因式分解法解一元二次方程
一元二次方程因式分解法的四种方法
一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。
本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。
二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。
四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。
2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。
3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。
4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。
五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。
六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。
因式分解法求解一元二次方程
因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。
解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。
因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积，然后令每个因式等于零，得到多个简单的方程，再解这些方程得到所有的解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先需要判断方程的根的个数。
根据判别式Δ（delta）=b^2-4ac的值，可以得到如下结论：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
3.当Δ<0时，方程没有实根。
此时无法使用因式分解法求解。
对于情况1和情况2，下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。
步骤二：将方程左边进行因式分解。
根据二次三项完全平方式分解公式，将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0，其中p和q是待定常数。
步骤三：将方程化简并分别解得p和q的值。
将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比，得到以下等式：ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较，可得到以下等式组：a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组，得到p和q的值。
步骤四：求解x的值。
将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中，分别令每个因式等于零，求解得到x的值。
以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。
例题：解方程2x^2+7x+3=0。
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，计算出Δ=49-24=25>0，所以方程有两个不相等的实根。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。
一元二次方程的因式分解法
一元二次方程的因式分解法一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中一种常用的方法是因式分解法。
一元二次方程的因式分解法是将方程转化成两个一次方程的乘积形式，从而求得方程的解。
我们来看一个简单的例子：x²-5x+6=0。
根据因式分解法，我们可以将x²-5x+6拆分成两个因式的乘积：(x-2)(x-3)=0。
接下来，我们分别将两个因式设置为0，得到两个一次方程：x-2=0和x-3=0。
解这两个一次方程，我们分别得到x=2和x=3。
所以，原方程x²-5x+6=0的解是x=2和x=3。
通过这个例子，我们可以总结出一元二次方程的因式分解法的步骤：1. 将一元二次方程化简为标准形式：ax²+bx+c=0，其中a≠0。
2. 将方程的三项分别与a的倒数相乘，得到新的方程：x²+(b/a)x+(c/a)=0。
3. 将新的方程进行因式分解，拆分为两个因式的乘积形式：(x-r₁)(x-r₂)=0，其中r₁和r₂是两个实数。
4. 分别将两个因式设置为0，得到两个一次方程：x-r₁=0和x-r₂=0。
5. 解这两个一次方程，得到方程的解x=r₁和x=r₂。
需要注意的是，一元二次方程的因式分解法只适用于一些特殊的情况，即方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积形式。
对于无法因式分解的一元二次方程，我们需要使用其他方法来求解，如配方法、求根公式等。
除了求解一元二次方程的根，因式分解法还可以用于化简一些复杂的代数表达式。
通过因式分解，我们可以将复杂的表达式转化为简单的因式乘积形式，从而更方便地进行计算和运算。
一元二次方程的因式分解法是解决一元二次方程的一种有效方法。
通过将方程进行因式分解，我们可以将问题转化为解两个一次方程的问题，从而求得方程的解。
同时，因式分解法还可以应用于化简代数表达式，方便进行计算和运算。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。
要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。
因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。
首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。
这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。
将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。
需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。
最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。
首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。
如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。
总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。
因式分解法解一元二次方程式
只含一個未知數x，且未知數最高次數是2的 等式，如果可以整理成ax2 bx c 0 (a 0) 的形式，我們稱為一元二次方程式。
例如
2x2 5 0 x2 3x 2 0 x2 5x 1 0
皆為一元 二次方程式
2.一元二次方程式解的意義
將一個數代入一元二次方程式中的未 知數，能使等號成立，此數就是此一 元二次方程式的解。
例題3 解下列一元二次方程式：(2)(2x 1)2 192
解說
(2x 1)2 192 (2x 1)2 192 0 [(2x 1) 19][(2x 1) 19] 0 (2x 20)(2x 18) 0 2x 20 0或2x 18 0 所以x 10或x 9
方程式(2x 1)2 192的解為10與9
例如
(x 4)(x 3) 0 x 4 0或x 3 0 x4 或 3
3.求一元二次方程式解的原理
若一元二次方程式可以因式分解， 則可以求出此一元二次方程式的解
例題 解一元二次方程式x2 3x 2 0
解說
x2 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0 x 1 0或x 2 0 x 1 或 2
例題5 解下列一元二次方程式：(1)2x2 7x 6
解 說 2x2 7x 6 2x2 7x 6 0
(2x 3)(x 2) 0
2
+3
2x 3 0或x 2 0 1
+2
x 3或x 2 2
4+3=7
方程式2x2 7x 6的解為 3 與 2 2
6.利用十字交乘法解一元二次方程式
7.提出公因式法與十字交乘法的比較
例題7 解下列一元二次方程式：( 1) (x 2)2 3(x 2) 0
解一
用因式分解法解一元二次方程
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为
一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用
因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
2
5
∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8.
（4）9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝
144+36 ＝ 180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
因式分解，得 x5 x 4 0.
x 0, 或5 x 4 0.
4
x1 0，x2
5
（2）移项，得 x 2 xx 2 0,
因式分解，得 x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0.
x1 2，x2 1
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
（2）形如x2 - a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分
解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2
因式分解法解一元二次方程
第四讲 一元二次方程的解法通过因式分解，把方程变形为(-)(-)0a x m x n =，则有=x m 或x n =。
步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。
注：（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。
①提公因式法：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式 ②公式法：平方差公式：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）完全平方公式：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2; a 2－2ab+b 2=（a －b ）2.（2）此法克拓展应用于求解高次方程。
【例1】用因式分解法解下列方程(1) (2x-1)2-x 2=0 (2) (x-3)-x(x-3) =0(3) y 2＋7y ＋6＝0； （4）0)32(2)32(32=---x x【变式练习】解下列方程(1) 4(3x+1)2-9=0 (2) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3)（3）035122=+-x x （4）06)3(5)3(2=++-+x x【例2】解下列方程（1）42-6+5=0x x （2）20x x +=（3）24(-3)(-3)0x x x += （4）22()(-2)24x x x x ++=【变式练习】解下列方程(1)2(1)230x x +++= (2)2(32)-6(32)90x x +++=(3)(-3)(4)-12t t += (4)(-5)(3)(6)-17x x x x +++=【例3】解关于x 的方程：222-2++=0x ax a b【例4】已知：2++=14x xy y ，228y xy x ++=，求+x y 的值。
（1）方程23(4-9)-2(2-3)0x x =的解是 ； （2）已知：22-2-3=0x xy y (0,0)x y ≠≠，则代数式2+32x yy= ； （3）已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．（4）已知c 为实数，并且方程2+3+=0x x c 的一根的相反数是方程2+3-=0x x c 的一根，求方程2+3-=0x x c的根和c 的值。
2.4用因式分解法求解一元二次方程
a·b=0 a=0或b=0
注意
“二者中至少有一个为0”的意思，包括二者同
时为0；二者不能同时为0。
a·b=0
a=0或b=0
a=0，b≠0 a≠0，b=0
a=b=0
知识点 2 因式分解法的概念
因式分解法的概念： 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式 的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的 方法称为因式分解法．
解题技巧
解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分 解法，不能用这两种方法时，再用公式法，但对 于系数较大时，一般不适宜用公式法；没有特殊 要求的，一般不用配方法．其中配方法和公式法 适合于所有一元二次方程
解题技巧
解一元二次方程方法的口诀 ①方程没有一次项，直接开方最理想； ②如果缺少常数项，因式分解没商量； ③ b，c相等都为0 ，等根是0不要忘； ④ b，c同时不为0，因式分解或配方，
如果ab=0,那么
.
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分解因式:ma+mb+mc= m（a+b+c）. 提公因式法
分解因式: x2-y2 = ( x+y )(x－y) 套公式法（平方差公式）
x2+2xy+y2=( x+y )(x+y ) 套公式法
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3.已知实数a，b满足
（a2 b2 )(a2 1 b2 ) 1 , 4
求3a2 3b2 8的值。
4.在实数范围内定义运算，“ ”，其法则为：
a b a2 ，求方程 4 3 x 24 的解
请选择： 若A·B=0则 （ D ）
（A）A=0； （B）B=0； （C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0
你能用上面的结论解方程 (2x+ 3)(2x- 3)= 0
吗？
解下列方程： 因式分解法
(1) y2－3y＝0; (2) 4x2=9
解一元二次方程
(3)7x2=21x
解两个一元一次方程
因式分解法的基本步骤是：
1 3
4.若一个数的平方等于这个数本身, 你能求出这个数吗(要求列出一 元二次方程求解)?
1.试分别写出一个一元二次方程,使它的 两根满足:
(1)一根是-1,另一根是正数;
(2)一根是负数,另一根在3和4之间;
2.已知方程 x2 px q 0 的两根分别 是3和-4,则 x2 px q 可以分解为( )
若方程的右边不是零，则先移项，使方程 的右边为零；
将方程的左边分解因式； 根据若A· B=0,则A=0或B=0,将解一元二
次方程转化为解两个一元一次方程。
例2 解下列一元二次方程：
(1) (x－5) (3x－2)=10;
(2) (3x－4)2=(4x－3)2;
(3) x2+4=4x
用因式分解法解一元二次方程遇到类似 例2这样的，移项后能直接分解因式就直 接分解因式，否则移项后先化成一般式 再分解因式.
1.用因式分解法解下列方程：
(1) (x -2)(2x -3)=6; (2) x2+9=-6x ; (3) 9x2=(x_1)2
(4) (x－3)2+4x(x－3)=0
2. 解方程x2=2√2x－2
3.辨一辨:下列解一元二次方程的方法对吗?
3x2=x
解： 方程两边都除以 x，得3x=1
解得
x
——因式分解法
1.一元二次方程的一般式是怎样的？
ax2 bx c 0 （a≠0）
2.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是 _2_y_2_-6_y_+__4_=0,它的二次项系数是___2__,一次项是__-6_y__,
3.已知方程 x2 kx 3 的一个根是- 1，则k= 4 ,