【教案】 一元二次方程的根与系数的关系(6)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案2021-2022学年九年级数学人教版上册
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.二、教学重难点重点掌握一元二次方程的根与系数的关系.难点一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用.重难点解读在使用一元二次方程的根与系数的关系时，应注意：（1）方程不是一般形式的要先化为一般形式.（2）使用x 1+x2=ba时，“-”不要漏写.（3）根与系数关系是在方程ax2+bx+c=0（a≠0）有根的前提下（即b2-4ac≥0）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.（4）若已知方程“有两个实数根”，则该方程是一元二次方程，即存在隐含条件：二次项系数不为零.三、教学过程活动1 旧知回顾提出问题：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）请同学们写出一元二次方程的求根公式.（3）在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？（4）一元二次方程的根与系数有着密切的关系，其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.活动2 探究新知1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？用语言叙述你发现的规律.2.教材第15页 第1个思考. 提出问题：（1）把方程（x-x 1）（x-x 2）=0化为一般形式后的方程是什么？（2）这个方程的二次项系数是多少？一次项系数是多少？常数项是多少？ （3）由此可知，方程x 2-（x 1+x 2）x+x 1x 2=0两个根的和、积与系数有怎样的关系？ 3.教材第15页 第2个思考. 提出问题：（1）如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？（2）由求根公式可知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，两根分别为x 1=242bb ac a，x 2=242bb aca.观察两式右边，分母相同，分子是-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x 1+x 2=__________，x 1x 2=___________.（3）由此你能说出方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有怎样的关系吗？把方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两边同时除以a ，能否得出该结论？为什么？ 活动3 知识归纳一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系： x 1+x 2=b a ，x 1x 2= ca. 提出问题：（1）方程的根是由什么决定的？（2）在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0呢？为什么？活动4 典例赏析及练习 例1 教材第16页 例4.例2 已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）【答案】解：两种.（1）直接利用因式分解法，得（x+1）（x-2）=0；（2）用根与系数关系法求解：∵两根之和为1，两根之积为-2，∴满足条件的方程为ax 2-ax-2a=0（a ≠0）.例3 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 变式一：已知方程x 2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2-5x+k=0的两根互为倒数，求k. 【答案】解：由两根之积，得-3k=92，解得k=32；（变式一）互为相反数的两根之和为0，得0=2k.解得k=0；（变式二）互为倒数的两根之积为1，得1=2k，解得k=2. 练习：1.教材第16页 练习.2.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，则x 1+x 2+x 1x 2= -3 . 3.两根均为负数的一元二次方程是（ C ） A.7x 2-12x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.4x 2+21x+5=0 D.x 2+15x-8=04.已知关于x 的方程x 2+2x-k=0有两个不相等的实数根.若α，β是这个方程的两个实数根，求1+1的值.【答案】解：由根与系数的关系可知α+β=-2，αβ=-k ，∴1+1=(1)(1)(1)(1)=21=2212kk=2.活动5 课堂小结1.若方程x 2+px+q=0有两个实根x 1，x 2，则x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，两个根x1，x2与系数a，b，c有如下关系：x 1+x2=ba，x1x2=ca.3.运用一元二次方程的根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：（1）先把方程化为一般形式，明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式；（2）确定方程的各项系数时一定要包括符号；（3）只有在一元二次方程有实根数的前提下，才能使用根与系数的关系，如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.四、作业布置与教学反思。
一元二次方程的根与系数的关系 优秀教学设计(教案)
一元二次方程的根与系数的关系教学时间课题课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．熟练掌握一元二次方程的根与系数关系。
2．灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题。
3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
过程方法学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明。
情感态度培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。
教学重点一元二次方程的根与系数关系。
教学难点对根与系数关系的理解和推导。
【教学过程】教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1．课本思考。
分析：将（x- x1）（x-x²）=0化为一般形式x²-( x1+x²)x+ x1x²=0与x²+px+ q=0对比，易知p=-( x1+x²)，q= x1 x²。
即二次项系数是1的一元二次方程如果有实教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题学生通过去括号、合并得到一般形式的创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲通过思考问题，让学生知道二次项系数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积。
2．跟踪练习。
求下列方程的两根x1、x²。
的和与积。
x²+3x+2=0； x²+2x-3=0； x²-6x+5=0； x²-6x-15=03．方程2x²-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4．一般的一元二次方程a x²+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x²和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
《一元二次方程的根与系数的关系》教案
21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学内容由一元二次方程的求根公式推导一元二次方程根与系数的关系，并用根与系数的关系求方程另一根及字母系数的值及一些代数式的值等运用．教学目标1．知识与技能：会用求根公式推导根与系数的关系，并利用它不解方程，解决一些与方程的根有关的问题．2．过程与方法：不解方程，直接用根与系数的关系求方程的另一根，及有关x 1、x 2的对称式的代数式的值．教学重难点熟练用求根公式，不解方程而直接解决与方程的根有关的问题．教学过程一、教师导学问题：方程x 2＋x －6＝0的两个根．x 1＝________，x 2＝________，x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0)的两个根x 1＝________，x 2＝________，x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．二、合作与探究由上面的问题可知，x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)，两根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．分析：∵x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a这就是一元二次方程根与系数的关系．【例1】若x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值： (1)1x 1＋1x 2(2)x 21＋x 22 (3)(x 1－x 2)2 (4)(x 1＋1)(x 2＋1)分析：利用根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，再将所有式子用x 1＋x 2，x 1x 2表示，再整体代入求解即可．解：略．【例2】已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两实根为α，β，且1α＋1β＝－1，求m 的值． 分析：1α＋1β＝α＋βαβ，由根与系数关系代入求出m 的值，但是m 的值必须满足一元二次方程有两实根，即满足Δ＝b 2－4ac ≥0.解：m ＝3.三、巩固练习1．已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝__12__． 2．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值． 解：m 1＝－11(舍去)，m 2＝3.3．关于x 的方程x 2－23x ＋m ＝0的一个根为3＋1，求方程的另一根，及m 的值．解：另一根为3－1，m ＝2.四、能力展示已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋(2a －1)x ＋a 2＝0的两个实数根，且(x 1＋2)(x 2＋2)＝11，求a 的值． 解：a 1＝5(舍去)，a 2＝－1.五、总结提升本节课应掌握不解方程，利用根与系数的关系解决关于x1＋x2与x1x2有关代数式值的问题或求方程的根或字母系数的值．六、布置作业教材P16练习。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 教案
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系◆【课前热身】1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．4.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）A．1 B．3 C．－3 D．±35.若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0【参考答案】1. 5x2－x－3=0 5 －1 －32.－33.（x－1）（x+2）5.D6.B◆【考点聚焦】知识点：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求:1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.◆【备考兵法】〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力. 在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.◆【考点链接】1.一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .◆【典例精析】例1（四川绵阳）已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【分析】这是一道确定待定系数m 的一元二次方程，•又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．【答案】（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）= 4k 2－8k + 4－4k 2+ 4 =－8k + 8． ∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1．（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0， 解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4． 例2（北京）已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：x 2－1=0 （1）x 2+x －2=0 （2）x 2+2x －3=0 （3） ……x 2+（n －1）x －n=0 （n ）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n ）；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 【分析】由具体到一般进行探究． 【答案】（1）<1>（x+1）（x －1）=0，所以x 1=－1，x 2=1． <2>（x+2）（x －1）=0，所以x 1=－2，x 2=1．<3>（x+3）（x －1）=0，所以x 1=－3，x 2=1． ……<n>（x+n ）（x －1）=0，所以x 1=－n ，x 2=1．（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．例3（江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2？【答案】解法一：设矩形温室的宽为xm ，则长为2xm ，根据题意，得 （x －2）·（2x －4）=288．解这个方程，得x 1=－10（不合题意，舍去），x 2=14． 所以x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m 2． 解法二：设矩形温室的长为xm ，则宽为12xm ． 根据题意，得（12x －2）·（x －4）=288． 解这个方程，得x 1=－20（不合题意，舍去），x 2=28． 所以x=28×12x =12×28=14． 答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m 2．【解析】在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． ◆【迎考精练】 一、选择题1.（台湾）若a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根，且a ＞b ，则ba=______？ A ．－5 B ．－4 C ．1 D. 32.（2009年湖南株洲）定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 A ．a c = B ．a b = C ．b c = D ． a b c == 3.(四川成都)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是A.1k >-B.1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠4.（内蒙古包头）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．255.（湖北荆州）关于x 的方程2(2)20ax a x -++=只有一解（相同解算一解），则a 的值为（ ）A ．0a =B ．2a =C ．1a =D ．0a =或2a = 6.（山东烟台）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ． D ．7．（湖北宜昌）设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )．A ．－4B ．－1C ．1D ． 0 8．（湖北十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．A ．0122=--x xB ．0322=+-x xC ．3322-=x x D ．0442=+-x x9．（四川眉山）若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．13-10．（山东东营）若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2二、填空题1.(上海市)如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ． 2.（山东泰安）关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。
【说课稿】 一元二次方程的根与系数的关系(6)
一元二次方程的根与系数的关系教材地位分析：一元二次方程的根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点。
教材的处理：一、教学目标：1、掌握一元二次方程的根与系数的关系的关系并会初步应用。
2、提高学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
3、渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
4、通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、判断的能力。
激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
二、教学重点难点及难点的突破重点：根与系数的关系。
难点：对根与系数的关系的理解和推导。
难点的突破方法：由已知两根构造新方程入手，由学生观察并发现一元二次方程根与系数的关系，用求根公式再严格加以证明，证明的过程是一个再熟悉和再理解的过程。
三、教学构想：在构思这节课时，感到教材中所提供的方法固然能更加直接的引出根与系数的关系，但忽略了定理最初形成的过程（即：为何要检验两根之和，两根之积？）。
因此我根据前面所学内容，从已知两根求作方程入手，引导学生观察并发现根与系数的关系。
此时所得出的恰好是二次项系数为1的方程，这种特殊的方程有这种规律，是不是对二次项系数不为1的方程也同样有这种规律呢？于是引出下文，并推及到韦达定理的出现与证明。
然后加入对数学家韦达的介绍，及我国古代数学家在根与系数关系上的贡献，激发学生的爱科学，用科学的情感，提高学生对学习的兴趣。
最后，再由学生自主小结，谈体会，给整节课画上圆满的句号。
四、教法、学法：为了体现二期课改中“以学生为主体”的教育理念，在课程的引入和新授中充分地考虑在学生已有知识与新知识间架起一座桥梁，通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一元二次方程的根与系数的关系教案(朱鸿霞)
一元二次方程的根与系数的关系浦东新区教育学院实验中学 朱鸿霞一、教学目标：1、经历观察、分析和发现一元二次方程的根与系数关系并导出定理的过程，获得探索新知的体验，感受一元二次方程的根与系数关系的简洁、和谐之美。
2、掌握一元二次方程的根与系数关系的定理，并会用于求关于一元二次方程两根的对称式的值。
3、在参与数学活动和解决问题的过程中，领会化归、整体代人和分类讨论等数学思想。
二、教学重点与难点：重点：一元二次方程根与系数关系的推导与应用难点：理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，并会运用根与系数关系解决有关问题。
三、教学过程：（一）复习一元二次方程的求根公式 （二）引入新课1、请同学们观察下表，并正确填写表中空白2、由上表猜想一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠两实数根1x ,2x 与系数a ,b ,c 之间的关系（猜想——小组讨论——教师归纳总结）3、推导一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数的关系1x =, 2x =122222b b b bx x a a a a ---+=+==-1224224b b ac cx x a a a a -+-=∙==结论：①一元二次方程的根与系数的关系：如果方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x ,2x 则12b x x a +=-, 12cx x a=②注意能用公式的前提条件为240b ac =-≥ 数学史介绍：一元二次方程根与系数的关系的定理又称为韦达定理，是法国数学家韦达(1540—1603）最早发现的,他在研究和推广这个定理中，作出了卓越的贡献。
练习：说出下列一元二次方程的两个实数根的和与积： (1)2210x x --= , (2)212302x x -+= (3) 2260x x -=, (4) 234x = （三）例题讲解，巩固运用1、已知关于x 的方程2(1)20x k x -++=的一个根为2，求它的另一根及k 的值。
一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。
一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。
本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。
（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。
（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。
达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。
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17.4 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标知识与能力：在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；能运用根与系数的过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学情感态度价值观：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学
重难点重点：一元二次方程的根与系数的关系的应用。
难点：对一元二次方程的根与系数的关系的理解和推导。
教学过程
一、学习目标（2分钟）
1.通过韦达定理的学习，理解掌握一元二次方程根与系数的关系；
2.能够运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；已知一根求另一根。
二、自学提纲（10分钟）
自学课本第37~38页，解决以下问题：
1、填表
问题：你发现这些一元二次方程的根与系数a、b、c有什么规律？
当二次项系数为1时，x20的两根为x1, x2的关系怎样？
2、任意的一元二次方程20（a≠0）的x12， x12与系数a，b，c 的关系是 x12= ；
3、已知方程 2x24=0的一个根是-4，求它的另一个根及k 的值。
4、练习下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）
（1）x2-31=0；（2）3x2-22
（3）2x2+30；（4）3x2=1
三、合作探究（15分钟）
1. 填表
问题：你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？
X
方程
③X2-5x +4=0
②2-2x-3=0
①x2-3x+2=0
x
1
.x
2
x
1
+x
2
x
1,
,x
2
X
X
x
③2-5x +4=0
②2-2x-3=0
①2-3x+2=0
x
1
.x
2
x
1
+x
2
x
1,
,x
2
方程
教学过程当二次项系数为1时x20的两根为x1,, x2则有
.
;
2
1
1
2
q
x
x
p
x
x=
∙
-
=
+
2、通过填写第二张表格，从而得出一元二次方程的一般式,
,
(0
2c
b
a
c
bx
ax=
+
+为常
a
c
x
x
a
b
x
x=
∙
-
=
+
2
1
2
1
,
得出韦达定理的概念。
3、已知方程 2x24=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。
四、巩固练习（5分钟）
1、下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2-31=0
（2）2x2-95=0
（3）2x2+302
2、课本39页练习4
五、课堂小结（3分钟）
一元二次方程根与系数的关系？
六、布置作业（10分钟）
课堂：必做题：P39练习第一题（2）、（4）、（6）第3题
选做题：P40习题17.4 第3题
板书设计一、学习目标：四、巩固练习：
二、自学提纲：五、课堂小结：
三、合作探究：六、布置作业：
教学反思
a
c
a
b
a
C
bx
ax
x
x
x
x
x
x=
-
=
+
≠
=
+
+
2
1
2
1
2
1
2
.
;
,
)0
(0
则有
的两根分别是如果。