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-⨯=+而=所以4541n =+ 解得11n = 故选:D 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.10．C解析：C 【分析】由累乘法可求得2n a n=，即可求出. 【详解】11n n n a a n +=+，即11n na n a n +=+， 12321123211232121232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n=， 20202120201010a ∴==. 故选：C.11．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D 【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，，第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，，第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，，据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，，故选：C.13．C解析：C 【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =，即可得出．【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =．则此数列第40项为2220800⨯=．故选：C14．C解析：C 【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论．【详解】依题意，112a =，211122a =，3111222a =+=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列，于是所求值为20161(1)151222⨯+=，故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.15．B解析：B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项．【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=．令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴1211322aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得： 12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭2115(1)221122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-． ∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ．【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；16．C解析：C 【分析】先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，令0n D >解不等式，结合*n N ∈，即可求解. 【详解】记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，则()()12112451232312n n n n n n n D a a a a n n -++++=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=- 依题意有()()12362n n ++>整理得()()23707100n n n n +-=-+> 解得：7n >，因为*n N ∈，所以min 8n =，故选：C17．B解析：B 【分析】讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；（2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时. 若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列；若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．18．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.19．A解析：A 【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值. 【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.20．C解析：C 【分析】利用443a S S =-计算．【详解】由已知22443(44)(33)8a S S =-=+-+=．故选：C ．二、多选题21．ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．【详解】由题意，，A正确，，C正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B错；，D正确．故选：ACD．【点睛】本解析：ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．【详解】由题意211 122a=-=，311112a=-=-，A正确，313 2122S=+-=，C正确；41121a=-=-，∴数列{}n a是周期数列，周期为3．2019367331a a a⨯===-，B错；201932019 67322S=⨯=，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．22．ABC【分析】根据不等式对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有恒成立，当n为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解.【详解】根据不等式对于任意正整数n恒成立，当n为奇数时有：恒成立，由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n <+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立，由12n -第增，且31222n ≤-<，所以32a <，综上可得：322a -≤<，故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.23．ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，，，，，，故正确；，所以，故正确；由，，，，，，可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.24．AD 【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾.得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈.25．BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然，，，，，所以且，即B 满足条件；由，所以所以数列解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项，12+为公比的等比数列，所以()()1nF n n +-=⎝⎭11515()n F F n n -+=++，令1nn n Fb -=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-，所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列，所以1n n b -+，所以()1115n n n n F n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；即C 满足条件；故选：BC【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．26．BCD【分析】由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.【详解】设等差数列数列的公差为.由有，即所以,则选项D 正确.选项A. ,无法判断其是否有最小解析：BCD【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 1131********a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.27．ABC【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.28．ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A 正确；∵，，故有，故B 正确；该数解析：ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-，故10190a a d =+=，故A 正确； ∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确；该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误；由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确，故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.29．ACD【分析】由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，，且，对于A ，，故A 正确；对于B ，的对称解析：ACD【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-，对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，nS在1n =取最值.30．AB【分析】根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列中，即，.对于A 选项，，所以A 选项正确.对于C 选项，，，所以，解析：AB【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误. 故选：AB【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.31．ABD【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为，，所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：解析：ABD【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121n n n a a a +=+，11a =，所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：112121nn n a 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 32．ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确；C. 若解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．33．BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A 选项，若，则，那么.故A 不正确；B 选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为解析：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=，那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()()116168916802a a S a a +==+=，所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确；C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC .【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.34．ACD【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.【详解】因为，所以，所以，即解析：ACD【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2d n n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确；因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.35．CD【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；【详解】，，设，则点在抛物线上，抛物线的开口向下，对称轴为，且为的最大值，解析：CD【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=， ∴129291529()2902a a S a +===，故选：CD.【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

吉林大学附属中学高中数学必修3(人教A版)教案：第三章3.2.1古典概型

3.2.1古典概型吉林大学附属中学吴普林一、教材分析本节课是高中数学必修3（人教A版）第三章3.2.1古典概型的内容，教学安排是2课时，本节是第一课时。

是学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下进行教学的。

古典概型是一种最基本的概率模型，它曾是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论中占有相当重要的地位。

它的引入，使我们可以解决等可能事件的概率，而且可以得到概率精确值，同时避免了大量的重复试验。

学好古典概型有利于理解概率的概念，为其它概率知识的学习奠定基础，并能够解释生活中的一些问题。

二、学生学习情况分析1．有利因素在此之前学生已经学习了随机事件的概率，概率的意义和概率的基本性质，在学习中接触了大量的概率实例，在理论上和实践上都有了较深刻的理解和认识，由于与实际联系密切，教学中已积累了学生在概率学习中的浓厚兴趣，这些是学习本课的有利因素。

和老教材的区别在于，学生是在尚未学习排列组合的情况下学习概率的。

2．不利因素学生学习的困难在于，对古典概型的两个特征理解不够深刻，一看到试验包含的基本事件是有限个就用古典概型的公式求概率，没有验证“每个基本事件出现是等可能的”这个条件；另外对基本事件的总数的计算容易产生重复或遗漏。

三、教学目标分析1．知识与技能目标⑴理解古典概型，通过试验理解基本事件的概念和特点，通过实例抽象出古典概型的两个基本特征，推倒出概率的计算公式。

⑵会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2．过程与发展目标经历公式的推倒过程，体验由特殊到一般的数学思想方法的应用。

3．情感、态度与价值观目标用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现和归纳的学习品质。

四、教学重点、难点分析重点：理解古典概型及其概率计算公式。

难点：本节课的教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

吉林省长春吉大附中实验学校2023届高三下学期第五次模拟考试数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 若实数x ,y 满足，则（）成立．A．B．C．D．.2.定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形.已知在平面凸四边形中，，则的取值范围是（）A．B．C．D．3.若圆与圆的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A．B．C．D．4. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A．B．C．D．6.已知，则的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．8. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O ，且，则（）A．B．C．D．9. 在四棱锥中，底面为矩形，，，，．下列说法正确的是（）A ．设平面平面，则B．平面平面C ．设点，点，则的最小值为D ．在四棱锥的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，则（）A．B ．的最小值为4C．D ．的最小值为1011. 已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．吉林省长春吉大附中实验学校2023届高三下学期第五次模拟考试数学试题(1)吉林省长春吉大附中实验学校2023届高三下学期第五次模拟考试数学试题(1)三、填空题四、解答题12. 已知，且，则（）A．B．C．D．13. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为________．14. 设复数（其中i为虚数单位），则______.15. 在三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥的外接球表面积为________．16. 如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面．（1）求的值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．17.如图，三棱柱中，四边形是菱形，平面,二面角为，.(1)求证：平面平面;(2)求二面角的余弦值.18.某高校课程的教师为了解本学期选修该课程的学生的情况，随机调查了200名选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：本专业非本专业合计女生7080男生40合计(1)根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关；(2)从样本中为“非本专业”的学生中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人，求3人都是男生的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.82819. 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词．某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数，得到如下表格：日行步数（单位：千步）人数104015020035020050（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样，从上述1000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；日行步数千步日行步数千步总计40岁以上12040岁以下（含40岁）40总计200（2）以这1000位居民日行步数超过8千步的频率代替该地区1位居民日行步数超过8千的概率，每位居民日行步数是否超过8千相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有可能（即概率最大）是多少位居民？附：，其中．0.050.0250.0103.841 5.024 6.63520. 已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为A，B，G为C的上顶点，且的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点的动直线与C交于M，N两点.证明：直线与的交点在一条定直线上.21. 本小题满分12分）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且．(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求（其中）．。

2021年吉林省长春市吉林大学附属中学高一数学理联考试题含解析

2020-2021学年吉林省长春市吉林大学附属中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，集合，则A∩B=（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】分别解出集合A，B的元素，再由集合的交集运算得到结果.【详解】，，.故选：D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.2. （5分）下列函数中，在R上单调递增的是（）A．y=﹣3x+4 B．y=log2x C．y=x3 D．参考答案：C考点：幂函数的性质；对数函数的单调性与特殊点．专题：规律型．分析：先考虑函数的定义域，再判断函数的单调性，从而可得结论．解答：对于A，y=﹣3x+4为一次函数，在R上单调递减，故A不正确；对于B，函数的定义域为（0，+∞），在（0，+∞）上为单调增函数，故B不正确；对于C，函数的定义域为R，在R上单调递增，故C正确；对于D，函数的定义域为R，在R上单调递减，故D不正确；故选C，点评：本题考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的定义域，再利用初等函数的单调性．3. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C略4. 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。

以上结论，正确的是（）A．①② B．① C．③④D．①②③④参考答案：A略5. 已知函数是偶函数，其图像与轴有四个不同的交点，则函数的所有零点之和为（）. 0 . 8 . 4 . 无法确定参考答案：C略6. 函数的定义域是（）．A．(－∞,－1) B．(1,+∞)C．(－1,1)∪(1,+∞)D．(－∞, +∞)参考答案：C解：根据题意，使有意义，应满足，解可得．故选．7. 设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（）①若，，，则；②若，，则③若，，则；④若，，则；则上述命题中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：B略8. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形参考答案：A 【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据“斜二测画法”的画图法则，结合已知，可得△ABC中，BO=CO=1，AO=，结合勾股定理，求出△ABC的三边长，可得△ABC的形状．【解答】解：由已知中△ABC的直观图中B′O′=C′O′=1，A′O′=，∴△ABC中，BO=CO=1，AO=，由勾股定理得：AB=AC=2，又由BC=2，故△ABC为等边三角形，故选：A9. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，A，则B=（）A. B. C. 或 D. 或参考答案：D【分析】由正弦定理，可得：，进而可求解角B的大小，得到答案。

说题：吉大附中吴普林

第2问
单调性与导数关系,不等式的求解会求函数单调区间导数运算公式利用导数研究函数单调性会求函数的单调区间运算求解能力推理论证能力分类讨论思想数形结合思想
能力要求
运算求解能力
本题围绕单调性与导数的关系展开，通过第一问单调区间的求解，为第二问的求解提供了多个切入点。整道题目的设计，考查了导数公式、导数运算法则，分类讨论、数形结合等思想，以及推理论证能力。
第二问： f ( x) e
x
1 x ax 2 ，若 x≥ 0 时 f ( x) ≥ 0 ，求 a 的取值范围.
3 2.5 2
解题思路
1.5
1
0.5
随着a的增大，图象由U型演变为N型.
1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
-0.5
-1
-1.5
-2
f(x)恒过定点(0,0) 正是结论成立区间的左端点.
多项式函数与 e x 相乘.
.
原题：设 f ( x) e x 1 x ax2 ，若 x≥ 0 ， f ( x) ≥ 0 ， 1 求实数 a 的取值范围.（答案： a ≤ ） 2 变式：（2011全国I文21）设函数 f ( x) x (e x 1 ax) .
1 提出公因式（Ⅰ）若a = ，求 f ( x ) 的单调区间； 2 再处理（Ⅱ）若当 x ≥0时 f ( x ) ≥0，求a的取值范围.
-1.5
第二问： f ( x) e
x
1 x ax 2 ，若 x≥ 0 时 f ( x) ≥ 0 ，求 a 的取值范围.
1.5
a >0.5
1
0.5
f ′′(x) f ′(x)

吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第五次摸底考试数学试题

一、单选题二、多选题1.设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题2.已知函数，则（）A ．6B ．4C ．2D．3. 甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150名高二学生参加某次数学调研测试为了解学生能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调查为；在丙校有50名数学培优生，需要从中抽取10名学生进行失分分析，记这项调查为完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A ．分层抽样法、系统抽样法B ．分层抽样法、简单随机抽样法C ．系统抽样法、分层抽样法D ．简单随机抽样法、分层抽样法4. 在同一坐标系中，方程与（）的曲线大致是（）A． B．C． D．5.已知集合，，则A．B．C．D．6. 已知向量，，则向量在向量上的投影是（）A．B．C．D．7. 已知复数，则（）A．B ．1C．D ．8. 若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为A．B．C．D．9.已知函数，设函数，则下列说法正确的是（）A ．若有4个零点，则B ．存在实数t ，使得有5个零点C ．当有6个零点时．记零点分别为，且，则D ．对任意恒有2个零点10. 已知复数，下列命题正确的是（）吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第五次摸底考试数学试题吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第五次摸底考试数学试题三、填空题四、解答题A．B ．若，则C．D ．若，则为实数11. 攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（）A ．底面边长为4米B．侧棱与底面所成角的正弦值为C ．侧面积为平方米D ．体积为32立方米12. 已知双曲线：的离心率，则下列说法正确的是（）A ．或B ．双曲线的渐近线方程为C ．双曲线的实轴长等于D ．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于13. 是虚数单位，数，则______．14. 在三棱锥中，平面，底面是边长为的正三角形，二面角的大小为，则该三棱锥的外接球的体积为______.15.已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为__________.16. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7第一次82897892926581第二次83907595936176(1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；(2)设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下：（i ）求的分布列和数学期望；（ii ）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明）17. 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求k的值；(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.18. 已知等比数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列前n项和．19. 若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）20. 已知函数(1)是否存在实数使得在区间上恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；(2)求函数在区间上的零点个数（为自然对数的底数）.21.如图，三棱台中，平面平面ABC，AB＝AC，，，．(1)求四棱锥的体积；(2)在侧棱上是否存在点E，使得二面角E－AC－B的余弦值为？若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由．。

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一类常见数学应用问题的考证与探究
吉林省长春市实验中学数学组吴普林
wupulin@
一、问题的提出
请看这样一个常见的问题：
小河同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一座水电站发电供两村使用，已知A 、B 两村到河边垂直距离分别为300米和700米，且两村相距500米，问水电站建在何处送电到两村电线用料最省？
我们通常的解答是这样的：
图一
如图建立坐标系，作A 关于x 轴（河）的对称点A ′，连结A ′B 与x 轴（河）交于点G ，则发电站建在河上的G 处可使电线用料最省。

事实上这种解法是错误的。

我们不难验证在本题中，A ′B ＝109100≈1044 (米)
而OA ＋AB ＝800（米），显然电站应建在O 处而不是G 处。

由此不难想到，发电站地点的选定与a 、b 、c 有怎样的关系呢？
（其中OA ＝a ，OB ＝b ，AB ＝c ，A ′B ＝d 以下同）
二、问题的初步研究
问题：一条河的一侧岸上有两个村庄A 、B ，它们到河边的垂直距离分别是a 、b （a ＜b )，且两村之间距离为c ，要在河上建一座电站，问建在何处可使送电到A 、B 两村架设的电线最短？
分析：作A 关于河的对称点A ′，则可以有两种选择方案
方案一：沿A ′B 架设线路，线路总长为d
方案二：沿O －A －B 架设线路，线路总长为（a ＋c ）
现对两种方案进行比较：由平几知识易得ab c d 42+=
(一)当22222)()4()(c a ab c c a d +-+=+-＝0，即0)42(=-+b c a a 时，两种方案架设线路总长相等：
若0=a ，几何意义如图二，电站建在A （O ）点
图二
若042=-+b c a ，几何意义如图三
图三
作∠A ′BA 的角平分线BH ，过点A ′作BH 的垂线，延长BA 与这条垂线交于点D ，则BD ＝BA ′，设AD ＝f ，应有a ＝f ，此时电站建在O 点或G 点均可。

(二)当22222)()4()(c a ab c c a d +-+=+-＞0，即0)42(>-+b c a a ，即042>-+b c a （∵0>a ）时，d ＞（a ＋c ），应按方案二架设线路。

(三)当22222)()4()(c a ab c c a d +-+=+-＜0，即0)42(<-+b c a a ，即042>-+b c a （∵0>a ）时，d ＜（a ＋c ），应按方案一架设线路。

在实际问题当中，a 、b 、c 都是确定的数值，我们只须要将值代入判定一下（b c a 42-+）的符号就可以得出正确方案了。

三、问题的深入研究
下面我们对a 、b 、c )(b a <都是可变正数的情形进行进一步的探究。

图四
我们约定：
①作AF ⊥BE 于F ，设∠BAF ＝α
②将图三的情形称为临界情形
将此时的角α称为临界角，记为α0
将此时过点A 、B 的直线的斜率称为临界斜率，记为k 0
下面证明这样的定理：
定理：设过A 、B 两点的直线的斜率为k ，则
当k ＝ k 0 时，d ＝ a ＋ c
当k ＞ k 0 时，d ＞ a ＋ c
当0 ＜ k ＜ k 0 时，d ＜ a ＋ c
由平几知识易知：
a c
b +=αsin
αsin 4422ac a c d ++=
ac ac a c a d 2sin 43)(222-+=+-α
c
a c 432sin 0-=α 当k ＝k 0时，d ＝a ＋c ，前面已经证明。

当k ＞k 0时，22)(c a d +-
＝ac ac a 2sin 432-+α
＞ac ac a 2sin 4302-+α ＝ac c
a c ac
a 2432432--+ ＝0
∴d ＞a ＋c
当0＜k ＜k 0时，同理可得d ＜a ＋c 四、问题的应用与推广
这个问题的理论模型在实际生活中有着广泛的应用，如引水灌溉、公路运输等问题。

进而我们还可以考虑这样的问题：
在河道某处修建一个码头，从码头向一侧的A 、B 两个城市修筑公路转运物资，则码头选在何处可以最大限度节约筑路资源；若码头建成后，每天向A 城市转运的物资是M 吨，向B 城市转运的物资是N 吨(M ≠N )时，选择哪种方案可以使“吨/公里”数最小等等。