二次根式奥赛专题
二次根式的竞赛题及经典答疑(3)
二次根式的竞赛题及经典答疑（3）二次根式的竞赛题及经典答疑（3）一、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）7．（4分）如果，那么a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．a≤1 C．1≥a≥0 D．﹣1≤a≤0二、解答题（共10小题，满分0分）1．计算：（1）（x2\sqrt{\frac{b}{a}}﹣\frac{xy}{a}\sqrt{ab}+）÷x2y 2；（2）4（x＞y＞0）．2．化简（﹣）÷+3．化简4．已知a=．5．先化简，再求值．[]÷，其中a=3，b=4．6．化简下列各式：（1）（b＜0）；（2）（y＞0）；（3）；（4）；（5）（1＜x＜3）．8．将（a﹣1）中的根号外面的因式移到给号里面．9．已知a+b=﹣8，ab=12．求的值．10．（2004•烟台）已知：，求的值．11．已知x为实数时，化简+．二次根式的竞赛题及经典答疑（3）参考答案与试题解析一、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）7．（4分）如果，那么a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．a≤1 C．1≥a≥0 D．﹣1≤a≤0 考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的意义和性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．解答：解：∵=，又∵，∴a≤0且a+1≥0解得﹣1≤a≤0．故选D．点评：二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．二、解答题（共10小题，满分0分）1．计算：（1）（x2\sqrt{\frac{b}{a}}﹣\frac{xy}{a}\sqrt{ab}+）÷x2y2；（2）4（x＞y＞0）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）有两种途径：一是将括号中的每一项分别除以除式，再把所得的商相加；二是先把括号内的式子作加减运算，然后再做除法．第（2）用立方和与立方差公式将第三个二次根式的分子、分母展开，再做二次根式的乘法运算．解答：解：（1）解法一：原式=x2•﹣+=﹣+=．解法二：原式=（﹣+）÷=•=．（2）原式=（4××3）=6=．点评：以上两题较为复杂，运算时注意运用二次根式的性质，注意运算方法．2．化简（﹣）÷+考点：二次根式的混合运算．分析：对含有除法运算的二次根式，一般是先进行分母有理化．但此题若将除式转化为乘以，再用乘法分配律，就可以进行约分，计算会简单些．解答：解：原式=，=，=﹣1，=1﹣1，=0．点评：此题考查二次根式的混合运算，用乘法分配律可使运算简便．3．化简考点：二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：先把的分子分解因式，然后再进行化简计算．解答：解：=﹣=﹣=0．点评：本题考查了二次根式的化简求值，难度适中，关键是先把的分子分解因式，然后再进行化简计算．4．已知a=．考点：二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：本题根据题中条件可得，式子a+﹣正是完全平方式，再与相乘便可用平方差公式化简．解答：解：原式=，=，=，把a=，b=+1代入，原式===1．点评：本题考查二次根式的化简求值，根据题中的条件，找出各项之间的关系，然后计算时注意符号即可．5．先化简，再求值．[]÷，其中a=3，b=4．考点：二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：根据本题特点，有两种解题途径：一是先分母有理化，再通分，做加法；另一种是先通分，再做加法，最后变除法为乘法．实际上第二种方法较为简便．然后代入计算即可．解答：解：原式=[﹣]×，=×，=﹣×，=﹣=﹣，当a=3，b=4时，原式=﹣=﹣2．点评：本题考查二次根式的化简求值，对原式进行通分化简即可，计算时注意正负号即可．6．化简下列各式：（1）（b＜0）；（2）（y＞0）；（3）；（4）；（5）（1＜x＜3）．考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：本题为简单的二次根式开方问题，根据各题中所给出的范围，然后进行开方即可，注意正负号．（1）题中条件b＜0，而250a3b≥0，所以a≤0，然后进行开方即可．（2）y＞0，343x4y3≥0，x4开方后为x2，直接进行开方即可．（3）π的取值大于3，则3﹣π＜0，求出结果即可．（4）=，x≥，可求的结果．（5）根据取值范围1＜x＜3，然后进行开方即可．解答：解：（1）∵b＜0，250a3b≥0，∴a3≤0，即a≤0，因此==5|a|=﹣5a（2）∵y＞0，∴==7=7（3）∵π＞3，则3﹣π＜0∴=π﹣3（4）∵，则1﹣3x≤0∴==|1﹣3x|=3x﹣1（5）∵1＜x＜3 则有x﹣3＜0，1﹣x＜0∴+=|x﹣3|+|1﹣x|=3﹣x+x﹣1=2点评：本题考查简单的二次根式开方问题，计算时注意题中暗含的条件，注意正负号．8．将（a﹣1）中的根号外面的因式移到给号里面．考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：根据根号里面的数必须大于等于0，可以求出a﹣1的符号，然后再把根号外面的因式移到给号里面．解答：解：∵＞0，则1﹣a＞0∴（a﹣1）=﹣（1﹣a）=﹣．点评：点评此题根据二次根式被开方数的非负性挖掘出隐含条件1﹣a＞0，这是问题的关键．9．已知a+b=﹣8，ab=12．求的值．考点：二次根式的加减法．专题：计算题．分析：把所求代数式平方，化为原式的形式，用整体代入法求值，再开平方，注意结果为非负数．解答：解：∵（+）2=++2===；∴原式==．点评：解答此题的关键是熟知用平方法解题，整体代入的思想．10．（2004•烟台）已知：，求的值．考点：二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：首先化简a=2﹣，然后根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，最后代入计算．解答：解：∵a==2﹣＜1，∴原式==a﹣3+=2﹣﹣3+2+=1．点评：此题中注意：当a＜1时，有=1﹣a．11．已知x为实数时，化简+．考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：要化简二次根式+，首先把被开方数因式分解，然后用公式=|a|进行化简；条件中x 是实数，化简时必须对x进行分类讨论才能去掉绝对值符号．解答：解：+=+=|x﹣1|+|x|，当x≤0时，x﹣1＜0，原式=1﹣x+（﹣x）=1﹣2x；当0＜x≤1时，x﹣1≤0，原式=1﹣x+x=1；当x＞1时，x﹣1＞0，原式=x﹣1+x=2x﹣1．点评：本题先令每一绝对值内的代数式的值为零，求出所对应的“零值点”，即令x﹣1=0，x=0，得x=1，x=0，再在数轴上标出这些点，将数轴分成三个区间，分别是x≤0，0＜x≤1，x＞1，最后按区间范围去掉绝对值符号，从而使二次根式得以化简．这种方叫“零值点区分法”．参与本试卷答题和审题的老师有：mrlin；zhangCF；leidan；yuanyuan；733599；kuaile；HLing；lf2-9；张超。
二次根式 奥赛题
二次根式 奥赛题 教学目标：1、概念，计算 2、化简重难点：能力培养一、知识点拨1、二次根式的性质①20,a ≥=若则 ；()()a a a ⎧==⎨-⎩；= (0,0)a b ≥≥0,0)a b =≥> 2、共轭根式如x a y a ==的两个根式称为共轭根式。
如果它们的积不含有二次根式，则它们互为有理化根式。
3、重二次根式如果二次根式的被开方数中含有二次根式,这样的式子叫重二次根式。
化简重二次根式的方法有：平方法；配方法；构造法；待定系数法等。
二、例题精讲例题1、设0,0,x y << 化简：练习1、当0a ≤，0b <__________=2、已知0xy >，化简二次根式 ）3、将a移到根号内，得 ( )B. ；C.+=-=求ab的值。
例题2、已知a b a b例题3、______________练习：1、x2、设2),m a =≤≤ 求109836m m m m ++++- 的值。
三、拓展延伸1、方程组943xy =⎧⎪+=的解是_________________2、对于题目“化简求值：1a ，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a1a 1a +1a －a=2495a a -= 乙的解答是：1a 1a 1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？ 因此乙的解答是错误的．3、规律性问题观察下列各式及其验证过程：， 验证：；，验证：.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.四、作业：1=成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥2、已知0<x<1=______。
二次根式—2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编
二次根式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)4+15+4-15=．【答案】10【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答．【详解】∵4+15+4-152=4+152+24+15⋅4-15+4-152=4+15+216-15+4-15=8+2=10，又4+15>0，4-15>0∴4+15+4-15=10．故答案为：10．2(2024·全国·九年级竞赛)已知x为实数，则x-2+4-x的最大值为．【答案】2【分析】本题考查二次根式有意义的条件和配方法，掌握被开方数为非负数和配方法是解题关键．先确定x的取值范围，然后利用配方法分析其最值．【详解】解：由题意可得x-2≥04-x≥0，解得2≤x≤4，令y=x-2+4-x y≥0，则y2=x-2+4-x2=x-2+2x-24-x+4-x=2+2-x2+6x-8=2+2-x-32+1∵0≤-x-32+1≤1∴y2的最大值为4，∴y的最大值为2，即x-2+4-x的最大值为2．故答案为：2．3(2024·全国·八年级竞赛)定义一种新的运算“@”：x@y=ax+by，其中a、b为常数，且使得等式a-2-8-4a+a b=12恒成立，那么2@3=．【答案】1【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到a=2，再代入方程求出b的值，从而得到x@y=2x -y，依此即可求得答案．【详解】根据题意得a-2≥08-4a≥0 ，∴a≥2 a≤2 ，∴a=2，将a=2代入a-2-8-4a+a b=12得0-0+2b=12，解得b=-1，∴x@y=2x-y，∴2@3=2×2-3=1．故答案为：1．4(2024·全国·八年级竞赛)计算：2+520172-52017=．【答案】-1【分析】本题主要考查了分式混合运算，平方差公式和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据相关的运算法则进行计算即可．【详解】解：2+520172-52017=2+52-52017=4-52017=-12017=-1．故答案为：-1．5(2024·全国·八年级竞赛)若不等式x+4+x-1≥a-x-2-2对任意实数x都成立，则a的最大值为．【答案】8【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得x+4+x-2有最小值为6，又由x-1≥0得出当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，然后由不等式恒成立即可求解．【详解】解：x+4+x-1≥a-x-2-2，∴x+4+x-2+x-1≥a-2当-4≤x≤2时，x+4+x-2有最小值为6，∵x-1≥0，∴当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，∴6≥a-2，∴解得a≤8，∴a的最大值为8，故答案为：8．6(2024·全国·八年级竞赛)计算12×1327+75+313-48-24-3232=．【答案】12【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，解题的关键是掌握运算法则．【详解】解：原式=23×13×33+53+3×33-43-26-3×632=23×33-6=12．7(2024·全国·八年级竞赛)计算：2009×2010×2011×2012+1-2009=．【答案】2010【分析】本题考查整式的混合运算、二次根式的性质，设参数计算是解答的关键．设a=2009，利用整式的混合运算法则和二次根式的性质是解答的关键．【详解】解：记a=2009，则原式=a a+1+1-aa+3a+2=a a+3+1-aa+2a+1=a2+3a+1-aa2+3a+2=a2+3a2+2a2+3a+1-a=a2+3a+12-a=a2+3a+1-a=a+12=a+1=2010，故答案为：2010．8(2024·全国·八年级竞赛)化简：-(x+1)2=．【答案】0【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由被开方数为非负数得到-x+12≤0，可确2≥0，即x+1定x+12=0，进而求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，-(x+1)2≥0，∴x+12≤0∴(x+1)2=0，∴-x+12=0=0，故答案为：0．9(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x满足20122-4024x+x2+x-2013=x，则x-20122=．【答案】2013【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得x-2013=2012，然后两边平方即可求解．【详解】解：∵x-2013≥0，∴x≥2013，∴x>2012．∵20122-4024x+x2+x-2013=x，∴2012-x2+x-2013=x，∴2012-x+x-2013=x，∴x-2012+x-2013=x，∴x-2013=2012，即x-2013=20122，故x-20122=2013．故答案为：2013．10(2024·全国·八年级竞赛)计算：1+20092+2009220102-12010=．【答案】2009【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式化简，熟练巧用完全平方公式是解本题的关键；首先化简为完全平方公式形式，然后根据二次根式开方即可解答．【详解】解：1+20092+20092 20102-12010=1+2010-12+20092 20102-12010=1+20102-2×2010+1+2009220102-1 2010=20102-2×2010+2+200920102-12010=20102-2×2010-1+200920102-12010=20102-2×2009+200920102-12010=2010-200920102-12010=2010-20092010-1 2010=2009．故答案为：2009．11(2024·全国·八年级竞赛)5+26+5-26=．【答案】23【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为3+22+3-22，再利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：5+26+5-26=3+22+3-22=3+2+3-2=23，故答案为：23．12(2024·全国·八年级竞赛)计算：(π+999)0-12+-3+8+(-1)3+(2+1)23-22=．【答案】22-3+1【分析】本题主要考查了二次根式的运算，先将二次根式化简，再根据二次根式的运算法则计算即可．【详解】原式=1-23+3+22-1+(3+22)(3-22)=22-3+(9-8)=22-3+1.故答案为：22-3+1．13(2024·全国·九年级竞赛)已知正整数a、b满足等式a+b=369，则a-b=．【答案】123或-123【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先把369化成最简二次根式，再把满足正整数a、b的所有值列举出来代入计算即可．【详解】解：∵369=341，正整数a、b满足等式a+b=369，∴a=41，b=241，即a=41,b=164，或a=241，b=41，即a=164,b=41，∴a-b=41-164=-123或a-b=164-41=123，故答案为：123或-123．14(2024·全国·七年级竞赛)计算：1-2=．+2-3+⋅⋅⋅+2016-2017+3-4【答案】2017-1/-1+2017【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可．【详解】解：1-2+⋯+2016-2017+3-4+2-3=2-1+3-2+4-3+⋯+2017-2016=2017-1．故答案为：2017-1．15(2024·全国·九年级竞赛)计算：9+18-27=．【答案】3+32-33【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．直接根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：9+18-27=3+32-33故答案为：3+32-33．16(2024·全国·八年级竞赛)若实数a满足a-8+a-2015=a，则a=．【答案】2079【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是解答的关键．先求得a≥2015，则a-8=a-8，进而得到a-2015=8，然后求解即可．【详解】解：依题意得a-2015≥0，则a≥2015，∴a-8=a-8，∴原式化为a-8+a-2015=a，即a-2015=8，得a-2015=64，∴a=2079．故答案为：2079．17(2024·全国·八年级竞赛)已知-2<x<3，则x2-6x+9-x2+4x+4化简为．【答案】1-2x【分析】先判断出x-3<0,x+2>0，再根据二次根式的性质化简原式即可．此题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：∵-2<x<3，∴x-3<0,x+2>0，∴x2-6x+9-x2+4x+4=x-32-x+22=x-3-x+2=3-x-x-2=1-2x故答案为：1-2x二、单选题18(2021·全国·九年级竞赛)设n,k为正整数，A1=(n+3)(n-1)+4,A2=(n+5)A1+4,A3= (n+7)A2+4，A4=(n+9)A3+4,⋯,A k=(n+2k+1)A k-1+4,⋯，已知A100=2005，则n的值为( )．A.1806B.2005C.3612D.4100【答案】A【详解】A1=[(n+1)+2][(n+1)-2]+4=(n+1)2-22+4=(n+1)2=n+1，A2=[(n+3)+2][(n+3)-2]+4=(n+3)2-22+4=(n+3)2=n+3，A3=[(n+5)+2][(n+5)-2]+4=(n+5)2-22+4=(n+5)2=n+5，同理A4=n+7,A5=n+9,⋯,A100=n+2×100-1=n+199=2005⇒n=2005-199=1806．故选：A．19(2011·湖北黄冈·九年级竞赛)设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是4-23，则a2+b2 ab的值为()A.2B.0C.-2D.-1【答案】C【分析】先化简4-23，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a 和b的值，再代入计算即可．【详解】解：4-23=32-23+1==3-12=3-1．∵方程x2+ax+b=0的一根是4-23，∴4-232+4-23a+b=0．∴3-12+3-1a+b=0．∴a-23+4-a+b=0．∵a、b是整数，∴a-2=0,4-a+b=0．解得a=2, b=-2．∴a2+b2ab =22+-222×-2=-2．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．20(2024·全国·八年级竞赛)若二次根式x-2在实数范围内没有意义，则x的取值范围是() A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥2【答案】A【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式没有意义的条件可得x-2<0，再解不等式即可，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.【详解】解：二次根式x -2在实数范围内没有意义，∴x -2<0，解得：x <2故选：AD ．21(2024·全国·八年级竞赛)已知13-7的整数部分是m ，小数部分是n ，则m m +7n +mn 的值为()A.10B.7C.6D.4【答案】A【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m ，n 的值，再代入进行求解即可．【详解】解：13-7=3+73+7 3-7=3+72，∵4<7<9，∴2<7<3，∴2.5<3+72<3，∴m =2，n =3+72-2，∴m m +7n +mn =22+7×3+72-2+2×3+72-2 =10，故选：A ．22(2024·全国·九年级竞赛)若1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，则ab的值为()A.18B.8C.2D.92【答案】B【分析】本题考查了根与系数的关系．先整理成一般式，利用根与系数的关系分另求得b 和a 的值，再代入求解即可．【详解】解：方程a (x -b )2=7整理得ax 2-2abx +ab 2-7=0，∵1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，∴1+72+1-72=1=--2ab a =2b ，∴b =12，1+72⋅1-72=-32=ab 2-7a ，∴-32=12 2-7a ，∴a =4，∴a b=412=8．故选：B ．23(2024·全国·八年级竞赛)已知75m 是整数，则满足条件的最小正整数m =( )．A.5B.0C.3D.75【答案】C【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解75m 什么情况下为正整数．【详解】解：∵75m =52×3m ，∴3m 是一个平方数，∴正整数m 最小是3，故选：C ．24(2021·全国·九年级竞赛)已知实数a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ,b +1 2=3-3b +1 ，则bb a+aa b的值为()A.23 B.-23C.-2D.-13【答案】B【分析】由题意可得a +1,b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，根据根与系数的关系可得a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理可得a +b =-5，ab =1，即得a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解.【详解】解：∵a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ，b +1 2=3-3b +1 ，∴a +1，b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，∴a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理，得a +b =-5，ab =1，∴a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，∴b b a +aa b =-b a ab -a b ab =-b a -a b =-a 2+b 2ab=-23；故选：B .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出a +b =-5，ab =1，是解题的关键．三、解答题25(2024·全国·八年级竞赛)若m 满足关系式2x +3y +4x +5y -m =x -2012+y +2012-x -y ，求m 的值．【答案】4024【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到x +y =2012是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得2x +3y +4x +5y -m =0，然后根据非负数的性质得到关于x 和y 的方程组，然后结合x +y =2012即可求得m 的值．【详解】解：由x -2012+y ≥02012-x -y ≥0 可得x +y =2012，∴x +y =20122x +3y =04x +5y -m =0∴m =4x +5y =2x +y +2x +3y =402426(2024·全国·八年级竞赛)设等腰三角形的腰为a ，底边为b ，底边上的高为h ．(1)如果a =6+3，b =6+43，求h ；(2)如果b =46+2，h =26-1，求a ．【答案】(1)32；(2)52．【分析】此题考查了等腰三角形的基本性质，学会在等腰三角形中构造直角三角形从而应用勾股定理来求解．(1)知道等腰三角形、底边利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解h 值；(2)知道等腰三角底边和高，同理在等腰三角形中构造直角三角形，利用勾股定理来求a 值．【详解】(1)解：在等腰△ABC 中，由勾股定理知，∵a 2=12b 2+h 2，∴6+3 2=146+43 2+h 2，∴36+123+3=1436+483+48 +h 2，∴39+123=9+123+12+h 2，∴h 2=18，∴h =18=32．(2)解：同理在等腰△ABC 中，由勾股定理知,∵a 2=12b 2+h 2，∴a 2=12×46+22+26-1 2∴a 2=26+1 2+26-1 2∴a 2=50，∴a =52．27(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：(2x -1)2-(3x +2)(3x -2)+(5x -4)(x +2)，其中x =2．【答案】2x -3,22-3【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式及多项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握并灵活运用它们是本题的关键．分别利用完全平方和、平方差公式、多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则计算即可．【详解】解：原式=4x 2-4x +1-9x 2+4+5x 2+6x -8，=2x -3当x =2时，原式=2x -3=22-3．28(2024·全国·八年级竞赛)已知：y =3x -15+15-3x +4，求2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y 的值．【答案】12【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x =5，进而得出y =4，再化简求值，代入即可得出答案．【详解】解：由3x -15≥0,15-3x ≥0，∴x =5，∴y =4，∴2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y =2x +y 2x +y -2x +y ÷2y -12y=2x+y-12y=2x+12y=12．29(2024·全国·八年级竞赛)已知a=4-15，求：(1)a-1a；(2)a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008．【答案】(1)-6(2)1【分析】本题考查完全平方公式，无理数的估算：(1)先根据完全平方公式变形得出a+1a =8，求出a-1a2=6，再估算出0<4-15<1，即0<a<1，最后求出答案即可；(2)将式子变形，再将a2-8a+1=0代入，进而可得出答案．【详解】(1)解：a=4-15，∴a-42=15，∴a2-8a+1=0．∴a+1a=8，∴a-1a2=a+1a-2=8-2=6，∵3<15<4，∴-4<-15<-3，∴0<4-15<1，即0<a<1，∴a-1a<0，∴a-1a=-6．(2)解：∵a5-6a4-16a3+7a2+23a-4=a3a2-8a+1+2a2a2-8a+1-a a2-8a+1 -3a2-8a+1-1=0+0-0-0-1=-1，∴a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008=-12008=1．30(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a-2+b2-10b+25=0．(1)求△ABC第三边c的取值范围；(2)求△ABC的周长l的取值范围；(3)若△ABC为等腰三角形，你能求出△ABC的周长吗？【答案】(1)3<c<7(2)10<l<14(3)12【分析】本题考查二次根式的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系：(1)先根据非负性得出∴a=2,b=5，再根据三角形第三边的取值范围即可得出答案；(2)根据周长三边之和，即可得出答案；(3)当c=2时，可知不能构成三角形，当c=5时，求出三边之和即可．【详解】(1)解：a-2+(b-5)2=0，∴a=2,b=5，∵b-a<c<a+b，∴3<c<7．(2)l=a+b+c=7+c，∴10<l<14．(3)c=2时，三边长(2,2,5)不能构成三角形，舍去．∴c=5，l=2+5+5=12．11。
中学数学竞赛题 二次根式专项 (含答案)
竞赛训练题（一） 二次根式 1．31231131144++-++的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－22、已知82121=+-xx ，则xx 12+=3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．5．若01132=+-x x ,则44-+xx 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7.6．若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.7．13333)919294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )（A ）a a +-11 （B ）11+-a a （C ）21a - （D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-2200110．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。
11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ） （A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在 12。
15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。
九年级数学竞赛专题二次根式_(含解答)
九年级数学竞赛专题二次根式一、选择题1若x < -3，化简|1 - 2)2(x +|的结果是（ ）A ．3+x;B ．-3 – x;C ．x;D ．-x2．化简xx x 13---，得（ ） A ．(x – 1 )x -; B ．(1 – x )x -C ．- (x + 1 )x ;D ．(x – 1 ) x3．01273=--+-x y x x ，则y x -1的值是（ ） A ．无意义; B ．61; C ．331+; D ．633+ 4．已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的a,b 的值（ ）A ．不存在;B ．有一组;nC ．有二组;D ．多于二组5．化简：5322-+=（ ）A ．61062-+;B ．61062++;C ．61063++; D ．不同于A~C 的答案 二、填空题1．当x ________时，式子4||35--x x 有意义。
2．已知0 < x < 1，化简2212x x +-=______________。
3．在实数范围内分解因式：2520424+-a a =______________。
4．计算：)235)(235)(235)(235(++-+--+++=__________。
5．比较大小：10113_______10310--三、解答题1．设x =33,253,253y x y +-=+求.2．解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+526732y x y3．化简：2115141075++++4．已知：x a x a x a x a b a b ab x -++--+>>+=:),0,0(122化简;5．若5的整数部分为a ，小数部分为b ，求a -b1的值。
答案一、1．B2．B3．D4．B5．D提示：1．∵x < -3∴x + 2 < 0, x + 3 < 0∴原式=|1 - |2 + x || = |1 + 2 + x | = |x + 3 | = - 3 – x2．要使式子有意义，则⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-0103xx 解得x < 0 ∴x x x x x --=-=-||3x xx x x -=-⋅-=--)1()(12 ∴原式=x x x x x --=-+--)1( 3．根据非负数的性质可得：⎪⎩⎪⎨⎧=--=-010273x y x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-010273x y x x ∴x = 3, y = 3代入化简得：原式=633+ 4．根据同类二次根式定义可知：⎩⎨⎧=+=-722b a b a 解之得⎩⎨⎧==13b a 5．)532)(532()532(25322++-+++=-+615366)532(362)532(25)32()532(22++=++=++=-+++=二、1．x ≤35且x ≠-4； 2．;1x x- 3．22)52()52(+⋅-a a ；4．24；5．>提示：1．要使4||35--x x 有意义，则必须⎩⎨⎧≠-≥-04||035x x 即⎪⎩⎪⎨⎧±≠≤435x x ∴x ≤35且x ≠-4 2．∵0 < x < 1 ∴x x>>11 ∴原式=x x x x -=-1|1| 3．2224)52(25204-=+-a a a 222222)52()52()]52)(52[(])5()2[(+-=+-=-=a a a a a4．1526)2()35()235)(235(22+=-+=-+++ 6152)35()2()]35(2[)]35(2[)235)(235(22-=--=--⋅-+=++-+-∴原式=2435606)152()6152)(1526(22=-=-=-+5．∵10=99113,100=∴1139910010=>= ∴10113011310->>-三、1．x + y 3253253=-++= x ·y = 1459253253=-=-⋅+ ∴))((2233y xy x y x y x +-+=+18)33(3]3)[()(]3)2[()(22222=-⋅=-+⋅+=-++⋅+=xy y x y x xy y xy x y x2．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2(526)1(732 y x y x （1）×3得：2136=+y x （3） （3）-（2）得：521-=y 将521-=y 代入（1）得：7)521(32=-⋅+x715732=-+x72152-=x214230-=x 3．原式=7353722575⋅+⋅+⋅+⋅+23321)32)(75(75-=+=+++=4．解法一：原式=))(()(2x a x a x a x a x a x a --+-++--+ xxa a x a x a x a x a x a 222)(22222--=--+---++= 将122+=b ab x 代入得： 原式=122)12(222222+⨯+--b ab b ab a a ab b a b a abb b a a b 4|1|||2)1(24))1()1(22()1(22222222-⋅-+=+--⋅+= ∵a > 0 ∴原式=bb b 2|1|122--+ 当b ≥1时，原式=;12)1(122bb b b =--+ 当0<b<1时，原式=;2)1(122b bb b =-++ 解法二：1|1|1)1(12)1(22222+⋅+=++=+++=+b a b b b a b ab b a x a 同理1|1|2+⋅-==-b a b x a∴原式=|1||1||1||1||)1||1(|1|)1||1(|122-++--+=-+++--++b b b b b b b a b b b a 当b ≥1时，原式=;1)1(1)1(1bb b b b =-++--+ 当0< b < 1时，原式=;)1(1)1(1b b b b b =--+-++ 5．∵22352<< ∴352<<∴a = 2 , b 25-=∴5)25(225121-=+-=--=-b a .。
2020苏科版数学八年级下册第12章《二次根式》(竞赛专题)
是整数，
化简后为 的代数式 分母有理化专题）
【例1】设 、 、 是 的三边的长，化简 的结果是.
【解析】根据三角形三边关系，可知 ，则题中的算式可化简为
.
【答案】 .
【例2】已知实数 、 满足 ，
则 的值为( ).
A.－2008 B.2008 C.－1 D.1
【解析】 ，
，
，
由以上两式可得 .
所以 ，解得 ，
所以 .
故选D.
【答案】D.
1.若 ，则式子 等于( ).
A. B.5 C. D.
2.已知非零实数 、 满足 ，则 等于( ).
A.－1 B.0 C.1 D.2
3.设 是整数，则 的值为.
4.若 ，且 ，则 =.
5.已知 且 ，则 的值为( ).
A.1 B.2 C. D.
6.设 ，则代数式 的值为( ).
A.0 B.1 C.－1 D.2
7.如图，在四边形 中，
，则边 的长为( ).
(第7题)
A. B. C. D.
8.已知 ，求 的值.
9.已知 为实数，且 与 都是整数，求 的值.
参考答案
1.B
2. C
3. 1，4，5
4. 7,－7
5. B
6. C
7. D
8.原式=
=
=
= .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当 时，
原式 .
9. 是正整数，
奥数训练之二次根式全新
二次根式一、二次根式的两个非负性.1）、被开方数非负的应用：【a ≥0】例1：已知：y=32-x +x 23-+2.则x y = .例2：已知：b=b a a 3462+-+ba a 3426+-则a 2-ab+b 2= . 例3：设a.b.c 均为不小于3的实数.则2-a +1+b +11--c 的最小值是 .针对性训练：1、代数式x +1-x +2-x 的最小值为 .2、求：4+a +a 29-+a 31-+2a -的值为 .2）、结果非负【a ≥0】的应用例1：已知：4+x +（2x+y ）2=0则x-y 的值为 .针对性训练习：1、已知：2-m +x 2+y 2+4x-6y+13=0则（x+y ）m 的值为 .2、①.110-x +1有最小值时x= ，这个最小值为= .②.42+x +1有最小值时x= ，这个最小值为=③.9-24x -的最大值为 ，最小值为 .3）、综合应用.8例1：已知：2001-a +a -2000=2003-a 求：a例题：已知：3x +5y =7其中（x>0）求m=2x -3y 的取值范围.针对性练习：1、已知：实数a 满足a -2004+2005-a =a 则a-20042的值为 .4）、一个非负数转化为另一个非负数的平方的应用【2)(a a =】 例1: 填空：y-21-y =( )2例2：已知：2（x +1-y +2-z ）=x+y+z.求x.y.z 的值.例3：已知a+b 2+11--c =42-a +2b-3 求：a+2b-21c 的值.针对性练习 1、a,b,c 是实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求()()()b a c a c b c b a +++++的值2、如果()9214+++=-+-+z y x z y x ，那么x+y+z 的值是多少二、2a =a 的应用 拓展为b a 2= a b 反过来a b =b a 2时要注意a 符号例1：设x<0.y<0.在x x y -y 13xy -y x 3化简= .例2：若3-x +()21-x =2则x 的取值范围是 . 例3：已知：-32<x<21则化简()223+x -2441x x +-+x 5= .1、若ab<0.则代数式b a 2应当化简为 .2、a a1-化为最简二次根式是 . 3、根式a a 1--b 13b -化简得 . 4、若21-<x<1将()()22412--+x x 化简得.=5、若数轴上表示a 的点在原点左边，则化简：22a a +的结果是 .6、412001200019991998+⨯⨯⨯的值等于.= 例1：当0<x<2时.2242++x x +2242-+x x = . 例2：162007200520032001+⨯⨯⨯= .针对性练习：11991199019891988+⨯⨯⨯-19892= 三、实数的比较大小1）、平方法 例1：设a=10.b=7+1.c=3+2比较a 、b 、c 的大小针对性练习：设a=3+7，.b=4+6，82+=c ，52=d ，比较a 、b 、c 、d 的大小为通过对上述问题的解决，你能得到怎样的规律？你能证明你的结论吗？2）、倒数法例题：已知：a=101-100.b=99-98比较a 、b 的大小.1、已知79,57,35,13-=-=-=-=d c b a比较a 、b 、c 、d 的大小为通过对例题和习题的解决，你认为具有怎样特点的二次根式，在比较大小时，适合用倒数法，比较的结果用怎样的规律？应用你总结的规律快速解决下面的问题问题：设a ＞1,a a q a a p 200612006,200612006--=-+=,120062006+-=a a r ,120062006--=a a s ,则p ，q ，r ，s 中值最小的一个是3）、化分子或分母相同比较另一个 例题：已知：a +bc 1<b +ac 1<c +ab 1比较a 、b 、c 的大小4）、化同底或同指比较大小例题：比较233 522 611的大小.5）、根据数轴的位置比较大小例题：已知：b<0 0<a <b <c 且cab 2=c b ac ，比较a 、b 、c 的大小6）、做差比较法例题：已知:a 、b 、c 均为正数且a ≠b 若x=a+b+c 、 y=ab +bc +ac ，比较x 、y 的大小已知：a 、b 、c 为正数且a ≠b 若x=a 1+b 1+c 1 y=ab1+bc 1+ca 1 则x 与y 的大小关系是 .7）、作商比较法 例题：比较21++a a 与32++a a 的大小四、二次根式的运算：1）、巧用乘法公式例1：计算：()532++()532-+()532+-()532++-例2：若a=5323++, b=2+106- 求ba 的值2）、巧用因式分解例1：计算：()2532-+－()2532+-例2：计算：()200215+-2()200115+-4()200015++2002例3：化简： ①y x yx +-= ②y x yxy x 244+++=③3514156++ = ④()b ab b b a 22---= 例4：化简：2115141075++++ .63121823346+++++针对性练习：1、计算：15106353+--+ .2115141032++++2、满足等式xy +x y-x 2003-y 2003+xy 2003=2003的正整数对(x 、y)的个数有多少个3）、巧用合并同类二次根式例题：已知：pq ≠0且p 与q 均为整数 .若2p +2q 2-32=0成立，求：满足条件的所有p.q 的值.针对性练习:已知整数x.y 满足x +2y =50.那么整数对（x.y ）的个数是 . A ：0 B ：1 C ：2 D ：34）、巧用无理数特点例题：已知a.b 是有理数且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2331a+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12341b-241-12093=0求a 、b 的值.针对性练习：1. 设a 是一个无理数且a.b 满足ab+a-b=1则b= .2. 设x.y 都是有理数.且满足方程⎪⎭⎫⎝⎛+321πx+⎪⎭⎫ ⎝⎛+231πy-4-π=0，求x-y 的值5）、巧用a c a b a c b +=+例题：化简 ()()233623346++++针对性练习：1、①()()353252-++ ②()()755337++-2、当n 为奇数时化简：)3212()1212(3212212)37)(75(3725)53)(31(5321+++++-++++-+++++++++++n n n n n n n Λ6）、有关把无理数分成整数部分与小数部分的计算例1：写出13的整数部分是 .小数部分是 .写出2+6的小数部分 .3-5的小数部分 . 写出2253+的小数部分 写出2347-的小数部分 写出的538-小数部分例2：已知：9+13与9-13的小数部分分别是a 和b.求ab-3a+4b+8的值.例3：设a,b 分别表示731-的整数部分与小数部分.求a 2+(1+7)ab 的值.例4、若设43239-的整数部分为a ，小数部分为b ，求b a b a -+++41111的值例5、求与212171-最接近的整数例6、m 是n 的小数部分，且2224m n +=，求m 、n7）、有关重二次根式的化简与计算例题：化简下列各式.1）若a≥0、b≥0化简：b a ab ++2.=2）若a≤0、b≤0化简：b a ab --2=3） 223223-++=4）15216157--- =5）223810++=6）、1112005200720082009+++⨯=7）、356356++-.5232-++y y8）、已知521041+-=x ，521042++=x ，求21x x +的值8）、.23246623+-- .223410623-+-五、二次根式的条件求值.（即代数式求值）1）、直接代入法例题：已知：x=2-3 求()()3323472++++x x 的值.2）、先化简所求再代入求值例题：已知：a 是4-3的小数部分，求代入式⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-+a a a a a a a a a 42442222的值为针对性练习：1. 当a=215+ . b=215-时，代数式22222b a b ab a -+-的值2. 已知x=1+3，求2141212---++x x x .3. 若a=121- . b=121+求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b b a ab 的值4. 已知：a=321+ .求a a a a a a -+--+-2221211的值3）、先化简已知再代入求值例题1：已知：x=1313+- .y=1313-+ 求x 4+y 4的值.例题2：设a>0,b>0 ,()()b a bb a a 53+=+求abb a ab b a +-++32的值.针对性练习： 1、已知：x=2323+- .y=2323-+那么2211yx +的值为 . 2、已知实数a 满足a+332a a +=0那么=++-11a a . 3、已知：=+--22x y xy 0且x 2-4x+4=0，求xy 的值4、正数m.n 满足m+34424=+--n n m mn ，求2002282++-+n m n m 的值5、nn n n x ++-+=11，nn n n y -+++=11，n 为自然数，如果19932197222=++y xy x 成立，求n 的值4）、整体代入包括：对称式整体代入.完全平方根式整体代入，构造已知整体代入. 例1：已知：a>1，且a 2+1412=a 求aa 1-的值例2：设a<b<0，a 2+b 2=4ab,求ba ba -+的值例3：已知：a+b=19911992+,a-b=19911992-求ab 的值例4：已知：a-b=2+3 b-c=2-3求a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值. 例5：x=()111321+.y=()111321-求:x 2-xy+y 2的值.例6、已知：,,32,3222y x x y y x ≠=+=+求yxx y +的值针对性练习 1、已知：a=321+, b=321-求下列各式的值.（1）.1111+++b a = （2）.a 2-ab+b 2 = （3）.a 2b+ab 2= 2、已知：a+41=a .(0<a<1)则aa 1-= . 3、已知：x+y=2537-,x-y=3527-, 则xy= 4、已知：a-b=12,ab=1,b>0则a+b=5、已知：21=+xx ，求191322++-++x x xx x x的值5）、平方法例1：已知：aa x 1-=，求xx x x x x 424222+-++++(用a 的代数式表示)例2：已知：x=-22432y xy x -+(y<0)，求yx的值例3：已知：4152522=+--x x ，求221525x x ++-的值.例4、若28181221-+=a ，求142+++a a a 的值6）、放缩法例题1：已知x+y=-4,xy=1求xyy x +的值例题：求代数式638638-++的值7）、余式（或降次）法例题：当x=273+时.4x 4-10x 3-12x 2+27x-4的值是 . 针对性练习 1、设x=2533-则（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)= . 2、若x=3-1那么1242322-+--x x xx = .3、已知：x=121+那么145254323+++x x x 的值为 . 4、已知211121=+x ,求多项式（2x 5+2x 4-53x 3-57x+54）2003的值 5、已知：220021+=x ，则()=--20023200220054x x （ ） A 、0 B 、1 C 、4 D 、41 8）、制造有理化因式法例题：已知：14-++a a =5求a 26-的值.9）、勾股构造法例1：求代数式()912422+-++x x 的最小值例2：已知：a.b 均为正数且a+b=2求U=1422+++b a 的最小值.10）、规律探索法例题：化简：1009999100143341322312121++++++++Λ例题：......+计算：=++++++++201120101431321211K11）、换元法例题：化简5225232-+---++y y y y奥数训练之二次根式检测题1、设20002001-=x ，19992000-=y ，则x,y 的大小关系是（ ）A 、x ＞yB 、x=yC 、x ＜yD 、无法确定 2、当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值是（ ） A 、1 B 、—1 C 、20012 D 、20012-3、化简ba ab b a ---2的值是（ ）A 、b a -B 、b a ---C 、b a -+-D 、a b ---4、当m 在可以取值范围内取不同的值时，代数式22427m m +-的最小值是（ ）A 、0B 、5C 、33D 、9 5、满足等式y x 2322-=的整数解有A 、一组B 、两组C 、三组D 、四组 6、设正整数a,m,n 满足n m a -=-242，则这样的a,m,n 的取值( )A 、有一组B 、有两组C 、多于两组D 、不存在 7、已知a=28181221-+，则142+++a a a 的值等于（ ） A 、22 B 、2 C 、22 D 、42 8、设15+=m ,则m+m1的整数部分为 9、计算：2200212004200320022001-+⨯⨯⨯= 10、若12--x x 和44--y y 互为相反数，则yx的值为11、已知215+=x ，那么531xx x ++= 12、化简：23246623+--=13、设实数x,y,z 满足()3454-+-+-=++z y x z y x ，求x,y,z 的值14、已知0＜x ＜1＜y ＜2,求442144422222+--+-++-+-+y y x x y x xy y x 的值15、设1111,1111-++--+=--+-++=k k k k y k k k k x ，k 为自然数，且3x 2+34xy+3y 2=1000求k 的值16、设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分。
(完整word版)l二次根式竞赛专题
竞赛专题:二次根式的运算【例1】 已知254245222+-----=x x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题）【例2】 化简22)1(111+++n n ，所得的结果为( ）(武汉市选拔赛试题）A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n【例3】 （1）化简324324-++; (北京市竞赛题)(2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)（3) 计算1212--+-+a a a a ． （湖北省孝感市“英才杯”竞赛题）【例4】 已知521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值． （山东省竞赛题)【例5】计算：（1）)23)(36(23346++++;(2）2115141021-15-1410++++; (3)4947474917557153351331++++++++ ;思路点拨 若一开始就把分母有理化,则使计算复杂化,观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．1.若 ,u v 满足32v =，则22______u uv v -+=21111x +=-的解是_____________。
3．计算:(1）12002200120001999+⨯⨯⨯(2）设5,(1)(2)(3)(4)2x x x x x =++++则整式的值是（3）7221756215422133021120291227625223-+-+-+-+-+-+-+-； （北京市数学竞赛题)（4）4266777647511+++++;4．（1)已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值;(2）设n n nn x ++-+=11，n n nn y -+++=11，n 为自然数,如果199********=++y xy x 成立，求n ．5。
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二次根式
一 .考点分析
1. 二次根式及二次根式的性质
2. 二次根式的乘除及加减
3. 二次根的化简
二．基础训练
1.当x 为何值时，下列格式在实数范围内有意义。
（1）12-x （2）
1
21-x （3）322+-x x 2.化简求值。
（1）_______11=-+-x x
（2）若2b a --=，则________2010=a
（3）________11)
1(=--a a 3.计算。
（1）32712⨯⨯ （2）521312321⨯÷
（3）
⎪⎭⎫ ⎝⎛-ab ab 23.323 （4）8132182+-
（5）()62255483--⨯
（6）)9
2913(25523x x x x +-
三．奥赛专题
1.已知实数a 满足a a a =-+-20052004,那么_______20042=-a .
2.已知x x x =---10199,那么_______1012=+x .
3.已知x .y 为实数,且满足
01)1(1=---+y y x ,那么
_____20042003=+y x .
4.已知非零实数a .b 满足a b a b a 24)3(2422=+-+++-,求_______=+b a .
5.设23-=a . 32-=b . 25-=c ，则c b a ..的大小关系是______。
6.下列各数中，最小的正数是（ ） A 11310- B 10113- C 13518- D 261051-
7. 已知231+=
x .2
31-=y ,求223143y xy x +-的值
8.已知2231-=
x .2
231+=y ,求4-+x y y x 的值.
9. a .b 为有理数,且满足等式324163++⋅=+b a ,则______=+b a .
10.计算___________56145614=--+.
11.计算___________
638638=-++.
12设正整数a .m .n 满足n m a -=-242,则这样的a .m .n 的取值有
( )组.
13.计算()2
235153)35153(+-++
-++
四.强化训练
1.化简: (1)
1313232-+++ (2) 347+
2.已知8=x .21=
y ,求x
y y x x y --的值.
3.已知5653222=--+x x ,则__________65232322=-++x x .
4.如果4321-=x ,那么________112
2=-+-x x x
x .
5.已知0132=+-x x ,则__________2122=-+
x x .
6.若y x y x m y x m y x +-⋅--=-++--+19919932253,求m 的值
12121751531311++-+++++++=n n M n n N 2)12(654321--++-+-+-= ,求2
)1(+M N 的值。
8．已知2353-+=x ，3
106151--+=y ， （1）求证：02=-y x ；（2）求226y xy x -+的值。