一元二次方程的根与系数的关系教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案.doc
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】：1、方程：X 2+3X –4=0（1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。
（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。
（3）则X 1+X 2=_______， 方程中 （）二次项系数一次项系数=- (4) X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关》教案、教学设计
根据学生的个体差异，布置不同难度的课后作业，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，针对学生在课堂上的表现，进行有针对性的辅导，解决他们在学习过程中遇到的问题。
7.教学评价，持续改进
通过课堂提问、作业批改、测验等方式，了解学生的学习效果，对教学方法和策略进行调整，以提高教学质量。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的求解方法有初步的了解。在此基础上，他们对一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的探究欲望，但可能对根的判别式和韦达定理的理解还不够深入。因此，在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导他们通过观察、思考、总结，逐步理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
1.培养学生对待数学问题的认真态度，严谨治学，克服困难，勇于探索。
2.培养学生用数学的眼光观察世界，认识世界，增强学生的数学应用意识。
3.培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中体验成功，树立自信心。
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂的开始，我将通过一个贴近学生生活的实际问题来导入新课：“同学们，假设我们班要举行一次篮球比赛，已知比赛场地上有两个篮筐，分别距离地面一定高度。现在我们需要计算出篮球从地面抛起，到达篮筐高度时的速度。这个问题可以通过一元二次方程来求解，那么如何找到这个方程的根呢？”这个问题既能够引起学生的兴趣，又能让学生感受到数学与生活的紧密联系。
此外，学生在解决实际问题时可能会遇到一定的困难，需要教师耐心指导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学应用能力。同时，学生的个体差异较大，教师应关注每个学生的学习进度，针对性地进行教学辅导，使他们在原有基础上得到提高。
一元二次方程的根与系数的关系 优秀教学设计(教案)
一元二次方程的根与系数的关系教学时间课题课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．熟练掌握一元二次方程的根与系数关系。
2．灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题。
3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
过程方法学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明。
情感态度培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。
教学重点一元二次方程的根与系数关系。
教学难点对根与系数关系的理解和推导。
【教学过程】教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1．课本思考。
分析：将（x- x1）（x-x²）=0化为一般形式x²-( x1+x²)x+ x1x²=0与x²+px+ q=0对比，易知p=-( x1+x²)，q= x1 x²。
即二次项系数是1的一元二次方程如果有实教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题学生通过去括号、合并得到一般形式的创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲通过思考问题，让学生知道二次项系数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积。
2．跟踪练习。
求下列方程的两根x1、x²。
的和与积。
x²+3x+2=0； x²+2x-3=0； x²-6x+5=0； x²-6x-15=03．方程2x²-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4．一般的一元二次方程a x²+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x²和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。
3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。
教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。
2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。
过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。
1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。
3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
一元二次方程的根与系数的关系 教案
学生学习一元二次方程的根与系数关系，通过推导学习起来比较容易，但相关的计算还有些问题，与这些知识相关的问题还有待于加强复习衔接。
学生通过去括号、合并同类项，得到一般形式的一元二次方程，分析总结得到根与系数的关系。
教师适时点拨。
教师出示探究问题，让学生通过特殊的例子入手，再通过一般形式推导实验。
学生小组合作，交流完成。
最后师生共同总结出结论：
x1＋x2= ，x1•x2= 。
教师投影出示例题4，引导学生不解方程，利用根与系数的关系求根的和与积。并找3名同学板演。
学科
数学
教师姓名
王顺
备课时间
2017.9.1
课题
一元二次方程的根与系数的关系
课时
1
教学目标
知识与技能
1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
过程与方法
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
情感态度
通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析和综合、判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
教学重点
一元二次方程根与系数的关系
教学难点
对根与系数的关系的理解和推导。
教学准备
对媒体师生活动
设计意图
创设情境引入新课
一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为这个定理是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的。聪明的同学们，你能发现这个定理吗？
学生独立完成后，同伴之间交流。
一元二次方程的根与系数的关系》教案
一元二次方程的根与系数的关系》教案一元二次方程的根与系数的关系知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，能够使用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并解决一些简单的问题。
过程与方法】通过探究一元二次方程根与系数的关系，培养学生的观察思考、归纳概括能力和解决问题的能力，渗透整体的数学思想和求简思想。
情感态度】通过学生自主探究，发现根与系数的关系，增强研究的信心，培养科学探究精神。
教学重点】根与系数的关系及运用。
教学难点】定理的发现及运用。
一、情境导入，初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们的数学学科中更蕴藏着大量的规律。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们一起去探究，感受一次当科学家的滋味。
二、思考探究，获取新知解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？教学说明】通过让学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式可知：x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a则有以下结果：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
三、运用新知，深化理解1.求下列方程的两根之和与两根之积。
1）x2-6x-15=0；2）5x-1=4x2；3）x2=4；4）2x2=3x。
2.已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.1）求k的取值范围；2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值。
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系主备人 宋化第一课时 教学内容：1、根与系数的关系。
2、根与系数的关系的应用。
（1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。
教学过程：1、一元二次方程的根与系数关系：（1）复习：一元二次方程的求根公式。
得出方程的根由其系数决定。
（2）填表并找出其中的规律：得出结论：若x 1 、x 2为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，则有：a bx x -=+21，a c x x =∙21 （3）巩固练习：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x 1，x 2、k 是常数）（1）2x 2-3x+1=0 x 1+x 2=________ x 1x 2=_________ （2）3x 2+5x=0 x 1+x 2=________ x 1x 2=__________ （3）5x 2+x-2=0 x 1+x 2=_________ x 1x 2=__________ （4）5x 2+kx-6=0 x 1+x 2=_________ x 1x 2=__________ （5）3x 2 -kx=7 x 1+x 2=_________ x 1x 2=__________2、一元二次方程的根与系数关系的应用：例1：不解方程，利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。
例2：若x 1 、x 2为一元二次方程5x 2+kx-6=0 的两根，利用根与系数的关系，求下列代数式的值（用含k 的代数式表示）：（1）221221x x x x +（2）221)(x x -（3）21x x - （4）2112x x x x +拓展思维：已知实数满足关系式a 2-5a+6=0，b 2-5b+6=0，且a ≠b ，能否求a+b 与ab 的值？课堂练习：不解方程，利用根与系数的关系，解答下列问题： 若x 1 、x 2为一元二次方程3x 2-5x-1=0的两个根，则 （1）x 1+x 2=________ x 1x 2=_________ （2）2221x x + （3）212221x x x x -+（4）2221212x x x x +-回家作业： 1、已知方程的两根为，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）2、已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
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教师提出如下问题 ：
一元二次方程根的情况与一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？有什么关系？
解下列方程
（1）x2+x-1=0（1）x2-2x+3=0（1）2x2-2x+1=0
通过解方程得出一元二次方程根的情况由b2－4ac来判定
（1）当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
（3）当b2－4ac<0时，方程没有实数根.
把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式
注：（1）当b2－4ac≥0时，方程的根的情况如何叙述？
（2）上述的叙述：反过来也成立.
三、尝试应用
例1.不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x－4 = 0；
（2）1.6y2+0.9 = 2.4y；
（3）5（x2+1）－7x = 0.
注意：用一元二次方程根的判别式时一定要把方程整理成一般形式。
四、解决问题
例2.已知：关于x的方程：
2x2－（4k+1）x+2k2－1 = 0.
当k为何值时：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根.
1.3一元二次方程的根与系数的关系教案
教学目标
使学生熟练地掌握一元二次方程根的判别式。
教学重点
一元二次方程根的判别式。
教学难点
一元二次方程根的判别式运用
教学过程
教学活动内容
个人主页
一、情境创设
不解方程 ，你能判断下列方程根的情况吗？
（1）x2+2x-8=0 （2 ）x2=4x-4（3 ）x2-3x=-3
五、小结
本节课有哪些主要收获？
六、作业
关于x的方程：
2kx2－（4k+1）x+2k－1 = 0，
当k为何值时方程有两个不相等的实数根？（注意k≠0）