2021年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<,(){}20Q x x x =->,则P Q 为（ ） A ．()0,2B ．()1,9C ．()2,9D ．()1,23．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+22sin πα的值等于（ ） A ．53- B ．53C ．54-D ．54 4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2021模拟年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D ．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降5．如图所示的程序框图可以计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是（ ） A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 6．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩,则2x y +的取值范围是（ ）A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-7．在ABC ∆中,4AC AD =,P 为BD 上一点,若13AP AB AC λ=+,则实数λ的值（ ） A ．18B ．316C ．16D ．388．函数1()ln ||1xf x x +=-的图象大致为（ ）9．将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度,向下平移78个单位长度后,得到()h x 的图象,若对于任意的实数,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()h x ω都单调递增,则正数ω的最大值为（ ）A ．3B ．52C ．73D ．7610．若将双曲线()22:10x y C mn m n -=>绕其对称中心旋转6π后可得某一函数的图象,则双曲线C 的离心率等于（ ） A ．23B ．3C ．2或23D ．2或311．某同学自制了一套数学实验模型,该模型三视图如图所示.模型内置一个与其各个面都相切的球,该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候,随机往模型中投掷大小相等,形状相同的玻璃球,通过计算落在球内的玻璃球数量,来估算圆周率的近似值.已知某次实验中,某同学一次投掷了1000个玻璃球,请你估算落在球内的玻璃球数量（其中3≈π）（ ）A ．286B ．289C ．298D ．30212．已知数列{}n a 各项为正,12a =,211n n n a a a +=-+,记12111n nA a a a =++⋯+,12111n nB a a a =⋅⋅⋯⋅,则（ ）A ．202020201AB +>B ．202020201A B +<C ．2020202012A B ->D ．2020202012A B -< 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知c 55,47os ，a c B ===,则sin A =______.14．已知正实数a b ，满足236a b +=,则2311a b +--的最小值为______. 15．已知、A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点,F是C 的右焦点,点P在C 上且满足PF OF ⊥（O 为坐标原点）,线段AP 交y 轴于点M ,连线段BM 交PF 于点N ,且MN 2NB =,则椭圆C 的离心率为______.16．已知函数()211ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,[)1,k ∈+∞,曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ,()22,N x y ,使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行()12x x ≠,则12x x +的取值范围为______.三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,在高三年级中随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于6小时的有20人,在这20人中分数不足120分的有4人；在每周线上学习数学时间不足于6小时的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占1625： （1）请完成22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不足于120分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于6小时和线上学习时间不足6小时的学生共5名,若在这5名学生中随机抽取2人,求这2人每周线上学习时间都不足6小时的概率.（临界值表仅供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）18．（本小题满分12分）已知正项单调递增的等比数列{}n a 中12313a a a ++=,且123133、、a a a 依次构成等差数列．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12b =,()*1(1)12,n n n b nb n n ---=≥∈N ,求数列{}n n a b -的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,AF ⊥平面ABCD ,33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）点G 在DE 上,且1EG =,求平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积之比？20．（本小题满分12分）已知抛物线2E 2y px =：上一点()1,n 到其准线的距离为2．（1）求抛物线E 的方程；。
2021年高考预测数学试卷含详细答案
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若 的展开式中 的系数是 ，则（）
A． B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为 D．常数项为
10．已知 ， ， ， 成等比数列，满足 ，且 ，下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
11．已知正四棱柱 的底面边长为2，侧棱 ， 为上底面 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）
所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为 ．
（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．
所以X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X＝0） ，P（X＝1） ，
P（X＝2） ，P（X＝3） ．
（1）若选_______（填序号），求cosA 的值；
（2）在（1）的条件下，若a＝2，求 面积S的最大值．
18．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和 满足 ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）记 ，若数列 为递增数列，求 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
2021年高考数学全国I卷(文)预测卷以及答案
2021年高考数学全国I卷（文）预测卷以及答案----fcf9e606-6ea2-11ec-b3c8-7cb59b590d7d2021年高考等值试卷★预测卷文科数学（国家卷一）本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.在为第一卷中的每个小问题选择答案后，用2B铅笔涂黑答题卡上相应问题的答案标签；如果需要更换，用橡皮擦擦干净，并涂上其他答案标签。
第二卷必须用0.5毫米的黑色签字笔书写。
如果你在试卷上作答，答案无效。
3.考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。
第一卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果已知I是一个虚单位，那么I（1？I）？（a）?1?i（b）?1?i（c）1?i（d）1?i2.已知集合a？{x|x？100}，b？{x|x？A}和aerb？r、那么实数a的取值范围是（a）a？100（b）a？100（c）a？100（d）a？一百3．已知数列?an?的首项为1，且an?1?an?an?an?1对于所有大于1的正整数n都成立，s3？s5？2a9，然后是A6？a12？（a）34（b）17（c）36（d）184、相关数据显示，2022，中国固定资产投资（不包括农户，下同）为63兆5636亿元，增长5.9%。
其中，第一产业投资22413亿元，比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元，增长6.2%；第三产业投资375324亿元，增长5.5%。
此外，从2022到2022，中国第一产业、第二产业和第三产业在固定资产投资中所占的比例如下图所示。
根据以上信息可知，下列说法中：① 2022—2022年间，中国一级产业投资固定资产投资比重逐年上升；②2021―2021年，我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；③22413635636?5%；④237899? 375324635636? 96.5%．不正确的个数为（a） 1（b）2（c）3（d）45。
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试题及参考答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,M N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则()MN =R ( )A ．∅B ．MC ．ND ．R2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰 有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( ) A ．16B ．13C ．12D ．233．关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题： 甲：1x =是该方程的根； 乙：3x =是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号． 如果只有一个假命题，则该命题是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =( )A ．1B C D ．25．已知单位向量,a b 满足0a b ⋅=，若向量72c a b =+，则sin ,a c 〈〉=( )A B ．3C D ．96．()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是( )A ．60B ．80C ．84D ．1207．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线， 则直线BC 的方程为( ) A ．210x y ++= B ．3640x y ++= C ．2630x y ++= D ．320x y ++=8．已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则( )A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数()ln(1)f x x x =+，则( )A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数 10．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是( )A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z =11．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )A ．//AE CDB ．//CHBEC ．DG BH ⊥D ．BG DE ⊥ 12．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则( )A ．()()f x f x =+πB ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．14．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______；_____．15．写出一个最小正周期为2的奇函数()f x =________．16．对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N n ε⎛⎫⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0．9545，至少要测量_____次(若()2~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列；(2)若1213,22a a ==，求{}n a 的通项公式．18．在四边形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD BD ===．(1)若32AB =，求BC ； (2)若2AB BC =，求cos BDC ∠．19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233ππ-⨯=π，故其总曲率为4π． (1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数―棱数+面数2=， 证明：这类多面体的总曲率是常数．21．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =．(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠．22．已知函数()e sin cos ,()e sin cos x x f x x x g x x x =--=++．(1)证明：当54x π>-时，()0f x ； (2)若()2g x ax +，求a ．2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．【答案】B ．RM N ⊆，RM N ∴⊇，据此可得()RMN M ∴=．2．【答案】C ．3张卡片分给3个同学，每人1张有33A 种，恰有1位学生分到写有自己学号卡片有3种，故所求的概率为3331A 2=.3．【答案】A ．若甲、乙是真命题，则丙、丁均为假命题，不合题意，故甲、乙中必有一个假命题，若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，合题意，若乙是假命题，则甲是真命题，由丙是真命题，知方程的另一根为1，此时丁为假命题，不合题意. 4．【答案】C ．由123F AF π∠=，得b =，而22222224c a b a c b c =-⇒=+=， ∴2222143m c m c⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得m =5．【答案】B ．∵1a b ==．∴()2227272723c a b a ba b =+=+=+=．∴()2727277cos ,=3a ab ac a a ba c a ca ca cc⋅+⋅+⋅〈〉====⋅⋅⋅， 所以sin ,13a c ⎛〈〉=-= ．6．【答案】D ．()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++因为11m m m nn n C C C -++=且2323C C =，所以2232323334C C C C C +=+=，所以222233234445C C C C C C ++=+=， 以此类推，2222323234999101098120321C C C C C C C ⨯⨯++++=+===⨯⨯．7．【答案】B ．(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2202211k kd k -+-==+，解得3k =±，如图，直线():232AB y x -=-，直线():232AC y x -=--．联立()22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩ ，得()23431416830x x +-+-=， 故1683A B x x -=，由2A x =得843B x -=，故236B y -=， 联立()22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩ ，得()23431416830x x -+++=， 故16833A C x x +=，由2A x =得8433C x +=，故2363C y --=， 故2362364B C y y ---+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+-- ，故直线BC 的方程为2361843323y x ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭，即3640x y ++=． 8．【答案】D ．因为5e 5e ,5a a a =<，故0a >，同理0,0b c >>，令(),0xe f x x x =>，则()()21x e x f x x-'=， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，因为5e 5e ,5aa a =<，故5e e 5aa=，即()()5f f a =，而05a <<，故01a <<，同理01b <<，01c <<，()()4f f b =，()()3f f c =因为()()()543f f f <<，故()()()f a f b f c <<，所以01a b c <<<<．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】AC ．由()ln(1)f x x x =+知函数的定义域为(1,)-+∞，)ln(1)1(x x f xx =+'++， 当(0,)x ∈+∞时，ln(1)0,01xx x+>>+，()0f x '∴>， 故()f x 在(0,)+∞单调递增，A 正确； 由(0)0f =，当10x -<<时，ln(1)0,()ln(1)0x f x x x +<=+>，当ln(1)0,()0x f x +>>，所以()f x 只有0一个零点，B 错误；令12x =-，1)ln 1ln 2121(2f =-=---'，故曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2--，C 正确；由函数的定义域为(1,)-+∞，不关于原点对称知，()f x 不是偶函数，D 错误． 10．【答案】BC ．由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C正确；取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误．11．【答案】BCD ．由正方体的平面展开图还原正方体如图， 由图形可知，AE CD ⊥，故A 错误；由//,HE H BC E BC =，四边形BCHE 为平行四边形，所以//CHBE ，故B 正确；因为,DG HC DG BC ⊥⊥，HCBC C =，所以DG ⊥平面BHC ，所以DG BH ⊥，故C 正确； 因为//BG AH ，而DE AH ⊥，所以BG DE ⊥，故D 正确．12．【答案】AD ．()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x x+π+π===++π+π+，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭减函数，故D 正确．当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin 20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2tx =为增函数且2,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2hx x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】61π．圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上， 如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为'O ， 则圆台的高2222''543OO OQ O Q =-=-=，据此可得圆台的体积：()22135544613V ππ=⨯⨯+⨯+=． 14．【答案】13；3-．正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+， ()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-．15．【答案】()sin f x x =π．由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数()sin f x A x ω=，()0A ≠，满足()sin ()f x x f x ω-=-=-，即是奇函数；根据最小正周期22T ωπ==，可得ω=π．故函数可以是()sin f x A x =π()0A ≠中任一个，可取()sin f x x =π．16．【答案】32．根据正态曲线的对称性知：要使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-且0μ=，2n σ=，所以20.5232n n≥⇒≥． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(1)证明：由2123n n n a a a ++=+可得：()2111333n n n n n n a a a a a a +++++=+=+因为各项都为正数，所以120a a +>， 所以{}1n n a a ++是公比为3的等比数列．(2)解：∵1213,22a a ==，由(1)得11112()323n n n n a a a a --++=+⨯=⨯， ∴1123n n n a a -+=-+⨯，即11212333n n n n a a +--=-+，令23n nn a b -=，则1123n n b b +=-+，有1313()232n nb b +-=--， 而1113333023222a b --=-=-=， ∴133022n b b -=-=，即32n b =，∴2332n n a -=，即132n n a -=. 18．解：(1)在ABD △中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，//CD AB ，BDC ABD ∴∠=∠，在BCD △中，由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，2BC =；(2)设BC x =，则2AB x =，在ABD △中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅，在BCD △中，22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅， 由(1)可知，BDC ABD ∠=∠，所以，cos cos BDC ABD ∠=∠，即222x x -=，整理可得2220x x +-=，因为0x >，解得31x =-，因此，cos cos 31BDC ABD x ∠=∠==-．19．解：(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ， 由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3PA PB PC ===．部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦．(2)由题意可知X 的取值为0，1，2，3．且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯0.398=，()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦ 0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯0.092=．()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=， 故X 的分布列为：X 0 1 2 3()P X 0.504 0.398 0.092 0.006其数学期望：()0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)解：由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和．可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合．由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形．所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：()25424π⨯-π+π=π．(2)设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+= 设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++= 所以总曲率为：()()()122222m n x x x π-π-+-++-⎡⎤⎣⎦()222n l m =π-π-()24n l m =π-+=π所以这类多面体的总曲率是常数．21．解：(1)设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭， ∵||||AF BF =，故2b ac a=+，故2220c ac a --=，即220e e --=， ∴2e =．(2)证明：设()00,B x y ，其中00,0x a y >>．∵2e =，故2c a =，b =，故渐近线方程为：y =，所以0,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a∠=+， 所以()()()()0000002222220000020222tan 121y y x a y x a x aBAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭002tan y BFA x a=-=∠-， 而220,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故BFA ∠2BAF =∠． 22．解：(1)分类讨论： ①当4 5,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()04x f x e x π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭； ②当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()cos sin ,00x f x e x x f ''=-+=，()sin cos 04x x f x e x x e x π⎛⎫''=++=++> ⎪⎝⎭， 则函数()f x '在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调增，则()()00f x f ''<=， 则函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调减，则()()00f x f >=； ③当0x =时，由函数的解析式可知()01010f =--=， 当[)0,x ∈+∞时，令()()sin 0H x x x x =-+≥，则()'cos 10H x x =-+≥，故函数()Hx 在区间[)0,+∞上单调递增，从而：()()00H x H ≥=， 即sin 0,sin x x x x -+≥-≥-，从而函数()sin cos 1x x f x e x x e x =--≥--，令1x y e x =--，则：1x y e '=-，当0x ≥时，0y '≥，故1x y e x =--在[)0,+∞单调递增， 故函数的最小值为0min 010y e =--=，从而：10x e x --≥．从而函数()sin cos 10x x f x e x x e x =--≥--≥； 综上可得，题中的结论成立．(2) 当54x >-π时，令()()2sin cos 2x h x g x ax e x x ax =--=++--﹐ 则()cos sin x h x e x x a '=+--， ()()0h x f x ''=>，故()h x '单调递增，当 2a >时，()020h a '=-<，()()()ln 22ln 204h a a π⎡⎤'+=+->⎢⎥⎣⎦， ()()10,ln 2x a ∃∈+使得()10h x '=，当10x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，()()00h x h <=不符合题意；当2a <时，2102h e a ππ-⎛⎫'-=--< ⎪⎝⎭，而()00h '>，故2,02x π⎛⎫∃∈-⎪⎝⎭使得()20h x '=， 当22x x π-<<时，()()0,h x h x '<单调递减，当20x x <<时，()()0,h x h x '>单调递增， 故当()2,0x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意；故2a <不符合题意， 当a =2时，()cos sin 2x h x e x x '=+--，由于()h x '单调递增，()00h '=，故： 504x π-<<时，()()0,h x h x '<单调递减；0x >时，()()0,h x h x '>单调递增， 此时()()00hx h ≥=﹔当54x π-时，()5sin cos 220202x h x e x x x π=++--≥->， 综上可得，a =2．。
2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(四)(解析版)
2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四）一、单选题1．已知集合{}*28xM x =∈<N ，{}N x x a =<．若M N ⋂有且仅有1个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．[]0,1 C ．(]1,2 D ．[]1,2【答案】C【分析】求出集合M ，根据已知条件可求得实数a 的取值范围.【详解】因为{}{}{}**2831,2xM x x x =∈<=∈<=N N ，{}N x x a =<，结合M N ⋂有且仅有1个元素知{}1M N ⋂=，所以12a <≤， 故选：C ．2．已知i 是虚数单位，若2i z a =+且|3|0)a i a +=>，则1zi=-（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．33i 22+ D ．33i 22-【答案】B【分析】首先计算求a ，再利用复数的除法运算公式，化简求值.【详解】由|3|a i +==1a =±． 因为0a >，所以1a =．所以2i z =+，则2(2)(1)1311(1)(1)22z i i i i i i i i +++===+---+. 故选:B3．在平行四边形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上，且满足14AE AC =，23CF CD =，则EF =（ ） A ．13124AB BC + B ．13124AB BC -- C ．13124AB BC - D ．13124AB BC -+ 【答案】A【分析】根据向量的线性运算表示出答案即可. 【详解】3232()4343EF EC CF AC CD AB BC BA =+=+=++3213()43124AB BC AB AB BC =+-=+， 故选：A4．互联网宽带接入用户数是指在电信企业登记注册，通过xDSL ，FTTx LAN +，WLAN 等方式接入中国互联网的用户，主要包括xDSL 用户、LAN 专线用户、LAN终端用户及无线接入用户．如图为2019年6月—2020年4月中国互联网宽带接入用户数及增速走势图．利用统计知识对上图进行分析，下列说法正确的是（ ） A ．2019年6月—2020年4月中国互联网宽带接入用户数逐月增加B ．2019年6月—2020年4月中国互联网宽带接入用户数增速的平均值为0.74%C ．中国互联网宽带接入用户数在2019年9月增速最快，2019年11月的用户数比10月少D ．中国互联网宽带接入用户数在2019年7月和2019年8月这两月的增速相同，因此用户数没有增加 【答案】C【分析】根据统计图对选项一一判断即可．【详解】对于A ，在2019年11月和2019年12月的增速为负值，说明用户数在减少，所以A 不正确；对于B ，互联网宽带接入用户数增速的平均值为1.0% 1.0% 1.5%0.5%0.1%0.6%0.6%0.6%0.8%0.6%0.59%10+++--++++=，所以B 不正确；对于C ，2019年9月的增速为1.5%，增速最快，2019年11月的增速为负值， 说明2019年11月的用户数比2019年10月的少，所以C 正确；对于D ，中国互联网宽带接入用户数在2019年7月和2019年8月这两个月的增速相同，增速均是正值，因此每一月用户数在上一月的基础上是增加的，所以D 不正确． 故选：C ．5．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为1S ，2S ，…，n S （单位：2m ），其相应的透射系数分别为τ1，2τ，…，n τ，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值τ确定：112212n nnS S S S S S ττττ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB ）为110lgR τ=．已知某墙的透射系数为4110，面积为220m ，在墙上有一门，其透射系数为2110，面积为22m ，则组合墙的平均隔声量为（ ） A ．10dB B ．20dBC ．30dBD ．40dB【答案】C【分析】先根据题意求出τ，然后再计算隔声量R 即可． 【详解】由题意知组合墙的透射系数的平均值423112212201021010202S S S S τττ---+⨯+⨯===++，所以组合墙的平均隔声量31110lg 10lg30dB 10R τ-===. 故选：C ．6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）A ．10B ．10C ．10D ．810【答案】D【分析】根据题意得EF GFGA EB⋅=，进而得4 2.510EF GF EB GA ⋅=⋅=⨯=，再结合基本不等式求4()EF GF +的最小值即可. 【详解】因为1里=300步，则由图知1200EB =步=4里，750GA =步=2.5里． 由题意，得EF GFGA EB⋅=， 则4 2.510EF GF EB GA ⋅=⋅=⨯=，所以该小城的周长为4()8810EF GF EF GF +≥⋅=， 当且仅当10EF GF ==时等号成立. 故选:D ．【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：EF GFGA EB⋅=，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.7．如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，AB 为圆锥底面圆的直径，C 是AB 的中点，D 是母线SA 的中点，则异面直线SC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．3B 10C ．3 D 3【答案】A【分析】延长AB 至点E ，使AB BE =，连接SE ，CE ，OC ，得到CSE ∠为异面直线SC 与BD 所成的角（或补角），再解SCE △即得解. 【详解】延长AB 至点E ，使AB BE =，连接SE ，CE ，OC ． 因为D 是母线SA 的中点，所以//SE BD ，所以CSE ∠为异面直线SC 与BD 所成的角（或补角）．由题意知6OE =，2OC =，又C 是AB 的中点，所以CO OB ⊥， 所以在Rt COE △中，22210CE OC OE +=． 因为4SA SB AB ===， 所以323BD ==243SE BD == 在SCE △中，4SC =，则由余弦定理得2223cos 22443SC SE CE CSE SC SE +-∠===⋅⨯⨯ 故选：A ．【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法：方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）；方法二：（向量法）cos m nm nα→→→→=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n →→分别是直线,m n 的方向向量. 8．已知M 为抛物线2:4C y x =上一点，过抛物线C 的焦点F 作直线(1)52x m y m +-=-的垂线，垂足为N ，则MF MN +的最小值为（ ）A ．223B ．222C ．22+D ．32【答案】D【分析】过点M 作MD 与准线垂直并交准线于点D ，求出直线过定点(3,2)-，然后可得N 在以FP 为直径的圆上，以FP 为直径的圆上，MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上的点到准线的距离的最小值，然后可求出答案.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，过点M 作MD 与准线垂直并交准线于点D ．令直线l 为直线(1)52x m y m +-=-，变形可得(2)5m y y x +=-+，令20,50,y y x +=⎧⎨-+=⎩解得3,2,x y =⎧⎨=-⎩则直线l 经过定点(3,2)-． 设(3,2)P -，连接FP ，取FP 的中点为E ，则E 的坐标为(2,1)-，||2EP =．若FN l ⊥，则N 在以FP 为直径的圆上，以FP 为直径的圆上，其方程为22(2)(1)2x y -++=．又由MF MD =，得MF MN MD MN +=+，如图，MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上的点到准线的距离的最小值，过点E 作ED '与准线1x =-垂直并交于点D ，与圆E 交于点N '，与抛物线交于点M '，则D N ''即为MD MN +的最小值，即()min32MF MN D N ED r '''+==-=-．故选：D二、多选题9．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列 D ．12n n S a a =-【答案】BD【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案． 【详解】由638a a =，可得3338q a a =，则2q，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误； 由663312912S S -==-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式.10．已知函数()22()log 48f x mx x =++，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，则实数m 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．若函数()f x 的值域为[2,)+∞，则实数2m =C ．若函数()f x 在区间[3,)-+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是42,93⎛⎤⎥⎝⎦D ．若0m =，则不等式()1f x <的解集为32x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【答案】AC【分析】对于A ，首先要对m 分类讨论，然后在定义域为R 的条件下再求m 的取值范围；对于B ，使内层函数的最小为4即可；对于C ，一是要考虑内层函数的单调性，二是要考虑定义域；对于D ，在解对数不等式时，一定要从定义域为基本前提出发. 【详解】对于A ，由题意知2480mx x ++>对x ∈R 恒成立， 由于当0m =时，不等式480x +>不恒成立，所以0m ≠． 当0m ≠时，由0,16320,m m >⎧⎨∆=-<⎩解得12m >，所以A 正确；对于B ，若函数()f x 的值域为[2,)+∞，则min ()2f x =，显然m 不为0，则函数248y mx x =++的最小值为4，则当2x m=-时， 2min22484y m m m ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =，所以B 错误；对于C ，若函数()f x 在区间[3,)-+∞上为增函数，则248y mx x =++在[3,)-+∞上为增函数，且在[3,)-+∞内的函数值为正，所以20,23,(3)4(3)80,m m m >⎧⎪⎪-≤-⎨⎪⨯-+⨯-+>⎪⎩解得4293m <≤，所以C 正确； 对于D ，若0m =，则不等式()1f x <等价于2log (48)1x +<， 则0482x <+<，解得322-<<-x ，所以D 不正确． 故选：AC ． 【点睛】方法点睛：判断复合函数的单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性， 正确理解“同增异减"的含义，即增增→增，减减→增，增减→减，减增→减． 11．已知函数2()sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．若()035f x =，0,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0cos 2x =C ．函数12y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为1和2- D ．若函数()()2sin 2g x f x m x =--在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，则实数m 的取值范围为1144m m ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【答案】AB【分析】先化简函数()f x ，对于A ，求解正弦函数的单调递增区间即可；对于B ，由()035f x =可得04cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则00cos 2cos 233x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求解；对于C ，由sin 2126y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据角取值范围即可求得最值；对于D ，化为2cos 26m x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根，设4cos ,,33y ππθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，画出函数cos y θ=的部分图像，根据图像求得结果． 【详解】1cos 211()sin 2sin 2cos 2sin 22223x f x x x x x π+⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭． 对于A ：令222232k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，所以选项A 正确；对于B ：因为0,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以022,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以若()035f x =，即0π3sin 235x ，则04cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525=-⨯+=，所以选项B 正确； 对于C ：sin 2126y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 所以min 1sin 62y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，max sin 12y π==，所以选项C 不正确； 对于D ：()sin 22sin 23g x x m x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点等价于12sin 2sin 2sin 22cos 23226m x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根，由7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得42363x πππ≤+≤，令26x πθ+= 设4cos ,,33y ππθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦ 依题意可知2y m =与cos y θ=的图像有唯一交点， 函数4cos ,,33y ππθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像如图，由图可知实数m 应满足11222m -<≤或21m =-，解得1144m -<≤或12m =-，故实数m 的取值范围为111442m m m ⎧⎫-<≤=-⎨⎬⎩⎭或，所以选项D 不正确． 故选：AB ．【点睛】关键点点睛：对于D ，转化为2cos 26m x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根，设4cos ,,33y ππθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，画出函数cos y θ=的部分图像，根据图像求得结果． 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22:11832x y Ω-=有相同的渐近线，且过点(6,43P ，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A ．若双曲线C 上一点M 到它的焦点1F 的距离等于16，则点M 到另一个焦点2F 的距离为10B ．过点(3,0)的直线l 与双曲线C 有唯一公共点，则直线l 的方程为43120x y --= C ．若N 是双曲线C 左支上的点，且1232NF NF ⋅=，则12FNF △的面积为16D ．过点(2,2)Q 的直线与双曲线2222178x y a b -=--相交于A ，B 两点，且(2,2)Q 为弦AB 的中点，则直线AB 的方程为460x y --= 【答案】CD【分析】先求出双曲线C 的方程.对于A ，根据双曲线的定义可以判断；对于B ，要考虑相切与相交两种情况，相交只有一个交点是与渐近线平行的直线；对于C ，配方和定义结合使用；对于D ，利用点差法求解．【详解】由题意设双曲线C 的方程为22(0)1832x y k k -=>，则221(0)1832x y k k k-=>，将点(6,P 的坐标代入得36481(0)1832k k k-=>，解得12k =，所以双曲线C 的方程为221916x y -=，则3a =，4b =，5c =．对于A ，由双曲线的定义可知122MF MF a -=，即2166MF -=， 解得210MF =或22，所以选项A 不正确；对于B ，因为点(3,0)为双曲线C 的右顶点，所以过点(3,0)与双曲线C 相切时， 直线l 与双曲线C 有唯一公共点，直线l 的方程为3x =； 当直线l 与双曲线C 的渐近线034x y±=平行时，直线l 与双曲线C 有唯一公共点， 此时直线l 的斜率为43±，所以直线l 的方程为4(3)3y x =±-， 即43120x y --=或43120x y +-=，所以选项B 不正确； 对于C ，N 是双曲线C 左支上的点，则216NF NF -=， 则221122236NF NF NF NF -⋅+=，将1232NF NF ⋅=代入可得221236232100NF NF +=+⨯=，即2221212100NF NF F F +==，所以12F NF △为直角三角形，所以121211321622F NF S NF NF =⋅⋅=⨯=△，所以选项C 正确； 对于D ，由题意得双曲线为22128x y -=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1122128x y -=，2222128x y -=，两式相减得22221212028x x y y ---=，即()()()()12121212028x x x x y y y y -+-+-=．因为(2,2)Q 为弦AB 的中点，所以124x x +=，124y y +=，且直线AB 的斜率存在， 所以()()121244028x x y y -⨯-⨯-=，所以直线AB 的斜率12124y y k x x -==-，则直线AB 的方程为460x y --=，所以选项D 正确． 故选：CD ．【点睛】方法点睛：已知双曲线的渐近线by x a=±求双曲线的方程，可将双曲线方程设为2222(0)x y a bλλ-=≠，再利用其他条件确定λ的值．三、填空题13．6(1)x+展开式中含x 的项的系数为______．【答案】-100【分析】首先原式变形为66x+，再分别求两部分含x 项的系数.【详解】原式66x=+，展开式中含x 的项包含两部分，一部分是函数6中的常数项，一部分是6的含x 的项，6展开式的通项为63166C (2)C rr r r r rr T x --+⎛=⋅⋅=-⋅⋅ ⎝，令30r -=，解得3r =，3346(2)C 160T =-⋅=-；令31r -=，解得2r，2236(2)C 60T x x =-⋅=，所以6(1)x+展开式中含x 的项的系数为16060100-+=-．故答案为：100-14．已知定义域为[4,4]-的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x --=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由题意可得()f x 是偶函数，然后结合单调性可解出答案.【详解】由题意知()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为[4,4]-，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数， 则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤， 所以1lg 1a -≤≤，解得11010a ≤≤． 故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，3AC =，128BB BC ==，D 为棱1BB 的中点，则三棱锥1D ACC -的外接球的表面积为______． 【答案】73π【分析】由直三棱柱的性质求出CD ，1C D ，AD ，1AC 根据勾股定理得1C D AD ⊥，又1AC CC ⊥，所以1AC 的中点为三棱锥1D ACC -外接球的球心，即可求外接球半径，进而得外接球表面积．【详解】由题意知14BC BD B D ===，又AC BC ⊥，3AC =， 所以5AB =，142CD C D ==，则2241AD AB BD =+=，221173AC AC CC =+=所以22211AC AD C D =+，所以1C D AD ⊥．又1AC CC ⊥，所以1AC 的中点为三棱锥1D ACC -外接球的球心，所以外接球的半径11732R AC ==，其表面积22734473S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：73π【点睛】方法点睛：确定三棱锥外接球的球心有两种方法，一种方法是分别过两个面的外心作该面的垂线，两垂线的交点就是外接球球心； 另一种方法是确定三棱锥的四个面中有两个共斜边的直角三角形，此斜边就是外接球的直径．16．已知函数()(ln )()f x m x x m =-∈R 的图像与2()2ln g x x x =-的图像在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在关于x 轴对称的点，则m 的取值范围是______． 【答案】2e 21,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】将问题转化为22ln ln x x m x x -=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令22ln ()ln x xh x x x-=-，求导分析单调性，求出极值与端点处的函数值，即可求m 的取值范围．【详解】当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线y x =在ln y x =图像的上方，故当1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ln 0x x ->．因为函数()(ln )()f x m x x m =-∈R 的图像与2()2ln g x x x =-的图像在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在关于x 轴对称的点，等价于方程2(ln )2ln 0m x x x x -+-=，即22ln ln x x m x x -=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解．令22ln ()ln x x h x x x -=-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则2(1)(22ln )()(ln )-+-=-'x x x h x x x ，因为1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222ln x x +>≥， 则由()0h x '=，得1x =，当1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，当(]1,x e ∈，时，()0h x '>，所以()h x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(1,e]上单调递增．又222112ln 112e e e 11e e e ln e e h ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭-，12ln1(1)11ln1h -==-，22e 2ln e e 2(e)e ln e e 1h --==--， 22212e 2e 122e e e e +-=-<++，22e 2e 111e 12e 1e 1e 1---==+->---，所以实数m 的取值范围为2e 21,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦．故答案为：2e 21,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．四、解答题17．在①sin sin sin sin 3b B c C b C a A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭；②222cos sin sin sin cos C B C B A +=+；③22cos b a C c =+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，______． （1）求角A ；（2）若10a =，ABC 的面积为ABC 的周长． 【答案】（1）条件选择见解析，3A π=；（2）24.【分析】（1）选择①：利用正弦定理边角互化结合余弦定理可求得tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选择②：由同角三角函数的平方关系结合正弦定理、余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选择③：利用正弦定理结合边角互化、两角和的正弦公式可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）由三角形的面积公式可求得bc 的值，结合余弦定理可求得b c +，进而可得出ABC 的周长.【详解】（1）选择①：因为sin sin sin sin b B c C C a A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，所以由正弦定理可得22sin 3b c C a a ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即222sin b c a C +-=，则由余弦定理可得2cos sin 3bc A ab C =，所以sin cos sin sin 3C A A C =．()0,C π∈，则sin 0C >，所以cos 3A A =，即tan A =因为()0,A π∈，所以3A π=；选择②：由222cos sin sin sin cos C B C B A +=+， 得2221sin sin sin sin 1sin C B C B A -+=+-， 即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为()0,A π∈，所以3A π=；选择③：由22cos b a C c =+，结合正弦定理得2sin 2sin cos sin B A C C =+． 因为A B C π++=，所以()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦， 则()()2sin 2sin cos cos sin 2sin cos sin A C A C A C A C C +=+=+，所以2cos sin sin A C C =．因为()0,C π∈，所以sin 0C >，故1cos 2A =． 因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）由（1）知3A π=．因为11sin sin 223ABC S bc A bc π===△，所以32bc =． 由余弦定理得，()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-， 即()223100332196b c a bc +=+=+⨯=，所以14b c +=， 所以ABC 的周长为24a b c ++=．【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 18．已知正项数列{}12n n a -+的前n 项和为nS，且()21422423n n n n n n S a a -=++++-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()112222n n n n n c a a --=+-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）1212n n a n -=+-；（2）221=+n nT n ． 【分析】（1）根据数列的和与通项关系以及等差数列的定义和通项公式求得结果； （2）先化简数列n c ，再用裂项相消法法求和． 【详解】（1）由题知()()()221114224232223nn nn n n nn n n S a a a a ---=++++-=+++-，令12n n n b a -=+，则2423n n n S b b =+-，① 当2n ≥时，2111423n n n S b b ---=+-，②由①-②，得2211422n n n n n b b b b b --=-+-，整理得()()1120n n n n b b b b ----+=． 因为0n b >，所以12(2)n n b b n --=≥．又2111423S b b =+-，即211230b b --=，解得13b =或11b =-（舍去），所以数列{}n b 是以3为首项，2为公差的等差数列，则21n b n =+，所以112212n n n n a b n --=-=+-．（2）因为()()112211(21)(21)2121222n n n n n c n n n n a a --===--+-++-+， 所以11111121133521212121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a ．19．如图，S 是以平行四边形ABCD 的边AD 为直径的半圆弧上一点，60BAD ∠=︒，43SA =，4SD =，8DC SB ==，且E 为AD 的中点．（1）求证：平面SBE ⊥平面SAD ； （2）求二面角B SD C --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）45. 【分析】（1）由已知证线面BE ⊥平面SAD ，进一步证面面垂直.（2）建系算出二面角两平面的法向量，从而得出二面角B SD C --的正弦值. 【详解】（1）【证明】因为S 是以平行四边形ABCD 的边AD 为直径的半圆弧上一点， 所以SD SA ⊥，所以228AD SA SD +=． 因为E 为AD 的中点，所以142SE AD ==．由题可知8AB DC ==，所以AB AD =．因为60BAD ∠=︒，所以ABD △为正三角形，所以3432BE AB ==，且BE AD ⊥． 则222SB BE SE =+，所以BE SE ⊥．因为SE AD E ⋂=，SE ，AD ⊂平面SAD ，所以BE ⊥平面SAD ． 因为BE ⊂平面SBE ，所以平面SBE ⊥平面SAD ．（2）【解】由（1）知，BE ⊥平面SAD ，BE ⊂平面ABCD ，所以平面SAD ⊥平面ABCD ．以E 为坐标原点，以EA ，EB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,43,0B ，()8,43,0C -，(4,0,0)D -，(2,0,23S -， 所以(2,0,23DS =，()4,43,0DB =，()4,43,0DC =-．设平面SBD 的法向量为()1111,,x n y z =，则110,0,n DS n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11112230,4430,x z x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则111y z ==-，则()13,1,1n =--．设平面SDC 的法向量为()2222,,n x y z =，则220,0,n DS n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即22222230,4430,x z x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取23x =，则21y =，21z =-，则()23,1,1n =-，所以1212123cos ,555n n n n n n ⋅===⨯，故二面角B SD C --的正弦值为234155⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点睛:当二面角的平面角不易作出时，常通过建系求两面的法向量，再求法向量夹角的三角函数值.20．2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开．会议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调控．为了解居民对降低租赁住房税费的态度，某社区居委会随机抽取了500名社区居民参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：（1）判断是否有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关? （2）从“认为对租赁住房影响大”的居民中，按照年龄进行分层抽样，共抽取8人，分析租赁住房需求，再从中随机抽取3人参与座谈，若这3人中年龄在40岁以下的有占人，求ξ的分布列与数学期望．附：22()()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++． 临界值表：【答案】（1）有；（2）分布列见解析，98. 【分析】（1）据22⨯列联表计算出2K ，对比临界值表中数据即可.（2）由分层抽样的特征确定各年龄层抽取的人数，确定随机变量ξ的所有可能取值，再求出对应的概率，列出随机变量ξ的分布列，进一步求解数学期望. 【详解】（1）由题意建立22⨯列联表如下：22500(12515075150)7.576 6.635200300275225K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关．（2）由题意可知，分层抽样抽取的8人中，年龄在40岁以上的有5人，年龄在40岁以下的有3人，则随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．35385(0)C 28C P ξ===，215338C C 15(1)C 28P ξ===，125338C C 15(2)C 56P ξ===，3338C 1(3)C 56P ξ===，所以随机变量ξ的分布列为()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B ，椭圆C 过点⎝． （1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）360x +-=或360x --=． 【分析】（1）由点到直线的距离得一个,a b 的关系式，已知点的坐标代入又得一个关系式，，两者联立解得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，依次求得P 点，Q 点，D 点，E 点坐标，然后计算面积之差222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△，再结合基本不等式求得最大值．由此可得直线方程．【详解】（1）由题意知2(,0)A a ，1(,0)A a -，(0,)B b ，则直线1A B 的方程为by x b a=+，即0bx ay ab -+=，所以点2A 到直线1A B的距离d ==即2234b a =．① 又椭圆C过点3⎛ ⎝，所以224213a b +=．② 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-． 由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立2,2,x x my =-⎧⎨=+⎩解得2,4,x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩即42,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 联立222(0),1,43x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234120m y my ++=，解得0y =或21234my m -=+．由点D 异于点2A 可得2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 所以直线DQ 的方程为222124684(2)203434m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，得226432E m x m -+=+，所以22222641223232m m A E m m -+=-=++， 所以2PA Q △与PEQ 的面积之差为222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△． （利用点的对称关系，将面积差问题转化为求2PA E S △）因为2222112448||48222232323||||PA Em m S m m m m m -=⨯⋅⋅==≤+++△当且仅当m =时取等号． （在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧） 故当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时， 直线2A P的方程为360x -=或360x -=．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：设直线2AP 方程为2(0)x my m =+≠，直线与直线相交得交点坐标，直线与椭圆相交得交点坐标，然后求得三角形面积（之差），再结合基本不等式求得最大值，得出结论． 22．已知函数2()1()e xf x ax a =++∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）当0a ≠时，讨论函数()()3g x f x a =--的零点个数，并给予证明．【答案】（1）2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点，当0a >时，函数()g x 有两个零点，证明见解析． 【分析】（1）由题意得()0f x '≥，即2e x a ≥在区间(1,)+∞上恒成立，求取2e x最大值即可；（2）对参数分类讨论，通过对函数求导，分析单调性再结合零点定理即可得出结果． 【详解】（1）2()ex f x a '=-由题意得()0f x '≥，即2ex a ≥在区间(1,)+∞上恒成立． 当(1,)x ∈+∞时，220,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2ea ≥， 故实数a 的取值范围为2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （2）由已知得2()2ex g x ax a =+--， 则2e 2()e ex x xa g x a -'=-=． 当0a <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又(0)0g a =->，2(1)20eg =-<，故函数()g x 有且只有一个零点． 当0a >时，令()0g x '<，得2ln x a<，函数()g x 单调递减，令()0g x '>，得2ln x a>，函数()g x 单调递增，而222ln ln 0g a a a a ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2220e a aa g a ++⎛⎫=> ⎪⎝⎭， （ln x x <在(0,)+∞上恒成立）由于ln x x >，所以222ln a a a a +>>，所以()g x 在22ln ,a a a +⎛⎫⎪⎝⎭上存在一个零点． 又2222ln ln 22a a g a a a a ⎛⎫++⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，且222ln ln 2a a a <++， 设22()ln 2a a h a a ++=-，则222211()1022a a a h a a a a a +-+'=-=>++++在(0,)+∞上恒成立，故()h a 在(0,)+∞上单调递增．而(0)0h =，所以()0>h a 在(0,)+∞上恒成立，所以22ln02g a a ⎛⎫> ⎪++⎝⎭， 所以()g x 在222ln,ln 2a a a ⎛⎫⎪++⎝⎭上存在一个零点．综上所述，当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点； 当0a >时，函数()g x 有两个零点．【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数．（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）。
2021年全国高考数学预测试卷(文科)
2021年全国高考数学预测试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={x∈Z||x|≤2}，A={x|x+1≤0}，B={−2,0，2}，则(∁U A)∪B=()A. {1}B. {0,2}C. {−2,0，1，2}D. (−1,2]∪{−2}2.如果复数2−bi1+2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()A. −6B. 23C. −23D. 23.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sinπ6x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A. 136B. 118C. 112D. 194.设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,√2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A. 12B. 1 C. 32D. 26.在数列{a n}中，a n+1−a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S10=50，则数列{a n+a n+1}的前10项和为()A. 100B. 110C. 120D. 1307.已知P为一圆锥的顶点，AB为底面圆的直径，PA⊥PB，点M在底面圆周上，若M为AB⏜的中点，则异面直线AM与PB所成角的大小为()A. π6B. π4C. π3D. π28.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指．中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得．如图，这是一个把k进制数a(共有N位)化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1203，4，则输出的b=()A. 178B. 386C. 890D. 14 3039.函数f(x)=cosx⋅sin(1−23x+1)的图象大致为()A. B.C. D.10.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+(y−a)2=2a4+c4c2所截得的弦长为2√3a，则双曲线C的离心率为()A. 3+√52B. 3−√52C. √5−12D. √5+1211.已知函数f(x)=3e|x|，若存在实数t∈[−1,+∞)，使得对任意的x∈[1,m]，m∈Z且m>1，都有f(x+t)≤3ex，则m的最大值为()A. 3B. −1C. 2D. 012.若a1=1，对任意的n∈N∗，都有a n>0，且na n+12−(2n−1)a n+1a n−2a n2=0.设M(x)表示整数x 的个位数，则M(a2021)为()A. 2B. 4C. 6D. 8二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=x +1x +b 在点(a,f(a))处的切线经过坐标原点，则ab =______． 14. 已知α∈(0,π2)，sin(α+π3)+sinα=32，则sin(2α+5π6)=______．15. 平行四边形ABCD 中，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M ，N 满足：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材(如图1)雕刻制作一件工艺品(如图2)，该作品的上方是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的底面半径r =3米，高ℎ=10米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分(分别称为圆柱A 和圆柱B)，要求切面与原石材的上、下底面平行(不考虑损耗)，然后将圆柱A 切割打磨为一个球体，将圆柱B 切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为______立方米． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足asinAcosC +csinAcosA −√3bcosA =0．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为4√3，且2b =a +c ，求△ABC 的周长．18. 如图，已知长方形ABCD 中，AB =2AD ，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．(Ⅰ)求证：AD ⊥BM ；(Ⅱ)若E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥E −ADM 的体积与四棱锥D −ABCM 的体积之比为1：3？19.某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销量y(单位：吨)和年利润(单位：万元)的影响．对近6年宣传费x i和年销量y i(i=1,2，3，4，5，6)的数据做了初步统计，得到如下数据：经电脑模拟，发现年宣传费x(万元)与年销售量y(吨)之间近似满足关系式y=a⋅x b(a,b>0)即lny= blnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：(Ⅰ)从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率．(Ⅱ)根据所给数据，求y关于x的回归方程；(Ⅲ)若生产该产品的固定成本为200(万元)，且每生产1(吨)产品的生产成本为20(万元)(总成本=固定成本+生产成本+年宣传费)，销售收入为R(x)=−x+(40+20e)√x+500(万元)，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大？(其中e=2.71828…)附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，…，(u n,v n)，其回归直线v=β⋅u+α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑u ini=1v i−nuv∑u i2ni=1−nu2，α=v−β⋅u20. 已知函数f(x)=lnx +kx +2．(1)讨论y =f(x)−2的零点个数； (2)若函数g(x)=e x ax−x +2，当k =−1且0<a ≤e 22时，求证：g(x)>f(x)．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22，点A ，B ，N 分别为椭圆的左右顶点和上顶点，且AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1． (1)求椭圆C 的方程；(2)设不过原点O 直线l 与椭圆C 交于不同的，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．椭圆C 上是否存在一点M ，使得以OP ，OQ 为邻边的平行四边形OPMQ 的面积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+2costy =−1+2sint (t 为参数).以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22b.(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)若曲线C1上存在两个点到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．23.已知函数f(x)=|x+2|+|ax−3|．(1)当a=3时，求不等式f(x)<6的解集；(2)若∀x≥1，不等式f(x)≤x2+x+3恒成立，求实数a的取值范围．2答案和解析1.【答案】C【解析】解：U={x∈Z||x|≤2}={−2,−1,0，1，2}，A={x|x+1≤0}={x|x≤−1}，则∁U A={0,1，2}，又B={−2,0，2}，∴(∁U A)∪B={0,1，2}∪{−2，0，2}={−2，0，1，2}，故选：C．由列举法表示U，求解不等式可得A，再由补集与补集运算得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查绝对值不等式及一元一次不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，2−bi1+2i =(2−bi)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2−2b5+−4−b5i∵复数2−bi1+2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数∴2−2b5+−4−b5=0∴b=−23，故选：C．先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．本题以复数为载体，考查复数的化简，考查复数的基本概念，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sinπ6x的周期，且T=2ππ6=12，面积为S=π⋅(122)2=36π，一个小圆的面积为S′=π⋅12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为： P =2S′S=2π36π=118．故选：B ．4.【答案】B【解析】 【分析】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分条件与必要条件，属于综合题目，关键是分类讨论． 求解3a >3b >3，得出a >b >1，求解log a 3<log b 3，解得a >b >1或1>a >b >0或b >1，0<a <1，再利用充分条件与必要条件的定义判断即可． 【解答】解：a 、b 都是不等于1的正数， ∵3a >3b >3， ∴a >b >1， ∵log a 3<log b 3， ∴1lga <1lgb ， 即lgb−lga lgalgb <0，{lgb −lga <0lgalgb >0或{lgb −lga >0lgalgb <0求解得出：a >b >1或1>a >b >0或b >1，0<a <1 可得“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件， 故选：B ．5.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题． 根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+p2，得出x 0求得p ，可得答案． 【解答】解：∵抛物线y 2=2px(p >0)上的点A(x 0,√2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍， 则3x 0=x 0+p2，∴x 0=p4， ∴p 22=2，∵p >0， ∴p =2， 故选D ．6.【答案】C【解析】解：∵数列{a n }中，a n+1−a n =2， ∴此数列是等差数列，公差为2．数列{a n +a n+1}的前10项和为：a 1+a 2+a 2+a 3+⋯+a 10+a 10+a 11=2(a 1+a 2+⋯+a 10)+a 11−a 1=2S 10+10×2=120， 故选：C ．由数列{a n }中，a n+1−a n =2，可得此数列是等差数列，公差为2.数列{a n +a n+1}的前10项和=a 1+a 2+a 2+a 3+⋯+a 10+a 10+a 11=2S 10+10d ，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB =1． ∵PA ⊥PB ，∴OP =OB =OA ，OP ⊥底面AMB ．则O(0,0，0)，B(0,1，0)，M(1,0，0)，P(0,0，1)，A(0,−1,0)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1√2×√2=12， ∴<AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π3， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为π3． 故选：C ．如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB =1.由PA ⊥PB ，可得OP =OB =OA ，OP ⊥底面AMB.利用向量夹角公式即可得出．本题考查了向量夹角公式、圆锥的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出：b =3⋅50+0⋅51+2⋅52+1⋅53=178． 故选：A ．模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b =3⋅50+0⋅51+2⋅52+1⋅53=178的值，从而得解．本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确写出每次循环得到的b ，i 的值，分析出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：f(x)=cosx ⋅sin3x −13x +1，则f(−x)=cos(−x)⋅sin3−x −13−x +1=cosx ⋅sin1−3x 1+3x=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除AB ； 又f(1)=cos1⋅sin 12>0，可排除D ． 故选：C ．首先判断函数的奇偶性，可知函数f(x)的图象关于原点对称，排除AB 选项；再由f(1)>0，排除选项D ，进而得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x ，即bx ±ay =0， 圆x 2+(y −a)2=2a 4+c 4c 2，圆心(0,a)，半径r 2=2a 4+c 4c 2，所以圆心(0,a)到bx +ay =0的距离d =2√a 2+b 2=a 2c，所以d 2+(2√3a 2)2=r 2，即a 4c 2+3a 2=2a 4+c 4c 2，所以3a 2c 2=a 4+c 4， 所以3⋅c 2a2=1+(ca )4，即e 4−3e 2+1=0，令t =e 2，则t 2−3t +1=0， 解得t =3+√52或3−√52，因为e >1，则t >1， 则t =3+√52， 又t =3+√52=6+2√54=(√5+1)24， 所以e =√5+12，故选：D ．双曲线C 的渐近线方程为bx ±ay =0，进而可得圆心到渐近线的距离d ，根据题意可得d 2+(2√3a 2)2=r 2，解得e ，即可得出答案．本题考查双曲线的离心率，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：因为当t ∈[−1,+∞)且x ∈[1,m]时，x +t ⩾0， 所以f(x +t)⩽3ex ⇔e x+t ⩽ex ⇔x +t ⩽1+lnx ．所以原命题等价转化为：存在实数t ∈[−1,+∞)，使得不等式t ⩽1+lnx −x 对任意x ∈[1,m]恒成立． 令ℎ(x)=1+lnx −x ，x ∈[1,m]，因为ℎ′(x)=1x −1⩽0，所以函数ℎ(x)在(1,m)上为减函数， 所以ℎ(x)min =ℎ(m)=1+lnm −m ．所以要使得对任意x ∈[1,m]，t 值恒存在，只需1+lnm −m ⩾−1．因为ℎ(3)=ln3−2=ln(1e ⋅3e )>ln 1e =−1，ℎ(4)=ln4−3=ln(1e ⋅4e 2)<ln 1e =−1， 且函数ℎ(x)在[1,+∞)上为减函数， 所以满足条件的最大整数m 的值为3． 故选：A ．将原命题转化为存在实数t∈[−1,+∞)，使得不等式t≤1+lnx−x对任意x∈[1,m]恒成立，即(1+lnx+ x)min>−1，构造函数ℎ(x)=1+lnx−x，x∈[1,m]，结合ℎ(x)min⩾−1即可得到答案．本题是研究不等式恒成立问题，关键是将问题转化为利用导数求解函数最值，属于难题．12.【答案】C【解析】解：因为na n+12−(2n−1)a n+1a n−2a n2=0，所以(na n+1+a n)(a n+1−2a n)=0又a n>0，则a n+1−2a n=0，所以a n+1a n=2，又a1=1，故数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，则a n=1×2n−1=2n−1，所以a2=2，a3=4，a4=8，a5=16，a6=32，a7=64，a8=128，⋅⋅⋅⋅，所以M(a2)=2，M(a3)=4，M(a4)=8，M(a5)=6，M(a6)=2，M(a7)=4，M(a8)=8，⋅⋅⋅，故当n≥2时，M(a n)依次构成以4为周期的数列，所以M(a2021)=M(a5)=6．故选：C．利用递推公式，求出{a n}的通项公式，进而分析M(a n)的变化规律，从而得到M(a2021)的值．本题考查了数列递推公式的应用，等比数列定义以及通项公式的应用，数列周期性的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】−2【解析】解：∵f(x)=x+1x +b，∴f′(x)=1−1x2，∴函数f(x)在点(a,f(a))处的切线的斜率为f′(a)=1−1a2，切线方程为y−(a+1a +b)=(1−1a2)(x−a)，把(0,0)代入，有−(a+1a +b)=(1−1a2)⋅(−a)，化简得ab=−2．故答案为：−2．求导，再根据导数的几何意义，可得切线方程为y −(a +1a +b)=(1−1a 2)(x −a)，代入原点(0,0)，即可得解．本题考查利用导数研究函数的切线方程，掌握导数的运算法则，理解导数的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.【答案】−12【解析】解：因为sin(α+π3)+sinα=12sinα+√32cosα+sinα=32sinα+√32cosα=√3sin(α+π6)=32，所以sin(α+π6)=√32，又α+π6∈(π6,2π3)，所以α+π6=π3,α=π6． 所以sin(2α+5π6)=sin(7π6)=sin(π+π6)=−sin π6=−12． 故答案为：−12．利用和差角公式化简条件，根据α的范围求出α的大小，再代入sin(2α+5π6)求值．本题考查和差角公式，诱导公式，属于基础题．15.【答案】9【解析】解：∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=13×36−316×16=9． 故答案为：9．用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，在进行计算． 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．16.【答案】125π6+90【解析】解：圆柱A 和圆柱B 的体积相等， ∴它们的高一样，可设为ℎ′=12ℎ=5米，要使工艺品的体积最大，则需上方的球与下方正四棱柱的体积同时取得最大值，最大球体半径为R ，则{2R ≤2r2R ≤ℎ′，即R ≤52，球体体积V 1=43π×(52)3=125π6；∵正四棱柱的底面正方形内接于半径为r =3的圆， ∴正方形的对角线长为2r =6，边长为3√2， 正四棱柱体积V 2=(3√2)2⋅ℎ′=18×5=90， ∴手工作品的体积为V =V 1+V 2=125π6+90立方米．故答案为：125π6+90．要使工艺品的体积最大，则需上方的球与下方正四棱柱的体积同时取得最大值，分别求出球的体积的最大值与正四棱柱体积的最大值，作和得答案．本题考查球的体积与柱体的体积计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)因为asinAcosC +csinAcosA −√3bcosA =0，所以由正弦定理可得sinAsinAcosC +sinCsinAcosA =√3sinBcosA ，可得sinA(sinAcosC +sinCcosA)=√3sinBcosA ，可得sinAsinB =√3sinBcosA ， 因为sinB >0，所以sinA =√3cosA ，可得tanA =√3， 因为A ∈(0,π)， 所以A =π3．(2)因为△ABC 的面积为4√3=12bcsinA =√34bc ，所以bc =16，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−bc =b 2+c 2−16，又2b =a +c ，可得a =2b −c ，代入上式可得，(2b −c)2=b 2+c 2−16，化简可得3b 2=4bc −16=48，解得b =4，所以c =4，因为A=π3，所以△ABC为等边三角形，可得△ABC的周长为12．【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A，结合范围A∈(0,π)，可求A 的值．(2)由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，利用余弦定理可求b，c的值，结合A=π3，可求△ABC为等边三角形，即可求解△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：(Ⅰ)长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，∴AM=BM，∴BM⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；解：(Ⅱ)E为BD的中点，此时S△MBC=12S△MAB，∴V E−ADM=12⋅23⋅V D−ABCM=13V D−ABCM．【解析】(Ⅰ)先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；(Ⅱ)E为BD的中点，此时S△MBC=12S△MAB，计算体积可得结论．折叠问题一般是重点分析折叠后未变的平行与垂直关系，线段的长，角度的不变的量；作为探究性问题，先把结论当成已知，然后结合已知条件列出方程求解，若有符合题意的解，则结论成立，否则不成立．19.【答案】解：(Ⅰ)记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年的数据中有2013年和2014年的年销量低于20吨，记这两年为c，d，其余四年为e，f，g，h，则从6年中任取2年共有(c,d)，(c,e)，(c,f)，(c,g)，(c,ℎ)，(d,e)，(d,f)，(d,g)，(d,ℎ)，(e,f)，(e,g)，(e,ℎ)，(f,g)，(f,ℎ)，(g,ℎ)15种不同取法，事件A 包括(c,e)，(c,f)，(c,g)，(c,ℎ)，(d,e)，(d,f)，(d,g)，(d,ℎ)，(e,f)，(e,g)，(e,ℎ)，(f,g)，(f,ℎ)，(g,ℎ)共14种取法， 故P(A)=1415；(Ⅱ)对y =a ⋅x b (a >0,b >0)两边取对数得lny =lna +blnx ， 令u i =lnx i ，v i =lny i ，得v =lna +b ⋅u ， 由题中数据得：u =24.66=4.1，v =18.36=3.05，∴∑(6i=1u i v i )=∑(6i=1lnx i ⋅lny i )=75.3，∑u i 26i=1=∑(6i=1lnx i )2=101.4，∴b =6i=1i i )−n(uv)∑u 26−n(u)2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×(4.1)2=12，由lna =v −bu =3.05−12×4.1=1，得a =e ， 故所求回归方程为y =e √x ； (Ⅲ)设该公司的年利润为f(x)，∵利润=销售收入−总成本，∴由题意可知f(x)=−x +(40+20e)√x +500−(200+20e √x +x)=−2x +40√x +300=−2(√x −10)2+500，∴当√x =10即x =100时，利润f(x)取得最大值500(万元)， 故2019年该公司投入100万元的宣传费才能获得最大利润．【解析】本题考查了非线性回归方程及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，为中档题． (Ⅰ)记事件A 表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年的数据中有2013年和2014年的年销量低于20吨，记这两年为c ，d ，其余四年为e ，f ，g ，h ，利用列举法列出从6年中任取2年的事件数，求出事件A 包括的事件数，利用古典概型概率计算公式得答案；(Ⅱ)对y =a ⋅x b (a >0,b >0)两边取对数得lny =lna +blnx ，令u i =lnx i ，v i =lny i ，得v =lna +b ⋅u ，分别求出b 与a 的值，则回归方程可求；(Ⅲ)设该公司的年利润为f(x)，得到利润关于x 的函数关系，利用配方法求最值．20.【答案】(1)解：y =f(x)−2=lnx +kx ，定义域为(0,+∞)，y′=1x +k =kx+1x，当k ≥0时，y′>0，故函数y =f(x)−2在(0,+∞)单调递增， x →0时，y →−∞，x →+∞，y →+∞， 此时y =f(x)−2有一个零点；当k <0时，令y′=0，解得x =−1k >0，故函数y =f(x)−2在(0,−1k )上单调递增，在(−1k ,+∞)上单调递减， 所以y =f(x)−2在x =−1k 处取得极大值也是最大值为ln(−1k )−1， 当ln(−1k )−1<0，即k <−1e 时，y =f(x)−2没有零点； 当ln(−1k )−1=0，即k =−1e 时，y =f(x)−2有一个零点； 当ln(−1k )−1>0，即−1e <k <0时，y =f(x)−2没有零点；(2)证明：根据已知条件，f(x)=lnx −x +2，要证g(x)>f(x)，即证e x >axlnx ， ①当0<x ≤1时，e x >1，axlnx ≤0，显然成立； ②当x >1时，xlnx >0，结合已知0<a ≤e 22可得，0<axlnx ≤12e 2xlnx于是问题转化为e x >12e 2xlnx ，即证2e x−2x−lnx >0，令ℎ(x)=2e x−2x−lnx >0，x >1，则ℎ′(x)=2e x−2(x−1)−xx 2，令φ(x)=2e x−2(x −1)−x ，则φ′(x)=2xe x−2−1且在(0,+∞)单调递增， ∵φ′(1)=2e −1<0，φ′(2)=3>0，∴存在x 0∈(1,2)，使得φ′(x 0)=0，即2x 0e x 0−2=1， ∴φ(x)在(1,x 0)单调递减，在(x 0,+∞)单调递增， 又φ(1)=−1<0，φ(2)=0，故当x ∈(1,2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ℎ(x)≥ℎ(2)=1−ln2>0，故ℎ(x)>0，即得证．【解析】(1)求导，分k ≥0及k <0讨论即可得出单调性情况；(2)问题转化为证明e x >axlnx ，分0<x ≤1及x >1两种情况讨论即可得证．本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意，A(−a,0)，B(a,0)，N(0,b)，又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)(−a,b)=b²−a²=−1，即a²−b²=1， 因为a²−b²=c²，所以c =1离心率e =c a=√22，解得a =√2，所以a²=2，则b²=1，故椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1；(2)设直线l 为y =kx +b(b ≠0)，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则M(x 1+x 2,y 1+y 2)，由条件可知k²=y 1y2x 1x 2且S ▱OPMQ =2S △OPQ ，(x 1+x 2)22+(y 1+y 2)2=1，联立直线与椭圆方程得(2k²+1)x²+4kbx +2b²−2=0， 则{ △=16k 2b 2−8(b 2−1)(2k 2+1)>0x 1+x 2=−4kb 2k 2+1x 1x 2=2(b 2−1)2k 2+1， 所以|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√8(2k 2−b 2+1)2k 2+1，而O 到l 的距离d =√1+k 2，所以S ▱OPMQ =d ⋅|PQ|=√8b2(2k 2−b 2+1)2k 2+1，而y 1y 2=k²x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b²=b 2−2k 22k 2+1，所以k²=b 2−2k 22(b 2−1)，解得k²=12， 所以(x 1+x 2)²=16k 2b 2(2k 2+1)2=2b²，(y 1+y 2)²=[k(x 1+x 2)+2b]²=k²(x 1+x 2)²+4kb(x 1+x 2)+4b²=b²， 所以b²=12，此时符合题意， 所以S ▱OPMQ =√62为定值．【解析】(1)利用向量的坐标表示可得a²−b²=1，结合离心率可求出a²，b²，进而得到椭圆方程； (2)设直线l 为y =kx +b(b ≠0)，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则M(x 1+x 2,y 1+y 2)，由题设k²=y 1y 2x 1x 2，S ▱OPMQ =2S △OPQ ，(x 1+x 2)22+(y 1+y 2)2=1，联立直线与椭圆的方程，应用韦达定理求得x 1+x 2，x 1x 2，可求得y 1+y 2，y 1y 2，进而求得k²，b²，即可确定OPMQ 的面积是否为定值．本题考查椭圆方程得求解，考查直线与椭圆的综合，韦达定理得应用，考查学生计算化简能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+2costy =−1+2sint (t 为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y +1)2=4，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ2+2ρ(sinθ−cosθ)−2=0；(2)曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22b ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x −y −b =0．当圆心到直线的距离d =1或3时， 利用点到直线的距离d =√2=1或√2=3，解得b =2±√2或b =2±3√2；故b 的范围为：(2−3√2,2−√2)∪(2+√2,2+3√2)．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)当a =3时，f(x)=|x +2|+3|x −1|，不等式f(x)<6可化为|x +2|+3|x −1|<6． ①当x <−2时，不等式可化为−x −2+3−3x <6， 即−4x <5，解得x >−54，此时不等式无解；②当−2≤x ≤1时，不等式可化为x +2+3−3x <6， 即−2x <1，解得x >−12，此时为−12<x ≤1； ③当x >1时，不等式可化为x +2+3x −3<6， 即4x <7，解得x <74，此时为1<x <74； 综上可得，−12<x <74；所以不等式f(x)<6的解集为(−12,74)． (2)当x ≥12时，不等式f(x)≤x 2+x +3，即x +2+|ax −3|≤x 2+x +3，整理得|ax −3|≤x 2+1， 即−x 2−1≤ax −3≤x 2+1，即−x 2+2≤ax ≤x 2+4；因为x ≥12，所以分离参数可得{a ≥−x +2xa ≤x +4x．显然函数g(x)=−x +2x 在[12,+∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(12)=72；而函数ℎ(x)=x +4x ≥2√x ×4x =4，当且仅当x =4x ，即x =2时取等号； 所以实数a 的取值范围是[72,4]．【解析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值，求出a =3时不等式f(x)<6的解集；(2)当x ≥12时不等式化为|ax −3|≤x 2+1，去掉绝对值，利用分离参数法求得a 的取值范围． 本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(一)(解析版)
【点睛】思路点睛：针对抽象集合的问题，往往从集合的图示法入手，具有直观性，方便判断集合间的关系．
法二：过点在平面A ABC 立如图所示的空间直角坐标系不妨设，则1PA =AB =，，()0,0,1P 2,1,02D ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
∴，2,1,0DA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪ DP
故选：C ．
【点睛】关键点点睛：根据定义找到线面角的平面角，几何法：线面垂直的性质、勾股定理求边，在直角三角形中求其正弦值；向量法：构建空间直角坐标系，确定线面角两边的方向向量坐标并求余弦值，写出其正弦值．已知，是抛物线上两点，当线段A B 28y x =的最大值为（ ）
AB A ．5C ．10
故选：C ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解抛物线的定义，并能应用三点共线解决最值问题.
8．在边长为3的正方形中，以点ABCD 两点，点是上一点，则P E F PB PD ⋅ A ．132,2⎡⎤--⎣⎦C ．2,12⎡⎤--⎣⎦
【答案】A
A ．的最小正周期为()f x 'C ．的图像关于点()f x '【答案】ABD
（1）求证：；
EF AC ⊥（2）求二面角的正弦值．A EF P --【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由线面垂直的性质，所以平面，即可证明AC ⊥BPFE （2）以为坐标原点，，B BA BC 坐标系,平面的一个法向量为B xyz -PEF
22 x y。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为 ( )A ． 0 B.1 C.2 D ．42.函数f (x )=(0)x x -≤的反函数是（ ）A ．()02≥=x x yB ．()02≥-=x x yC ．()02≤=x x yD ．()02≤-=x x y 3.已知集合{}{}1,0,1,,,P -==Q c b a ,映射Q P f →:中满足0)(=b f 的映射个数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．94.已知一个物体的运动方程为,,,12s t m S t t S 的单位是的单位是其中+-=那么物体在s 3末的瞬时速度是（ ）A ．5m/sB ．6m/sC ．7m/sD ．8m/s5.已知函数()x f 为实数集R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x的取值范围是（ ）A.()1,1-B.()1,0C.()()+∞-∞-,11,D.()()1,00,1 -6.已知函数12)(2++=x ax x f 的图像与x 轴的负半轴至少有一个交点的充要条件是（）A.1≤aB.10≤<aC.1<aD.010<≤<a a 或7.图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．|1|23-=x y(0≤x ≤2)B ．|1|2323--=x y (0≤x ≤2)C ．|1|23--=x y (0≤x ≤2) D ．|1|1--=x y (0≤x ≤2)8.若函数)(x f 的定义域为]2,0[，则)22(-x f 的定义域为 （ ）A ．[0，1]B ．]2,3[log 2C ．]3log ,1[2D ．[1，2] 9.求函数)6lg(2-+=x x y 的单调增区间是（ ）A ．)21,(--∞B ．),21(+∞- C ．），（∞+2 D ．），（3-∞- 10.设函数)(x f 是实数集R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝2010处的切线的斜率为（ ） A ．－51B ．0 C ．51D ．511.已知函数3443x y a x y =+=与，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ ）A ．0B ．12C ．0或12D ．4或112.设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的 值域是( )A.(][)+∞-∞-,11,B.(][)+∞-∞-,01,C.[)+∞,0D.[)+∞,1 二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)13.已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是.14.函数x x f 3log )(=在区间[]()b a b a <,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值是.15.已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是.16．已知偶函数)(x f 在区间[],01-是增函数，且满足)1()1(--=+x f x f ，给出下列判断：①0)5(=f ；②)(x f 在[]2,1上是减函数；③)(x f 的图像关于直线1=x 对称；④)(x f 在0=x 处取得最大值；⑤)(x f 没有最小值. 其中正确的判断序号有___________.三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.)17.(满分12分)设命题P :关于x 的不等式()1,01222≠>>--a a a a ax x 且的解集为{|-2}x a x a <<;命题Q ：2lg()y ax x a =-+的定义域为R .如果P 或Q 为真,P 且Q 为假,求a 的取值范围.18.某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生 373 xy 男生377 370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.(Ⅰ)求x 的值；(Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？19.(满分12分)设函数a ax x a x x f 244)1(31)(23+++-=，其中常数a>1. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若当x ≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围.20.(满分12分)已知函数)1,0)(1121(2)(≠>+-=a a a x f x 且. (Ⅰ)求函数)(x f 的反函数解析式; (Ⅱ)判断函数)(1x f -的奇偶性; （III ）当10<<a 时,解不定式1)(1>-x f .21.(满分12分)函数()f x 的定义域为{}0D x x R x =∈≠且，且满足对于任意的实数12x xD ∈、，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+.(Ⅰ)求(1)f 的值； (Ⅱ)判断()f x 的奇偶性并证明； （III ）若(4)1f =，且()f x 在0+∞（，）上是增函数，解关于x 的不等式(31)(26)3f x f x ++-≤.22.(满分12分)已知c+=2f+xbxx(为偶函数，曲线)(x)y=过点(),52，f且)()xg+=.x)(xa(f(Ⅰ)若曲线)(x gy=有斜率为0的切线，求实数a的取值范围(Ⅱ)若当1-=x时函数=y)(x g取得极大值，且方程0g有三个不)(=x+b同的实数解，求实数b的取值范围.试题答案一.选择题：DBDA DABD CBCC二.填空题13.(),32； 14.32; 15. ()()∞+⋃-∞-，，63; 16.①②④三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.)17.解：解:P 为真时,01a <<;Q 为真时,12a >,因为P 或Q 为真，P 且Q 为假， 所以:1012a a <≤≥,或18. 解：（1）19.02000=x∴380x =人； （2）高三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名19.解：（I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年普通高等学校招生全国统一考试
数学（预测卷）
一、单选题。
本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的4个选项中，有且只 有一项是符合题目要求。
1已知函数f(x)=——的定义域为M,g (x)
= ln(l + x)的定义域为N 则MnN=(石、｀丿A.{斗x>-1}B 忖x <l } C.{斗l<x<l }
D.0
2.若复数Z 1,Z 2在复平面内的对应点关千虚轴对称，21=1妇，则_!_()
z Z 2 A .i B.-i
C.1
D.-1 3定义
“有增有减“数列伈｝如下：存在teN',满足a,<a,+1,.s旬W且存在，满足a_,>a.,+1.已知“有增有减“数列{a.}共四项，若a,e {x,y,z)(i = 1,2心4),且x<y<z,则数列｛礼，｝共有（）
A.64个
B.57个
C.56个
D.54个4.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测摄数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，商三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛商几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈商的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上．从第一
个标杆M 处后退123步，人眼贴地而，从地上A处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一
个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的商为(3丈=s步）（
） M A N B
A.1200步
B.1300步
C.1155步
D.1255步
5《镜花缘》是消代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一
座阁楼到处挂满了五彩综纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一
种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个。
若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（119 160 958 289 A. B. — C D. —
1077 359·1011359 6.一种药在病人血液中的登保持1500mg以上才有效，而低千500mg病人就有危险现给某病人注射了这种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效。
（附：。